2016年山东卷高考理科数学真题及答案.pdf

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1、绝密启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学理本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用

2、涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件4B 互 斥,那么夕（力+而二 产（4+P；如果事件A,3独立，那么P（岫:P（A）P.第I卷(共5 0分)一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共5 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)若复数Z满足2 z +W =3-2i,其中i 为虚数单位，则萨(A)l+2i(B)12i(C)-i+2 i (D)-i-2 i【答案】B【解析】试题分析：z=a +bi,贝|2z+z=3 a+b i=3-2 i,故。=1朽=-2,贝 ijz=

3、l-2 i,选 B.考点：注意共辗复数的概念.(2)设集合4=3=2 XG R,B=XX2-0,B=x|-l x l,贝！JAUB=(T,+8),选 C.考点：本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算.(3)某高校调查了 200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 1 7.5,3 0 ,样本数据分组为 1 7.5,2 0),2 0,2 2.5),2 2.5,2 5),2 5,2 7.5),2 7.5,3 0 .根据直方图,这 200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(A)56(B)60(C)120(D)140【答案】D【解析】

4、试题分析：自习时间不少于2 2.5小时为后三组，其频率和为(0.1 6 +0.0 8+0.0 4)x 2.5 =0.7,故人数为2 0 0 x 0.7 =1 4 0 A,选 D.考点：频率分布直方图|x+y?2,(4)若变量X,满足卜-3 y?9,则 的 最 大 值 是拣0,(A)4(B)9(C)10(D)12【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以40,-3)I(0,2),C(3,-l)为顶点的三角形区域+y2表示 点（x j）到原点距离的平方，最大值必在顶点处取到，经验证最大值为|。=10,故选C.考点：线性规划求最值（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该

5、几何体的体积为(A)-+-jt(B)，+也”3 3(c)r f(D)1+”6【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知:上面是半径为弓的半球,体积为匕=x（）=等，下面是底面积为L高 为 1 的四棱锥:体积匕=1x1=L故 选 c.3 3考点：根据三视图求几何体的体积.(6)已知直线，分别在两个不同的平面a,/?内.则“直线a 和直线b相交”是“平面和平面p相交”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：直线a与直线b相交，则a,夕一定相交，若a*相交，则a,b可能相交，也可能平行，故选A.考点：直线与平面的位置关系；充分、必要

6、条件的判断.(7)函数/(X)=(Vssinx+cosx)(V3cosx-sin x)的最小正周期是(A)-(B)7t(C)2 2(D)2 n【答案】B【解析】试题分析：/(x)=2sinx+?)x2cosx+.=2sin2x+?),故最小正周期丁 =也=%，故选B.2考点：三角函数化简，周期公式(8)已知非零向量/,满足 4|=3|,cos=；.若 (丽+)，则实数，的值为(A)4(B)-4(C)24(D)-24【答案】B【解析】试题分析：由 同=3忖，可设|司=3上卜卜4左(左 0),y,n(tm+n),所以n-(tm+n)=n-/i +n-7 i =f|?n|-|c o s +|n|=f

7、 x 3 A;x 4 k x；+(4 k)2 =4 tk2+1 6 A:2=0所以f =Y ,故 选B.考点：平面向量的数量积(9)已知函数外)的定义域为R.当xvO时，x)=/_ i ；当 一1。时，/(-x)=-/(x);当时,/(%+；)=/(x-；)则/(6尸(A)-2(B)-1(C)0(D)2【答案】D【解析】试题分析：当时，/。+；)=/口彳),所以当x ；时，函数/(X)是周期为1的周期函数，所以6)=/，又函数/是奇函数，所以/(1)=-/(-1)=-(-1)3-1 =2,故选 D.考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性(10)若函数产次r)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两

8、点处的切线互相垂直，则 称 具 有 T 性质.下列函数中具有T 性质的是(A)j=sinx(B)j=lnx(C)y=ex(D)y=x3【答案】A【解析】试题分析：当y=sinx时，=cosx,cosO-cos乃=一1,所以在函数y=sinx图象存在两点 使条件成立，故A正确；函数y=inx=V的导数值均非负，不符合题意，故 选A.考点：函数求导，注意本题实质上是检验函数图像上是否存在两点的导数值乘积等于-L第n 卷(共 io。分)二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25分.(1 1)执行右边的程序框图，若输入的。步的值分别为0 和 9,则输出的i 的值为.【答案】3【解析】试题分析

