数学建模实验作业参考.pdf

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1、数学实验与数学建模实验报告学院：专业班级:指导老师:作 者：学 号：完成时间：2012.11承 诺 书本人承诺所呈交的数学实验与数学建模作业都是本人通过学习自行进行编程独立完成，所有结果都通过上机验证，无转载或抄袭他人，也未经他人转载或抄袭。若承诺不实，本人愿意承担一切责任。承诺人：2012年 11月 2 3 日注：所有结果交电子打印稿，并将电子文档发送到邮箱：xuanyunqin 数学实验学习体会（每个人必须要写1500字以上，占总成绩的20%）实验一 一元函数微分学实 验 1 一元函数的图形（基础实验）实验目的通过图形加深对函数及其性质的认识与理解，掌握运用函数的图形来观察和分析函数的有关

2、特性与变化趋势的方法，建立数形结合的思想；掌握用Matlab作平面曲线图性的方法与技巧.初等函数的图形1.1作出函数y=tan x和y=c o tx的图形观察其周期性和变化趋势.ezplot(tan(x);hold onjgrid on;ezplot(cot(x);grid off;1.2将函数y=sinx,y=x,y=arcsin x的图形作在同一坐标系内，观察直接函数和反函数的图形间的关系.x=-7:0.1:7;yl=sin(x);y2=x;y3=asin(x);plot(x,y I,x,y2,x,y3)1.3给定函数f(x)=-0345+厂+JT+X5+5x+5x2(a)画出/(x)在区

3、间-4,4上的图形；(b)画出区间-4,4上f(x)与sin(x)/(x)的图形.x=-4:0.1:4;y l=(5+x.A2+x.A3+x.A4)./(5+5*x+5*x.A2);y2=y l.*sin(x);plot(x,y 1 ,x,y2)1.4 在区间 T J画出函数)，=sin上的图形.xx=-1:0.01:1 ;y=sin(1 ./x);plot(x,y)1.5 作出以参数方程x=2cosf,y=sinr(O r W 2)所表示的曲线的图形.t=-pi:0.01:pi;x=2*cos(t);y=sin(t);plot(x,y)axis(-2.1 2.1-1.1 1.1)1.6 分

4、别 作 出 星 形 线 x=2cos3r,y=2sin3/(0 r 2TT)和 摆 线 x=2(，-sinr),y=2(l-cosr)(0 rlx=-4:0.1:4;f=(x.A3-9*x)./(x.A3-x);plot(x,f)syms x;f=(xA3-9*x)/(xA3-x);limit(f,x,inf)limit(f,x,l)2.5观察函数f(x)=4-sin x当x t+8时的变化趋势.X己观察2.6设数列+-!p计算这个数列的前30项的近似值.作散点图，观察点的变化趋势.for n=l:30;x=x+l/nA3plot(n,x)hold onend1.1250X=1.1620 x=

5、1.1777x=1.1857x=1.1903x=1.1932x=1.1952x=1.1965x=1.1975x=1.1983x=1.1989x=1.1993x=1.1997x=1.2000 x=1.2002x=1.2004x=1.20061.2007X=1.2009x=1.2010 x=1.2011x=1.2012x=1.2012x=1.2013x=1.2013x=1.2014x=1.2014x=1.20151.201530项的近似值.作散点图，观察点的变化趋势.format longx=l;for n=l:30;x=0.5*(x+3/x)plot(n,x)hold onendx=2x=1.7

6、500 x=1.7321x=1.73211.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.7321x=1.73212.8计算极限2(2)lim 一X-+oo 6人(4)limA-+0(6)lim x2 Inxzo.3x3-2 x2+5(8)hm-x*5x+2x+

7、lxsin+sinx(3)limx 0X Xtan x-s in xx3/.In cot x(5)lim-X-M O In xsin x-xco sx(7)lim -x 0 丫，c m Y仆 .ex-ex-2x/1 A x r/s in-c o$x(9)l i m-：-(1 0)h m -x-o x s i n x x )(1)s y m s x;l i m i t (x*s i n(l/x)+(l/x)*s i n(x),x,0)a n s =1(2)s y m s x;1 i m i t (x 2/e x p (x),x,i n f)a n s =0(3)s y m s x;l i m i

