直线、平面平行与垂直的判定与性质（解析版）.pdf

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1、【2022版】典型高考数学试题解读与变式考点3 1直线、平面平行与垂直的判定与性质【考纲要求】1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.4.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.5.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.6.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理.7.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题.【命题规律】直线与平面平行

2、的判定以及平面与平面平行的判定是高考热点.预测2018年的高考以棱柱、棱锥为载体考查空间中的平行关系.线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质是高考热点，备考时应掌握线面、面面垂直的判定与性质定理，了解线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化思想，逐步学会综合运用数学知识分析解决问题的能力.【典型高考试题变式】(-)空间点、直线、平面之间的位置关系例 1.(2019年高考全国in文理8)如图，点 N 为正方形A 8C D 的中心，A E C D 为正三角形，平面ECO_L平面A 8 8,是 线 段 的 中 点，则()A.B M =E N,且 直 线 是 相 交 直 线 B.B M W E N ,且直线B

3、例,E N 是相交直线C.B M =E N,且 直 线 是 异 面 直 线 D.B M 片E N ,且直线是异面直线【答案】B【精准讲析】连接3。和3 ,因瓦和O B相交，故确定平面BDE,N 为 B D中点M为。E中点，敏，EN共面相交，选项C,D为错.作EO L C D于。，连 接ON,过M作M E_LQD于尸.连 B F ,.平 面CDE_L平 面A B C D.石0_1。,：0（=平面0 5七，0_1平面4 8 0）,ME_L平面ABCE,:.M F B与A E O N均 为 直 角 三 角 形.设 正 方 形 边 长 为2,易知EO=6ON=,E N =2,MF=,BF=22+2=3

4、,.BM=E +=B2V 4 2 V4 4：.B M#E N ,故选 B.【试题分析】本题为立体几何中等问题，考查垂直关系，线面、线线位置关系，可用垂直关系，勾股定理，或者建立空间直角坐标系合理解决.【方法技巧归纳】点、线、面位置关系常借助直线、平面的平行与垂直的判定定理与性质定理进行推理判断，并且要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【变 式1】【改编例题中问法，考查对课本中公理的掌握情况】在下列命题中，不是合军 的 是（）A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一

5、个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】A选项是证明平面平行的一个定理，而B,C,O是课本上的公理，体现了高考不脱离课本.【变式2】【改编例题的条件和问法】已知 是异面直线，/，平面a,“，平面P ,直线/满足_L，且则（）A.a!p,且/aB.a _ L/7,且/J齐C.a与夕相交，且交线垂直于/D.a与夕相交，且交线平行于/【答案】D【解析】若a/4，则加/，与 八 是异面直线矛盾；过点O,分别作&/m，且r/In,则&,r确 定 一 平 面y,则/_!_ /,设a与/?相交于，则Z/p,且r/

6、p,因 此p_L y,从 而/p,选D.【变式3】【改编例题的条件和问法】在下列命题中，属于真命题的是（）A.直线机都平行于平面a,则m/B.设a-/-/?是直二面角，若 直 线 则 根/尸C.若直线相，“在平面a内的射影依次是一个点和一条直线，（且加_L），则在a内或与a平行D.设小，是异面直线，若，与平面a平行，则与a相交【答案】C【解析】直线机都平行于平面a,则 也 可平行，可异面，可相交；设夕是直二面角，若直线m _ L a,则加/夕或加u/7 ；直线机在平面a内的射影是一个点，所以m _ L a,又 加_1_，所以在a内或与a平行；是异面直线，若根与平面a平行，则与a相交或 u a

7、,因此选C.（二）截面问题例2.【2020年高考上海卷15】在棱长为10的正方体ABC。一4 g G A中，P为左侧面A。2 A上一点，已知点P到4 A的距离为3,P到A 4的距离为2,则过点P且与AC平行的直线相交的面是（）A.A B C D B.B B g C C.C C Q Q D.A A B【答案】A【解析】如图由条件可知直线A P交线段A。于点，连接M C,过点P作A|C的平行线，必 与 相 交，那么也与平面A8C。相交.故选A【专家解读】本题的特点是注重空间点、线、面位置关系的考查，本题考查了点面距，考查线面平行，考查直观想象、逻辑推理、数学建模等学科素养.解题关键是应用图形判断位

