自动控制原理课后答案.pdf

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1、2-5试分别列写图2-3中各无源网络的微分方程（设电容C上 的 电 压 为 电 容G上 的 电 压 为，以此类推）.*UR I-图 2-3 习题2-5 无源网络示意图解：（a）设电容C上电压为右。），由基尔霍夫定律可写出回路方程为duc(t)uc(t)_(/)C-1-=-dt&R2整理得输入输出关系的微分方程为。合y+）=。血 I%。)dt/?,（b）设电容G、。2上电压为七|（。,2），由基尔霍夫定律可写出回路方程为%。)=%)一 “(，)%。)一 心 ),”“)一 )c duc 2(t)I-R R 2 dt“。一%=RCidu-(f)dt整理得输入输出关系的微分方程为R G G竽+Q G+

2、G）竽+*叩誓+2G竿+手（C）设电阻7?2上电压为即2），两电容上电压为,%2），由基尔霍夫定律可写出回路方程为/）=%（。一心2）(1)%2 )=一 R2(f)(2)duc i(t)duc 2(t)_ uR 2(t)Cr C 一dtdt(3)%)(，)_r duc2(t)C-adt(4)（2）代 入（4）并整理得山、2。）du“dtdtR、C(5)（1）、（2）代 入（3）并整理得du)du(t)diiR2 _ UR2。)C-r C-Z C-=-dtdtdt两端取微分，并 将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为R2cdr+(-1)&Cdu)。dt&CR2cd2ui(t)dt2 1 d

3、%)&C dt&C2-6 求图2-4 中各无源网络的传递函数。&图 2-4 习题2-6 示意图解：（a）由图得U,（5）URJ（5）|+Uj i(s)U,q、l-0cUo(s)R2（2）代 入（1）,整理得传递函数为U“G)U,(s)（b）由图得Uc(s)=U,G)U.G)Ci+&R2cs+R21 RR)Cs+/?1 +R,段 咫UG(S)=U G)乜(s)S(s)-.2(s)”-心 R R=C2sUC2(s)(1)(2)(1)(2)RCISUCIG)=U0(S)UC2G)整理得传递函数为U.R C.s+1 RC2S+2 _+2R CS+1U Q)收5+A。阳1而02+a(2孰+。2)+1RC

4、2S+2（C）由图得U c G)=a(s)U R2(s)UC2(S)=U0(S)UR2(S)CsUCi(s)+CsUC 2(s)=应R2a(si(s)=CsU cG)曷 c-整理得传递函数为Cs H-,U“(s)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ g 2 c s +R s“(s)O +&R 2c2s2+(居 +2&)Cs +i&R2 R R2 c s(1)(2)(3)(4)2-7求图2-5中无源网络的传递函数。解：由图得整理得1U式s)_ R、_ R2+LsUi(s)-Cs +，+-RCLs2+(&R 2c+)5 +Ry+R2&R,+Ls2-8试简化图2-6中所示系统结构图，并求传递函

5、数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。解：(a)求传递函数C(s)/R(s),按下列步骤简化结构图：N(b)图2-6习题2-8系统结构图示意图 令N(s)=O,利用反馈运算简化如图2-8 a所示串联等效如图2-8 b所示图 2-8 b根据反馈运算可得传递函数 GC(s)=l+G-l-G?/=_ GG而=G G2 H=Q+G、H,)(1-G,H,)+G、G Hl+G,1-G2H2 3=_ G&_-1 +G|d-G2H2-G|H|G2H2+G1G2H 3求传递函数C(s)/N(s),按下列步骤简化结构图：令R(s)=O,重画系统结构图如图2-8 c所示图 2-8 c 将“3输出端的端子前移，并

6、将反馈运算合并如图2-8 d所示图 2-9 d G 1和-串联合并，并将单位比较点前移如图2-8 e所示图 2-8 e串并联合并如图2-8 f所示图 2-8f根据反馈和串联运算，得传递函数-G,G2/7,C(s)=n _1-G2H2Nd GM i-G G d/1 G2H2 H_ 1 -G,G2H,G,H,l-G2H2+GtG2H3G2 GG2H1-G2H2 +GC2H3(b)求传递函数C(s)/R(s),按下列步骤简化结构图:将H 2的引出端前移如图2-8g所示图 2-8g合并反馈、串联如图2-8h所示图 2-8h 将名的引出端前移如图2-8i 所示图 2-8i 合并反馈及串联如图2-8 j所

