2023年数列题型及解题方法全面汇总归纳全面汇总归纳2.pdf

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1、文德教育 1 知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()nnnnnnmpqnnnnaq naaa qaad naandnn nSaanadaaaamnpq 两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()nnnnmpqaa qaqqqqSnaqa aa amnpq 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他 掌握了数列的基

2、本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法 1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。(1)递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 为常数）例 1、已知an满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解 an+1-an=2 为常数 an是首项为 1，公差为 2 的等差数列 an=1+2（n-1）即 an=2n-1 例 2、已知na满足112nna

3、a，而12a，求na=？（2）递推式为 an+1=an+f（n）例 3、已知na中112a，12141nnaan，求na.解：由已知可知)12)(12(11nnaann)121121(21nn 令 n=1，2，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+（an-an-1）文德教育 2 2434)1211(211nnnaan 说明 只要和 f（1）+f（2）+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以 n=1，2，（n-1）代入，可得 n-1 个等式累加而求 an。(3)递推式为 an+1=pan+q（p，q 为常数）例 4、na中，11a，对于 n1

4、（nN）有132nnaa，求na.解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）因此数列an+1-an是公比为 3 的等比数列，其首项为 a2-a1=（31+2）-1=4 an+1-an=43n-1 an+1=3an+2 3an+2-an=43n-1 即 an=23n-1-1 解法二：上法得an+1-an是公比为 3 的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4 3，a4-a3=432，an-an-1=43n-2，把n-1个等式累加得：an=23n-1-1 (4)递推式为 an+1=p an+q n（p，q 为常数）)(

5、3211nnnnbbbb 由上题的解法，得：nnb)32(23 nnnnnba)31(2)21(32 (5)递推式为21nnnapaqa 思路：设21nnnapaqa,可以变形为：211()nnnnaaaa，想 于是an+1-an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。求na。文德教育 3 (6)递推式为 Sn与 an的关系式 关系；（2）试用 n 表示 an。)2121()(1211nnnnnnaaSS 11121nnnnaaa nnnaa21211 上式两边同乘以 2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 则2nan是公差为 2 的等差数列。2nan=2+（n-1）2=2n 数列求和的常

6、用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果na等差，nb等比，那么 n na b叫做差比数列）即把每一项都乘以nb的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列11nnaa和11nnaa（其中na等差）可 裂 项 为：111111()nnnnaad aa，1111()nnnnaadaa 等差数列前n项和的最值问题：文德教育 4 1、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最大值。（）若已知通项na，则nS

7、最大100nnaa；（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最大；2、若等差数列na的首项10a，公差0d，则前n项和nS有最小值（）若已知通项na，则nS最小100nnaa；（）若已知2nSpnqn，则当n取最靠近2qp的非零自然数时nS最小；数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已 知nS（即12()naaaf n L）求na，用 作 差 法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。已知12()na aaf nggL g求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnf nanf n。已知条件中既有nS还有na，有时先求nS，再求na；

8、有时也可直接求na。若1()nnaaf n求na用累加法：11221()()()nnnnnaaaaaaa L 1a(2)n。已知1()nnaf na求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa L(2)n。已知递推关系求na，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如1nnakab、1nnnakab（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求na；形如1nnnakak的递推数列都可以除以nk得到一个等差数列后，再求na。（2）形如11nnnaakab的递推数列都可以用倒数法求通项。（3）形如1knnaa的递推数列都可以用对数法求通项。（7）

9、（理科）数学归纳法。（8）当遇到qaadaannnn1111或时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是文德教育 5 等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导

10、方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：111(1)1n nnn；11 11()()n nkk nnk；2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn；11(1)!(1)!nnnn；2122(1)2(1)11nnnnnnnnn 二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法 2、nnaS 求由 （时，时，）naSnaSSnnn12111 3、求差（商）法 如：满足aaaannnn121212251122

11、 解：naa 1122151411时，naaannn 2121212215212211时，12122得：nna ann21 annnn141221()()练习 数列满足，求aSSaaannnnn111534 （注意到代入得：aSSSSnnnnn1114 又，是等比数列，SSSnnn144 naSSnnnn23411时，4、叠乘法 例如：数列中，求aaaannannnn1131 解：aaaaaannaannnn213211122311，又，aann133 5、等差型递推公式 文德教育 6 由，求，用迭加法aaf naaannn 110()naafaafaaf nnn22321321时，两边相加，

12、得：()()()aafff nn123()()()aafff nn023()()()练习 数列，求aaaanannnnn111132 （）ann1231 6、等比型递推公式 acad cdccdnn 1010、为常数，可转化为等比数列，设axc axnn 1 acacxnn 11 令，()cxdxdc11 是首项为，为公比的等比数列adcadccn111 adcadccnn1111 aadccdcnn1111 练习 数列满足，求aaaaannnn11934 （）ann 84311 7、倒数法 例如：，求aaaaannnn11122 由已知得：1221211aaaannnn 11121aann

13、111121aan为等差数列，公差为 11112121annn 文德教育 7 ann21 2数列求和问题的方法（1）、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。135(2n-1)=n2 【例 8】求数列 1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），前 n 项的和。解 本题实际是求各奇数的和，在数列的前 n 项中，共有 1+2+n=)1(21nn个奇数，最后一个奇数为：1+21n(n+1)-1 2=n2+n-1 因此所求数列的前 n 项的和为 （2）、分解转化法 对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求

14、和。【例 9】求和 S=1（n2-1）+2 （n2-22）+3（n2-32）+n（n2-n2）解 S=n2（1+2+3+n）-（13+23+33+n3）（3）、倒序相加法 适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：12363nnnnnSCCnC L 例 10、解 0120363nnnnnnSCCCnC L Sn=3n2n-1（4）、错位相减法 如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和 例 11、求数列 1，3x，5x2,(2n-1)xn-1前 n

15、 项的和 解 设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn-1 文德教育 8 (2)x=0 时，Sn=1(3)当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以 x 得 xSn=x+3x2+5x3+(2n-1)xn，-，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1)xn (5)裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：例 12、求和11111 53 75 9(21)(23)nnL 注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法 1函

16、数思想 运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】等差数列an的首项 a10，前 n 项的和为 Sn，若 Sl=Sk（l k）问 n为何值时 Sn最大？此函数以 n 为自变量的二次函数。a10 Sl=Sk（l k），d0 故此二次函数的图像开口向下 f（l）=f（k）文德教育 9 2方程思想【例 14】设等比数列an前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q。分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解 依题意可知 q1。如果 q=1，则 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出 a1=0 与等比数列不符。q1 整理得 q3（2q6-q3-1）=0 q0 此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），由 S3+S6=2S9可得 2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=0 3换元思想【例 15】已知 a，b，c 是不为 1 的正数，x，y，zR+，且 求证：a，b，c 顺次成等比数列。证明 依题意令 ax=by=cz=k x=1ogak，y=logbk，z=logck b2=ac a，b，c 成等比数列（a，b，c 均不为 0）