2023年数学分析知识点归纳总结全面汇总归纳定积分.pdf

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1、 第一篇 分析基础 1.1 收敛序列（收敛序列的定义）定义：设nx是实数序列，a是实数，如果对任意0都存在自然数N，使得只要Nn，就有 axn 那么nx收敛，且以a为极限，称为序列nx收敛收敛于a，记为 axnlim或者)(naxn 定理 1：如果序列nx有极限，那么它的极限是唯一的。定理 2（夹逼原理）：设nx，ny和nz都是实数序列，满足条件 Nnzyxnnn,如果azxnn limlim，那么ny也是收敛序列，且有 aynlim 定理 3：设nx是实数序列，a是实数，则以下三陈述等价（1）序列nx以a为极限；（2）nxa是无穷小序列；（3）存在无穷小序列na使得,1,2,.nnxaan

2、（收敛序列性质）定理 4：收敛序列nx是有界的。定理 5：（1）设axnlim，则axnlim。（2）设axnlim，bynlim，则bayxnn)lim(。（3）设axnlim，bynlim，则abyxnn)lim(。（4）设0nx，0lim axn，则axn11lim。（5）设0nx，0lim axn，bynlim，则limlimlimnnnnyybxxa。（收敛序列与不等式）定理 6：如果limlimnnxy，那么存在0NN，使得0nN时有 nnxy 定理 7：如果nx和ny都是收敛序列，且满足 0,nnxynN 那么 limlimnnxy 1.2 收敛原理（单调序列定义）定义：（）若实

3、数序列nx满足 1,nnxxnN 则称nx是递增的或者单调上升的，记为.nx（）若实数序列ny满足 1,nnyynN 则称ny是递减的或者单调下降的，记为 ny（）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。定理：递增序列nx收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为supnx。定理 1 推论：递减序列ny收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为infnx。扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理 1 和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为 10,nnxxnN 及 10,nnyynN （自然对数的底e）自然对数的底e通过

4、下面这个式子求得 1lim 1nnen 我们先来证明序列11nnxn 是收敛的。（1）序列11nnxn 是单调上升的。11111211 1(1)(1)(1)2!3!1121(1)(1)(1)!1121(1)(1)(1)!nnxnnnnkknnnnnnnn 1111111211 1(1)(1)(1)12!13!111121(1)(1)(1)!1111121(1)(1)(1)!111112(1)(1)(1)(1)!111nnxnnnnkknnnnnnnnnnnnn 对比nx和1nx的展开式，1nx前面1n项的每一项都比nx中相应项要大，即 11211121(1)(1)(1)(1)(1)(1)!11

5、1!kkknnnknnn 除此之外1nx还比nx在最后多一个正项。因此我们得出nx是单调上升的，即 1,nnxxnN （2）序列11nnxn 是有上界的。2111112111 1(1)(1)(1)(1)2!1111 12221112113111122nnnnnxnnnnnn 序列11nnxn 是单调上升且有上界，因此必是收敛的，此收敛值用e表示。通过计算机模拟，我们可以得到e的近似值，前几位是 2.718281828459045 在数学中，以e为底的对数称为自然对数，e称为自然对数的底，正实数x的自然对数通常记为ln x，log x或者logex。（闭区间套原理）定理 2（闭区间套原理）：如果

6、实数序列na和nb（或闭区间序列,nnab）满足条件（1）11,nnnna bab（或者11,1nnnnaabbn ）（2）lim0nnba 那么（i）闭区间序列,nnab形成一个闭区间套。（ii）实数序列na和nb收敛于相同的极限值c。limlimnnabc（iii）c是满足以下条件的唯一实数值。,nnacbnN 证明：（ii）由条件（1）可得 111nnnnaabbb 我们可以看到na单调上升而有上界，nb单调下降而有下界，因此na和nb都是收敛序列。由条件（2）可得limlimlim0nnnnbaba，因此实数序列na和nb收敛于相同的极限值。limlimnnabc（iii）因为 sup