7、示图 2-8j根据反馈运算得传递函数GG2 G3C(5)_ _ _ _ _ _ _I +G 2 H 2+G 3%_ _ _ _ _ _ _ _R(s)+GGG 1 +G m H1 +G +G3H 3 G2G3 1=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ GQ 2 G 3-1 +G2 H2 +G3H 3+a 3H 32-9 试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)。图 2-7 习题2-9 系统结构图示意图解：求传递函数C(s)/R(s),按下列步骤简化结构图:将”的引出端前移如图2-9a所示图 2-9a合并反馈及串联如图2-9b所示图 2-9b 合并反馈、串联如图2

8、-9c所示图 2-9 c根据反馈运算，得传递函数G Q 2 G 3 G 4C(s)_ I +G2 G3 7 7 1+G3 G4 H2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。3(1 0 K)(2+K)/3 6K)0(1 0 -K)/32K0解 上 述方程组可得0K%=j,K =|D(s)=Ts2+s +K,s=s+2,代入上式得,O (s)=T(s -2)2 +s-2 +K=7 y2-(4 T-l)s +4 7 +l/T-2 =0列出劳斯表，/T 4 T+1/T-2.J 1-4 T5 0 4 T+1/T-2T 0,1 4 T 0,4 T +l/T-20n 0T 1/4或 7 0,

9、1-4 7 0,4 7 +1/7 -2 无解.-.0 T l/4,4 A：oo(2)R(f)=t,系统为 I 型系统 A es s=/KG 52(.C+2.V+10)“r u i-10(25+1)(45+1)K、.=hm s G(s)H(s)=lim s ,=0-0?(52+2.V+1 0)TfTms3+(Tf+Tin)S2+s+KO式中，K=KK/K,“/i,为系统的开环增益，各参数满足：K 0,(Tf+Tm)-K TmTf 0即 稳 定 条 件 为0 K 0即0K l/T“时闭环系统稳定。(2)由于T“=0.0 1,因此只有当0K100闭环系统才稳定，显然，对于K=500,闭环不稳定。此时

10、若略去心，闭环特征方程为Tms2+s+K=0.1/+s+500=0上式中各项系数为正，从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。如果K100。如果K 0,画出各系统的根轨迹图。解：(1)按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为Z,=-1；开环有限极点为P i,2=0,外=-2,P 4 =-4实轴上的根轨迹区间为2,-1 根轨迹的渐近线条数为-机=3 ,渐近线的倾角为必=60 ,0=1 80 ，。3=-60 渐近线与实轴的交点为5i=l ，=1 _n-m 3闭环系统根轨迹如下图4-2a所示图4-2a闭环系统根轨迹图（2）按卜列步骤绘制根轨迹:系统没有开环有限零点；开环有限极点为P i =O，P 2=-

11、l,p3=-2,p4=-5实轴上的根轨迹区间为-5-2,-1,0 根 轨 迹 的 渐 近 线 条 数 为?=4,渐近线的倾角为族=4 5,=1 35,帆=1 35,%=4 5渐近线与实轴的交点为nm5,=-=_2n-m分离点方程为1+L+。d+1 d+2 d+5解得分离点4 =-4.0 6,J2=-0.4 0闭环系统根轨迹如下图4-2b所示(3)按下列步骤绘制根轨迹:系统没有开环有限零点；开环有限极点为P 1 =0,%=-4,必.4 =一2 J 4实轴上根轨迹区间为-4,0 根轨迹的渐近线条数为=4,q=-2,虑=4 5,1 35,225,31 5根轨迹的起始角：复数开环有限极点P a”=-2

12、;4处，=90,6/=90分离点方程为1+L+1 +d +4 d+2+J 4 d+2-j4=0解得分离点4 =2应.3 =-2 j屈检查4=一2 时，K”=64八3=一2土/#时，K*=1 0 04皆为闭环系统根轨迹的分离点。确定根轨迹与虚轴的交点：系统闭环特征方程为D(s)=$4+8 s3+36s2+8 0 s+K*=0列写劳斯表54 1 36 K*53 8 8 052 26 K,1 8 0 x 26-8 K*s-26当K*=2 6 0时，劳斯表出现全零行，辅助方程为A（5）=26?+260 =0解得根轨迹与虚轴交点为=V i o。根轨迹如下图4-2c所示：（4）按下列步骤绘制根轨迹:系统开

