数值计算方法试题及答案.pdf

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1、第 一 章 绪 论（12）1、设x 0,x 的相对误差为b,求 I n x的误差。解 设x*0 为 x 的近似值，则有相对误差为；（x）=6,绝对误差为s x）=a*,从而 I n x 的误差为 f （I n x）=|（l n x*）（x*）=2 苏=b,相对误差为 *（I n x）=j）_ 3。I n x I n x2、设 x 的相对误差为2%,求 x 的相对误差。解 设X*为 X的近似值，则有相对误差为；（X）=2%,绝对误差为*（）=2%,*|,从而 x 的误差为 （I n x）=（xn）.（x*）=卜（x*）T|2%|x*|=2 n%,相对误差为；（I n x）=一:写）=2 o3、下

2、列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：%；=1.10 21,x；=0.0 31,x；=385.6,x；=5 6.4 30,x；=7 x1.0 =解 x；=1.10 21有 5位有效数字；x；=0.0 0 31有 2 位有效数字；x；=385.6有 4位有效数字；X；=5 6.4 30 有 5位有效数字；x；=7 x1.0 有 2 位有效数字。4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x；,x；,x；,x；均为第3 题所给的数。/1、*（I）尤 +尤2+九4；e*（x；+X；+X；）=枭 （X；）=（X；）+（X；）+（：）解 人八

3、次J；=-xl 0-4+-xl 0-3+1 10-3 =i 0 5 x10-32 2 2（2）x：x；x；(x：)=()(%：)+(x：光;)(无；)+(x：x；)(%；)解=(0.0 31 x385.6)-xI O-4+(1.10 21 x 385.6)-x 10 3+(1.10 21 x 0.0 3l)-xl 0-3;2 2 2=0.5 97 68 xl O-3+212.4 84 88x1 O-3+0.0 17 0 825 5 xl O-3=213.0 9964 25 5 xl O-3=0.2130 9964 25 5(3)x；/x；。e*(x；/x：)=Zk=l,)力+号但)5 6 4

4、6 1 xl xl Q-3 0.8865 4 xl Q-5(5 6.4 30)2 25、计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R允许的相对误差是多少?4/(A)解 由 1%=；(乃(R*)3)=T-可知,3*)3*(.乃(R*)3)=l%x g 乃(R*)3=g 乃(R*)3 *(内)=4万(7?*)2 X *(R*),从而 *(R*)=1%X ,R*,故 ；(/?)=(7，=1%X =-o3 r R 3 30 06、设h=2 8,按递推公式=工_1(=1,2/-)计算到匕0 0,若取V 7 83 27.982(五位有效数字，)试问计算丫仙将有多大误差？解 令表示匕的近似值,e*(Yn)=

5、Yn-Yn,则e*(y0)=O,并且由匕=心X 27.982,匕=匕一 焉X国 可 知，匕 匕=ET%T-焉x(27.982 闹),即e*(匕)=/(/.,)一卷 x(27.982-A/7 83)=e*(/_2)一总乂(27.982-V 7 83)=，从而 e*(Kl 0 0)=e*(乂)-(27.982-/783)=7 7 83-27.982,f f u|V 7 83-27.982|-xl 0-3,所以f*(ri oo)=-xl 0-3,)=“-咒，则由卜0=后 与J.=10),i TV =4 1 1歹 二。区 可 知 小。)=”产小八 即*(,)=iO*(y,T)=io *(y。)，从而*

6、(必0)=1010(y0)=10,0 x l x 10-2 =g x 1()8,因此计算过程不稳定。12、计算/=(四一1)6,取&al.4,利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？，(3-2扬3,-9 9-7 0 7 2 o(V 2+1)6(3 +2 V 2)3 解 因为 *(/)=g xl()T,所以对于/,(V 2 +1)6*()=/e*(1.4)=-x l x l O-1(1.4 +1)7 2=6.5 4 x10-4 l xio-2,有一位有效数字;2对于=(3-2扬3,e()=K/(1.4)=6(3-2 xl.4)2 xl xl O-1=0.12 xl 0|x l 0-1,没有有效数

