数值计算方法练习题.pdf

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1、数值计算方法练习题习题1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有儿位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。x；=1.0021 X；=0.032 小 X；=385.63 X；=65,430 y x：=7xi o5-x；=0,10 xl 03力 X；=65,43002.为使下列各数的近似值的相对误差限不超过010 x10-2,问各近似值分别应取几位有效数字？X,1 =-3；2X,=101；X,=AAOT33.设用均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。X；（）演+弓+芥3；（2）Z1,X2：（3）石4.计 算/=（V 2-I）6,取 0 1.4,利用下列等价表达式计算，哪一个

2、的结果最好？为什么？（1）西+1）6；（2）（3-2、份）3；（3）（3+203（4）99-7025.序 列GJ满足递推关系式A =1OA-1-1 5 =12 ）若 =、也*1 4 1（三位有效数字），计算J i。时误差有多大？这个计算过程稳定吗？6.求方程（-56x4-1=0的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用J丽*27.982）。7.利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。1 1-x(2)1 +2x 1+X|刃 1;(4)r x+i d/JN 1+/H 1、I =-8.设 点 J o ,求证：(1)4 =14_ 伽=0,1,2,)(2)利 用(1)中的公式正向递推计算时误差增大

3、；反向递推时误差函数减小。9.设x 0,x*的相对误差为8,求f(x)=ln x的误差限。10 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。x；=1.1021,x；=0.031,%；=560.4011.下列公式如何才比较准确？即11加1+/J x+3-J x,|x|l(2)V X V X12.近似数x*=0.0 3 10,是I 位有数数字。13 .计算/=(尤 T)，取 正 卬14,利用|式计算误差最小。四个选项:厂 1 7(3-2 亚)3,1-,99-7072(72+1)6(3+2、3习题二1,已知八)=L/=2，/=4,求/(x)的二次值多

4、项式。2令4 =0,与=1,求y=e-x的一次插值多项式，并估计插值误差。3.给出函数y=si n x的数表，分别用线性插值与二次插值求si n 0.57891的近似值，并估计截断误差。X0.40.50.60.70.8si n x0.3 894 20.4 794 30.5 64 640.64 4 2 20.7173 64.设/（力,试利用拉格朗日余项定理写出以一 LIL2为节点的三次插值多项式。5.已知/W =+/+3 X+1,求 力2。,2】,2。及/12,21,-,28的值。6.根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算/J6 8 2）和/Q 813）的近似值。X1.6151.634

5、1.7021.8281.921尸2.414502.464592.652713.030353.340667.已知函数y=f（期的如下函数值表，解答下列问题（1）试列出相应的差分表:（2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。X0.00.10.20.30.40.5f(x)1.001.321.682.082.523.008.下表为概率积分 乃J 0 的数据表，试问:(1)x=0.472 时，积分 F=?（2）x为何值时，积 分P=0.5?X0.460.470.480.49P0.4846550.49374520.50274980.51166839,利 用/（力=/-3 x+l在x=0.1,0.2

6、,0.3,0.4,0.5各 点 的 数 据（取五位有效数字），求方程/（X）=在0.3和0.4之间的根的近似值。10.依据表10中数据，求三次埃尔米特插值多项式。表10X01013911.依据数表11中数据，利用基函数方法，构造四次埃尔米特插值多项式。表 11X012Y0-23加0112.在-4 4 x 4 4上 给 出/(=产的等距节点函数表，用分段线性插值求靖的近似值，要使截断误差不超过I O”，问函数表的步长h应怎样选取？13 .将区间 髭切分成n等分，求/(=/在 髭句上的分段三次埃尔米特插值多项式，并估计截断误差。14、给定/(x)=I n x的数值表X0.40.50.60.7Lnx

