2023年抛物线的性质全面汇总归纳及证明.pdf

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1、1 抛物线的常见性质及证明 概念 焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明 过抛物线 y22pxp0焦点 F 的弦两端点为),(11yxA,),(22yxB,倾斜角为,中点为C(x0,y0),分别过 A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为 A、B、C.1.求证：焦半径cos12|1ppxAF；焦半径cos12|2ppxBF;1|AF|1|BF|2p；弦长|AB|x1x2p=2sin2p；特别地，当 x1=x2(=90)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为 2p；AOB的面积SOABsin22p.证明：根据抛物线的定义，|AF|AD

2、|x1p2，|BF|BC|x2p2，|AB|AF|BF|x1x2p 如图 2，过 A、B 引 x 轴的垂线 AA1、BB1，垂足为 A1、B1，那么|RF|AD|FA1|AF|AF|cos，|AF|RF|1cosp1cos 同理，|BF|RF|1cosp1cos|AB|AF|BF|p1cosp1cos2psin2.SOABSOAFSOBF12|OF|y1|12|OF|y1|12p2(|y1|y1|)y1y2p2，则 y1、y2异号，因此，|y1|y1|y1y2|SOABp4|y1y2|p4(y1y2)24y1y2p44m2p24p2p221m2p22sin.C D B(x2，y2)R A(x1

3、，y1)x y O A1 B1 F 图 2 2 2.求证：21 24pxx；21 2y yp；1|AF|1|BF|2p.当 AB x 轴时，有 AFBFp，成立；当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦 AB的方程为：2pyk x.代入抛物线方程：2222pkxpx.化简得：222222014pk xp kxk 方程1之二根为 x1，x2，1224kxx.122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxx xxx 121222121222424xxpxxppppppxxpxx .3.求证：FBABACRt.先证明：AMBRt【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于

4、E，如图 3，则 ADMECM，|AM|EM|，|EC|AD|BE|BC|CE|BC|AD|BF|AF|AB|C D B(x2，y2)R A(x1，y1)x y O F E N M 图 3 xyCCBABOFKA3 ABE 为等腰三角形，又 M 是 AE 的中点，BMAE，即AMBRt【证法二】取 AB的中点 N，连结 MN，则|MN|12(|AD|BC|)12(|AF|BF|)12|AB|，|MN|AN|BN|ABM 为直角三角形，AB为斜边，故AMBRt.【证法三】由已知得 C(p2，y2)、D(p2，y1)，由此得 M(p2，y1y22).kAMy1y1y22x1p2y1y22y212p

5、pp(y1y2)y21p2p(y1p2y1)y21p2py1，同理 kBMpy2 kAMkBMpy1py2p2y1y2p2p21 BMAE，即AMBRt.【证法四】由已知得 C(p2，y2)、D(p2，y1)，由此得 M(p2，y1y22).MA(x1p2，y1y22)，MB(x3p2，y2y12)MA MB(x1p2)(x2p2)(y1y2)(y2y1)4 x1x2p2(x1x2)p24(y1y2)24 p24p2(y212py222p)p24y21y222y1y24 p22y1y22p22p220 MA MB，故AMBRt.【证法五】由下面证得DFC90，连结 FM，则 FMDM.又 AD

6、AF，故ADMAFM，如图 4 12，同理34 C D B R A x y O F 图 4 1 2 3 4 M 4 2312180 90 AMBRt.接着证明：DFC Rt【证法一】如图 5，由于|AD|AF|，ADRF，故可设AFDADFDFR，同理，设BFCBCFCFR，而AFDDFRBFCCFR180 2()180，即90，故DFC90 【证法二】取 CD 的中点 M，即 M(p2，y1y22)由前知 kAMpy1，kCFy2p2p2y2ppy1 kAMkCF，AMCF，同理，BMDF DFCAMB90.【证法三】DF(p，y1)，CF(p，y2)，DF CFp2y1y20 DF CF，

7、故DFC90.【证法四】由于|RF|2p2y1y2|DR|RC|，即|DR|RF|RF|RC|，且DRFFRC90 DRFFRC DFRRCF，而RCFRFC90 DFRRFC90 DFC90 4.CA、CB 是抛物线的切线【证法一】kAMpy1，AM 的直线方程为 yy1py1(xy212p)图 5 C D B(x2，y2)R A(x1，y1)x y O F(p2，0)C D B(x2，y2)R A(x1，y1)x y O F M 图 6 G H D1 N1 N M x y O F 图 7 M1 l C D B(x2，y2)R A(x1，y1)x y O F M 图 8 D1 5 与抛物线方

8、程 y22px 联立消去 x 得 yy1py1(y22py212p)，整理得 y22y1yy210 可见(2y1)24y210，故直线 AM 与抛物线 y22px 相切，同理 BM 也是抛物线的切线，如图 8.【证法二】由抛物线方程 y22px，两边对 x 求导，(y2)x(2px)x，得 2yyx2p，yxpy，故抛物线 y22px 在点 A(x1，y1)处的切线的斜率为 k切yx|yy1py1.又 kAMpy1，k切kAM，即 AM 是抛物线在点 A处的切线，同理 BM 也是抛物线的切线.【证法三】过点 A(x1，y1)的切线方程为 y1yp(xx1)，把 M(p2，y1y22)代入 左边