7、字；,-1对于人=-尸Y，(3+2扬 3e*(A)=、e*(1.4)=-7 x1()7 =2.65 x10-3 10，有一位有效数3 3(3 +2 xl.4)4 2 2字；对于 =9 9一7 0匹，e*()=e*(L 4)=7 0 x；x 10 7 =3 5 x 10 T o i nio _ n 解 精确解为而二。当 使 用 三 位 数 运 算 时，得到10,-1 101 0-1M=l,x2=1,结果可靠。15、已知三角形面积$=s i n c,其 中c为弧度，0c,旦测量a,b,c2 2的误差分别为AaAAAc,证明面积的误差心满足 sTa+ahh+A c3 df12 解 因为(s)=Z 力

8、=不6 sin ec z x k 乙1H a sin e2+-abcosc2A s bsnca+-abcosc2所以s-absinc2A c+bb+卢|ta n c|A cbcb+A c第二章 插值法（4 0-4 2）1、根 据（2.2）定义的范德蒙行列式，令-1X。2,X0匕（X o，X”一1-（X-X T）。,一!一|匕（X o，x”,x,i，x）=口 口（匕-勺）口（X-X j）证明 由 =7=0 可得求证。?一!=%T（X 0,X i、X _）n（X X j）j=02、当x=l,-1,2时，/（x）=0-3,4 ,求/（x）的二次插值多项式。(x-x1)(x-x2)4(%)=%；-r+

9、必(%0-%!)(XO f)(X-X o)(X-/)(七一X o)(X I-X2)(X-X o)(X -X|)(x2-x0)(x2-%,)解=Ox(x+l)(x-2)*-Nd)(1+D(1-2)(-1-1)(-!-2)3、给出/（x）=l n x的数值表用线性插值及二次插值计算In 0.54的近似值。X0.40.50.60.70.8In x-0.9 1629 1-0.69 3 14 7-0.510 8 26-0.3 57765-0.223 14 4 解 若取 4=0.5,%1=0.6,则 为=/(/)=/(0.5)=0.69 3 14 7,=f(x j=/(0.6)=-0.510 8 26,则

10、,、X-X.X-Xn X-0.6 x-0.5L.(x)=y0-+y.-=-0.69 3 14 7 x-0.510 8 26 x-xa-x,X 1-x0 0.5-0.6 0.6-0.5,=6.9 3 14 7(x -0.6)-5.10 8 26(%-0.5)=1.8 23 2 l x -1.60 4 752从而 L,(0.54)=1.8 23 21 x 0.54 -1.60 4 752=0.9 8 4 53 3 4 -1.60 4 752=-0.620 218 6。若取与=0.4,为=0.5,x2=0.6,则 凡=/(/)=/(0.4)=-0.9 1629 1,必=/(x J=/(0.5)=0.

11、69 3 14 7,y2=/(x2)=/(0.6)=-0.510 8 26,则L2M=y0(x -xx)(x -x2)(x0-x,)(x0-x2)（X-X 0）（X _ X 2）（X|一 0）（占 一 刀2）(x-X o)(x x J(x2-x0)(x2-x j=-0.9 1629 l x(x 0.5)(x 0.6)(0.4-0.5)(0.4-0.6)+(-0.69 3 14 7)x(x 0.4)(x 0.6)(0.5 0.4)(0.5 0.6)+(-0.510 8 26)x(x 0.4)(x 0.5)(0.6-0.4)(0.6-0.5)=-4 5.8 14 55 x (x2-1.l x+0.

12、3)+69.3 14 7 x(x2-x +0.24)-25.54 13(/-0.9 x +0.2)=-2.0 4 115x2+4.0 68 4 75x-2.2170 9 7从而L2(0.54)=-2.0 4 115x 0.542+4.0 68 4 75 x 0.54 -2.2170 9 7=-0.59 519 9 3 4 +2.19 69 765-2.2170 9 7=-0.6153 19 8 44、给出c o s x O Wx49（T的函数表，步长4 =l =（l/60）。，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求c o s x近似值时的总误差界。解 设插值节点为X（）XX=X o +%,对

13、应的C O S X值为打,月，函数表值为歹0，%,则由题意可知，瓦-焉K g x l O-5,M-%K gxlO-5,近似线性插值多项式为乙。）=歹。士 红+其 上 乱，所以总误差为了。一 七 七一乙R(x)=/(%)-4(x)=f(x)-4 (x)+L,(x)-L,(x)_%)-“_ _.+(乃 _%)X X。,从而2!xQ-X xx-x0c o s j/、/、/_、X -X /_ x X-x0 匕/=一(x-x0)(x-x1)+(y0-y0)-+(%)-，Je(x o，x j2 x0-x x-x0|R(x)|w 3 c o s J(x -X o)(x 演)|+1%一%|X ,+|y,-y