7、-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675用线性插值与：次插值计算ln 0.54的近似值并估计误差限15、在-4 WX*I：给出/(x)=e*的等距节点函数表，若用二次插值法求e的近似值，要使误差不超过 1 04，函数表的步长h应取多少？16、若八x)=x，+x+3x+l,#20,21,27 /20,21,2817、若(X)=4+i(x)=0,1,互 异，求 加的值,这里pWn+1.=叙 一 的18、求证束。19、已知/(X)=s h x的函数表Xi00.200.300.50KXi)00.201340.304520.52110求出三次Newt on均差插值多项式，

8、计算f(0.2 3)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.2 0、给定f(x)=c os x的函数表段0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61.00000 0.99500 0.98007 0.95534 0.92106 0.87758 0.82534用Newt on等距插值公式计算c os 0.0 4 8及c os 0.566的近似值并估计误差.2 2.求一个次数不高于四次的多项式P（X）,使它满足（ts*（x）=一 片+式工）,阀 2 0,s*f 令 +1 称为第二类C heby s hev多项式，试求 的表达式，并证明Bn）是-1,1上带权（x）X?的正交多项式序列.2 3、用

9、最小二乘法求一个形如=0+小-的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.Xi1925313844贝19.032.349.073.397.82 4、填空题 满 足条件P（6 T，f O）=P （l），P（2）=2的插值多项式p（x）=（）.(2)f(X)=2 x 3+5,则 f 12 3,4 =(),f 12 3,4,5=().4（0）（3）设双尸0,1,2,3,4）为互异节点，卜 色）为对应的四次插值基函数，则JO=（4国 +2）/式 X），（4）设 伙（X）七=是 区 间 0,1上权函数为p（x）=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中例（x）=l,则/伙 =（）,02（x）=（）习题

10、三1.给出数据如下表所示，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。X-1.0 0-0.75-0.50-0.2 500.2 50.500.751.0 0y-0.2 2 0 90.3 2 950.882 61.4 3 922.0 0 0 32.564 53.13 3 43.70 614.2 83 62.用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。3为+2X2=24-5X2=32 x j+x2=11-A +3X2=10-2+x2+x3=-2 X 2 x?+x?=-2（2）&+沟-24=43.用最小二乘法求一个形如y =a +力7的经验公式，使它与下表中的数据相拟合，并计算均方误差。X192 53 13 8

11、4 4Y19.03 2.34 9.073.397.84.在某次实验中，需要观察水份的渗透速度，测得时间t与水的重量W的数据见下表。设已知t与W之间的关系为即=0 1 ,试用最小二乘法确定参数“、S。t(秒)1248163 264W(克)4.2 24.0 23.854.5 93.4 43.0 22.5 95,试构造点集(-1 -0 7 5 -0.5 -0.2 5,0,0.2 5,0.5,0,7 5,1)上 的 离 散 正 交 多 项 式 系玛(x)。并利用所求的离散正交多项式系，对第二题中的数据求二次拟合多项式。6.现测量长度 4和4=1 5.5米、4=6 米，为了提高测量的可靠性，又测量到勺+

12、与=2 0 9米。试合理地决定长度4和 J的值。习题四1.确定卜列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度。.I*f(x)dx A_1f(rh)+&/(0)+A J Q I?J-f t ;1 ：J(x)dx N */(-)+&/(0)+4/(人)kZ),一 AM;W i /(-l)+2/(X2)+3/(X 3)(3)J1 3.f f W)dx a?f+/(到+月侬一。)2次 一 /例(4)J a 2 ；I=If 1exdx2.用辛甫生公式求积分 J。的值，并估计误差。3.分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分:0 4+x 2 ,8 等分积分区间;4

13、等分积分区间;,8等分积分区间;6 等分积分区间。4 .用 复 化 梯 形 公 式 求 积 分 问 将 积 分 区 间 分 成 多 少 等 分，才能保证误差不超过e(不计舍入误差)？5 .导出下列三种矩形公式的项(1)；(2)；Ja I =si n xdx,不 1 0 0,J1 6、计算积分 J。若用复合S i m pson公式要使误差不超过2 ,问区间 2要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间。与2应分为多少等分？1 7、用R om b erg求积算法求积分左1#.，取 人318、用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.I=f1 1J-l&19、用三点Gauss-