8、置关系.【变 式1】【改编例题的条件，正方体中动态截面问题】如图，正方体ABC。-4旦的棱长为1,P为8 C的中点，。为线段C G上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则 下 列 命 题 正 确 的 是 （写出所有正确命题的编号）.当0 C Q g时，S为四边形当CQ=g时，S为等腰梯形3 1当=1时，S与G O的交点A满足=3当一 C Q 1时，S为六边形4当CQ=1时，S的面积为逅2【答案】【解析】（1）CQ=,，S等腰梯形，正确，图如下:(2)C Q =1,S是菱形，面积 为&.走=逅，正确，图如下:2 23(4)-C Q ,如图是五边形，不正确;4（5）o c e

9、1,如下图，是四边形，故正确【变式2】【改编例题的条件，截面面积的求解】如图所示，在正方体中，点G在棱4V上，A G =；A 4 1,E,尸分别是棱C Q|,用G的中点，过E,G三点的截面a将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面a截得的上、下两部分面积之比为（）【答案】C【解析】不妨设正方体的棱长为1,四个侧面面积之和为4,分别延长4与，口 交于M，1 1 2连接GM交8用 于N,连接FN,易知M 4=M A，则4N =G A=g，则正方体的四个侧面被截面 a 截得的上两部分面积为2（SMNB+S耕弧8的）=2乂 lxl x-+i x|-+-l x l =1,即正方体的四个侧面被截面a截

10、得的上、下两部分面积之比为工；故选C.3（三）平行关系例3.2018高考全国III文19（节选）如图，矩形A8CO所在平面与半圆弧CO所在平面垂直，是CO上异于C,。的点.（2）在线段AM上是否存在点P,使得MC 平面P B D?说明理由.【解析】试题分析：（2）判断出P为AM中点，证明MC。匕 然后进行证明即可.试题解析：（1）由题设知，平面C 0D，平面A5CD,交线为CD.，8,BC u平面，次？，平面CM。，故因为“为。方上异于C,。的点，且O C为直径，又BCn CM=C,D M，平面B M C.而。M u平面A M D.故平面A M D_L平面B M C.（2）当P为AA/的中点时

11、，MC 平面PBO.证明如下：连结AC交3 0于O.ABC。为矩形，：.。为A C中点.连结OP,为 AM 中点，M COP.MC0).（I ）是否存在实数2使得也N/平面ABC?若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由；【解析】（1）运用线面平行的判定定理进行分析推证；（2）建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式的运算及空间向量的数量积公式进行求解：解：（1）当4 即M 为 4尸中点时MV/平面ABC，2取 8中点P,连PM,PNAC u平面A B CAM=MF=MP/1 AC nMP/平面 A B CCP=PD 丁.MP NP/BC=N P/平面 ABCD E!IBCN P B D =

12、O.（1）设 平 面 A B P c 平 面 O CP=/,证明：IA B ；（2）若 E 是 B 4 的中点，求三棱锥尸-B C E 的体积V$_BCE.【解析】试题分析：（I）已知条件易证5/平面尸D C,又平面A 5 P c 平面。CP=/,旦 A B u 平面A B P,所以/A B.（II）利用等体积转化法_8CE=%.PCE可求.试题解析：（1）因为A B/O C，A B 2 平 面 B D C,O C u 平 面 PO C,所以A B/平面尸D C.又平面A B P c 平 面。CP=/,且 A B u 平 面 4 小，所以/A B .（2）因为底面是菱形，所 以 或 _ L A

13、 C.因 为 P B =P D ,且。是 5 D 中点，所以3。，。0.又。0 门4。=0,所以6。_ 1面尸/1。.所以3。是三棱锥3 2。的 高.因为A。为边长为2 的等边A M D 的中线，所以4 0 =百.因为P O 为等腰 8 0 的高线,PB=3,Q8=1 所以尸0 =2夜.在 A P 3 中，PA=V11,A 0 =6 P 0 =2叵,所以4。2+尸。2 =刈 2,所以P O L A。.所以尸。=2萌，因为E 是线 段 Q4 的中点，所 以 S cE=g bP A C=所 以V pr-oBCCMF =勿n-/PC MCF 3-S AAPi CvfFi ,B O -3.【变式3】【

