2023年必修四平面向量复习基本知识点归纳总结全面汇总归纳及基础训练.pdf

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1、必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练 平面向量复习基本知识点及经典结论总结 1、向量有关概念:(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量与数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段,为什么？(向量可以平移)。例:已知 A(1,2),B(4,2),则把向量ABuuu r按向量ar(1,3)平移后得到的向量就是_。(2)零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向 ;(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与ABuuu r共线的单位向量就是:);(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有 ;(5)平行向量(也

2、叫 ):方向 或 的非零向量a、b叫做平行向量,记作:,规定零向量与任何向量平行。提醒:相等向量一定就是共线向量,但共线向量不一定相等;两个向量平行与与两条直线平行就是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;平行向量无传递性！(因为有0r);三点A BC、共线 AB ACuuu r uuu r、共线;(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量就是 。例:命题:(1)若abrr,则abrr。(2)两个向量相等的充要条件就是它们的起点相同,终点相同。(3)若ABDCuuu ruuur,则ABCD就是平行四边形。(4)若ABCD就是平行四

3、边形,则ABDCuuu ruuur。(5)若,ab bcrr rr,则acrr。(6)若/,/ab bcrr rr,则/acrr。其中正确的就是_;2、向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;(3)坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,则平面内的任一向量a可表示为,axiy jx y rrr,称,x y为向量a的坐标,a 叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3、平面向量的基本定理:如果 e1与

4、 e2就是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使 a=1e12e2。例;(1)若(1,1),abrr(1,1),(1,2)cr,则c r_;(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的就是 A、12(0,0),(1,2)ee u ru u r B、12(1,2),(5,7)eeu ru u r C、12(3,5),(6,10)eeu ru u r D、1213(2,3),(,)24eeu ru u r(3)已知,AD BEuuu r uuu r分别就是ABC的边,BC AC上的中线,且,ADa BEbuuu rr uuu rr,则BCuuu r可用

5、向量,a br r表示为_;(4)已知ABC中,点D在BC边上,且 DBCD2,ACsABrCD,则sr 的值就是_ 4、实数与向量的积:实数与向量a的积就是一个向量,记作a,它的长度与方向规定如下:1,2aarr当0时,a的方向与a的方向 ,当0时,a的方向与a的方向 ,当0 时,0arr,注意:a0。5、平面向量的数量积:(1)两个向量的夹角:对于非零向量a,b,作,OAa OBbuuu rr uuu rr,AOB0 称为向量必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练 a,b的夹角,当0 时,a,b同向,当时,a,b反向,当2时,a,b垂直。(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量a,b,

6、它们的夹角为,我们把 叫做a与b的数量积(或内积或点积),记作:,即ab 。规定:零向量与任一向量的数量积就是 0,注意数量积就是一个实数,不再就是一个向量。例:(1)ABC 中,3|AB,4|AC,5|BC,则 BCAB_;(2)已知11(1,),(0,),22abcakb dab rrrrr u rrr,cr与du r的夹角为4,则k等于_;(3)已知2,5,3aba b rrr rg,则abrr等于_;(4)已知,a br r就是两个非零向量,且abab rrrr,则与aabrrr的夹角为_ (3)b在a上的投影为|cosbr,它就是一个实数,但不一定大于 0。如已知3|a,5|b,且1

7、2ba,则向量a在向量b上的投影为_ (4)ab的几何意义:数量积ab等于a的模|ar与b在a上的投影的积。(5)向量数量积的性质:设两个非零向量a,b,其夹角为,则:ab则 ;当a,b同向时,ab ,特别地,222,aaaaaa rrrrrr;当a与b反向时,ab ;当ab0 时,;当ab0,;非零向量a,b夹角的计算公式:;|abab rrrr。例:(1)已知)2,(a,)2,3(b,如果a与b的夹角为锐角,则的取值范围就是_;(2)已知OFQ的面积为S,且1FQOF,若2321S,则FQOF,夹角的取值范围就是_;(3)已知(cos,sin),(cos,sin),axx byyrrar与

8、br之间有关系式3,0kabakbk rrrr其中,用k表示a br r;求a br r的最小值,并求此时ar与br的夹角的大小。6、向量的运算:(1)几何运算:向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,向量加法还可利用“三角形法则”:设,ABa BCbuuu rr uuu rr,那么向量ACuuu r叫做ar与br的与,即abABBCAC rruuu ruuu ruuu r;向量的减法:用“三角形法则”:设,ABa ACbabABACCA uuu rr uuu rrrruuu ruuu ruuu r那么,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意:

9、此处减向量与被减向量的起点相同。例:(1)化简:ABBCCDuuu ruuu ruuu r_;ABADDCuuu ruuu ruuur_;()()ABCDACBDuuu ruuu ruuu ruuu r_;(2)若正方形ABCD的边长为 1,ABa BCb ACcuuu rr uuu rr uuu rr,则|abc rrr_;(3)若 O 就是ABCV所在平面内一点,且满足2OBOCOBOCOAuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r,则ABCV的形状为_;必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练(4)若D为ABC的边BC的中点,ABC所在平面内有一点P,满足0PABPCPuuu