14、j a。L X o 一 X 11 一%K/1/(x x7 1 in_5 X-X 1 in_5 X-Xon)(x x.)H-x 10 x-1 x 10 x-2 2 x0-X j 2%j -x0-+-X 1 0-5=-x1 4-l x l O-5=-x 6.9 4 x l 0-5+-X 1 O 5=3.4 7x 10-52 4 2 2 14 4 0 0 2 2 25、设=%+攵/z,k=1,2,3 ,求 m ax|Z2(x)|。max|/2(x)|=maxxxx3l XQXX3(x-x0)(九-x)(x-x3)(x2-XO)(X2 一 七)(12 工 3)解=maxXOAX 31(x-x0)(x-

15、x0-h)(x-xa-3/z)(2h)h(-h)-max2 3 出 外，0|(x-x0)(x-x0-h)(x x0 3/z)|/(x)=(x-x0)(x-x0-h)(x-xa-3/z)令，则=x3-(3x0+4)x2+(3x；4-8XOA +3/I2)X-(X 0+4 g；4-3/?2x0)f(x)=3x2-2(3/+4h)x+(3x；+8xQ+3h2),从而极值点可能为2(3x0+4/?)4(3x0+4/?)2-12(3x(；+8.x0/?+3/?2)x (3x0+4h)土0h36x0+3-由,又因为4 V7*+一 1=Hhx三2相 土 立 =-L(14-20)/?3,27333.4+4+y

16、p7 1 +,x/7 5/7-5.1 _.匚、.3f(xn+-h)=-/x-Ax-h=-(20+14j7)/z,3 3 3 3 27显 然/（x+生/)f(x0+4+3 7/?),所以max,2(x)|=JY两 力 当/1 2h3Z.Z 4+V7舄（20+=今答6、设/(J=0,1,)为互异节点，求证:1)x：l.X)三 x4(k-0,1,)；J=o2)-x)，j(x)三/(k=1,2,)；j=o 解 1）因为左侧是小的n 阶拉格朗日多项式，所以求证成立。2)设/(y)=(y-X)”,则左侧是/(y)=(y-x)k的 n 阶拉格朗日多项式，令 y=x,即得求证。7、设/(x)e。力力 且/(a

17、)=/(/?)=0,求证 m ax|/(x)|：(b-a。m ax/(x)|。a x b 1 8 4 1 解 见补充题3,其中取/m)=/s)=o即得。8、在-4WxW4上给出/*)=的等距节点函数表，若用二次插值求/的近似值，要使截断误差不超过10 Y，问使用函数表的步长h应取多少？解 由题意可知，设X使用节点X。=X ,X ,=X +力进行二次插值，则R?(x)=(X -x0)(x -X|)(x -x2)插值余项为 g 3-,=x-(x,-h)(x-xl)x-(xi+/?),e(x0,x2)6令/(x)-x-(X -h)(x x,)x -(X +h)-x3-3 xtx2+(3 x；-/?2

18、)x +xl(xl2-h2),则:。)=3/_ 6/+(3无；-心，从 而/(x)的 极 值 点 为 =用土、，故I j.,、V s,Vs a 7 2 V3 3 而m ax /(x)=/?(1+h -(1)h =h ,而1 3 3 3 9|R,(x)区 或m ax|/(x心 色 空 3=3,要使其不超过i()q 则有1-1 6 尾3 1 6 9 27y =:(T.y+4-j六。；=o 解=(l)Qy“+4 +(T):卜+3 +(一1)(；卜2+(一)；卜M+(T)4(:1 =2,+4 4 x 2+3 +6 x 2心2 _ 4 x 2,+|+216x 2”-3 2x 2”+24 x 2-8 x

19、2+2=2办“=（E；建）=与（-1），（；归”，官q=火（-1）俳 巾；=0 JJ 六 o 7）（4、，4、，4、（4、=（T）O y“+2+（-1）J y”+i+（-1）2 2 北+（一1）3 3 j i+（414 2=2+2-4 x2+6 X 2-4 X2-+2-2=16x 2-2-3 2x 2-1+2 4 x 2 2 -8 x 2-2+2-2=2-210、如果/*）是m次多项式，记勺（幻=/。+）-/（幻，证明/（x）的k阶差分心/。）（04攵 机）是用 人次多项式，并且N （x）=O（1为正整数）。证明 对k使用数学归纳法可证。1 1、证明（九g*）=g*+i +f Z k。证明（f