7、infnncab 所以显然有,nnacbnN 假如还有一个实数c满足,nnacbnN 由于 limlimnnabc 那么根据夹逼准则，有 limlimlimnnccabc 则证明了c是唯一的。（Bolzano-Weierstrass定理）定义：设nx是实数序列，而 1231kknnnnn 是一串严格递增的自然数，则 1231,kknnnnnxxxxx 也形成一个实数序列。我们把序列knx叫做序列nx的子序列（或部分序列），要注意的是子序列knx的序号是 k。定理 3：设序列nx收敛于a，则它的任何子序列knx也都收敛于同一极限a。证明：对于任意0，存在0NN，使得只要0nN，就有 nxa 当0

8、kN时就有0knkN，因而此时有 knxa 定理 4（Bolzano-Weierstrass）：设nx是有界序列，则它具有收敛的子序列。（柯西收敛原理）柯西序列定义：如果序列nx满足条件：对于任意0，存在0NN，使得当0,m nN时，就有 mnxx 则此序列为柯西序列，又称基本序列。引理：柯西序列nx是有界的。证明：对于任意1，存在0NN，使得当0,m nN时，就有 1mnxx 于是对于0nN，我们有 0001111nnNNNxxxxx 若记 00121max,1NNKxxxx 则有,nxKnN 定理 5（收敛原理）：序列nx收敛的必要充分条件是：对任意0，存在0NN，使得当0,m nN时，就

9、有 mnxx 换句话说：序列nx收敛nx序列是柯西序列 1.3 无穷大 定义：（1）设nx是实数序列，如果对任意正实数E，存在自然数N，使得当nN时就有 nxE 那我们就说实数序列nx发散于，记为 limnx （2）设ny是实数序列，如果对任意正实数E，存在自然数N，使得当nN时就有 nyE 那我们就说实数序列ny发散于，记为 limny （3）设nz是实数序列，如果序列nz发散于，即l i mnz，那么我们就称nz为无穷大序列，记为 limnz 注记：（1）若集合ER无上界，则记 sup E （2）若集合FR无下界，则记 sup F 定理 1：单调序列必定有（有穷的或无穷的）极限，具体而言是

10、：（1）递增序列nx有极限，且 limsupnnxx（2）递减序列ny有极限，且 liminfnnyy 定理 2：设nx和ny是实数序列，满足条件,nnxynN 则有：（1）如果limnx ，那么limny ；（2）如果limny ，那么limnx 。定理 3：如果limnx （或，或），那么对于nx的任意子序列knx也有 limknx（或，或）定理 4：设0,nxnN ，则 nx是无穷大序列1nx 是无穷小序列 扩充的实数系：,RR 定理 5：实数序列nx至多只能有一个极限。扩充的实数系R中的运算：（1）如果xR，那么()()xx ()x （2）如果xR，0 x，那么()()xx 如果yR，

11、0y，那么()()yy （3）如果xR，那么 0 xx （4）()()，()()()()，()()()()，()()()()()()（5）除此之外，其余都没有定义。1.4 函数的极限 0 x点的领域：00000(,)(,)|,0U xxxxR xxxR 0 x点的去心领域：000000(,)(,)|0|,0U xxxxxRxxxR 的去心H领域：(,)(,)|,0UHHxR xHHR H 的去心H领域：(,)(,)|,0UHHxR xHHR H 统一叙述：对于aR，我们用()U a表示a的某个去心邻域，当a为有穷实数时，()U a的形式为(,)U a，当a 时，()U a的形式为(,)UH。函

12、数极限的序列式定义：设,a AR（a和A都可以是有穷实数或者），并设函数()f x在a的某个去心邻域()U a上有定义。如果对于任何满足条件nxa的序列()nxU a，相应的函数值序列()f x都以A为极限，那么我们说当xa时，函数()f x的极限为A，记为 lim()xaf xA 简 单 例 子 如：li m s i ns i nxaxa；lim coscosxaxa；lim|xaxa；limxaxa；01limsin0 xxx，因为1|sin|xxx；0lim1sinxxx，因为cos1sinxxx；sinlim0 xxx，因为sin1|xxx。定理 1：函数极限lim()xaf x是唯一