10、ruuu ruuu rr,设|APPDuuu ruuu r,则的值为_;(5)若点O就是ABC的外心,且0OAOBCOuuu ruuu ruuu rr,则ABC的内角C为_;(2)坐标运算:设1122(,),(,)ax ybxyrr,则:向量的加减法运算:a+b=。ab=。例:(1)已知点(2,3),(5,4)AB,(7,10)C,若()APABACRuuu ruuu ruuu r,则当_时,点 P 在第一、三象限的角平分线上;(2)已知1(2,3),(1,4),(sin,cos)2ABABxyuuu r且,(,)2 2x y,则xy ;(3)已知作用在点(1,1)A的三个力123(3,4),

11、(2,5),(3,1)FFFuu ruu ruu r,则合力123FFFFu ruu ruu ruu r的终点坐标就是 。实数与向量的积:a=。若1122(,),(,)A x yB xy,则ABuuu r=,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。例:设(2,3),(1,5)AB,且13ACABuuu ruuu r,3ADABuuu ruuu r,则 C、D 的坐标分别就是_;平面向量数量积:ab ,。例:已知向量a(sinx,cosx),b(sinx,sinx),c(1,0)。(1)若 x3,求向量a、c的夹角;(2)若 x4,83,函数baxf)(的最大值为21,

12、求的值 向量的模:a=。例:已知,a br r均为单位向量,它们的夹角为60o,那么|3|abuu rr_;两点间的距离:若1122,A x yB xy,则AB=。例:如图,在平面斜坐标系xOy中,60 xOyo,平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标就是这样定义的:若12OPxeyeuuu ru ru u r,其中12,e eu r u u r分别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量,则 P点斜坐标为(,)x y。(1)若点 P 的斜坐标为(2,2),求 P 到 O 的距离PO;(2)求以 O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。;7、向 量 的 运 算 律:(1)交 换 律:a

13、bba rrrr,aarr,a bb a rrrr;(2)结 合律:,abcabc abcabc rrrrrr rrrrrr,aba bab rrrrrr;(3)分 配律:,aaaabab rrrrrrr,abcacb c rrrrrrr。例:下列命题中:cabacba)(;cbacba)()(;2()ab2|a22|abb;若0ba,则0a或0b;若,a bc b r rr r则acrr;22aarr;2a bbaar rrrr;222()a babr rrr;222()2abaa bbrrrr rr。其中正确的就是_ 提醒:(1)向量运算与实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可

14、以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练 个向量,切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律,即cbacba)()(,为什么？8、向量平行(共线):/ababrrrr22()(|)a babr rrr1212x yy x0。例:(1)若 向 量(,1),(4,)axbxrr,当x _ 时ar与br共 线 且 方 向 相 同;(2)已 知(1,1),(4,)abxrr,2uab rrr,2vabrrr,且/uvrr,则x_;(3)设(,12),(4,5),(10,

15、)PAkPBPCkuuu ruuu ruuu r,则 k_时,A,B,C 共线;9、向 量 垂 直:0|aba babab rrr rrrrr 12120 x xy y、特 别 地()()ABACABACABACABACuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r。例:(1)已知(1,2),(3,)OAOBmuuu ruuu r,若OAOBuuu ruuu r,则m ;(2)以原点 O 与 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,90B ,则点 B 的坐标就是_;(3)已知(,),na br向量nmru r,且nmru r,则mu r的坐标就是_;1

16、0、线段分点求法:例:1)若 M(-3,-2),N(6,-1),且1MPMN3,则点 P 的坐标为_;(2)已知(,0),(3,2)A aBa,直线12yax与线段AB交于M,且2AMMBuuuu ruuu r,则a等于_;11、向量中一些常用的结论:(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量与为零向量,要注意运用;(2)|ababab rrrrrr,特别地,当 a br r、同向或有0r|abab rrrr|abab rrrr;当 a br r、反向或有0r|abab rrrr|abab rrrr;当 a br r、不共线|ababab rrrrrr(这些与实数比较类似)、(3)在ABC中,若11

17、2233,A x yB xyC x y,则 其 重 心 的 坐 标 为123123,33xxxyyyG。例:若ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),则ABC的重心的坐标为_;1()3PGPAPBPCuuu ruuu ruuu ruuu rG为ABC的重心,特别地0PAPBPCP uuu ruuu ruuu rr为ABC的重心;PA PBPB PCPC PAPuuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r为ABC的垂心;向量()(0)|ACABABACuuu ruuu ruuu ruuu r所在直线过ABC的内心(就是BAC的角平分线所在直线);|0AB PCBC PACA PBP uuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu rrABC的内心;(4)向量 PA PB PCuuu r uuu r uuu r、中三终点A BC、共线存在实数、使得PAPBPCuu u ruu u ruuu r且1 、例:平 面 直 角 坐 标 系 中,O为 坐 标 原 点,已 知 两 点)1,3(A,)3,1(B,若 点C满 足OCOBOA21,其中R21,且121,则点C的轨迹就是_