20、 g k）-f k+8 A+1 f k 8 k fk+1 g k+l fk 81+|+/k g k+l fk 8 k=（fk+fk）gk+i+（g i -g*）=A f*g*+i +Zt A g*n l 一 11 2、证明 人 品 人.=fng -fogo-g k M。&=0 k=0 证明 因为，一!,一 ，一 E fZ k+gk+M =E（f M+gk+M）k=0 k=0 k=0，故得证。.一!.一!=Xjlfk（8k+-g k）+gk+i（fk+fk）=E（gk+ifk+i fkg*）=fnSn-fngnk=0 k=Qn-l1 3、证明：A2y.=A y-A y0o六。,一!,一 证明Z

21、x =Z（A v*-）3）=一 为。j=0 j=01 4、若/（x）=aQ+q x +a._ XT+%x 有n个不同实根为,4,x“，证明g X：_ J O,Q k on(x7.-x,.)i=0H j2)网Xo，X”，x,二“=n(x；-x,)i=0H jf/(Xj)+g Qj)网 立(X j f)i=0i巧/(Xj)/g(Xj)1r I=L-：-+L-：-=/Xo,/,x,+g Xo，X|,一-,x,，=力 -七)on(x7.-x,.)j=o 1=0Nj H j1 6、/(x)=x7+x4+3x+l,求/2,21、27,/2,2,-,28 =0oo!o!解/2。2,2=g产=1=1,/20,

22、2,-,28O1 7、证明两点三次埃尔米特插值余项是R.3(x)=/4)G)(x-Xk)2(x-xk+t)2/4!,J e (x*,xk+),并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。解 见 P 30 与 P 33,误差限为 w(/z)+/?m a xi d o27 11 8、XXXXXXXXXX.1 9、求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)=P(0)=0 ,p =p g)=l,P(2)=1 o 解 设 P(x)=a4x4+a3x+a2x2+ax +a0,则 P(x)=4a4x3+3a3x2+2 a2x+a,)再由 P(0)=P (0)=0,P(1)=P,(1)=1,P(2)=

23、l 可得：0=P(0)=&0=p(0)=6 8 时，化(x)在 a,。上一致收敛到了(x)。s up f(x)+i nf /(x)解 令0(x)=,i =l,2,3,。21、设/a)=1/(1 +马，在一5 W x V 5上取=1 0,按等距节点求分段线性插值函数(x),计算各节点中点处的/(x)与/(x)的值，并估计误差。解 由题意可知，h =l,从而当x e卜时，1,zA x,)=,f,l.+,f,1 x-xk+l 1 x-xkk+Jk+,=-7-H-;-+k-xk-xM l +(k+i y xk+i-xk11=)+)22、求/(x)=/在 a力 上的分段线性插值函数/“(x),并估计误差

24、。解 设 将 划 分 为 长 度 为h的 小 区 间。=/不 W x“=b,则当x w x,x*+J,%=0,1,2、加 一1时,h，a/)、=力r,4 +f,k J+,i=%；2 x-xk+i+2-x-x-k=片+-1-(-X-上-)-X；-(-X-X*+|)-Z+l xk+i-xkX(X：+I _ Xj)+X*+|X：_ 玛+1占 _ ,X _人A人&+I 十 人q 1 -Ak+Ak从而误差为R?(x)Xk=(X 一 4)(x x“|)=(x X*)(x-X+|),故|的(x)|=|(x-X*)(x-x*|)K 彳。23、求/(x)=x4在 a,以上的分段埃尔米特插值，并估计误差。解 设

25、将 划 分 为 长 度 为h的 小 区 间。=/4用 W x“=6 ,则当x e 9，4+，k=0,1,2,-1时,4。)=fkak+加 4+i +fkPk+H+O+G)(x f)+4 x L从而误差为 R2(x)=f 4，)(X-X )2(X-X*+|)2 =(X-X )2(X-X +)2,故艮(x)|=(X -)2(X -X“|)22 4、给定数据表如下：Xj0.2 50.3 00.3 90.4 50.53X0.50 0 0 0.54 7 7 0.6 2 4 50.6 7 0 8 0.7 2 8 0试求三次样条函数S(X),并满足条件:1)5,(0.2 5)=1.0 0 0 0,S(0.5