8、 t (t a n(x)-s i n(x)/x 3,x,0)a n s =1/2(4)s y m s x;l i m i t (x x,x,0,r i g h t*)a n s =1(5)s y m s x;1 i m i t (l o g(co t (x)/l o g(x),x,0,r i g h t*)a n s =-l(6)s y m s x;l i m i t (x 2*l o g(x),x,0,r i g h t)a n s =0(7)s y m s x;l i m i t (s i n(x)-x*co s(x)/x-2/s i n(x),x,0)a n s =1/3(8)s y m

9、 s x;1 i m i t (3*x 3-2*x 2+5)/(5*x 3+2*x+l),x,i n f)a n s =3/5(9)s y m s x;1 i m i t(e x p(x)-e x p(-x)-2*x)/(x-s i n(x),x,0)a n s =2(1 0)s y m s x;l i m i t (s i n(x)/x)(l/(l-co s(x),x,0)a n s =e x p(-l/3)=0.7 1 6 5实验3导数(基础实验)实验目的 深入理解导数与微分的概念，导数的几何意义.掌握用M a t l a b求导数与高阶导数的方法.深入理解和掌握求隐函数的导数，以及求由参

10、数方程定义的函数的导数的方法.导数概念与导数的几何意义3.1 作函数/(x)=+3/-1 2 x +7的图形和在x =-1处的切线.s y m s x;d i f f(2*xA3+3*xA2-1 2*x+7)f u n ct i o n y=f l(x)y=6*xA2+6*x-1 2;x=-4:0.1:4;yl=2*x.A3+3*x.A2-12*x+7;y2=-12*(x+1)+20;plot(x,yl,x,y2)3.2 求函数/(x)=sinaxcosbx的阶导数.并求/(匕).syms a b x;diff(sin(a*x)*cos(b*x)function y=fl(x)syms a b

11、 real;y=cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*b;y=fl(l/(a+b)ans=cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*by=cos(a/(a+b)*a*cos(b/(a+b)-sin(a/(a+b)*sin(b/(a+b)*b3.3 求函数y=F 0+2。一 10)9的1阶到11阶导数.syms x;for n=l:l 1;diff(xAl(14-2*(x-9)A9,x,n)endans=10*xA9+18*(x-9)A8ans=90*xA8+144*(x-9)A7ans=720*xA7+1008*(x-9)

12、A6ans=5040*xA6+6048*(x-9)A5ans=30240*xA5+30240*(x-9)A4ans=151200*xA4+120960*(x-9)A3ans=604800*xA3+362880*(x-9)A2ans=1814400*xA2+725760*x-6531840ans=3628800*x+725760ans=3628800ans=03.求隐函数的导数及由参数方程定义的函数的导数3.4 求由方程2/_ 2盯+/+_+2)，+1 =0确定的隐函数的导数.syms x y;f=2*xA2-2*x*y+yA2+x+2*y+1;dx=diff(f,x);dy=diff(f,y)

13、;dy_dx=-dx/dydy_dx=(-4*x+2*y-1 )/(-2*x+2*y+2)3.5 求由参数方程x=/cosf,y=/sinf确定的函数的导数.syms t;x=cxp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);dy_dx=diff(y,t)/diff(x,t)dy_dx=(exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t)/(exp(t)*cos(t)-exp(t)*sin(t)拉格朗日中值定理3.6 对函数f(x)=x(x-l)(x-2),观察罗尔定理的几何意义.(1)画出y=X)与/(x)的图形,并求出司与处(2)画出y=/(x)及其在点(占,/(3)与(x2