14、Chebyshev求积公式计算积分 X习题五1.用列主元素法解卜.列方程组4X +2X2+=7 5 x+x?一%=-6X 一 叼+2句=-22勺-5X2+2X3=-1 X j +5X2-2 X3=-1 l 是一种范数矩阵（）（4）只要det工 W ,则A总可分解为A=L U,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵（）（5）只要d e t N ,则总可用列主元消去法求得方程组=3的解（）（6）若A对称正定，则A可分解为j=尸，其中L为对角元素为正的下三角阵（）（7）对 任 何RX x X都有心I乩训（）（8）若A为正交矩阵，则,。陷穴）2 =1（）习 题 六I.对下列方程组考察用雅可比迭代法与高

15、斯一塞德尔迭代法是否收敛？若收敛，写出其迭代格式；若下收敛，能否将方程变形，使之用雅可比迭代法或高斯一塞德尔迭代法时收敛？4 再-x2-x3=1.8-%1+4-x3-x4=2一 X -叼+-x4=3x-5 y =4(1)一 x与 一&+=0.2 /八I234；(2)5 x+y =6.X+2X2-2X3=1X+0.4X2+(M x?=1%1+x2+x3=1 0.4 X +x2+0.8 x3=2(3)2 +2盯+/=1；(4)0.4 再 +0.8X2+0=32.试 分 析 用 雅 可 比 迭 代 法 和 塞 德 尔 迭 代 法 连 续 迭 代5次 求 线 性 方 程 组 的 解（取初值般=君。）=

16、嫂）=0）-4-Xi+10 x2-x3-x4=12-X-x2+5 j -x4=8-x2-x3+10 x4=343.用雅可比迭代法解下列方程组。(1)(2)2 0/+2X2+3X3=24X+8X2+x3=122xj-3X2+15X3=30X 一句+2X3=5 X+3X2=-12 +7X3=30取 那)=(0,0,0)，并判别此迭代是否收敛？4.用塞德尔迭代法解方程组。20公 +2X2+3X3=24 Xi+8X2+x3=122xx-3X2+15X3=30取=(0,0,0),并判别此迭代是否收敛？5 .证明对于任意的矩阵A,序列L A 9 3 .，二 敛 于零矩阵.6.方程组5句 +2X2+x3=-

17、12 -X+4盯+2X3=202xj-3X2+10X3=3(1)考查用J a c o b i 法和G S 法解此方程组的收敛性.(0)T 卜口+-X对II I。(2)写出用J 法及G S 法解此方程组的迭代公式并以x =(0,0,0)计算到 11为止.7.设方程组d/i +anx2=瓦+a?形=b23 1 1，。22*0)证明：解此方程的J a c o b i迭代法与G a u s s-S e i d e l迭代法同时收敛或发散.8.下列两个方程组A x=b,若分别用J法及G S法求解，是否收敛？,1 2-2A=1 1 12 2 1110 a 0A=b 10 b9.设 L&5 j d e t

18、A O,用a,b表示解方程组A x=f的 法及G S法收敛的充分必要条件.10 .用S O R方法解方程组（分别取3=1.0 3,3=1,3=1.1）4-X2=1 一 勺+4X2-x3=4-x2+4X3=-3.1 1 T精确解 W 5）,要求当|x-x阳L 5 x 1 0时迭代终止,并对每一个3值确定迭代次数.11.对上题求出S O R迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并 求J法 与GS法的渐近收敛速度.若要使 5x10那么J法G S法和S O R法各需迭代多少次？12.填空题a 10A=10-(1)2)要使；=0应满足().12（2）已知方程组敛速度R(B)=().0.321瓦.打，则解此