26、3)=0.6 8 6 8 ；2)S (0.2 5)=S(0.53)=0。解由=0.3 0 0.2 5=0.0 5,h=0.3 9-0.3 0 =0.0 9,h20.4 5-0.3 9 =0.0 6,h%=0.53 0.45=0.0 8,及(8.1 0)式 4 =)-%+%hH可知，儿h0.0914hH+hJ94 3%+/?|0.05+0.09Ai力 30.084h2+力3-0.06+0.08-7%0.055h0+h-0.05+0.09-14h20.063h2+%-0.06+0.08-7 2%0.093/Z j+h,0.09+0.06 5由(8.1 1)式 gj=3(/17f+(j=l,-1)可

27、知,gi=3(4/XO，X|+J X|,X 2)=3 9 5/-/3)14 x,-x014 x2-x.c/9 0.5477-0.50003x(x-14 0.30-0.25.,9 477 5 768、3 x(x-1-x-)14 500 14 9005 0.6245-0.5477+一x 14192790.39-0.3070002.7541)2/(X2)-/(X,)3/(X3)-/(X2)g2=3(22/x1,x2+/z2/x2,x3)=3-1-j532x0.6245-0.5477+3x0.6708-0.62455 0.39-0.30 5 0.45-0.393X(2X%2)5 900 5 6004x

28、256+3x463 _-Z.今 ID1000小 小、一，、“4/(x 3)/U),3/(X4)-/(X3)1g3-3(4/屏2，%3+3/3，、4)-3二+7 x3-x2 7 x4-x3o z4 0.6708-0.6245 3 0.7280-0.6708.=3 x(x-+x-)7 0.45-0.39 7 0.53-0.45o 从而4 463 3 472、3 x(-x-1 x-)7 600 7 8004x463+9x118 1457-=-=2.08141400700251401）矩阵形式为:25235in 292.7541-x 1.0000142.4132.11122.413，解得0472?33

29、2.0814 x 0.686871.7871m2m30.9 0 7 80.8 2 7 8 ,从而 S(x)=/%(“)+勺 /(x)l 0.6 57 0 7=02)此为自然边界条件，故g 0=3 2=3、/5 4 7 7 一 O S O。.、乜 Z 8 6 2；0 x,-x0 0.3 0-0,2 5 50 0g“=，x“】=3 x-2-人x“Ft3xa 7 2 8 0-0：6 7 0 80.53-0.4 557 2=3 x-=2.1 4 5,8 0 01 41 4矩 阵 形 式 为：m4m2加3-2.8 6 2 -加02.7 54 1叫2.4 1 3，可 以 解 得机2,从而2.0 8 1 4

30、加32.1 4 5加429200 050 000252350047237m00 0472S(x)=工 兀%(%)+血 血()。j=o2 5、若/(x)e C 2 a,b,S(x)是三次样条函数，证明1)f M2d x-S(x)2d x=f f M-S x)2d x +S x)f M -S(x)dX；2)若/(%.)=5(x,)(i =0,1,)，式中 为插值节点,且a =x0 x,-xn=b贝 l j f S(x)/(x)-S x)d x =S b)f b)-S(b)-S a)f(a)-Sf(a)。-S(x)2d x +2 S(x)f(x)-S(x)d x=f r/7 x)-5f f(x)2+

31、2 S Mf x)-S x)d x 解1)=f (x)S (x)+2 S (x)(x)S (x)Mx=f (x)+S (x)(x)-S (x)dx=f(x)2-S x)2d x=1 f x d x-S x d x2)由题意可知，S”(x)=A,x e a,b,所以f s-S x)dx=SM fM-S 7x)1：一 f (x)-5 M Sx)dx=S (b)0)-S W-5 S(a)A，(x)S(x)dx=S(R 0)-SS)-S(a)(a)-S(a)-Af(x)一 S(x)：=S(b)0)-S 0)-S 一 S(a)补充题：1、令x()=0,x,=1,写出y(x)=e-，的一次插值多项式L/x