13、的。定理 2（夹逼原理）：设()f x，()g x和()h x在a的某个去心邻域()U a上有定义，并且满足不等式()()(),()f xg xh xxU a 如果 lim()lim()xaxaf xh xA 那么 lim()xag xA 定理 3：关于函数的极限，有以下的运算法则：lim()()lim()lim()xaxaxaf xg xf xg x lim()()lim()lim()xaxaxaf x g xf xg x lim()()lim()lim()xaxaxag xg xf xf x 定理 4（复合函数求极限）：设函数g在b点的某个去心邻域()U b上有定义，lim()ybg yc

14、。又设函数f在a点的某个去心邻域()U a上有定义，f把()U a中的点映射到()U b之中（用记号表示就是：()()f U aU b）并且lim()xaf xb，则有 lim()xag f xc 多项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下：（1）设()P x是任意多项式，aR，则 lim()()xaP xP a（2）设()P x是任意多项式，()Q x是非零多项式aR，()Q a不都是 0，则()()lim()()xaP xP aQ xQ a（3）设10110100(),(),0,0mmmnnnP xa xa xaQ xb xb xbab ，则 00,()lim,()0,xmnaP xmnQ

15、 xbmn 如果如果如果 因为 100100,()limlim,()0,mmm nxxnnmnaaaaP xxxxmnbbQ xbbxxmn 如果如果如果 1.5 单侧极限 定义（序列方式）：设RARa,，并设函数)(xf在),(aa有定义。如果对任意满足条件axn的序列),(aaxn，相应的函数值序列)(nxf都以A为极限，那么我们就说：ax时函数)(xf的极限为A，记为 Axfax)(lim 定义（方式）：设RAa,，并设函数)(xf在),(aa有定义。如果对任意0，存在0，使得只要 axa 就有|)(|Axf 那么我们就说：ax时函数)(xf的极限为A，记为 Axfax)(lim 定义（

16、方式，特殊的ARA,）：设Ra，并设函数)(xf在),(aa有定义。如果对任意0E，存在0，使得只要 axa 就有 Exf)(那么我们就说：ax时函数)(xf的极限为，记为)(limxfax 可用类似的方式来定义 ax的极限。定理 1：设Ra，并设函数)(xf在a点的去心邻域),(aU上有定义。则极限)(limxfax存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等：Axfxfaxax)(lim)(lim 当这条件满足时，我们有 Axfax)(lim 单调函数定义：设函数f在集合RS 上有定义。（1）如果对任意Sxx21,，21xx，都有)()(21xfxf 那么我们就说函数f在集合S上是递增的或

17、者单调上升的。（2）如果对任意Sxx21,，21xx，都有)()(21xfxf 那么我们就说函数f在集合S上是递减的或者单调下降的。（3）单调上升函数与单调下降函数统称为单调函数。1.6 连续与间断 定义 I：设函数)(xf在0 x点的邻域),(0 xU上有定义。如果对任何满足条件0 xxn的序列),(0 xUxn，都有)()(lim00 xfxfnxxn 那么我们就说函数f在0 x点连续，或者说0 x点事函数f的连续点。定义 II：设函数)(xf在0 x点的邻域),(0 xU上有定义。如果对任意0，存在0，使得只要|0 xx，就有|)()(|0 xfxf 那么我们就说函数f在0 x点连续，或

18、者说0 x点事函数f的连续点。定理 1：设函数f在0 x点连续，则存在0，使得函数f在),(0 xU上有界。（证明过程参考函数极限）定理 2：设函数)(xf和)(xg在0 x点连续，则（1）)()(xgxf在0 x点连续；（2）)()(xgxf在0 x点连续；（3）)()(xgxf在使得0)(0 xg的0 x处连续；（4）)(xcg在0 x点连续。定理 3：设函数)(xf在0 x点连续，则函数|)(|xf也在0 x点连续.证明：|)()(|)(|)(|00 xfxfxfxf，余下易证。定理 4：设函数)(xf和)(xg在0 x点连续。如果00()()f xg x，那么存在0，使得对于0(,)x