19、方程组的J a c o b i迭代法是否收敛（）.它的渐近收2A=（3）设方程组A x=b,其中 L1-11.5J其J法的迭代矩阵是（）.G S法的迭代矩阵是（）.+ax2=4（4）用G S法 解 方 程 组+*2 =-3,其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满 足（）.,1（5）给定方程组X-?2 J a为实数.当a满足（），且0 V 3 V 2时S O R迭代法收敛.习题七1.判断下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。X 1 八sin x-1 =U（1）3 4（2）x=2-ex(3)x3-5x-3=0 ；(4)x4+4z3+2 x2+1=02 .方 程/(x)=X”一 ,9矛一8.5=在区

20、间(3,4)中有一实根，若用二分法求此根，使其误差不超 过10“，问应将区间对分几次？并请用二分法求此根。3 .下列方程各有一实根，判别能否直接将其写成迭代格式而后求解？如不能，将方程变形，给 出,个收敛的迭代格式。1 7 、x 二 一 (cos x+sin x)v(1)4；(2)X=4-2X4.求方程x3-x2-1=0的隔根区间，对方程的下列四种等价变形，判断各迭代格式的收敛性，选一种收敛最快的迭代格式，求出具有四位有效数字的近似根。(1)狂 犬(2)X=V1+%2(3)*/.-1(4)X=Vx3-15.考察方程X=10 2有几个根，选择合适的迭代格式求这些根，允许误差=10 46.用牛顿法

21、求出的方程/(*)=根的迭代结果见表2-6,试估计所求根的重数。表2-6kXkX k-X k-l00.7 510.7 52 7 0 10.0 0 2 7 020.7 547 950.0 0 2 0 830.7 563 680.0 0 15740.7 57 5520.0 0 1185 0.7 584441 0.0 0 0 8897 .用二分法求方程-X-1=0的正根，使误差小于0.0 5.8.求方程X，-X*-1=0在X(J =1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.I 1 r =1 +1X=1+7 曲+1 1/(1)X,迭代公式 五.1(2)X，=1+二1迭代公式不上

22、+1=。+北 户1 _ 1=7 X*+l I _ 1(3)X-1,迭代公式 g 1试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.9.设方程12一3芯+2c o s x=0的迭代法2X k+i=4 +COSXE(1)证明对中 e R,均有出=x*其中x*为方程的根(2)取X。=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过1 0 T,并列出各次迭代值.(3)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.0(力(2io .给定函数/(x),设对一切x,/(X)存在，而且 m f(x)*3.用事法求矩阵232A=A=4.用反塞法求矩阵泮=(1,1,1)，103436的强特征值和特征向量

23、，迭代初值取y”=6223最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取5.设A GR非奇异，A的正交分解为A=Q R,作逆序相乘A尸RQ,试证明(1)若A对称则A也对称；(2)若 A 是 1:H e s s e n be r g 阵，贝U A|也是上 H e s s e n be r g 阵。4=6.设矩阵11 2(I)(2)(3)任取一非零向量作初始向量用事法作迭代，求A的强特征值和特征向量；用QR算法作一次迭代，求A的特征值；用代数方法求出A的特征值和特征向量，将结果与(1)和(2)的结果比较。2A=02-117.设矩阵-1 1(1)用H o u s e ho ld e r变换化A为对称三对角阵

24、人1。(2)用平面旋转阵对人1进行一步QR迭代计算出48.用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。423001 0,(2)A=1 2 102 309.设A Rnxn,且已知其强特征值人和对应的特征向量X，(I)证明：若构造H o u s e ho ld e r阵H使 比 =3 (常数A。=(1,0,0)G R),则必有H A H =4 x0 A其中,x e K，且A的其余n-1个特征值就是Al的特征值。32A =(2)以3一2为例，已知4=4,x=(2,1)7,用以上方法构造H阵，并求出A的第二个特征值10.对以卜.的实对称阵用QR方法求其全部特征值。(DA=3 1 04-11 4 2,(