32、),并估计插值余项。解 由九=y(X o)=e=1，%=y(X 1)=e 可知，L(x)=yX-X x X -1 _I x 00-+y-=1 x-+e x-/_再 X,-x0 0-1 1-0,=一(九 一1)+ex=1 +(e-l)x余项为&(x)=义 筝(x x0)(x /)=?x(x-1),火(0,1),故园腐Ie I x max|x(x-1)|=-xlx=-I ox l +si n x 3x(-x)2+si n x 3x2(-%)+si n x%32 J 6 2 3 2 23 71 2 3 6 2/乃 、3 3 7t2 2 3、373 H 2 3 3=X(-X)d-X(-X)4-X=(-

33、X-71X 4-X)H-(X X)4-X2 2 2 2 2 4 2 2=(x 1%(2 6口2 -1(3A/3-5)X32、求证：(a)当加/(x)13寸，m Bn(f,x)M；(b)当/(x)=x 时，B(f,x)=x。证明(a)由4(/,x)=/(A)鼻(x)及他可知,A=0 n*(x)m Pk(x)Bn(/,%)M Pk(x)M X Pk(x),k=0&=0 k=0 k=0而&(x)=(i-x)k=0 k=01 化 J M =x +(1 x)“=1 ,从而得证。(b)当/(x)=x l f j,3 k k(n 纥(x)=Z)居(x)=Z/x)k=o n k=o n ykj Kxq k x

34、 ！Mn(-%)!_xf(-D!xA(l-X)“Y=V-X/T(1-x)(-F Ttf(-l)!(n-l)-(-l)!x l-x)(n-IW=x x +(l x)i =x3、在次数不超过6 的多项式中，求/(x)=si n4 x 在 0,2 句的最佳一致逼近多项式。解 由 si n4 x,x e 0,2 乃 可 知，-1 4 s i n 4 x W l,从 而 最 小 偏 差 为 1,交错点为卫=肛？肛?肛？肛 匹”肛”，此 即 为 的 切 比 雪 夫 交 错 点 组，从而8 8 8 8 8 8 8 8P(x)是以这些点为插值节点的拉格朗日多项式，可得P(x)=0 o4、假设/(x)在 a,上

35、连续，求/(x)的零次最佳一致逼近多项式。解 令根=i nf f(x),M=su p/(x),则/(x)=土 在 a,”上具有最小偏差a 幼 ax b 2 二 巴，从而为零次最佳逼近一次多项式。25、选择常数a,使得max*词 达到极小，又问这个解是否唯一？0A 从而I i gP y(X)f(X)(1 4 /2 _|-)_ j_ 3/_)_(%4 X +)3x +厂 o1 0、令T(X)=7；(2X 1),X 0，求T；(X)、T；(X)、T；(X)工 。解由 T,(x)=T“(2 x 可知，令 x =l +$,re -1,1,则T(%+1)=Tn(t),t e -1,1,从而 T；(x)=1

36、 1、试证T；(X)是在 0,1 上带权0 =7 =的正交多项式。？y x x21 2、在-1,1 上利用插值极小化求于(x)=a rc ta nx的三次近似最佳逼近多项式。解 由题意可知，插值节点为c os丝;(攵=1,2,3)，8即 X 1 =C OS；肛 尤2 -C OS-,X3=c o s|肛 =COS鼻乃,则可求得 L3(x)o1 3、设/(x)=e*在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为L,(x),若有界，证明对任何”21,存在常数%，四，使得%(x)|/(x)-Ln(x)闻 小 W|(-l x Do 证明 由题意可知，/(X)_ 4(X)=，；TN(X),“-1,1 ,从而取 2(

37、+1)!m ax|/(,+1,(x)|,瓦=土直-则可得求证。2 5+1)!1 4、设在-1,1 上双彳)=1 一L 一 ./一且/一旦/一 破/，试将 J)降低至1jL 2 8 2 4 3 8 4 3 8 4 03次多项式并估计误差。解 因为X4=-T4+X2-,所以1 6 5 4 1 6 8 8,、，1 1 2 3 3 1 5 ,2 1、1 6 5 ,5 3 5、Q(x)=lX X-X-(X )-(X-X)2 8 2 4 3 8 4 8 3 8 4 0 4 1 61 0 2 9 1 9 9 3 1 2 3 2 5 4 5 3-1 0 2 4 4 0 9 6 1 0 2 4-3 0 7 2误