14、,/(x2)处的切线.syms x;diff(x*(x-l)*(x-2)solve(,(x-l)*(x-2)+x*(x-2)+x*(x-l),)x=-2:0.1:4;yl=x.*(x-l).*(x-2);y2=(x-l).*(x-2)+x.*(x-2)+x.*(x-l);plot(x,yi,x,y2)x=0:0.1:2;y l=x.*(x-1 ).*(x-2);y2=0.3 849+0*x;y3=-0.3849+0*x;plot(x,yl,x,y2；-,x,y3；-)axis(0 2-0.5 0.5)ans=l+l/3*3A(l/2)l-l/3*3A(l/2)3.7对函数/(x)=ln(l+x

15、)在区间0,4上观察拉格朗日中值定理的几何意义.(I)画出y=/(x)及其左、右端点连线的图形；(2)画出函数y=:(x)-7 -0)的曲线图,并求出g使得4-04-0(3)画出y=/(外,它在J处的切线及它在左、右端点连线的图形.(1)x=0:0.1:4;y l=log(l+x);y2=log(5)/4*x;plot(x,y l,x,y2)axis(-l 5-0.5 2)(2)x=0:0.1:4;y=l./(x+1 )-log(5)/4;plot(x,y)solve(r l/(x+l)-log(5)/4)ans=1.4853(3)x=0:0.1:4;y l=log(l+x);y 2=log(

16、5)/4*x;y3=log(5)/4*(x-1.4853)+0.9104;plot(x,yl,x,y2,x,y3)(1)y=尸；(2)y=lntan(+)J;(1)syms x;diff(exp(x+1)A(1/3)ans=l/3/(x+l)A(2/3)*exp(x+l)A(l/3)(2)syms x;diff(log(tan(x/2+p i/4)ans=(1/2+l/2*tan(l/2*x+l/4*pi)A2)/tan(l/2*x+l/4*pi)3.9 求下列函数的微分：_i_ _(1)y=2 cosx;(2)y=ln(x+y/x2+a2).(1)syms x;d iff(2(l/cos(x

17、)ans=-2(-l/cos(x)/cos(x)2*sin(x)*log(2)(2)syms x;syms a real;diff(log(x+(x2+a2)-0.5)ans=(l+l/(x-2+a-2)(l/2)*x)/(x+(x-2+a2)-(1/2)3.1 0 求下列函数的、二阶导数：(1)y=ln/(A);(2)y=f(ex)+ef M.ans=l/f(x)*f(x)-l/(f(x)2*f”(x)3.1 1 求下列函数的高阶导数:f =c o s jy=s in(1)y=xsinhx,求y0);(2)y=x?cosx,求y(；(1)syms x;diff(x*sinh(x),100)a

18、ns=100*cosh(x)+x*sinh(x)(2)syms x;diff(xA2*cos(x),10)ans=90*cos(x)-20*x*sin(x)-xA2*cos(x)3.1 8 求由下列方程所确定的隐函数-=y(x)的导数：In x+e*=e;(2)arctan =In Jx2+y2.x(1)syms x y;f=log(x)+exp(-y/x)-exp(1);fx=diff(f,x)；fy=diff(f,y);dy_dx=-fx/fyans=-(-l/x-y/xA2*exp(-y/x)*x/exp(-y/x)(2)syms x y;f=atan(y/x)-log(xA2+yA2)

19、A0.5);fx=diff(f,x);fy=diff(f,y);dy_dx=-fx/fy;simplify(dy_dx)ans=(y+x)/(x-y)3.1 9 求由卜列参数方程确定的函数的导数：6/1 +/3-(1)syms t;x=diff(cos(t)A3,t)；y=diff(sin(t)A3,t);dy_dx=y/xans=sin(t)/cos(t)(2)syms t;x=diff(6*t/(l+tA3),t);y=diff(6*tA2/(l+tA3),t);dy_dx=y/x;simplify(dy_dx)ans=t*(-2+tA3)/(-l+2*tA3)实验4导数的应用（基础实验）