14、改编例题的问法，证明面面平行】如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,PA 1平面ABCD,E、F分别为AD、PA的中点，点Q是BC上一个动点.(1)当Q是BC中点时，求证：平面BEF II平面PDQ；BQ(2)当BD1FQ时,求一的值.QC【解析】试题分析：(1)推导HIBEII平面PDQ,EFII平面P D Q,即可证明平面BEF II平面PDQ(2)PA L平面ABCDU 得PA 1 B D,又BD 1 F Q,可得BD1 平面P A Q,由 AQB与 DBA相似，得出BQ,Q C,即得解.试题解析：(1)YE,Q分别是矩形ABCD的对边AD,BC的中点，A ED=BQ,ED II

15、B Q,，四边形BEDQ是平行四边形，BE II DQ.又BEC平面PDQ,DQU 平面PDQ,BE II 平面P D Q,又F是PA中 点,/.EF II PD,.,EFC平面PDQ,PD U平面P D Q,，EF|平面PDQ,VBE n EF=E,BE、EFU平面B E F,，平面BEF II 平面PDQ.(2)连接AQ,；PA1 平面ABCD,BD u 平面A B C D,二PA _LBD.V BD 1 FQ,PAfl FQ=F,PA、FQu 平面PAQ,；.B D 1 平面PAQ,；AQU 平面P A Q,，A Q 1 B D,在矩形ABCD中，由AQ 1 BD得 AQB与 DBA相似

16、，2AB=AD x BQ1 3 BQ 1又AB=1,AD=2,BQ=-,QC=-,=-2 2 QC 3（四）垂直关系例4.（2019年高考北京文18）（节选）如图，在四棱锥P ABC。中，/%_!_ 平面ABC。，底部ABC。为菱形，E为。的中点.p（I）求证：8。_L平面PAC；（II）若NABC=6 0 ,求证：平面上48_L平面Q4E；【分析】（I）由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；（II）由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；（山）由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.【解析】（I）证明：24_L平

17、面ABCO，QALBD；.底面 ABC。是菱形，AC_LQ；.B4nAC=A,申,4。（=平 面 抬。，3。，平面PAC.（II）证明：.底面ABCD是菱形且NABC=6 0 ,.口）为正三角形，V A B IIC D,.AELAS；：必_L平面 ABC。，A Eu平面 ABC。，弘；24045=A,平面Q4B，A E u平面Q4，平面A46_L平面BAE.【变 式1】【改编例题的问法，证明线线垂直】在四棱锥P-4BC D中，B 4,平面A B C D,E 是 PO的 中 点，Z A B C Z A C D =90,ZBAC=NG4D=60,AC=AP=2.（1）求证：P C _L A E；【

18、解析】试题分析：（1）取PC的中点/，连接ERA/，则ERIICD,先根据线面垂直的性质证明CDLPC；进而可 得 所_L PC,再由线面判定定理即可证明PC!平面A E F,从而可得尸CJ_AE；试题解析：（1）取PC的 中 点 连 接E f A R,则EF1ICD.因为4C=AP=2,所以 PCLAF.因为R4_L平面ABC。，C）u平面ABCD，所以A4_LC）又AC_LCD所以CD_L平面P4C因为P C u平面P A C,所以CDJ_PC：又EQICO,所以M L P C；又因为PCJ_A/，A F c E F =F ,所以P C,平面AE/7因为A E u平面A E E,所以PC_

19、LAE.【变式2】【改编例题的问法，证明面面垂直】如下图所示的几何体中，ABC-A4G为 三 棱 柱，且A4,，平面A B C,四 边 形ABC。为 平 行 四 边 形，A D 2 C D ,Z A D C =600.(2)若 A41=AC,求证：AC,平面；(3)若8=2,二面角A GO C的余弦值为若手，求三棱锥G 4C D的体积.【解析】试题分析：(1)连8 G交3 c于M点，”为B G的中点，N为BO的中点，即M N为A6G。的中位线，即可依据线面平行的判定定理证得(2)根据线面垂直的判定定理要证一条直线不两条相交直线垂直，可得AGAC，结合余弦定理得AD-=A C2+C D2,C D