38、差为|(x)-0(x)|+及0.0 0 5 6 o11 3 8 4 1 6 3 8 4 0 8 4 0 9 61 5、在 利 用 幕 级 数 项 数 节 约 求/(x)=s i n x的3次逼近多项式，使误差不超过 0.0 0 5 o丫3 Y5(n y2 z l+,解 因为=x L +L +，取前三项，得 至IJ3!5!(2 +1)!/1L5(X)=x +,误差为|s i n x L5(X)|li t 时诙差为3!5!4 1 6 3 8 4 3 2-+x 7.9 8 6 x lQ-4 0.0 0 5 o7!1 2 0 1 61 6、/(x)是-a,a 上 的 连 续 奇(偶)函 数，证明不管n

39、是奇数或偶数，x)的最佳逼近多项式工：(x)w”“也 是 奇(偶)函 数。解 f(x)的最佳逼近多项式是由切比雪夫多项式得到的，再由切比雪夫多项式的性质4即得。1 7、求 a、b使 fl/z x +b -s i n x 2 d x 为最小，并 与 1题 及 6题的一次逼近多项式误差作比较。K 九 2 打 3 n 解 由 户1。工=工，Px d x =,x2d x =,Jo=Ps i n x J x =1,J)2 J)8 A 2 4 )K KRxs i nx d x -(-x c o s x)lj -P-c o s x J x =1,可得2 b7i 兀 3 aT 24Ja=(4-)=0.6 6

40、4 4,解得 加Q6 =令(万-3)=0.1 1 4 81 8、f(x),g(x)e Ca,b,定义(a)(7,g)=f/(x)g (x)d x；(b)(/,g)=f/(x)g (x)d x+/g 。问它们是否构成内积？解 (a)因为 x)=0n(/J)=f(x)2 d x =0 o/(x)=0,但反之不成立,所以不构成内积。(b)构成内积。1 9、用许瓦兹不等式(4.5)估计 的上界 并用积分中值定理估计同一积分的上下界，并比较其结果。0.1 9 6 1因为上工上一 x6,x G 0,1 ,所以=d x f d x 1,贝U =一;/)；+(%2-3奴3)彳 ,aA L 1 I I I I

41、2 1=(a )+-4-+a+=-+a I3 2 6a2 6a2 3 2 3 a2 3若 1 2 a 0 ,贝 l jJ x-ax 2 1 d x =j(x-ax 2)d x+(a x2-x)d x =1。同理可知当一 lWa 0 时，,一 分2 1 d x =1 ,当 Q 1,Wff 当时4 1时，积分取得最小。2 1、设0 =s pa l,x,仍=SP。k卜0，”，分别在外,仍上求一元素，使其为/EC0,1的最佳平方逼近，并比较其结果。解 由i d x =1,M4卜卜可知,解 得=一%,即 在 以 上 为b=l由2 0 1命。.3。=-,b 2 0 2b 2 0 3fx1 0 0.x2J

42、x ,fx m-2 d x =-L 可知,1 0 3 1 0 4(3 7 5.2 4 3-3 7 5.1 4 8)o12 0 1112 0 21ab=11 0 31，解得f 99X201X202%3 7 5 2 4 31 0 3 x 1 0 4,即在仍上为,-9 8 x 2 0 2 x 2 0 3 ”，“。2 0 22 0 3 J1 0 4 1 0 4 x 1 0 32 2、/(x)=W在41,1 上，求在0=印即1 2,/上的最佳平方逼近。解 由 x d x =x d x=1 ,=-x3d x +卜3 dx =22325ai15a-128，产4 kldx =x5d x+卜 5dx =；可知，

43、232527=i2，解得,2 1 0b=-o128222LcJ110 5,57 9.3.c -128从而最佳平方逼近多项式为*)=需+詈/-需-23、”,(了)=包吗2警出是第二类切比雪夫多项式，证明它有递推关系Vl-x2wn+1(x)=2j f w (%)-_!(x)o证明 令=。$6,则一 ,、,、c s in(n +l)ar cco s x s in(n ar cco s x)2x”“(x)-.1(x)=2x-=-Vl-X2 Vl-x2_ 八 s in(+l)8 s in(6)2 co s 0 s in(n +1)-s in(n 0)s in 6 s in 0 s in 6s in(+2