25、2)4=-1 30 2 11-2-23习题九I.取步长 =0.1,分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题V+y=x 0%0,4=xy2tQ x 0,4(1)1X0)=0 ；y(0)=l 2准确解：(1)y(x)=e-x+x-l ;(2)八可-+2；2.用四阶标准龙格一库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。3.用欧拉法计算下列积分在点x=0.5,1,1.5,2处的近似值。4.求卜列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。,、匕+i =匕 +3/,一4 _J%+1 =%+/2 3 4-16 九I +5力_ J,、4+1=%i+%_i+4Z,+J(3)3、八+1 =刈-3+：施 力 _2

26、-力一1+2力1(4)J5.用Eul e r法解初值问题y=+1 0 0 丁(0)=取步长h=O.l,计算到x=O.3(保留到小数点后4位).6.用改进Eul e r法和梯形法解初值问题丁=一+无 一 乂?(0)=取步长h=O.l,计算到x=0.5,并与准确解丁=一1+x+l相比较.7.-%+i =居+大 必+#i)A=/(%)证明中点公式(7.3.9)2 2 是二阶的，并求其局部截断误差主:项.8.用四阶R-K方法求解初值问题丁=3/(l +x),0 xl,(0)=1 取步长h=0.2.y =y +h(55工-5 9工+3 7工 2 一9工 3)9.对 于 初 值 问 题2*2 4、八八 J

27、*“心10.(1)用Eul e r法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定？11.(2)若用梯形法求解，对步长h有无限制？12.(3)若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取？h、+1 =八 +且(55以 一 59力 +37以一2 一 9九.3)13.用四步四阶的A d a m s显式方法 24求解初值问题A 3 x-2乂0 M0.5,y(0)=1 取h=o.i.14.用形如八+1 =a8 +y*-D+M A)工+/“)的线性二步法解y=(x jky Oo)=坊15.试确定参数a，o，i ,使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.习题一LXI LI xl O-4L x 10-3 Lx

28、l0-l1.(1)5,2,2；(2)2,2,6I xl O-1L x ILI x l O_ 3 xl O*(3)4,2,6；(4)5,2,12I x l O51-J-xl O I xl O _1(5)1,2,(6)2,2,2；I xl O-4 xl O-5(7)6,2,122.口=4；=3.月=43.(1)0.5055 xl O-1;(2)0.50265 xl O-3.(3)4.9 1x10-14.第(3)个结果最好1x105.不稳定。从 计 算 到,1。时，误差约为26 Xj 55.9 82 r2 0.01786求I n x的误差极限就是求f(x)=l n x的误差限，有(4)叫 x*)=|

29、W x)/x*)|L 布 罚 I/(X)15(X*)|x-r*|1 *i M J 1 f(x)=l n x,f(x)=,|r-x*|5(x*)=z.l x*1已知x*的 相 对 误 弊 满 足l x I，而 x 1，故|I n x-i n x*凤*品区|X T*|x 1|x*D*、I X-X*I 1 /J3(l n r*)=J-即/x*1-5-810.直接根据定义得j 5(x)l xl 0 枷X1有 5 位有效数字，其误差限 r 2，相对误差限 2/15(x；)l xl 0-5(rl xl O-1 有 2 位有效数字，、2 八”6fNH -dx=a rc t a n f N +l)-a r c

30、 t a n N(1)J H 1+r2.5(x；)l x l 0-2A(r；)1 0-J1 3 有 5 位有效数字，21 1.要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。1 2.3 位1 3 (3+2亚 产习题二玛(x)=g x1.L+L+i22 .爪x)=i+(/-i)盘鸟二?屹7 Y介于，和。，1 决定的区间内;医(2，当)时。3 .0.5 4 6 6 7,0.0 0 0 4 7 0；0.5 4 7 1 4,0.0 0 0 0 2 94%4-(x +l)x(x-l)(x -2)=2 x3+x2-2 x5.1,06 /(1.6 8 2 2.5 9 6 3 3 /(1.8 1 3