20、 V A C.(3)先做出二面角的平面角，解得长度，再根据等体积法求得结果.解析：(1)连8 c l交4 c于M点，连 B D 交 A C 于 N 点、,则M N u平面A笈C.由平几知：M为SC；的中点，N 为 B D 的中点,即M N为ABG。的 中 位 线.：.M N/CtD .又 CQ/平面AgC.(2)v A4,1 平面 ABC。，A C u 平面 A6CZ),，AC,AAt V C D.又=A C,知A41c le为正方形,，AC1，4。.在 MC 中由余弦定理知：AC=g C D 得 A D2=A C2+C D2,C D 1 A C.又 AC c A41=A,:.CD 平面4 A

21、CC1.又 ACt =C,A G，平面AgCZ).(3)作 C4_LG。交 G。丁“，连 A G,由(2)知：A C,平面 CCQ.AC J,G。,二 CQ J,平面A CH,NAC 为 二面角 A G。-弼 平 面 角.cosZAHC=,tanZAHC=2=；由 CZ)=2知：AC=2出 得 CH=65 CH在 C C D中由平儿知：C G=2百，于是得A 4C C为正方形.由 知：=%-ACG=；x(g x 2 6 x 2 61x2=4.【方法技巧】1.三种垂直关系的证明(1)判定线线垂直的方法定义：两条直线所成的角为90。；平面几何中证明线线垂直的方法；线面垂直的性质：a Ya,buan

22、a_L6；线面垂直的性质：J_a,b/7a=aA.b.(2)判定线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理；利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；利用面面垂直的性质.(3)判定面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：“ua,a_L/?=a_L夕.2.线面垂直、面面垂直的常见性质(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(3)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.3.三种垂直关系的转化判定I1线线垂直 七区 线面垂直 面面垂直,性质 性质 性质

23、在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【平行与垂直的综合应用问题处理的两个策略】(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系.【典例试题演练】一、单选题1.(2 0 2 2.广东顺德一模)如 图，正方体A B C。-4SGA的棱长为1,线

24、段 上 有 两个动点E,F,且EF=也,则三棱锥A-8 E 尸的体积为()2A.1 B.7 C.正 D.不确定12 4 12【答案】A【分析】根据题意可知8a 平面A B C。，而 E,尸在线段4。上运动，则功/平面A B C D,从而得出点B到直线4A的距离不变，求出ABE尸的面积，再根据线面垂直的判定定理可证出A O,平面跳F,得出点A 到平面班F 的距离为AO=变，最后利用棱锥的体2积公式求出三棱锥A-B E F的体积.【解析】由题可知，正方体4 B 8-A 8 C A 的棱长为1，则B Q/平面ABC。，又 E,F 在线段用已上运动，E F/平面 A8C）,点 B到直线片。的距离不变，

25、由正方体的性质可知BB,平面4 4 C Q ,则叫 1EF,而 政=立，B耳=1,2故ABEF的面积为L x也 小 也，2 2 4乂由正方体可知，AC1BD,AC d.BB,且 BDc B B 1=B,.AC_L平面3 8 Q Q,则 ACL平面3EF,设 AC与 8。交于点。，则AOJ_平面5EF,点A 到平面B E F的距离为4 0 =,2lz1 a&1 xT=-.2.（2022广西南宁模拟预测（文）如图，在正方体4B C O-A 4 C Q 中，点 M 在线段BG（不包含端点）上运动，则下列判断中正确的是（）A /平面4 C R；异面直线A M 与4 R 所 成 角 的 取 值 范 围

26、是；AC，平面AffiQ恒成立；三棱锥。A MC的体积不是定值.A.B.C.D.【答案】B【分析】根据给定条件证得平面ABG/平面ACR可判断；由阴 阳 及正VA8G可判断：取特殊位置说明AC与反M 不垂直判断；利用等体积法转化可判断即可作答.【解析】在正方体A 8 8-A B G。中，连接AB，A C，如图,因对角面A 8 C Q 是矩形，则而平面4 C 9,A R u 平面A C D,于是得 8cl平面A C d,同理，4 8 平面ACA,而 A B cB G=B,A B,B G u平面A B C.因此，平面/平面AC。，又A M u 平面 A B G，故有AM 平面A C%,正确；因4