19、U x有 ()()f xg x 定理 5（复合函数的连续性）：设函数)(xf在0 x点连续，函数()g y在00()yf x点连续，那么复合函数()g f x在0 x点连续.定义单侧连续：设函数)(xf在00(,xx上有定义，如果 00lim()()xxf xf x 那么我们就说函数)(xf在0 x点左侧连续。类似的可以定义右侧连续。引入记号 0000()lim(),()lim()xxxxf xf xf xf x 我们知道极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等（这个相等值为极限值A，不一定是该点的函数值0()f x），可以写成 00()()f xf xA 但是如果在0 x点左连续和右

20、连续，则说明在0 x点两个单侧极限存在并且相等，且这个相等的值一定是该点的函数值0()f x），可以写成 000()()()f xf xf x)(xf在0 x点左连续和右连续是)(xf在0 x点连续的充分必要条件。简单的说就是：00000()()()()()f xxf xxf xxf xxf x在 点连续在 点左连续,右连续在 点连续在 点两个单侧极限存在,且值为 定理 6：设函数)(xf在0(,)U x上有定义，则)(xf在0 x点连续的充分必要条件是 000()()()f xf xf x 反过来说，如果)(xf在0(,)U x上有定义，但)(xf在0 x点不连续，则称0 x为间断点。有情形

21、 I 和情形 II，这两种情形下0 x点分别成为第一类间断点和第二类间断点。情形 I（第一类间断点）：两个单侧极限都存在，但 00()()f xf x 或者 000()()()f xf xf x 情形 II（第二类间断点）：至少一个单侧极限不存在。注意：单侧极限存在并不代表单侧连续，如果)(xf在0 x点单侧极限存在，并且此极限值等于)(xf在0 x点的函数值0()f x，那么就说)(xf在0 x点单侧连续。简单的例子，例如函数 sin,0()0,0 xxf xxx(0)(0)(0)fff，0 为第一类间断点。如果改成 sin,0()1,0 xxf xxx(0)(0)(0)1fff，则 0 是

22、连续点。例如函数 1sin,0()0,0 xf xxx 左右侧不连续，故 0 是第二类间断点。狄里克莱（Dirichlet）函数 1,()0,xD xx如果 是有理数如果 是无理数 任何xR都是函数D的第二类间断点。黎曼（Riemann）函数 1,0()0,qxp q qR xx如果 是既约分数如果 是无理数 所有五里店都是黎曼函数的连续点；所有有利点都是第一类间断点。1.7 闭区间上连续函数的重要性质 函数在闭区间上连续的定义：如果函数f在闭区间,a b上有定义，在每一点(,)xa b连续，在a点右侧连续，在b点左侧连续，那么我们就说函数f在闭区间,a b上连续。引理：设,nxa b，0nx

23、x，则0,xa b。定理 1：设函数f在闭区间,a b上连续。如果()f a与()f b异号，那么必定存在一点(,)ca b，使得()0f c 定理 2（介值定理）：设函数f在闭区间,a b上连续。如果闭区间的两端点的函数值()f a与()f b不相等，那么在这两点之间函数f能够取得介于与之间的任意值。这就是说，如果()()f af b，那么存在(,)ca b，使得()f c 定理 3：设函数f在闭区间,a b上连续，则f在闭区间,a b上有界。定理 4（最大值与最小值定理）：设函数f在闭区间,a b上连续，M，m分别是函数f在闭区间,a b上的最大值与最小值，记 ,sup(),inf()xa

24、 bxa bMf xmf x 则存在,x xa b，使得(),()f xMf xm 一致连续定义：设E是R的一个子集，函数f在E上有定义，如果对任意0，存在0，使得只要 1212,|x xExx 就有 12|()()|f xf x 那么 j 我们就说函数f在E上是一致连续的。定理 5（一致连续性定理）：如果函数f在闭区间,Ia b连续，那么它在I上是一致连续的。1.8 单调函数和反函数 引理：集合JR是一个区间的充分必要条件为：对于任意两个实数,J，介于和之间的任何实数也一定属于J。定理 1：如果函数f在区间I上连续，那么()()|Jf If xxI 也是一个区间。定理 2：如果函数f在区间I