31、)2.9 8 2 8 17,向前插值公式片(x)=鸟(0 )=0 0 2户+0.3 0/+1.0 0向后插值公式8()=-)=。2户一 0.5 0/+3.0 08.(i)P-0.4 9 5 5 5 2 8 .(2)r 0.4 7 6 9 3 5 99.0.3 3 7 6 4 8 91 0.4 x3-3 r-2X3(X-2)2-x2(x-1)(%-2)+x2(x-l)21 1.41 2.A 0,0 0 0 3 81 3.同 如A 14、解 仍可使用n=l及n=2的Lagrange插值或Newton插值，并应用误差估计。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值I n 0.5 4 -0.

32、6 9 3 1 4 7 +-0.5 1 0 8 2 6 +0.6 9 3 1 4 70.6 0.5(0.5 4-0,5)=-0,6 2 0 2 1 9IJR,(%)|-|(x -0.5)(x -0.6)1 X)=l n x,f1 =-7,跖=靛3误差限 1 1 2 2 1 因 x故g=4|(x)|1 x 4 x 0.0 4 x 0.0 6 =0.0 0 4 8二次插值时,用 0.5,0,6,0.7 三点，作二次 Newton 插值 1 no-54 卬-0.620219+力0.5,0.6,0.7(0.5 4-0 5)(0.5 4-0.6)=-0,6 2 0 2 1 9+(-1,4 0 8 5 0

33、)x 0.0 4 x(-0,0 6)=-0,6 1 6 8 3 9122|与(初%|炽-0.5)(%-0.6)(x-0.7)1 1(x)=pM3=晨 正 妙=1 6误差限 3!x x,故R2(X)|1X 1 6 x 0.0 4 x 0.0 6 X 0.1 6 0,0 0 1 0 2 4615、解:用误差估计式，=2,7(x)=ex,/()=eK令毛_ X x X Xj+i，k=怎 一号 一1，不 一1 =%瓦玉+=演+我2 I&川|(工-石)(五 一 号+1)|=1 0 6因3 y 3Qf t与xloE/v0.0 0 6 6得 J了 值 用 一,演-4#)1 6、解：由均差与导数关系 n/(x

34、)=x7+/+3 x +L*(x)=7!J =0/2,21,.,27=1X7!=1,/20,21,.,28=0于是 7 117、解：/(x)=4+i(x),/(x J =0(工=0,1,/),由均差对称性/1 x0,x1,-,x/=2P啊+1(再；可知当P X ”有 力 而，X1,孙=0而当P=n +1时力 而，,，匹+J=1/(西)/。；+2 5)=1j-0J 6+1)力 两,和 ，X/=E于是得 U，P nP =n +11 8、解：只要按差分定义直接展开得%=三(5+i-5)j-o j-o=居-以-1 +以-1 -以-2 +乃-A x o=的*一励01 9、解：根据给定函数表构造均差表X

35、if (X i)一阶均差二阶均差三阶均差000.200.201341.00670.300.304521.03180.083670.500.521121.08300.170670.17400当n=3时得N ew t o n均差插值多项式N 3 (x)=1.0 0 6 7 x+0.0 8 3 6 7 x (x-0.2)+0.1 7 4 0 0 x(x-0.2)(x-0.3)由此可得 f(0.2 3)N 3 (0.2 3)=0.2 3 2 0 3由余项表达式可得R(0.2 3)|=/zo.Xp Xj,%0.2 3 4 (0.2 3)由于/描，Xi,M。2 3 卬 0.0 3 3 1 3 3|A3(0