20、实验目的理解并掌握用函数的导数确定函数的单调区间、凹凸区间和函数的极值的方法.理解曲线的曲率圆和曲率的概念.进一步熟悉和掌握用Matlab作平面图形的方法和技巧.掌握用Madab求方程的根（包括近似根）和求函数极值（包括近似极值）的方法.求函数的单调区间4.1 求函数y=/-2x+1的单调区间.s y m s x;d i f f(xA3-2*x+l)a n s =3*xA2-2s o l v e(3*xA2-2)a n s =1/3*6 人(1/2)-1/3*6八(1 x=-l:0.1:1;y l=3*x.A2-2;y 2=0*x;p l o t(x,y l,x,y 2,-)求函数的极值4.2

21、求函数y =亏 的 极值.+xs y m s x;d i f f(x/(l+xA2)s o l v e(l/(l+xA2)-2*xA2/(l+xA2)A2)a n s =l/(l+xA2)-2*xA2/(l+xA2)A2a n s =1-1求函数的凹凸区间和拐点4.3 求函数y=的凹凸区间和拐点.1 +2小syms x;diff(l/(l+2*xA2),2)solve(32/(l+2*xA2)A3*xA2-4/(1 +2*xA2)A2)x=-l:0.1:1;yl=32./(l+2*x.A2).A3.*x.A2-4./(l+2*x.A2).A2;y2=0*x;plot(x,yl,x,y2,)an

22、s=32/(l+2*xA2)A3*xA2-4/(l+2*xA2)A2ans=l/6*6A(l/2)-1/6*6八(1/2)4.4 已知函数i 2s/(x)=-x6-2x5-X4+60X3-150X2-1 80X-25,2 2在区间-6,6上画出函数/(X)/(K)J(X)的图形，并找出所有的驻点和拐点.x=-6:0.1:6;yl=0.5*x.A6-2*x.A5-12.5*x.A4+60*x.A3-150*x.A2-180*x-25;y2=3*x.A5-10*x.A4-50*x.A3+180*x.A2-300*x-180;y3=15*x.A4-40*x.A3-150*x.A2+360*x-300

23、;plot(x,yl,x,y2,x,y3)syms x;diff(0.5*xA6-2*xA5-12.5*xA4+60*xA3-150*xA2-180*x-25)diff(3*xA5-10*xA4-50*xA3+180*xA2-300*x-180)solve(3*xA5-l 0*xA4-50*xA3+180*xA2-300*x-l 80)solveC 15*xA4-40*xA3-l 50*xA2+360*x-300)-4.4431-0.4590 5.12973.9812-3.2539求极值的近似值4.5求函数y=2sin2(2x)+-|xcos2-1的位于区间(0,4)内的极值的近似值.即得到函

24、数-)，的两个极小值和极小值点.再转化成函数y的极大值和极大值点.两种方法的结果是完全相同的.function y=f(x)y=2*sin(2*x)*sin(2*x)+5/2*x*cos(x/2)*cos(x/2);ezplot(y,0,pi);grid;x=fminbnd(fl(x),0.5,2.5)fl(x)x=fminbnd(-f 1 (x),O,pi)fl(x)x=fminbnd(-fl(x)1.5,pi)fl(x)极小值点 x=1.6239 ans=1.9446极大值点乂=0.8642 ans=3.7323项目二一元函数积分学与空间图形的画法实 验 1 一元函数积分学（基础实验）实验

25、目的 掌握用Matlab计算不定积分与定积分的方法.通过作图和观察，深入理解定积分的概念和思想方法.初步了解定积分的近似计算方法.理解变上限积分的概念.提高应用定积分解决各种问题的能力.用定义计算定积分当f(x)在 上 连 续 时,有Cb,.h-a (b-a)b-a (b-a)f(x)dx=lim-/a+k-=lim-/a+k-J。M I J T8 旬 n因此可将心 叫 与 力心”M I n)M I b作为f /(x)d x的近似值.J a1.1 计 算 胆dx的近似值.J o Xf u n=i n l i n e(,s i n(x)./x,x,);y=q u a d(f u n,0,1)y