27、0/B G，即异面直线A例 与 A 0 所成角即为A M 与B G 所成角，而VABG是正三角形，点 M 在线段BG（不包含端点）上运动时，A M 与8 a 所成角范围 为 停 9，正确；当“为8 a 的中点时，直线耳M 过点C,Z4CB,=6 0，即此时AC与 男 不 垂直，ACJ_平:面 不 恒 成立，错误；因 8G 平面4 C G,则匕iM c=%-A 8,=%会，即三棱锥-A M C 的体积是定值，错误.故选B.3.（2022 广西南宁模拟预测（文）已知两条不同的直线a,人和两个不重合的平面区夕,下列条件中能推出结论人a 的 是（）A.a/b 且a u aC.a/且 bu/7【答案】C

28、B.且a u aD.a l ia旦a il b【分析】根据线面平行的判定定理、性质定理和面面平行的性质，逐项判定，即可求解.【解析】由题意，两条不同的直线。，6和两个不重合的平面。,夕，对于A中，若。且“u a,可得6/a或匕u a,.,.不正确；对于B中，由_1_日，可得：J,力，又由a u a,可能 u a,二不正确；对于C中，由a尸且b u 4,根据面面平行的性质，可得H/a.正确；对于D中，由。a且a/6,可得人/a或6 u c,.,.不正确.故选C.4.（2022.湖南湘潭.一模）如图，在直四棱柱A 8 8-A 4 C Q中，下列结论正确的是B.4A 平面 BB.RC.BCUBDD.

29、A,C,B、,2四点共面【答案】B【分析】根据异面直线的判定定理，直线与平面平行的判定定理，四点共面的判定，结合四棱柱的性质逐一判定即可.【解析】B R u面ABR,A C c面ABR=A,AiBDt,二AC与 是 异 面 直 线，A错；AHBBX,面 BBQ,BBu 面 B B R,二 面网。，B 正确；BQ u 而 BBR,BCD 面BBQ=A，BQ 与 BR 是异面直线，C 错；如图所示，A,C,。三点在面AC。上，瓦。与面ACR相交，,A,C,四，。|四点不共面，D错.故选B.5.（2022安徽省怀宁中学高三月考（文）己知机，是两条不同的直线，是三个不同的平面，则（)A.若 m/,a

30、Cy=m,0 c y =n,则a/6 B.若 zn/a,/,，/!，则 a J 尸C.若加 J_a,nJ_p,a_L/?,则加 _L D.若 a l 1(3,/y,mua,nuy,则机【答案】C【分析】对于A、B、D：在正方体ABCD-A4GA中，取特殊平面和直线否定结论.对于C：分加u 或 加夕两种情况进行讨论，利用线面垂直的性质进行证明.【解析】对于A：在正方体ABCD-ABC Q中，取平面4DRA为a,平面A A G R为7,平面A。8 G为尸，记直线A A为?，为n.符合/n/,aC 7=?，/c 7 =，但是平面以 夕 即平面AD0A与平面AOgG相交，交线为A D-故A错误；对于B

31、：在正方体ABCD-A耳G R中，取平面ABC。为a,平面AQBG为夕，记直线A A为 ，A G为，,符合?/,/尸,，”,，但是平面a、尸不垂 直.故B错误：对于 C：V mJ L a,a )3,:.m u 0 或m i 10 .当机u/?时，.*M/?,/.m l n.当加户时，按照线面平行的性质定理，过直线m作平面/使 得？(?夕=/,则加/.nL P,又 ：m ill,mVn.综上所述：m l-n.故C正确.对于D：:a U/3平I忆 灼于a 在正方悻ABCD-AB、C、D中,取平面ABC。为a,平面AB。为/,记直线A R为，AB为，小.符合。夕，夕7，zuc,U 7,但是直线八为异

32、面直线.故D错误；故选C.6.（2022.山西省长治市第二中学校高三 月 考（文）已知直线加，平面a,直线u平面夕，则“a夕”是“m_L”的（）A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合空间线面位置关系，根据充分必要条件的定义判断.【解析】直线2,平面a，若夕/尸，则，夕，n p,：.m n,充分性满足，反之，如图正方体ABCO-ABCR中，底面A3CO是平面a,C是直线，平面是平面尸，CG是直线机，但平面a与平面尸不平行，必要性不满足，因此是充分不必要条件.故 选A.7.（2022山西省长治市第二中学校高三月考（理）如图，三棱柱ABC-