13、环有限零点为 =1；开环有限极点为P l =0,P 2=l，p二4=-2/2君实轴上根轨迹区间为（-0 0,-1,0,1 2根轨迹的渐近线条数为“机=3,%=-*，虑=60 ,1 8 0 ,60 分离点方程为1 1-1-d d-+d+2+J2A/3 J +2-J2A/31d+解得分离点4 =2.26,出=0.45根轨迹如下图4-2d所示：图 4-2d4-3给定系统如图4-2所示，K 0,试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统阻尼特性的影响。解：(1)作系统的根轨迹。开环传递函数为图 4-2 习题4-3系统零极点分布图心,、乙、K(s+2)(s+3)G(s)F(s)=-s(s+l)开环极点为0和一

14、1,开环零点为一2 和一3。所以实轴上的根轨迹区间为-3,-2 和-1,0 。分离点方程1111-1-=-1-d d+d+2 d+3得分离点 4 =2.366,(=0.634检查4 =-2.366 时,K=s(s+1)(s+2)(5+3)=0.0 7 1 8出=0.634时，K*=s(s+1)(5+2)(5+3)s=-0.634=1 3.9 3可得到根轨迹如下图4-3a 所示(2)分析增益对阻尼特性的影响。从根轨迹图可以看出，对于任意K0,闭环系统都是稳定的，但阻尼状况不同。增益较小时(0K 1 3.9 3),系统过阻尼；增益中等时(0.0 7 1 8 K 1 3.9 3),系统欠阻尼。(2)

15、根据G(s)作出根轨迹图。G(s)有两个极点-0.5)3.1 225,个零点0,所以负实轴是根轨迹，而且其上有分离点。将闭环特征方程改写为由d K/d s=0可以求得s=7 1 0，其中s=-V 1 0在根轨迹上,对应增益为K=5.32460,故s=-V 1 0是实轴上的分离点。根轨迹如图4-4a所示。(3)求反馈增益女。首先要确定闭环极点。设途中虚线代表？=0.7,则闭环极点为根轨迹和该虚线的交点，由4=0.7可得6=州 0 5?=45.57。设4-6已知单位反馈系统的开环传递函数为：G($)=-Ms +2：+4)-05(5+4)(5+6)(5 2+1.45+1)试画出系统的根轨迹图，并分析

16、系统的稳定时K的取值范围。解：由题得开环极点：0,-4,一6和0.7/0.7 1 4开环零点：-1 儿7 321分离、会合点：从s平面的零点、极点分布可知在区间内(-4,0)可能有分离、会合点。记A(s)=s(s+4)(5+6)(52+1.4i +l)=55+1 1.4s4+39 s*+43.6s?+24sB(s)-s2+2s+4由 A，(s)B(s)=A(s)B(s),可得(5.v4+45.6?+1 1 7 52+8 7.2.V +24)(s2+2s+4)=(?+1 1.4?+39s3+43.6?+245)(25+2)经整理后得到3s6+30.8?+1 27.4/+338.4d +531.2

17、s2+348.8 s+9 6=0用试探法或程序算得区间(-4,0)内的一个根为-2.3557,它就是实轴上的分离点。根轨迹自复数极点的出射角：+54.8 8 根轨迹趋向复数零点的入射角：下1 0 2.52根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程为/(5)=55+1 1.4S4+39 s3+(43.6+k)s2+(24+2K)s+4K =0“,1.4a)4-(43.6+K)(V2+4K=0令s=jco,可得，39 0 3+(24+2K)=0由第二式得K =0.50 4+1 9.50 21 2,代入第一式，得0 6 _ 2 0.2 4+9 2.9 疗-9 6 =0解得q=1.2 1 1 5,牡=2.1 5

18、 4 5,%=3.7 5 3 7根据以上数据画根轨迹图，如图4-6 a所示。再分析系统得稳定情况：根轨迹与虚轴第一个交点的频率为 q=1.2 1 1 5,利用幅值条件可以计算出对应的增益上 s(s +4)(s +6)(s-+1.4 s +1)s?+2 s +4 S=J1-25同样可以算得与co2=2.1 5 4 5和 电=3.7 5 3 7对应的增益K2=6 4.7 4,K3=1 6 3.4 3参看根轨迹图可知：系统稳定时K的取值范围为：K 1 5.5 4或6 4.7 4 K 0试作出以a为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分a取何值时闭环系统稳定。解：（1）求系统的闭环特征方程并化成标准的形式。因