26、=0.9 4 6 1b _1.2 用定义求定积分I x2d x 的动画演示.J am=m o v i e i n(1 0)f o r a=l:1 0f o r n=2 0:3 0 x=l i n s p a ce(0,4,n+1);y=x.A2;f o r i=l:nf i l l(x(i),x(i+l),X(i+l),x(i),0,0,y(i),y(i),bt)h o l d o ne n dp l o t(x,y)m(:,a)=g e t f r a m e;e n dm o v i e(m,l,l)e n d不定积分计算13求 卜2(一 /)5以s y m s x;i n t(xA2*(

27、l-xA3)A5)a n s =-l/1 8*xA1 8+l/3*xAl 5-5/6*xA 1 2+1 0/9*xA9-5/6*xA6+l/3*xA31.4 求 空 心s y m s x;i n t(s i n(x)*x)a n s =s i n(x)-x*co s(x)定积分计算1.5 求(x -x2)dx.J os y m s x;i n t(x-xA2,0 J)a n s =1/61 .6 求|x-2 dx.Jos y m s x ;i n t(a bs(x-2),0,4)a n s =4变上限积分1.7 画出变上限函数/s i n,2力及其导函数的图形.J os y m s t;i n

28、 t(t*(s i n(t)A2,O,x)x=-2*p i:0.1:2*p i;y l=x.*(s i n(x).A2;y 2=-l/2*x.*co s(x).*s i n(x)+l/4*x.A2+l/4*s i n(x).A2;p l o t(x,y l,x,y 2)求平面图形的面积1.8 设/5)=0-(*卬 和8 0)=4(；0 5。-2).计算区间0,4 上两曲线所围成的平面的面积.f u n=i n l i n e(a b s(e x p(-(x-2).A2).*c os(p i*x)-4*c os(x-2)V x,);y=q u a d(f u n,0,4)y =6.4 7 7 4

29、求平面曲线的弧长1.9/*)=s i n(x +x s i n x),计算(0 J(0)与(2乃,7(2乃)两点间曲线的弧长.f u n=i n l i n e(,(l+(c os (x+s i n(x).*(l+c os(x).2).0.5,x);y=q u a d(f u n,0,2*p i)y =7.90 62求旋转体的体积1.1 0求曲线g(x)=x s i n?x(0 W)与x轴所围成的图形分别绕x轴和)，轴旋转所成的旋转体体积.f u n二i n l i n e。p i*(x.*(s i n(x).2).2,x);y=q u a d(f u n,0,p i)f u n 二 i n

30、l i n e。2*p i*x.2.*(s i n(x).2)f/x);y=q u a d(f u n,0,p i)y9.8629y27.5349实验2空间图形的画法（基础实验）实 验 目 的 掌握用Matlab绘制空间曲面和曲线的方法.熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征，通过作图和观察，提高空间想像能力.深入理解二次曲面方程及其图形.一般二元函数作图2.1作出函数z=r r的图形.l+x2+y2x,y=meshgrid(-10:0.1:10);z=4./(1 +x.A2+y.A2);mesh(x,y,z)2.2 作出函数2=-冷-人尸的图形.x,y=meshgrid(-10:0.1:10)

31、;z=-x.*y.*exp(-x.A2-y.A2);mesh(x,y,z)二次曲面r2 v2,22.3 作出椭球面L +二+=1的图形.4 9 1（这是多值函数，用参数方程作图的命令ParametricPkl3D.该曲面的参数方程为x=2sinu cosv,y=3sin wsin v,z=cosw,(0 w ,0 v 2).)u=0:0.1 :pi;v=0:0.1:2*pi;u,v=meshgrid(u,v);x=2*sin(u).*cos(v);y=3*sin(u).*sin(v);z=cos(u);mcsh(x,y,z)卜出单叶双曲面0+1-=1的图形.(曲面的参数方程为x=secw si

32、n v,y=2 sec w cos v,=3 tan M,(-TT/2 u TT/2,0 v In.)u=-pi/2:0.1:pi/2;v=0:0.l:2*pi;u,v=meshgrid(u,v);x=cos(v)./cos(u);y=2*sin(v)./cos(u);z=3*tan(u);mesh(x,y,z)2 2 22.5作双叶双曲面 J+j -二=7的图形.1.52 1.42 1.32(曲面的参数方程是x=1.5cotw cos v,y=1.4 cot u sin v,z=1.3 esc u,其中参数0 U -7 T V 7 r时对应双叶双曲面的一叶，参数一工4 U 0-7T V7T时