9、：第一次循环：a =l,b =8;第二次循环：a =3,b =6;第三次循环：a =6,b =3；满足条件，结束循环，此时，i =3.考点：循环结构的程序框图（12）若（/+上）5的展开式中*5的系数是一8 0,则实数【答案】-2【解析】试题分析：因为乙=。；3 2产（；厂=05才 吟，所以由i o-=5 n r =2,vx2因此2 =-80=a=-2.考点：二项式定理2 2(13)已知双曲线E：鼻-4 =1 (0,60),若矩形/5CZ)的a b四个顶点在石上，AB,C O 的中点为5 的两个焦点，且 2|4B|=3|5C|,则 E 的 离 心 率 是.【答案】2【解析】试题分析:假设点/在

10、第一象限，点3在第二象限，则A(C,H),B(c-)，所以|AB|=,|BC|=2c,a a a由21ABi=3|BC|,c=a+b，得离心率e=2或e=-g (舍去)，所以E的离心率为2.考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.(14)在卜川上随机地取一个数k,则 事 件“直 线y=kx与圆(X-5)、9=9相交”发 生 的 概 率 为:【答案】|4【解析】试题分析：直线 =履与圆(x-5)、丁=9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径，即0 1 =粤3,解得一黄k m,得关于X 的方程f(x)=b有三个不同的根，则 用 的 取 值 范 围 是.【答案】(3,4

11、-0 )【解析】试题分析：由题意画出函数图像如下图所示，要满足存在实数心使得关于X 的方程f(X)=/有二个不同的根，贝!4 m-m 2 3,故2 的取值范围是(3,+8).考点：分段函数，函数图像，能够准确画出函数的图像是解决本题的关键.三、解答题：本答题共6 小题，共 7 5 分.(1 6)(本小题满分1 2 分)在 4 B C 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tan A tan B-1-cos B cos A(I)证明：a+b=2c;(II)求 c osC 的最小值.【答案】(I)见解析；(II)：2【解析】试题分析：(I)根据两角和的正弦公式、

12、正切公式、正弦定理即可证明;(I I)根据余弦定理公式表示出c o s C,由基本不等式求c o s C的最小值.试题解析：由题意知J立 +=snH+.如5cosA c o s B j c o s 4 c o s 5 c o s-4 c o s J?化简得 2(s i n Z c o s 3+s i n 3c o s 4)=s i n 4 +s i n 8即 2 s i n (Z+3)=s i n Z +s i n 8因为 A+B-C=7T,所以 4口(4+耳)=s i n(;r C)=s i n C.从而 s i n Z +s i n 5=2 s i n C.由正弦定理得a+b=2 c.)由

13、知，=字所以c o s C =a2+-c22ab当且仅当。=。时，等号成立.故 cosC的最小值为L2考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.(17)(本小题满分12分)在如图所示的圆台中，Z C 是下底面圆。的直径，E厂是上底面圆0,的直径，网 是圆台的一条母线.(I)已知G/T分别为E C,尸 5 的中点，求证：G 平面力5 G(II)已知E F=F 5=g/C=2 百，Z 8=5 C.求二面角3 C-A 的余弦值.【答案】(I)见解析；(II)【解析】试题分析：(I )根据线线、面面平行可得与直线G H与平面N5 C平行；(H)解法一建立空间直角坐标系求解；(2

14、)找到N F N M为二面角尸一3 C-Z的平面角直接求解.试题解析：(1)证明：设R C的中点为L连 接 仪,印，在C E F,因为G是C E的中点，所 以 仪 E E又 E F/OB,所以 G/OB,在 C F S中，因为“是 用 的 中 点，所 以 也 3 C,又H I c G I=/：所以平面G H I/平面4 B C,因 为 的 u平面G H 7,所 以 的 平 面J 5 c(II)解法一：连接。0，则0。平面A B C,又A B =8 C,且AC是圆。的直径，所以B 0 J_4 C.以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,由题意得B Q,2 5 0),以-2祗0=0