19、为可变参数a不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程2 s 2 a s +s +a =0可改写为1+一 代 1）=0s(2s+1)则开环传递函数为G，G)=&12=315(2 5 +1)s(2 5 +1)K =-a Q(2)根据G (s)作系统的根轨迹。G G)中的增益为负值，所以要作系统的补根轨迹。开环极点为-0.5和0,开环零点为1。按照补根轨迹的作图规则，实轴上的根轨迹区间为-0.5,0 和 1,+8 。在-0.5,0 区间有会合点，在 1,+8 有分离点。为求分离、会合点，将闭环特征方程改写为M S(2 s +1)A =-(5-1)由 d K/d s =0 ,得$2 _ 4

20、 s 1 =0 ,解得班=2.2 2 4 7,52=-0.2 2 4 7 ,分别对应的增益为 K=-9.8990和K =-0.1 0 1 0,所以是分离、会合点。可以证明，不在实轴上的根轨迹是一个圆，圆心在(1,0),图 4-l l a半径为1.2 2 2 7。以K=-a为参变量的根轨迹如图4-1 l a所示，图中箭头表示a从0到+8 的方向，也即K从0到一8的方向。(3)求a使闭环系统稳定的取值范围。首先求根轨迹与虚轴的交点。山闭环特征方程2 s 2+(1 +K)S-K=0可知，K =-l时系统处于临界稳定状态，这相当于a =1,所以使闭环系统稳定的范围为0 a L4-1 2实系参数多项式函

21、数为：A(s)=s 3 +5s+(6 +a)s +a欲使A(s)=0的根均为实数，试确定参数。的范围。解:对A(s)=0作等效变换得等效开环函数为l +l处?)-=0s+5s +6 sGl(s)Hl(s)=a(s +l)s(s +2)(s +3)当a（H l寸，需绘制常规根轨迹:系统开环有限零点为&=-1；开环有限极点为p 1=0,。2=-2,p3=-3实轴上的根轨迹区间为-3,-2 和-1,0 根轨迹有2条渐近线，且乙=一2；%=90。,90 由分离点方程1 1 1 1-=-1-1-d+1 d d+2 d+3在实轴区间-3,-2 内用试探法求得d=-2.4 7。绘制根轨迹图，如图4-1 2

22、a所示。当a 0时，需绘制零度根轨迹。实轴上，零度根轨迹区间为G 8,-3 ,-2,-1 和 0,+8 。作零度根轨迹图，如图4-1 2 b所示。当多项式有根-2.4 7时，根据模值条件得|J|P +2|J+3|=0.4 1 9根据常规根轨迹图，知当0 W a W 0.4 1 9时，多项式的根皆为实数；根据零度根轨迹图，知当a 0时,多项式的根亦全为实数。因此所求参数。的范围为a 4 0.4 1 9。图4-1 2 a常规根轨迹图4-1 2 b零度根轨迹4-1 3设系统开环传递函数为:G（s）$（S +1）（5 +1 0）(1)大致画出系统的根轨迹图；(2)用文字说明当K)在这两段区域内，均存在

23、分离点。为了求出分离点，令1 1 1-1-=-d d+2 d+4d.=-4+2A/2=-1.172求 出1 厂4=-4-2 0 =-6.828因而复数根轨迹是以(T,川)为圆心，2行为半径的一个圆，如图4-14a所示在图上，过原点作圆得切线，得最小阻尼比线。由根轨迹图知，对于等腰直角三角形，必有 =4 5 ,故最小阻尼比C=cos/?=0.707响应的闭环极点4 2 =-2 j2山根轨迹模值条件，可求出相应的增益为“2+川卜2+/2+2 1.-|-2+;2+4|一4-15已知单位负反馈系统的开环传递函数为：、K*G(s),s(s+4)(s2+4.S+5)试按照步骤作出K*2 0时的根轨迹图。解

24、：开 环 极 点:p=0,p2=-4,p34=-2j根轨迹在实轴卜的区间 0,-4 根轨迹的渐近线 一?=4,%=-2,(pa=4 5 ,1 3 5 八一上 1 1 1 1分禺 点：-1-1-=0d d +4 d+2+j d+2-j即 L J y+2)=0d d+A J2+4 J+5整理得 J3+6 J2+1 0.5 t/+5 =0为了求取分离点方程的根，将上式表示为1 +1 十 476)=o/3+6)令等效开环传递函数为G”笔曙其中K；=1 0.5。若令K；从0变到+8,其根轨迹如图4-1 5 a所示。图中，渐近线图 4-15a%,=一2.7 8,%=9 0；分离点 d；=1.0 8 8,4