33、2 2对应双叶双曲面的另叶.)u=-pi/2:0.1 :pi/2;v=-pi:0.1 :pi;u,v=meshgrid(u,v);x=1.5*cot(u).*cos(v);y=l.4*cot(u).*sin(v);z=l.3*csc(u);mesh(x,y,z)2.6 作出圆环x=(8+3cosv)cosw,y=(8+3cosv)sinw,z=7sin v,(0 w 3/2,/2 v 2)的图形.u=0:0.1:2*pi;v=pi/2:0.1:2*pi;u,v=meshgrid(u,v);x=(8+3*cos(v).*cos(u);y=(8+3*cos(v).*sin(u);z=7*sin(v

34、);mesh(iy,z)2.7 画出参数曲面x=coswsin vy=sin wsin v w 0,44,v e 0.001,2z=cos v+ln(tan v/2+M/5)的图形.u=0:0.1:4*pi;v=0.001:0.1:2;u,v=meshgrid(u,v);x=cos(u).*sin(v);y=sin(u).*sin(v);z=cos(v)+log(tan(v/2)+u/5);surf(x,y,z)曲面相交2.8 作出球面x2+y2+z2=22和柱面(x-+y2=1相交的图形.u=0:0.1:2*pi;v=0:0.1 :pi;u,v=meshgrid(u,v);x=2*cos(v

35、).*sin(u);y=2*sin(v).*sin(u);z=2*cos(u);surf(x,y,z)hold ont=0:0.1:2*pi;c=0:0.1:2;t,c=meshgrid(t,c);a=1 +cos(t);b=sin(t);surf(a,b,c)2.9 作出锥面f +y2=.和柱面(1)2 +产=1相交的图形.u=0:0.1:2*pi;v=0:0.1:2;u,v=meshgrid(u,v);x=cos(u).*v;y=sin(u).*v;z=v;surf(x,y,z)hold ont=0:0.1:2.1*pi;c=0:0.1:2;t,c =m e s h g r i d(t,c

36、);a=l+c os(t);b=s i n(t);s u r f(a,b,c)2.10画出以平面曲线)，=8 5工为准线，母线平行于Z轴的柱面的图形.(写出这一曲面的参数方程为x=t y =c os f,f w 一 肛；r ,s w Rz=s取参数s的范围为 0,8.)t=-pi:0.1 :pi;s=0:0.1:8;t,s=meshgrid(t,s);x=t;y=cos(t);z=s;surf(x,y,z)空间曲线x =s i n t2.U绘 制 参 数 曲 线y =2co s/的图形.z =2t=-4*p i：0.1:4*p i;x=s i n(t);y=2*c os(t);z=t/2;p

37、l ot 3(x,y,z,r,)g r i d ont=-2*pi:0.1:2*pi;x=(cos(t).A2;y=17(1+2*t);z=atan(t);plot3(x,y,z)动画制作2.13用动画演示由曲线y =s i n z,z 6 (),如绕Z轴旋转产生旋转曲面的过程.(该曲线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为x 2 +y 2 =s i n2 Z,其参数方程为x=s i n 4 c os M,y =s i n z s i n,z =z,(z e 0,乃 小 0,2幻)m=m ov i e i n(1 0);f or i=l:1 0u=0:0.1 :p i/5*(i+0.2);v=0:0.