25、上单调。则函数f在区间I上连续的充分必要条件为：()f I也是一个区间。反函数定义：设函数f在区间I上连续，则()Jf I也是一个区间。如果函数f在区间I上严格单调，那么f是从I到()Jf I的一一对应。这时，对任意()yJf I，恰好只有一个xI能使得()f xy。我们定义一个函数g如下：对任意的yJ，函数值()g y规定为由关系()f xy所决定的唯一的xI。这样定义的函数g称为是函数f的反函数，记为 1gf 我们看到，函数f及其反函数1gf满足如下关系：()()g yff xy 定理 3：设函数f在区间I上严格单调并且连续，则它的反函数1gf在区间()Jf I上严格单调并且连续。1.9

26、指数函数，对数函数和初等函数连续性小结 定理 1：设,1aR a，则有（1）limxxa （2）lim0 xxa 定理 2：初等函数在其有定义的范围内是连续的。1.10 无穷小量（无穷大量）的比较，几个重要的极限 无穷小量定义：设函数()x在a点的某个去心邻域()U a上有定义，如果 lim()0 xax 那么我们就说()x是xa时的无穷小量。无穷大量定义：设函数()A x在a点的某个去心邻域()U a上有定义，如果 lim()0 xaA x 那么我们就说()A x是xa时的无穷大量。定义 3：设函数()x和()x在a点的某个去心邻域()U a上有定义，并设在()U a上()0 x。我们分别用

27、记号O，o与表示比值()()xx在a点邻近的几种状况：（1）()()xOx表示()()xx是xa时的有界变量，即()lim()xaxx有界。（2）()()xox表示()()xx是xa时的无穷小量，即()lim0()xaxx。我们可以说()x是比()x更高阶的无穷小（或者更低阶的无穷大）。（3）()()xx表示()lim1()xaxx 注意：O，o与都是相对于一定的极限过程而言的，使用时一定要附加上记号xa 例如：sin()()xo xx sin(0)xxx 特别的：记号()(1)xO 表示()x在a点的某个去心邻域上有界；而记号 ()(1)xo 表示lim()0 xax。定理 1：设函数()x

28、和()x在a点的某个去心邻域()U a上有定义，()0 x。则有()()()()()xxxxox 常见的极限：（1）0sinlim1xxx（2）下面几个等价 1lim(1)xxex 10lim(1)xxxe 0ln(1)lim1xxx 0lim1ln(1)xxx 0log(1)1limlnbxxxb 01lim1xxex 0(1)1limaxxax 定理 3：对于极限过程0 x，我们有（1）sin(),tan()xxo xxxo x （2）221cos1()2xxo x （3）1()xexo x （4）ln(1)()xxo x （5）(1)1()xxo x 上面的内容很有用，因为我们在求乘积或

29、商的极限的时候，可以将任何一个因式用它的等价 因式来替换。定理 4：如果xa时()()xx，那么就有（1）lim()lim()()()xaxax f xf xx（2）()()limli()()m()()xaxaf xf xg xxg xx（2）()()limli()()m()()xaxaf xf xg xgxxx 证明（1）：lim()lim()()()lim()()()()xaxaxaf xf xf xxxxxx 一些简单的例子：（1）00000()()limsin()limlimlim()()sin()limxxxxxoxoxxxoxxxoxoxxxoxxx（2）00tan(tan)tan

30、limlim1xxxxxx（3）122222220000222211(1()1()11(1)122limlimlimlim1111 cos1 cos1(1()()22xxxxxo xxo xxxxxxo xxo x （4）2220002ln(1)ln(1)limlimlim211 cos1 cos2xxxxxxxxx 第二篇 微积分的基本概念及应用 2.1 导数 导数的定义：设函数()f x在0 x点邻近有定义，如果存在有穷极限 000()()lim,xxf xf xxx 那么我们就说函数()f x在0 x点可导，并且把上述极限值称之为函数()f x在0 x点的导数，记为0()fx，这是拉格朗