25、 =-2.6 2 7。2 x 2 x 4在图上，试探d=-2,检验模值条件 K =1 0.51 1.5 2 4故符合要求，故1=-2为分离点方程的一个根。利用综合除法，有d3+6 d 2 +1 0.5 J +5 =3+2)(J2+4 d +2.5)=(d +2)(d +0.7 7 5)3 +3.2 2 5)=0求得分离点 4 =一0.7 7 5,4 =2,2=一3.2 2 5分离角为9 0。根轨迹的起始角4 1 1=1 8 0 +(-Z N(P 3 一 /?,)=1 8 0+a rc ta n a rc ta n 1 8 0 9 0 =9 0 j=i(斤 3)2 26=9 0 根轨迹与虚轴的交

26、点：闭环特征方程为s4 +8.J +2 1/+2 0 s+K*=0列劳斯表5412 182 0S21 8.5K*s3 7 0-8 K*0s。K*显然，当K*=4 6.2 5时，根轨迹和虚轴相交，山辅助方程1 8.5 52+4 6.2 5 =0求得交点处 K*=4 6.2 5,3 =1.5 8根据以上步骤，绘制系统根轨迹图4-1 5 b图4-1 5 b根轨迹图1+3、。s(s+4)令等效开环传递函数为G/s)=K(S-2)2s(s+4)实轴上根轨迹：-4,0分离点：由 上+一求得1=一1d d+4 d-2与虚轴交点：列劳斯表=A (汝)cos 0 cos 初+/(j(y)-sin 0sin co

27、t+/(jty)5-2若系统阶跃响应为：/(，)=1-1.8/+0.8/试确定系统频率特性解：单位阶跃输入信号的拉氏变换为R(s)=-s系统单位阶跃响应的拉氏变换为,、1 1.8 0.8 36H(s)=-+-=-s 5+4 5+9 s(s+4)(s+9)系统的闭环传递函数为G(s)=&=-R(s)(5+4)(5+9)将5=代入传递函数G(s)可得G(y)=36(7(y+4)O+9)5-3设系统结构图如图5-1所示，试确定输入信号r(f)=sin(r+30)-cos(2f-45)作用下，系 统 的 稳 态 误 差。图 5-1 习题5-3控制系统结构图解：如图5-1所示，系统的误差传递函数为1,(

28、s)=l-(s)=l-叶 卜5+1其幅频特性和相频特性分别为54-1s+2色(网=：-+-1-,(p(j co)、=arctan co-arctan co“+4 2当 r(f)=sin(r+30)-cos(2f-45)=sin(r+30)-sin(2r+45)时4+1ess)=sin(r+30+arctan 1 -arctan；)-J：+；sin(2r+45+arctan 2-arctan 1)4+4粤 sin。+30+45-26.57)-乎 sin +45+63.43-45)=0.63sinQ+48.43)-0.79sin +63.43)5-4已知系统开环传递函数G(s)(s)=4 S +；

29、K,r,T 0S2(TS+)试分析并绘制7 T和T T情况下的概略幅相曲线。解：山题可知，系统的频率特性如下K(rj&+1)-K(r加+1)(jco)=-=-z-行。)2(7+1)2(7)+1)由于系统卜=2,所以开环幅相曲线要用虚线补画180的半径为无穷大的圆弧当。=0+时，(70+)=oo,MO,)=180。当 0 =+8 时，G(js)H (joo)=-+=0,夕(8)=7 808 (TjOO+l)又由于G(=一”_+l)=K(jT*l+jK忒 I),所以有ar(Tjo)+1)(T g +1)当TT时，开环幅相曲线始终处于第三象限，如图5-4 a所示;当Tr时，开环幅相曲线始终处于第二象

30、限，如图5-4 b所示。图5-4 b开环幅相曲线5-5己知系统开环传递函数G(s)(s)=1s s+l)(s+2)试分别绘制7 =1,2,3,4时系统的概略开环幅相曲线。解：由题目司,知，系统的频率特性如下G(o)H(+1)(7+2)当1/=1时，开环幅相曲线要用虚线补画9 0 的半径为无穷大的圆弧。若+则G()”(儿)=(0.0购+2幽)=一9。若 0 =8 ,则 G(JOO)/(JOO)=-=0,夕(8)=-2 7 0(00)(00+1)(00+2)由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5 a所示。当卜=2时，开环幅相曲线要用虚线补画1 8 0。的半径为无穷大的圆弧。若 0 =0+,