38、1 :p i;u,v =m e s h g r i d(u,v);x=s i n(v).*c os(u);y=s i n(v).*s i n(u);z=v;m c s h(x,y,z)m(:,i)=g e t f r a m e;endmovie(m,l);项目三多元函数微积分实 验 1多元函数微分学(基础实验)实验目的 掌握利用Matlab计算多元函数偏导数和全微分的方法，掌握计算二元函数极值和条件极值的方法.理解和掌握曲面的切平面的作法.通过作图和观察，理 解：元函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.求多元函数的偏导数与全微分1-1 设 z=sin(盯)+cos2(xy),求 R,三；

39、.ox oy dx oxoysyms x y;z=sin(x*y)+cos(x*y)A2;zx=diff(z,x)zy=diff(z,y)zzxx=diff(z,x,2)zzxy=diff(zx,y)zx=cos(x*y)*y-2*cos(x*y)*sin(x*y)*yzy=cos(x*y)*x-2*cos(x*y)*sin(x*y)*xzzxx=-sin(x*y)*yA2+2*sin(x*y)A2*yA2-2*cos(x*y)A2*yA2zzxy=-sin(x*y)*x*y+cos(x*y)+2*sin(x*y)A2*x*y-2*cos(x*y)A2*x*y-2*cos(x*y)*sin(x

40、*y)1uu十 du du dv dv1.2 攻 x=e+usin v,y=e 一 cosv,求 一,.dx Oy dx dysyms x y u v;fl=exp(u)+u*sin(v)-x;f2=exp(u)-u*cos(v)-y;flu=diff(fl,u);flv=diff(fl,v);fx=diff(fl,x);f2u=diff(f2,u);f2v=diff(f2,v);fy=diff(f2,y)；ux=-fx/fluuy=-fy/f2uvx=-fx/fl Vvy=-fy/f2vux=l/(exp(u)+sin(v)uy=l/(exp(u)-cos(v)vx=l/u/cos(v)vy

41、=l/u/sin(v)微分学的几何应用1.3 求出曲面Z=2x?+y2在点(1,1)处的切平面、法线方程，并画出图形.x,y=meshgrid(-5:0.1:5);z=2.*x.A2+y.A2;mesh(x,y,z)hold onx,y=meshgrid(-10:0.1:10);z=4*x+2*y-3;plot3(x,y,z)hold online(41,-39,21,-19,-7,13)axis(-20 20-20 20-40 40)1.4 求曲面=在点(L L M 处的切平面方程，并把曲面和它的切平面作x2+y2+【4 2 21J在同一图形里.syms x y k;df_dx=diff(4

42、/(xA2+yA2+l),x)df_dy=diff(4/(xA2+yA2+1 ),y)a=linspace(-10,l0J00);b=a;a,b=meshgrid(a,b);c=4./(a.A2+b.A2+l);d=-8/(l/4)A2+(l/2)A2+1)八 2*(1/4);e=-8/(l/4)A2+(l/2)A2+l)A2*(l/2);f=d.*(a-l/4)+e.*(b-l/2)+64/21;mesh(a,b,c);hold on;mcsh(a,b,f);axisQ-10,10,-10,10,-2,5);多元函数的极值1.5 求 f(x,y)=x3-y3+3x2+3y 2 _ 9x 的极

43、值.syms x y;f=xA3-yA3+3*xA2+3*yA2-9*x;fx=diff(f,x)fy=diff(f,y)fxx=diff(fx,x)fxy=diff(fx,y)fyy=diff(fy,y)(-3,2)(1,0)1.6求 函 数Z=i+y 2在条件公+丫2+了 +丫_ =0下的极值.syms x y m;z=xA2+yA2;df_dy=diff(z,y);df_dx=diff(z,x)；q=xA2+yA2+x+y-1;dq_dx=difl(q,x);dq_dy=diff(q,y);x 5y,m=solve(d f_dx+m*dq_d x,df_dy+m*dq_dy,q)/-l+

44、l/3*3A(l/2)-1-1/3*3A(1/2)y=-l/2+l/2*3A(l/2)-l/2-l/2*3A(l/2)m=-l/2+l/2*3A(l/2)-l/2-l/2*3A(l/2)实验2多元函数积分学(基础实验)实验目的掌握用Matlab计算二重积分与三重积分的方法；深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法.提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力.计算重积分2.1 计 算J N%以 其中。为由x +y =2,x =J7，y =2所围成的有界区域.Ds y m s x y;i n t(i n t(x*yA2,x,2-y,yA0.5),y,l,2)a n s =1 93/1 2