9、y1y1y22y21y1y222px1p22px1p22，右边p(p2x1)p22px1，左边右边，可见，过点 A的切线经过点 M，即 AM 是抛物线的切线，同理 BM 也是抛物线的切线.5.C A、C B 分别是A AB 和B BA 的平分线.【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于 E，如图 9，则ADMECM，有 ADBC，ABBE，DAMAEBBAM，即 AM 平分DAB，同理 BM 平分CBA.【证法二】由图 9 可知只须证明直线 AB 的倾斜角是直线 AM 的倾斜角的 2 倍即可，即2.且 M(p2，y1y22)C D B(x2，y2)R A(x1，y1)x y O F E N

10、M 图 9 6 tankABy2y1x2x1y2y1 y222py212p 2py1y2.tankAMy1y1y22x1p2y1y22y212ppp(y1y2)y21p2p(y1p2y1)y21p2py1.tan 22tan1tan22py11(py1)22py1y22p22py1y22y1y22py1y2tan 2，即 AM 平分DAB，同理 BM 平分CBA.6.AC、A F、y 轴三线共点，BC、B F、y 轴三线共点【证法一】如图 10，设 AM 与 DF 相交于点 G1，由以上证明知|AD|AF|，AM 平分DAF，故 AG1也是 DF 边上的中线，G1是 DF 的中点.设 AD 与

11、 y 轴交于点 D1，DF 与 y 轴相交于点 G2，易知，|DD1|OF|，DD1OF，故DD1G2FOG2|DG2|FG2|，则 G2也是 DF 的中点.G1与 G2重合设为点 G，则 AM、DF、y 轴三线共点，同理 BM、CF、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为 yy1py1(xy212p)，令 x0 得 AM 与 y 轴交于点 G1(0，y12)，又 DF 的直线方程为 yy1p(xp2)，令 x0 得 DF 与 y 轴交于点 G2(0，y12)AM、DF 与 y 轴的相交同一点 G(0，y12)，则 AM、DF、y 轴三线共点，同理 BM、CF、y 轴也三线共点 H由以

12、上证明还可以得四边形 MHFG 是矩形.C D B(x2，y2)R A(x1，y1)x y O F M 图 10 G H D1 7 7.A、O、B 三点共线，B、O、A 三点共线.【证法一】如图 11，kOAy1x1y1 y212p 2py1，kOCy2 p2 2y2p2py2p22py2y1y22py1 kOAkOC，则 A、O、C 三点共线，同理 D、O、B 三点也共线.【证法二】设 AC 与 x 轴交于点 O，ADRFBC|RO|AD|CO|CA|BF|AB|，|O F|AF|CB|AB|，又|AD|AF|，|BC|BF|，|RO|AF|O F|AF|RO|O F|，则 O 与 O 重合

13、，即 C、O、A三点共线，同理 D、O、B 三点也共线.【证法三】设 AC 与 x 轴交于点 O，RFBC，|O F|CB|AF|AB|，|O F|CB|AF|AB|BF|AF|AF|BF|1 1|AF|1|BF|p2【见证】O 与 O 重合，则即 C、O、A三点共线，同理 D、O、B 三点也共线.【证法四】OC(p2，y2)，OA(x1，y1)，p2y1x1 y2p2y1y212p y2py12y1y2y12ppy12p2y12p0 OC OA，且都以 O 为端点 A、O、C 三点共线，同理 B、O、D 三点共线.【推广】过定点 P(m，0)的直线与抛物线 y22pxp0相交于点 A、B，过

14、 A、B 两点分别作直线 l：xm 的垂线，垂足分别为 M、N，则 A、O、N 三点共线，B、O、M三点也共线，如下列图：C D B(x2，y2)R A(x1，y1)x y O F 图 11 8 O yNMBAPx O yNMBAPx 8.假设|AF|：|BF|m：n，点 A 在第一象限，为直线 AB 的倾斜角.则 cos mnmn；【证明】如图 14，过 A、B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 D，C，过 B 作 BEAD于 E，设|AF|mt，|AF|nt，则|AD|AF|，|BC|BF|，|AE|AD|BC|(mn)t 在 RtABE 中，cosBAE|AE|AB|(mn)t(mn)

15、tmnmn cos cosBAEmnmn.【例 6】设经过抛物线 y22px 的焦点 F 的直线与抛物线相交于两点 A、B，且|AF|：|BF|3：1，则直线 AB 的倾斜角的大小为 .【答案】60 或 120.9.以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，以 BF 为直径的圆与 y 轴相切；以 AB为直径的圆与准线相切;AB为直径的圆与焦点弦 AB 相切.【说明】如图 15，设 E 是 AF 的中点，C D B R A x y O E F 图 14 l xyMAMOFAxyCCBABOFKAxyCCBABOFKA9 则 E 的坐标为(p2x1 2，y12)，则点 E 到 y 轴的距离为 d p2x

16、1 212|AF|故以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，同理以 BF 为直径的圆与 y 轴相切.【说明】如图 15，设 M 是 AB 的中点，作 MN准线 l 于 N，则|MN|12(|AD|BC|)12(|AF|BF|)12|AB|则圆心 M 到 l 的距离|MN|12|AB|，故以 AB为直径的圆与准线相切.10.MN 交抛物线于点 Q，则 Q 是 MN 的中点.【证明】设 A(y212p，y1)，B(y222p，y1)，则 C(p2，y2)，D(p2，y1)，M(p2，y1y22)，N(y21y224p，y1y22)，设 MN 的中点为 Q，则 Q (p2y21y224p 2，y1y22)p2y21y224p 2 2p2y21y22 8p 2y1y2y21y22 8p y1y222 2p 点 Q 在抛物线 y22px 上，即 Q 是 MN 的中点.图 16