31、则 G(JO+)A7(JO+)=z -=8,/(0+)=-1 8 0(0+)2(0,+1)(0+2)若0=8,则 G(js)H(j8)=；-=0,奴8)=-3 60(00)(00+1)(00+2)由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5 a所示。当肥=3时，开环幅相曲线要用虚线补画2 7 0 的半径为无穷大的圆弧。若0=0+，则G(jQ+)H(jQ+)=(0 汽0 L)(o+2)=0,。(+)=一2 7 0。若 0 =8 ,则 G(JOO)/(JOO)=-?-=0,(8)=-4 2 0(0 0/(0 0+1)(0 0+2)由以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5 a所示。当)/=4

32、时，开环幅相曲线要用虚线补画3 60 的半径为无穷大的圆弧。若0=0+，则G(JO+)W(JO+)=(0 ：)(o+-=%。(0+)=-3 60。若 a =8 ,贝I G (,8)”(joo)=-=0,夕(8)-5 4 0(00)(00+1)(00+2)1 1 1以上分析可知，系统概略开环幅相曲线如图5-5 a所示。图5-5 a系统开环幅相曲线5-6已知系统开环传递函数G(s)(s)=_ 1 0s(2 s+1)(/+0.5 s+1)试分别计算啰=0.5和0=2时，开环频率特性的幅值A 3)和相位夕(3)o解：系统的开环频率特性表达式如下G(j3)H(j3)=W_ 1 0(2 -2.5疗)-1

33、0/3-2疗)jcoQ jco+1)(-苏 +0.5 j7 y+l)(2步 一 2.5 苏)2+(6y+2 )2当&=0.5时IO2.5 疗）-1 0/3-2加）（2砂一2.5 4）2 +（0+2）2i=1 6-8J此时 4（。）=V 1 62+82=1 7.89,夕（=a r c t a n =-2 6.5 7 1 6当g=2时G（汝）”（汝）二1 0（2 d/2.5 a?）-1 0/（啰-2 ft/）（2 y4-2.5（w2）2+（y +2 y3）2=0.3 2 +7 0.2 1此时 A（0）=VO.322+O.212=0.3 8,夕（0）=a r c t a n/=3 3.2 7 5-7

34、绘制下列传递函数的对数幅频渐进特性曲线a.G（s）1（1 +0.5 5）（1 +2 5）合彩)a用UdBode Diagram0-20-40-60-80-100450-45-90-136-180102 10,1 10 101 102图2-7 a对数幅频渐进特性曲线b.G（s）=（l+?5s）c.so曾)as寻w曹p)3一Bode Diagram图2-7b对数幅频渐进特性曲线G(s)=s 10s2+65+10322HidO-2O-4Om9PW仁仔至Bode Diagram10,103图2-7c对数幅频渐进特性曲线d.G(s)3O(s+8)s(s+2)(5+4)mp)ils(/)3爵Bode Di

35、agram-22510-1 10 101图2-7 d对数幅频渐进特性曲线1025-8己知系统开环传递函数G(s)5(5/5 +1)(5/2 0 0 +1)试绘制K =1 0的对数频率特性曲线，并算出截止频率%解:由题可得G(Jo)=K_M/5+1)0/2 0 0 +1)则.1 2 _1|G(网=1 0/(1 +3)2(1 +市)2/、兀 a co(p(co)=-a r c t a n-a r c t a n-2 5 2 0 02 2因此 2 0 1 n|G(，o)|=2 0 2 0 1 n。1 0 1 n(l +2)1 0 1 n(l+-y)对数频率特性曲线如图5-8a所示疗 _ 1 2 _

36、1又2 0 1 n|G(汝)|=0,可得|G(加)|=1,即 1 0/(1 +石)2(1+融 冰)2 =i计算可得q=病 人 /55-9 已知系统开环传递函数为:G(s)(s)=5 0(5-2)52+1 1 5 +1 0a.计算截止频率b.确定对数幅频渐进特性曲线的低频渐进线的斜率.c.绘制对数幅频特性曲线。解:G(S)H(S)5 0(.2)52+1 1 5+1 05 0(5-2)(5+1)(5+1 0)G(j3)H(jco)=5 0(/。一 2)(汝+1)(加+1 0)1 _ 1 x|G(j(y)H(j y)|=5 0(4 +co2 V(1 +a r 尸(1 0 0 +a r 尸2 0 I