45、02.2 计算|J(x2+y2+z)dxdydz,其中 Q 由曲面 z =y/2-x2-y2 与 z =x2+y2 围成.ns y m s t r z;i n t(i n t(i n t(rA2+z)*r,z,r,(2-rA2)A0.5),r,0,l),t,0,2*p i)a n s =2.1 2 1 1重积分的应用2.3 求由曲面f(x,y)=1 -x-y与g(x,y)=2-x2-y2所围成的空间区域C 的体积.s y m s t r;i n t(i n t(3/2-rA 2)*r,r,0,(3/2)A0.5),t ,0,2*p i)a n s =3.5 3 4 32.4 在Oxz平面内有

46、个半径为2的圆，它 与z轴在原点O相切，求它绕z轴旋转周所得旋转体体积.s y m s x;i n t(4*p i*x *(4-(x-2)A2)A0.5 ,x ,0,4)a n s =1 5 7.91 3 7计算曲线积分2.5 求 f(x,y,z)ds,其中 f(x,y,z)=V l +3 0 x2+10y,积分路径为L:x=/,y =/2,z =3/2,0 y 2.(注意到，弧长微元ds=,将曲线积分化为定积分)s y m s t;x=t;y=tA2;z=3*tA2;f=d i f f(x,y,z ,t);f u n=i n l i n e(l+3 0：5 it.A2).A0.5+1 0*t

47、.A2).*(l+4 0：i st.A2).A0.5,；t,)；q u a d(f u n,0,2)a n s =3 4 8.94 2 82.6 求k.d r ,其中F=xy6i +3x(xy5+2)j,r=2c os/+s i n r/,0 t 2 7 r.s y m s t;x=c os(t);y 二 s i n gi n t(x*yA6*(-2*s i n(t)+3*x*(x*yA5+2)*c os(t),t,0,2*p i)a n s =6*p i计算曲面积分2.7 计 算 曲 面 积 分+yz+zx)dS,其中 为锥面z=yjx2+y2被柱面x2+y2=2 x所截得的有限部分.(注意

48、到，面积微元dS=J +W +zjdxdy,投影曲线x2+产=2%的极坐标方程为r=2c o s/,-r ,2 2将曲而积分化作二重积分，并采用极坐标计算重积分.)s y m s t r;x=r*c o s(t);y=r*s i n(t);z=r;i n t(i n t(x*y+y*z+x*z)*r*2A0.5,r,0,2*c o s(t),t,-p i/2,p i/2)a n s=6.0 3 4 02.8 计算曲面积分+d y d z +y3dzdx+z3dxdy,其中E为球面x2+y2+x2=a2的外侧.ss y m s t s r;s y m s a r e a l;i n t (i n

49、 t (i n t (3*r 4*s i n (s),r,0,a),s,0,p i),t,0,2*p i)a n s =1 2/5*a 5*p i实验3最小二乘拟合(基础实验)实验目的 了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理.学会观察给定数表的散点图，选择恰当的曲线拟合该数表.最小二乘拟合原理给定平面上的一组点(xk,yk),k=l,2,-,n,寻求一条曲线y =f(x),使它较好的近似这组数据，这就是曲线拟合.最小二乘法是进行曲线拟合的常用方法.最小二乘拟合的原理是，求“X),使6=：”产达到最小.拟合时，选取适当的拟合函数形式f M =GW。(x)+CM(x)+c,n(p,(x),其中死 必

50、,外.)称为拟合函数的基底函数.为使b 取到极小值，将 f M的表达式代入，对变量q 求函数5 的偏导数，令其等于零，就得到由根+1个方程组成的方程组，从中可解出C,(/=0,2,m).曲线拟合3.1 为 研 究 某 一 化 学反应过程中温度工(七)对产品得率)，()的影响，测得数据如下：x 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190y 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89试求其拟合曲线.x=100,110,120,130,140,150,160,170,180,190;y=45,51,54,61,66,70,74,78,85,89;a