33、ABIG 的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB=2,M=h则点A到平面ABC的距离为（)A,C,A.在 B.也 C.D.G4 2 4【答案】B【分析】设A到平面A B C的距离为d,根据匕,-c=匕 一ABC 即可求解.【解析】由题意，三棱柱4B C-A B|G的底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB=2,M =1.在直角中，A8=2,A A=1,可得人3=石，在直角A41c 中，A C =2,AAl=,可得 4 C =x/,在等腰中，可得5 =3乂2、2=2,设A到平面A B C的距离为d ,可得匕_.c=J*S，ABC xd =$2 d言又 由 匕“B C=1*3X22X1=虫，且匕,

34、一.叱=匕-人尾，即”=走，解得“=立，即点A-ABC 3 4 3 3 3 2A到平面A B C的距离为 且.故选B.28.（2022.全国福三月考（理）如图，在四棱锥P-A B C D中，底面A8CD为直角梯形,/胡）=90。，A D =2BC,PA_L底面A8C）,M为9的中点，则直线P C与 平 面 的位置关系是（）pA.直线PC 在 平 面 内B.直线PC 与 平 面 平 行C.直线PC 与平面M8D相交，但不垂直D.直线PC 与平面M3。垂直【答案】C【分析】先证明直线PC 不与平面MBD平行，而是相交.故选项AB错误；再证明直线 PC 与平面M8Q相交，但不垂直，故选项C 正确，选

35、项D 错误.【解析】如图，连接AC,设4C,8。相交于点N,V A D =2BC,ADI IBC,：.A N =2NC,假设直线P C与 平 面 平 行，平面 M B D Pl 平面 PAC=M N ,PC u 平面 PAC,：.PC/MN,：P M =MA,：.A N =N C,与 AV=2NC 矛盾，二直线PC 不与平面MB平行，而是相交.故选项AB错误；假设直线PC 与平面MB。垂直，.PC_L MW,如图，取 A C中点0,连接M O,则 PC MO,Z 0 M N =90,：N M A N =90，,M4N 内角和大于 180.直线PC 与平面MBD相交，但不垂直，故选项C 正确，选

36、项D 错 误.故 选 C.9.（2022山东省青岛第十七中学高三期中）如图，在斜三棱柱A8CA由C i中，Z84c=90。，且B C U A C,过C i作底面4 B C,垂足为H,则 点 在（）A.直线A C上 B.直线A 3上C.直线B C上 D.ABC内部【答案】B【分析】由题意可得AC_L面A B G,再由面面垂直的判定有面48。_1面48。，最后根据面面垂直的性质即可知”点所在的位置.【解析】连接4 G,如图.V ZBAC=90,：.ACAB,V fi C i l A C,BCiCAB=B,.A C J _面 ABG,又 AC在平面ABC内，由面面垂直的判定知，面 A 8 C _L面

37、 A B G,由面面垂直的性质知，在平面48G内一点G 向平面A 8 C 作垂线，垂足必落在交线4 8上.故 选 B.1 0.（2 0 2 2 浙江模拟预测）如图，已 知 椭 圆 三+己=1 的长轴端点为A，4,短轴端点4 3为耳，B2,焦点为K，F2.现将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中（不共面），以下说法不正确的是（）A.存在某个位置，使 4 鸟，&qB.存在某个位置，使二面角的平面角为JC.对任意位置，都有44平面5 遇鸟D.异面直线与耳与用鸟所成角的取值范围是（）,夕【答案】B【分析】选项A.设A在平面人 2 4 生的射影为N,当时，可判断；选项B.设E为 的 中 点，N O

38、 E 名 为二面角4-A4-4的平面角，从而可得N O E B?范围，即可判断：选项C.由6 5 4 4可判断：选 项 D.直线与6/4 鸟，将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中，异面直线员耳与4居所成角，即为以4鸟为轴，鸟耳为母线的圆锥的母线与46所成角，从而可判断.【解析】由|4 4|=|4 金|=近，co s Z B B,熬就斗选锐角,则4 4层为锐角三角形，故过易 作4 4的垂线，垂足H在线段匕设8 2 CO&=N,当A|N_L平面42片当时，则4N _L A/1,又L c B?H =N,：.4耳 J_平面 AtH B2,且 A/?u 平面 ArH B2,/._ L 4 4 ,