31、日（Lagrange）记号。我们还习惯用0 xxx 表示自变量x的增量，x可正可负，用符号000()()()yf xf xxf x 表示函数()yf x的相应增量，则导数的定义可以写成 0000000()()()()limlimlimxxxf xxf xf xyfxxxx 用莱布尼兹（Leibnitz）记号表示为 0()df xdx（或dydx）后一记号提示我们导数是差商0()f xx（或yx）的极限，人们把导数也叫微商。通常人们习惯用增量方式来写导数，这样比较方便，如下面的 00()()()()()limlimhxf xhf xf xxf xfxhx 常见函数的导数：（1）常值函数()f x

32、C，()0fx。我们有00()()()limlim0hhf xhf xCCfxhh （2）设mN，函数()mf xx，1()mfxmx。我们有1122110()()mkm kkmmmmmmkm kkkmmmC xhxxhxC xC xhC xhhh 11100()()()()limlimmmmmmhhf xhf xxhxfxC xmxhh （2）设mN，函数()(0)mf xxx，1()mfxmx 。121121()()111111111()()()1111()()()mmmmmmmmf xhf xhhxhxhxhxxhxhxxxh xxhxhxx 因而有 1210021111()()1111

33、()limlim()()()1111mmmhhmmmmf xhf xfxhxh xxhxhxxxxxxmx （4）幂函数()(0,)f xxxR，1()fxx。（5）函数()sinf xx，()cosfxx。2cossinsin()()sin()sin222cos22hhhxf xhf xxhxhxhhhh 0()()()limcoshf xhf xfxxh （6）函数()cosf xx，()sinfxx 2sinsinsin()()cos()cos222sin22hhhxf xhf xxhxhxhhhh 0()()()limsinhf xhf xfxxh （7）函数()xf xe，()xfx

34、e()()1x hxhxf xhf xeeeehhh，已知01lim1hheh，00()()1()limlimhxxhhf xhf xefxeehh （8）函数()xf xa，()lnxfxaa()()1x hxhxf xhf xaaaahhh，已知01limlnhhaah，00()()1()limlimlnhxxhhf xhf xafxaaahh （9）函数()lnf xx，1()fxx ln(1)ln(1)()()ln()ln1hhf xhf xxhxxxhhhhxx 已知0ln(1)lim1hhh,0()()1()limhf xhf xfxhx （10）函数()logaf xx，1()l

35、nfxxa log(1)log(1)ln(1)log()log()()11lnaaaahhhxhxf xhf xxxxhhhhhxxaxx 已知0ln(1)lim1hhh,0()()1()limlnhf xhf xfxhxa 定理 1：设函数f和g在x点可导,cR,则fg和cf在x点可导,并且()()()()f xg xfxgx()()cf xcfx （单侧导数）单侧导数定义：设函数f在(,xx有定义，如果存在左侧极限 0()()limhf xhf xh 那么我们就说函数f在x左侧可导，并且称为左导数，记为 0()()()limhf xhf xfxh 同理可以得到右导数为 0()()()lim

36、hf xhf xfxh 定理 2：设函数f在x点邻近有定义，则f在x点可导的充分必要条件是它在这点的两个单侧导数都存在并且相等，()()fxfx 当这个条件满足时就有()()()fxfxfx 在一个点处可导的条件就是在则个点处从左边趋近和从右边趋近，斜率都是一样的。简单的例子：（1）函数()|f xx在0 x 处不可导，因为()1fx，而()1fx，所以在该点导数不存在。其实也可以这样理解，从左边趋近 0 的时候斜率是-1，从右边趋近 0 的时候斜率是 1，可导的 （可微性，微分）定义：设函数()f x在x点邻近有定义，如果()()()f xhf xAhh 其中A与h无关，那么我们就说函数()