37、n|G(j t y)H(j(y)|=2 0 l n(5 0(4 +co1)“1 +(y2p (1 0 0 +疗 尸)=2 0 1 n5 0 +1 0 1 n(4 +y2)-1 0 1 n(l +y2)-1 0 1 n(1 0 0+6;2)=0计算可得以=49ra d/s当3 1时，斜率为0;当1 2时,斜率为-2 0 d B/d o；当2。1 0时，斜率为-2 0 d B/d(y；绘制对数幅频特性曲线，如图5-9 a所示。图5-9 a对数幅频特性曲线5-1 0利用奈氏判据分别判断题5-4,5-5系统的闭环稳定性。解：(1)对于题S 4的系统，分7T和T r的两种情况来讨论系统的闭环稳定性。当r

38、 T时、系统的开环幅相曲线如图5-4 a所示，由图可知，系统的开环幅相曲线不包围(-1 J0),根据奈奎斯特判据可得N=0又由系统得开环传递函数可知尸=0即Z =P-2N=0,闭环系统在s右半平面无极点，r 7时闭环系统稳定。当T z时，系统的开环幅相曲线如图5 4 b所示，由图可知，N =-1又由系统得开环传递函数可知尸=0即Z =P 2 N =2,闭环系统在s右半平面有2个极点，T r时闭环系统不稳定。(2)对于题5-5的系统，其开环幅相曲线如图所示，由图5-5 a可知当!/=1时，N =0,又由系统得开环传递函数可知P=0即Z =P 2N=0,闭环系统在s右半平面无极点，/=1时闭环系统

39、稳定。当1/=2,3,4时，N =l,又由系统得开环传递函数可知尸=0即Z =P-2 N =2,闭环系统在s右半平面有2个极点，卜=2,3,4时闭环系统不稳定。5-1 1用劳斯判断据验证题5-1 0的结果。解：(1)对于题5-4的系统，由题得闭环系统特征方程为Ts3+s2+K r s +K =0列劳斯表53 T KTs1 1 K51 T r-K Ts。K则当r T时，K r-K T 0,即第 洌各值为正，即闭环系统稳定；当r T时，K r-K T +1)s -S3(7 +1)(7 +1)(T10,T20,T30,7；0)又知它们的奈奎斯特曲线如图5-2(a)(b)(c)所示。找出各个传递函数分

40、别对应的奈奉斯特曲线，并判断单位反馈下闭环系统的稳定性图 5-2 习题5-1 2 控制系统乃奎斯特曲线图解：三个传递函数对应的奈奎斯特曲线分别为 c,a对 G(s)=华+1)式,P =0,N=01 52(Trv+l)则Z =P 2N=0,故系统稳定;对G2(S)=S2(T,S+1)p =o,N=0则Z =P 2N=0,故系统稳定;对 G(s)=K(7 +l)(7；s +l)?(T,s +l)(7；s +l)式,p=0,N=0则Z =P 2N=0,故系统稳定;5-1 3 已知系统开环传递函数KG(s)s(T s +l)(s +l)K,T O试根据奈氏判据，确定其闭环稳定条件:a.T =2 0 寸

41、，K 值的范围；b.K =1 0 时，T值的范围；c.K,T值的范围。解：由系统的开环传递函数可知，系统的开环曲线图如图5-1 3 a所示图 5-1 3 a系统开环曲线由于P=0,故想要闭环系统稳定，必有N=0,即幅相曲线不包围点(-1,川)。系统的频率特性表达式如下 、K -KC D2(T+1)+jKco co1-V)Cr(ja)=-=-;:-1-；-；jto(.Tjco+ljM+l)(T +l)26y4+2(T 2-l)2。、7 =2时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有Ka)(Tco2-l)(2疗 1),、-=-=0(T +1)2 04+M2(T(i)2-I)2 904+02(2 0 2 _

42、 1)2/y由上式可得勿=J,则交点的实轴坐标为2-K#(7 +1)_ _ 3 K 疗(7 +)2+疗(7 疗-I)?一邮+苏商田 一3由 上 式 可 得 0K 22b、K =1 0 时，对于开环幅相曲线与实轴的交点有Kco(Tco2-1)1 0(T 苏 一 1)-=()(T +l)2(y4+1(7疗-Ip(T +l)2(y4+y2(Ta r1后山上式可得。=则交点的实轴坐标为-K 1(T +1)=-吗(7 +1)_(7 +)%4+#(7 3 1)2 =(7 +1)J+#)2一由 上 式 可 得 0T，9c、对于开环幅相曲线与实轴的交点有Ka)(Ta r-X)_ Kco(Tco1-V)(T +