15、),过点F作 门垂 直0 5于点M ,所以 F M =F B2-B M1=3,可得尸(0,小,3)故 前=(-2 抬,-2卢 0),河=(0,3).设 加=(x j,z)是平面B C F的一个法向量.,m-B C =。由 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _m-B F =Q可 得/黄 一 2 a=0.V3 y 4-3 z =0可得平面BCF的一个法向量=(一1,1岑)，因为平面A B C的一个法向量7 =(0,0,1),1匚【、-机 近月 匕 人 c os=一 一 =|加|加 7所以二面角BC-A的余弦值为?.解法二：连 接。，过点尸作FM_L05于点则有 FM/。：又0 0，_L平面JBC

16、,所以EW1平面A3C可得 F M =ylFB1-B M2=3,过点M作 卬 垂 豆5 c于点N,连 接 网，可得 EV_L5C：从而NEMW为二面角下一 B C-d的平面角.又3=5仁4 7是圆。的直径，所以MV=夕”sin 45=包，从 而 网=史，可得cosN EW=左.2 7所以二面角F-B C-A的余弦值为斗.考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（18）（本小题满分12分）已知数列 的前n项和S=3/+8，是等差数列，且4=bn+bn+l.（I）求数列也 的通项公式；（II）令 =等岩;.求数列匕 的前n项和T .【答案】（I）a=3 +1;（I

17、I）7 3 2巴【解析】试题分析：（I）根据4=S”-Si及等差数列的通项公式求解；（II）根 据（I ）知数列 c,的通项公式,再用错位相减法求其前n项和.试题解析：（I）由 题 意 知 当 时，4=S n-S z=6 +5,当蔺=1时,0 1=S =11 所以 4=6 +5.设数列 的公差为人。1 =瓦 +%11=2 bl+d由(%=与+与，即 1 0 =2 4 +3 d可解得a=4d=3,所以 6“=3 +L(I I)由(I)知您+6严+*(3 +3)”又 T”=c、+C 2+C 3+,+，“，#7；,=3X2 X 22+3 X 23+4 X 24+-+(/J+1)X2,+1,2 7；,

18、=3X2X23+3 X 24+4X 25+-+(/?+1)X2),+2,两式作差，得-7；=3x2x22+23+24+-+2B+1-(n+l)x2n+2=3X4+4(1-(Z?+1)X2,+2=-3n-2n+2所以 7；=3 2+2考点：数列前项和与第项的关系；等差数列定义与通项公式;错位相减法(19)(本小题满分12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是之，乙每轮猜对4的概率是泰 每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各

19、轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(I)“星队”至少猜对3个成语的概率；(n)“星队”两轮得分之和为乃的分布列和数学期望EX.【答案】(I )|(II)分布列见解析，EX=3 6【解析】试题分析：(I)找 出“星队”至少猜对3个成语所包含的基本事件，由独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；(口)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得到X的分布列，根据期望公式求解.试题解析：(I)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B:“乙第一轮猜对”，记事件C:“甲第二轮猜对，记事件D:“乙第二轮猜对”，记事件E:“，星队 至少猜对3个成语”.由

20、 题 意,E-AB CD 4-AB CD+ABCD-I-AB CD+ACD.由事件的独立性与互斥性，P(E)=P ABCD)+PABCD+P.(BCD)+P(.45CZ)+P(45CD)=P(J)P(JB)P(C)P(Z)+P(2)P(5)P(C)P(D)+P(J)P(5)P(C)P(Z)+P(4 P(B)p(c)P(Z)+P(4 P(3)尸(C)P(03 2 3 2 /12323 1=x x x+2 x x x x+x 4 3 4 3(4 3 4 3 4 32-3所 以“星队”至少猜对3个成语的概率为.3(II)由题意，随机变量才的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得

21、尸（x=3）=M 2xL，+kk2x2 14 3 4 3 4 3 4 3 12p（X =4）=2 x3 2 3 1 3 2 1 2X X X-+X X X-4 3 4 3 4 3 4 36 0 514 4 12P（X =6）=X X X 3 2 3 24 3 4 324可得随机变量乃的分布列为X012346P114 45722 514 41n512 _4所以数学期望出+】x*2 X含+3*+4x力6 x；.考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望(20)(本小题满分1 3分)已知 f(x)=a(x-lnx)+La w R x(I)讨论/(x)的单调性；(II)当a =