37、f x在x点可微。定理 3：函数()f x在x点可导的充分必要条件是它在这点可微。注记：由于这个定理的缘故，人人们把“可导”和“可微”这两个术语当做同义词来使用。求导数的方法又称之为“微分法”。定理 4：设函数()f x在0 x点可微（可导），那么它在这点连续。当我们用式子定义一个量的时候，采用记号“：=”是很方便的，例如 2():2f xx 表示()f x用式子22x 来定义。记号“：=”读作“定义为”。定义记号：设函数()f x在0 x点可微（可导），我们引入记号:dxx（dx定义为x）0:()()dyfx dxfxx 并把dy叫做函数()yf x在0 x点的微分。微分的意义：（1）从集合

38、角度来看微分()dyfx dx正好是切线函数的增量。（2）从代数的角度来看，微分()dyfx dx是增量00()()yf xxf x 的线性主部，dy与y仅仅相差一个高阶无穷小量()x()ydyx 因而当x充分小的时候，可以用dy作为y的近似值，实际应用中经常这样做。（3）之前我们引入dydx作为导数的记号。有了微分的概念，我们可以把记号dydx解释为dy与dx之商：0()dyfxdx 2.2 求导法则，高阶导数 定理 1：设函数u和v在0 x点可导，则以下各式在0 xx处成立（1）()()()()u xv xu xv x（2）()()()()()()u x v xu x v xu x v x

39、（3）2()()()()()()()u xu x v xu x v xv xv x 证明：（1）记()()()f xu xv x，则有()()()()()()f xhf xu xhu xv xhv x 000()()()()()()()limlimlim()()hhhf xhf xu xhu xv xhv xfxhhhu xv x （2）记()()()f xu x v x，则有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()f xhf xu xh v xhu x v xu xh v xhu x v xhu x v xhu x v xu xhu x v xhu x

40、 v xhv x 000()()()()()()()limlim()lim()()()()()hhhf xhf xu xhu xv xhv xfxv xhu xhhhu x v xu x v x （3）记()()()u xf xv x，则有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()u xhu xf xhf xv xhv xu xh v xu x v xu x v xhu x v xv xh v xu xhu x v xu x v xhv xv xh v xv xh v x 0002()()()()()()()()()limlimli

41、m()()()()()()()()()hhhu xhu xv xhv xv xu xf xhf xhhfxhv xh v xv xh v xu x v xu x v xv x 经常用到的式子如 21()()()v xv xv x 定理 1 等效的：设函数u和v在0 x点可微，则有（1）()()()()d u xv xdu xdv x（2）()()()()()()d u x v xv x du xu x dv x（3）()()()()()()()u xv x du xu x dv xdv xdv x 简单的例子如（1）()sinxf xex，则()(sin)()sin(sin)(sincos)x

42、xxxfxexexexexx（2）()tanf xx 22222sin()(tan)cos(sin)cossin(cos)cossincoscos1()cos2xfxxxxxxxxxxxxkx（3）()xf xe，则 21()xxxxxefxeeee （4）双曲正弦函数2xxeeshx（5）双曲余弦函数2xxeechx，有()chxchx，()()shxsh x ()ch xychx chyshx shy ()sh xyshx chychx shy 221ch xsh x，222ch xch xsh x，22sh xchx shx()chxshx，()shxchx （复合函数的求导和微分表示的

43、不变性）定理 2：设函数()f x在0 x点可导，函数()g y在00()yf x点可导，则复合函数()()()xgf xg f x也在0 x点可导，并且 000()()()xgf xfx 证明：设辅助函数 00000()(),()()()(),()g yg f xyf xyf xygf xyf x如果如果 明显函数()y在00()yf x点连续。又由于 0000000000()()()()()()()()()()()()()xxg f xg f xg f xg f xf xf xxxxxf xf xxxf xf xyxx 对于0()yf x，直接有 0000000000000000()000

44、0()()()()()limlim()()()()()lim()()()()()limlim()()()xxxxxxyf xxxxxf xf xxf xxxxxg yg f xf xf xyf xxxg yg f xf xf xyf xxxgf xfx 对于0()yf x，有 0000000000000()()()()()limlim()()()lim()()()xxxxxxxxf xf xxf xxxxxf xf xgf xxxgf xfx 所以命题得证。复合函数求导法则的另一表示法：将复合函数()ft对t求导得：（()ft，因为是用整个函数()ft对t求导，()ft是用整个函数对()t求导