39、故 A 正确；如图，设E为A 4的中点,由I。411T网=2,|A囱=|4闵=3，则B2E1 W，OE AA2,Z O E B2为二面角4 -4 4 -5的平面角.设W阕=2x,|A目=|4同=工,(0 x2)则|OE|=j4-A ,B2E =I 1-X2COSZOEB2=4-x2+7-x2-32A/4-X2 x 7-x2当0vx 2时,3 7-x2 7.不存在某个位置 使二面角的平面角 为 和 故B错;由6，玛分别为0A，。4的中点，则6鸟A 4,由与5 u平面与耳外，A&B平面82耳马，则4 4平面故C正确;直线与耳与巴，将左边半个椭圆沿短轴进行翻折，则在翻折过程中，异面直线与耳与4 6

40、所成角，即为以4 旦为轴，8 f 为 母 线 的 圆 锥 的 母 线 与 所 成 角.以 用鸟为轴，1 T为 母 线 的 圆 锥 轴 截 面 顶 角 为 故 D 正 确.故 选 B.11.（2022浙江高三期中）在正方体ABCD-Aq G R 中尸，。分别是B q 和C。的中点,则下列判断错误的是（）A.P Q1 CCt B.。，平 面 令。弓C.PQ/BD D.PQ 平面 ABR【答案】D（分析】取CC,中点E，连接房,Q E ,通过证明CCJ平面P Q E可判断A；分别取CD,BC中点尸,G,连接Q E G P G,可证明P。尸 G,即可证明P 0/B O,可判断C；进一步即可证明PQ_L

41、平面AACG判断B：根据PQ C 平面ABGQ=P 可判断D.【解析】取 CG中点E,连接PE,QE,：P,Q 分别是B q 和CR的中点，易得CC,PE,CCT工Q E,又P E c Q E =E,.CCt 平面 P Q E，:PQ u 平面 P Q E ,CC,PQ,故 A 正确；分别取C D 8C 中点F,G,连接Q F,F G,P G,易得PG/QF且 PG=QF,四边形PQFG为平行四边形，.1 P Q/F G,又 FGHBD,：.P Q H B D,故 C 正确；-.-BDVAC,：.P Q L A C,又尸。J.C G，A C n C C,=C,尸。，平面 A ACQ,故 B正确

42、；平面 人 犯 即为平面A 8 C Q,显然PQ C 平面A 8 C Q=p,故 D 错 误.故 选 D.1 2.(2 02 2.浙 江.模 拟 预 测)在 正 三 棱 柱 中，AB=AAl=,点户满足fiP=ABC+(l-2)Bfil(0 /l l),贝I()A.存在P点使得B P，A。B.存在P点使得8PLAGC.存在户点使得B P LACD.存在尸点使得8 P J.A B 1【答案】A【分析】通过题干条件可得：p点一定在线段与。上运动，即B P 一定在平面BCG4上，.找到选项中的目标线段的特点，只有A选项中4c中含有的A 1 点能够使得A D(。为 B 1 G 的中点)垂直平面8 C

43、G B.【解析】V?=2 5 5 +(1-)5 (0 2 1),由平面向量基本定理可得：P点一定在线段即7 上，取用G 的中点O,连接C D,过 B 作 BP，a）交 C 于点H,交B C 于点尸，瓦，D 1 BBt,C 6 n B 耳=旦，.4Q_L 平面 B C C g,Y B P u 平面 8CG 耳，.A O J.B P,A Q n o c =。，平面 A O C,A C u 平面 AD C,BP J.A C,其余均不可能.故选 A.二、多选题13.（2022.广东顺德.一模）如图，在正方体A B 8-A B C Q 中,点、E,尸分别为男,8 C 的中点，设过点E,F,鼻 的平面为a

44、,则下列说法正确的是（）A.为等边三角形；B.平面a 交正方体4BC O-A 耳G 的截面为五边形；C.在正方体A8C。-A B C 中，存在棱与平面a 平行；D.在正方体ABCD-A耳G。中，不存在棱与平面。垂直；【答案】BD【分析】设正方体棱长为2,求出各边长可判断A；根据平面的性质作出截面可判断B；分别判断三组平行线与a 的位置关系即可判断CD.【解析】对 A,设正方体棱长为2,则易得E 4=石,=后，。尸=3,故不是等边三角形，故 A 错误；对 B,如图，取 A 8中点G,易得R E/O G,取8 中点/,连接 B H,则易得 B H/D G,再取 CH 中点 M,连接 F M,则 F