22、l时，证明/(x)尸(x)+g对于任意的x e l,2 成立.【答案】(I)见解析；(I I)见解析【解析】试题分析：(I)求，(力的导函数，对a进行分类讨论，求/(X)的单调性；3 4(H)要证+对于任意的xc L2 成立，即证(x)根据单调性求解.试题解析：(I)/(x)的定义域为(0,y)；,a 2 2(ax2-2 X x 1)当 a 0,/(x)单 调 递 增;x e (1,+8)时,/(x)0,/(x)单 调 递 减 当 心0时，/(x)=返 口 +p)(x一.X V a V a(1)0。1,当 X C(0,1)或 X G(j 1,+8)时，/(X)0,/(X)单调递增；当X G(L

23、)时，/(x)0,/(x)单调递增(3)。2时，0 0,。a)单调递增3当 时，/(X)0,/(X)单调递减.综上所述,当三()时，函数/(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减；当0 a 2,/(%)在(0,口内单调递增，在(1)内单调递减，在(1,+8)内V c i V。单调递增.(I I)由(I)知，4 =1 时，/-八龙)c+黎-(，m)3 1 2=x-l n x H-F y p-l,xe 1,2 ,3 1 2令g(力=x-l n K/xe 1,2 x x x则/(X)-/(x)=g(x)+K力 )由g(X)=3 20可得g(x)g(l)=1当且仅当X =1时取得等号.X

24、，又力(x)=3f 2 x+6设 双x)=-3 x?-2 x+6 ,贝U谈)在x w 口2 单调递减,因为 a i)=L9K2)=-io,所以在 L2 上存在项,使得x e (Lx 0)时，o,x e (毛,2)时，所x),3所 以/(力-/(x)g(l)+A(2)=-,即/(x)/(x)+-对于任意的x e Q 2 恒成立。考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想.(21)(本小题满分14分)平面直角坐标系心中，椭圆G捺+/1(心心0)的离心率是冬抛 物 线 会=2)的焦点尸是C的一个顶点.(I)求椭圆C的方程；(II)设尸是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点尸处的切线/与 C 交

25、与不同的两点力，B,线段4 5 的中点为。，直 线 O D 与过P且垂直于x 轴的直线交于点M.(i)求证：点 M 在定直线上；(ii)直线/与沙轴交于点G,记 尸 尸 G 的面积为5，的面积为邑，求今的最大值及取得最大值时点尸的坐标.$2【答案】(I)/+4/=1；(II)(i)见解析；(ii)上的最大值为/此时点尸的坐标为(号【解析】试题分析：（I）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（I I Xi）由点P的坐标和斜率设出直线1的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；5 分别列出隹 尾 面 积的表达式，根据二次函数求最值和此时点p的坐标.试题解析：0）,由/=2）1可得y=x ,所以直线/的

26、斜率为m,22因此直线I的方程为y-=m（x-ni）,即p=?n x-.1m设 甬,弘）,3（巧 仍）,双%0 jo），联立方程,E 2x+4/=1得（4 m?+l）x2 4?3X4-?w4 1 =0 ,由A 0,得0 加42+非且 毛+f=y 4m+1因此项将其代入=m x-m2/日 m1才 付 米=一 又 病 而 因 为 电=,所以直线00方程为y=XQ 4m 4m联立方程，、=一 薪”，得 点 的 纵 坐 标 为？*=-：,4x=m即点”在定直线y =一:上.(ii)由(i)知 直 线/方 程 为 卜=皿 一 工，令x=。得 尸-,所 以0(0多，又 尸(加 亨，网0$必2?w3-m24疗+1 2(4 加2+1)，所以5 =g|G可m +1),S2=P M-m-x()m(2m+1)28(4/+1)9所以上$22(4/疗+1)(/”2+1)(2-2 +1)2令2 八1,则包=生半里2=二+1 +2,S2 r t t当LL即.2时，区取得最大值2,此时一也，满足 （）,t 2 S2 4 2所以点p的坐标为疼,3,因此”的最大值为3此时点p的坐标2 4 S2 4为 除,2 4考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.