45、）()()()ftftt 或者()()()()d ftd ftdtdtdtdt 两边乘以dt就得到()()()d ftft dt 不论x是自变量，或者()xt是另一变量t的函数，函数()f x的微分表示式都具有相同的形式()()df xfx dx 这一结论叫做“微分表示的不变性”。链式法则求导：定理 2 中的复合函数求导法则又称链式法则，对于函数()zg y与()yf x的符合，链式法则可以形式地写成 dzdz dydxdy dx 或者书写的格式通常是()()()g f xgf xfx 简单的例子：（1）(sin)cos()cosaxaxaxaax（2）22()(tan)coscosbxbbx

46、bxbx（3）()()cxcxcxeecxce（4）2222(sin)cos()2 cosxxxxx（4）ln|(0)xx，当0 x 时，1(ln|)(ln)xxx。当0 x 时，11(ln|)(ln()()()xxxxx。因此对于0 x 和0 x 着两种情况，我们都得到 1(ln|)xx 1(ln|)xcxc 1(ln|()|)()()xxx（5）lnxaxa，两种方法 方法 1：22112ln(ln|ln|)xaaxaxaxaxaxaxa 方法2：lnxaxaxaxaxaxa ，讨论，如果0 xaxa，则原式222xaxaaxaxaxa。如果0 xaxa，则原式222xaxaaxaxaxa

47、。（6）2sin()()xce 2222sin()sin()2sin()22sin()2()(sin()cos()()2cos()xcxcxcxceexcexcxcxexc （7）112222222222221()()()()2xxaxaxaxaxa（8）2222222222221()1(ln()xxxaxaxxaxxaxxaxa（9）()()v xu x()()ln()()ln()()ln()()ln()()()()1()()()()ln()()()ln()()()()()()ln()()()()(ln()()()()()v xv xu xv xu xv xu xv xu xv xv xv

48、xu xeeev xu xu xev xu xv xu xu xu xv xu xv xu xu xu x v xv x u xu x （反函数的求导法则）从一个简单的例子入手，在OXY坐标系中，函数()yx的图像与其反函数()xy的图像应该是同一条曲线，设在0 x处可导，在00(,)xy作此图像的切线，该切线与OX轴夹角为，与OY轴夹角为，则2，于是有 1tantan 即 001()()yx 定理 3：设函数()yx在包含0 x点的开区间I上严格单调且连续。如果这函数在0 x点可导并且导数0()0 x，那么反函数()xy在0y点可导，并且 00011()()()yxy 证明：在所给的条件下，

49、函数()xy也严格单调并且连续，于是当00,yyyy时，应有00()(),()()yyyy，因而 00000000000()()1111limlimlim()()()()()()yyyyxxyyyyxxyyxyyyxx 上式可以形式地写成 1dxdydydx 简单的例子：（1）()xyxe和()lnxyy互为反函数()xxe，1()yy，也可以由反函数求导法则得到ln111()()yyyey，111()1()()xxxeyxe （2）()arccosyy，211111()()()(arccos)sin(arccos)1yxyyyy 常见函数的导数：()0C，C是常数 1()mmxmx，m是自然

50、数 1()mmxmx ，m是自然数 1()xx，是实数(sin)cosxx(cos)sinxx 21(tan)cosxx，2xk 21(cot)sinxx，xk 21(arcsin)1xx，|1x 21(arccos)1xx，|1x 21(arctan)1xx 21(arccot)1xx ()xxee()lnxxaaa，0,1aa 1(ln|)xx，0 x 1(log|)lnaxxa，0,1,0aax 22221(ln()xxaxa 22221(ln()xxaxa，|xa （参数式函数的求导）例如函数 22yax，axa 可以用参数表示为 cosxat，sinyat，0t 一般来说，设有参数表