43、1)2(Teo2-1)2 -(T +1)2 d y4+(Teo2-1)2由上式可得 y=1册则交点的实轴坐标为-KC O2(T+1)(7 +1)2 /+疗。疗一 Ip号(7 +1)7 1 i i 7(T +l)2p-+-(T-l)2T+1由 上 式 可 得0 K -,0 T !T K-5-1 4某系统的开环传递函数为QG)=K s +D52(Trv +l)要求画出以下4种情况下的奈奎斯特曲线，并判断闭环系统的稳定性:a.7 =0 ；b.0 5 v ；c.0 T2=T J；d.0 T j 7 o解：a.二o 时,(2(5)S2(T1S+1)当心其开环幅相曲线如图5-1 4 a所示，P =0,N=

44、-l则Z=P-2 N =2,故在s平面右半平面有2个闭环极点，闭环系统不稳定;b.当0 7 2 刀 时，K(兀 0+D=K(l +7 7 2/2)+K0(T 2 _ T 1)J _ _ 0 2(+冏 一 (l+T：*若 0 =0+,则 1 2(；0+)1=o o,9(0+)=1 8 0 若 =+8,贝 小。(川+)1=0,以0+)=1 8 0 其开环幅相曲线如图5-1 4 b所示，P=0,N =1则Z=P 2 N=2,故系统不稳定；c.当0 T,=7；时，。)=与s若0 =。+，则 1。(/0+)1=8,夕(0+)=-1 8 0 若。=+o o,则I e(jOJI=0,9(0+)=-1 8 0

45、 其开环幅相曲线如图5-1 4 c所示，P =0,N=-2则Z=P 2 N=1,故系统不稳定；(1.当0 (八 时,一疗(1 +K(1 +T|T 2 0 2)+K0(T 2 一7 1)。(加)=一 疗(1 +T；疗)-由0 */可得Re 2(0,Im 2 G y)+1)G，7,7；o)如果闭环系统不稳定，闭环传递函数会有几个极点在复数平面的右半平面？解：_2 1。(加)1=K0 T(T：0 2 +1/+产(胃 病 +1/冗(pjco)=一5 一 arc t an TXCD-arc t an 7 arc t an T3CD-arc t an T4co当0 0 El寸，I Q(j)1=8,(p(c

46、o)=-9 0 当。一 00 时，I。(/助 1=0,以 =-4 5 0 由于系统不稳定，故可得其开环幅相曲线如图5-15a所示由图可得P =0,N =1则Z =P-2 N =2,故闭环传递函数有2 个极点在复数平面的右半平面。5-16设控制系统的结构图如图5-3所示。a.求出开环传递函数；b.画出对数相频特性曲线；c.求出临界开环比例Kc和截止频率利；d.用奈氏判据判断该系统是否稳定，如果稳定再分别求出当输入信号(f)=l(f)和)系统的静态误差。t的情况下解:(a)图 5-3 习题5-16控制系统结构图系统开环传递函数为G(s)0.1 K 1 0-0.1 5 4-1 3 s+1 S1 05

47、(1 4-3 5)(1 +0.1 5)(b)(pco)=0 -9 0 0 -arc t an3co-arc t anQAcof0,。=0-9 0 -0 0 =-9 0 0,A(0)=o o o o ,A(8)=0系统开环频率特性为G(j H(j)=K-(Tt+T2)co+j(-l+T a2)(yd +T H l +T；2)与实轴的交点co 1-1.8 2 6V 0.1 x 3K 3 x 0 1G(j%)H(j%)=Re G(=一5 石-=0.3 K3.1故幅相曲线为图 5-1 6b当G(y1)(/%)=1 时，系统临界稳定，得K,=1 0,g =%=1.826n 3K当一一-一1 时，Z =P-2 N =0-03.10,系统稳定n%K当一-)值时，系统的稳态图 5-6 习题5-2 2 控制系统结构图开环系统幅频特性为:A（。）=tyJl+T j病系统的开环频率特性为:G(jo)=K G+A W Nl T.)以1 +72疗)解得必当=1有。得 G=0.02,7,=50则系统开环传递函数可写成(15(1+505)系 统 与 实 轴 的 交 点 为=-KT2=0.02K当力=0.5 时，K=100,ess=1/100=0.01当=3时，K=16.7,ess=1/16.7=0.05