45、M/BH,：.F M H D.E，,F M是平面a 与正方体底面ABCD的交线，延长M F,与 AB的延长线交于N,连接7V,交B与于 P,则可得五边形DXE P F M即为平面a交正方体A B C D-4 田6。的截面，故 B 正确；对 c,：8 C ca =8 C a a,q G 都不与 a 平行，又A 耳 c a =E,4 与 z a,Z.BVAB,CD,C,D,都不与a 平行，：DD,na=DPDD,za,/.D DX,CCX,BBX,AA,都不与a 平行，故不存在棱与平面a 平行，故 C 错误；对 D,显然A片与。田 不垂直，,A4与a 不垂直，则48,C）,G 9 都不与a 垂直；

46、.。与。尸不垂直，.。口与。不垂直，则CC”明,A4,都不与a 垂宜;4。与R E 不垂直，可D 与a不垂直，则BC,AD,B.C,都不与a 垂直;.不存在棱与平面a 垂直，故 D 正 确.故 选 BD.14.（2022.全国.模拟预测）如图，点A,B,C,M ,N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN平面ABC的有【答案】AD()【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项.【解析】对于A 选项，由下图可知MN。引/AC,M N Z平面ABC,ACu平面ABC,MN平面ABC,A 正确.对于B选项，设H是EG的中点，由下图，结合正方体的性质可知,AB/NH,MN/AH/B

47、C,AM/CH,六点共面，B 错误.DAEHGF B时于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知M N/A O,由于A O Z平面A B C,平面 A B C.，C 错误.对于D选项，设ACcNE=D,由于四边形AECN是矩形，二。是NE中点，由于8是ME 中点、，；.M N BD,由于 MN Z 平面 ABC,3Z）u 平面 ABC,；.MV 平面 43C,D 正确.故选AD.三、填空题15.（2022上海市吴淞中学高三期中）与不共面的四点等距离的平面有 个.【答案】7【分析】按一个点与另外三个点分别在平面两侧，两个点与另外两个点分别在平面两侧两类讨论即得.【解析】因点4,B,C,D不共面，

48、则点4,B,C,。构成四面体ABCD如图，取 AB,AC,4 9 的中点M,E,F,连接ME,MF,EF,则 ME/8C,M F U B D,而 平面 8C。，M FZ 平面 BCD,8（7,8。D i,且）=K，G在 CG上且平面A E r/平面BAG,则EB 2C G _CC-【分析】先推导出，E F H BDi,平面A D Z）,/平面B C C，由G在CG上且平面A E F/_ C G D F 1平面B/G ,可得A F/8 G,从而左二百方二可【解析】：平面A F/平面8 O 1 G,且平面A E F C 平面B B i Q i Z E F,平面S Q i G C l 平面D F D

49、 E 1 _BBiD庆 BDi,：.EFHBD,易得平面 A O Q i 4/平面 8 C G B 1,又 BGukD、EB 2平面 8 C G B 1,.8 6/平面4。1 4,又；平面 A E F/平面 BDG,B G u 平面 BDG,；.8 G 平面 AEF,:平 面 A E 尸 C 平面A）O i A i=A 尸，：.BG/AF,.B G、4 尸可确定平面4 8 G 尸，又知平面A B B 1 4 平面CDDC,平面A B G/T）平面A BBiAAB,平面4 8 G/T I 平面CDDiCk FG,C G D F 1 1：.AB/FG,.C r V/F G.十=标=.故答案为：-.

50、K vZ|X-X A-J J1 8.（2 0 2 2 安徽合肥市第九中学高三月考（文）在棱长为1 的正方体A8CO-ABCQ中，点尸在线段AR上运动，给出以下命题：异面直线GP与B C所成的角不为定值；平面A.CP 1平面D B。；三棱锥。-BPG的体积为定值；8c与平面BPC,垂直.其 中 真 命 题 的 序 号 为.【答案】【分析】由8 C，8 G，AB 1 B,C,推出B,CJ.平面A 3 G R,知 4 C，C f；由 AAJLB。，ACJ-BD,推出 8 O L 平面 A A C,知 B O J.A C，同理可得 8 GA A,C,进而证得A C,平而DBG,得解；由A D jg,知