44、)6+s in(e)-s in(e)s in(+2)0 ,、=w ,i(x)s in 0 s in 024、将 x)=s in gx在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开，求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形，再计算均方误差。解 若按照切比雪夫多项式展开s in =邑+Q T,(X)，其中2 2 k=iT s in co s 0,1,2,-；若按照勒让德多项式展开，71 J)2s in =akPk(x),其中%=竺 出 s in&(x)dx；从而2 k=o 2 1 2劭=(呜/dx=；(2cos 科=0；3 H v 3 v*%=f sin xdx-(-2x cos )1 2 J-2 2 23

45、 1 1 1=5(-4 cos Q)+8 sin 5=12sin-6 c o sa2 =sin-(3x2-l)dx=0；a7.x 1 3 o x,3=-J sin (5x*-3x)ax=-2x(5x3-3x)008 -2cos (15x2-3)dx2 2 2 2=-4cos+f cos(15x2-3)dx2 22=(-4cosg+2(15/-3)sinI_I-2sin-30 xJx=-4 cos+48sin-60 f xsin-dx2 2 2 27 1 1 x 6 x=-4cos +48sin +60(2xcos)L)-：2cos dx2 2 2 2 2=-4 cos+48sin 4-60(4

46、 cos-8sin )2 2 2 2 2=(256 cos-432 sin )=896 cos-1512 sin 2 2 2 2 2从而三次最佳逼近多项式为x3sin =yakPk(x)=0(刈+巴乙(x)2 k=o=(12sin-6cos-)x+(896cos-1512sin-)-(5x3-3x)。2 2 2 2 2=(2240cos-3780sin )x3+(2280 sin-1340 cos )x2 2 2 2 x 3 1 YL i-I-2cos-Jx=-(-4cos-)+4sin-PjL 2 2 2 225、把/=arccosx在 上 展 成 切 比 雪 夫 级 数。解 若按照切比雪夫

47、多项式展开arccosx=&+CtT,(x),其中2&=iCA=P arccos(cos)cask 3d 0=(sink。)：-冗)71 J)7 T k2 1 9 2=-(cos)；=co s-l=-(-l)A-l冗 K k7T k 7 1(:sinka/0C O *7 A 8从而 arccosx=工-(-1)A-l TA(x)=工k=成 九=1(2 1)2（X）。26、用最小二乘法求一个形如y=a+法2的经验公式，使它与下列数据相拟合,并求均方误差。1925313844%19.032.349.073.397.85 解 由 4 =3(巧),/(巧)=X 力=19.0+32.3+49.0+73.

48、3+97.8=271.4 i=5d2=(2(x.),/(x.)=y.x(2/=1=19.0 xl92+32.3x252+49.0 x312+73.3x382+97.8x44?。=6859+20187.5+47089+105845.2+189340.8=369321.55又(夕1(占),%(XJ)=Z 1 =5,/=!出(七),夕2(七)=毛2=192+252+312+382+442i=361+625+961+1444+1936=53275(/(0)+A J();J-2/tA 1.+Ah+A.=4hU 1A _ 1=A,“16,A +A=hT 1 3即4 解 分别取/(x)=l,x,/代入得到：

49、AhA _ 1+A 0+A 1=L/公=4/i 4 _ (一 )+&()+4人=f x d x =0J-2/4 1(_ 力)2 +A0-02+A/2 =J：产2 d x =y/l3At 34解得Ao=h ,0 3“8,A.-h3又因为当/(x)=x 3 时，A _ I(+=|肥+|3 =0=g/dx；当/(x)=/时，A (人)4 +4+4 力 4 =川+/=3%5 R 空/?5 =1/dT 1 3 3 3 5 从而此求积公式最高具有3次代数精度。3)/(x)J x /(-I)+2/(x,)+3/(X2)/3 ；解 分别取”了)=乂/代入得至|:(一 1 +2为 +3/)/3 =xdx=0 +

50、3x,=1 9)即 2 2(-I)2+2x；+3x；/3=0 2dx=-2玉 +3X2=1X =解得32=2-37271 +2V27又因为当/Of 时，=一1 +2*8-36&+*4吟3+6行+24+哈343 343二一36-11 吟。343 L(1)3+23(+33/3r,c 8+36痣+108+54痣 J-6直 +24-16-1 +2 x-+3-,343 343-36+114及 文343 人从而此求积公式最高具有2 次代数精度。4)f f(x)dx M/(0)+/(/)/2+ah2f(Q)-。解 分别取/(x)=一代入得到：/z(0+r)/2+加(_2/7)=；3,所以又因为当 x)=x3