36、.2 3)|0,0 3 3 1 3 3 x 0.2 3 x 0.0 3 x 0.0 7 x 0.2 7 计算 h,用n=4得N ew t o n前插公式N4(X0=th)=+/1()Z-1)+-Z(Z-1)(/-2)-1)(/-2)(/-3)=1.。+。.4 8卜。.。5。-。.5 2(誓1.5 2(竽-2.5 2乂等)误差估计|R 4 (0.0 4 8)区牛依-1)-2)-3)-4)忙 V 1.5 8 4 5 x 1 (J其中=|s i n 0.6|=0,5 6 5c x-0.5 6 6,x6=0.6,Z=X(=-0.3 4计 第0 s 0.5 6 6时用N ew t o n后插公式(5.1

37、 8)hc o s 0.5 6 6 寿 阳(说 +成)=%+%V2/+1)+号A3/Z+2)+学A4 f第+D)+2)+3)=0.8 2 5 3 4-0.34x.0 5 2 2 4 +0.6 6 x(2 2 2还+1.6 6 竺吧i +2.6 6*”吧圳L I 2 I 6 2 4 )=0.8 4 4 0 5误差估计得|凡(0.5 6 6)|M 学 J(+1)+2)+3)+4)苗 W 1.70 64 x 1 CT，这 里 仍 未o.5652 1、解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造舄（X）使它满足3（）=产3。）=3。）=1,显然（X）=，Q -X）,再令p (x)=x2

38、(2-x)+Ax2 (x-l)2由p =1求出A=,于是p(x)=/2 X4-(X-1)2 =1X2(X-3)22 2、解:因4+i(x)=c o s 3 +l)arc c o s x%+1 /l-x2令 尤=cosJ s*(X)SM x2dx=s i n 5+1)6 s i n(冽+1)田e0,m n冗,m-n-22 3、解：本题给出拟合曲线V=a+3 x2,即仰（X）=l,仍（x）=故法方程系数(W 0 o)=,厨(%)=544(0 0，仍)=53 2 7,(仍，仍)=工 就=72 77699i-0 i-044(仙，y)=2 71.4,(仍 j)=也=3 693 2 1.5i-0i-0法方

39、程为5a+53 2 7i =2 71.453 2 7a+72 7769泌=3 693 2 1.5解得 a=0.972 60 4 5,b=0.0 50 0 3 51最小二乘拟合曲线为V=0.972 60 4 5+0.0 50 0 3 51，均方程为I碓=3 卜(%，力-/仍)=0.0 1 50 3 2 1|4=0.1 2 2 62 4、解答:7 0)=&X+1)(X-1)2(1)2 川 2 3,4 =2,川,2,3,4,5=0442 (0)=02(城+2必住)=小+2(3)i-0 2-0 x 伍(x)dx=y/(b-a)3M f(2s)(1)2$2 =1 7.3 2 2 2 2 .=-1 1.9

40、8 4 94S3 1.9973 5M=m a x|/r(x)|(2)2 ；(3)2 46.(1)鸟=5 7 1327 2,0=0.71 3 2 727.3.1 4 1 58 0 0 728.(1)1.0 99768；(2)1.0 98 62；(4)1.0 98 0 3 9；(5)1.0 98 609 4=一。.8 Xj =0.690 96 x2=0.1 3 976(3)1.0 98 61 2；1 0.-0.2 4 7,-0,2 1 7,-0.1 8 91 1.0.2 60 01 2.0.3 53 5541 3、解 本题只要根据复合梯形公式及复合S i m p s o n公 式(6.1 3)直接

41、计算即可。/=X对 4+#,取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按复合梯形公式求出T=0.1114024,按复合 Simpson 公式求得S4=0-1 5724,积分2-I 4+x2 dx-0 111571781 4、解：直接用Simpson公式得rl1 -.命 ”+4e 2+e-i)=0.63233估计误差，因*x)=e “J(=。故4原/)|=1 Y 1180A2 3.5x10180 1615、解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。(1)令7(x)=1,冗/，/代入公式两端并使其相等，得力+B+C=1&i+C =g+C =；雨+C=(1八|,C =16,于是

42、有1 j，fl 解此方程组得1 26,、4 If l x 4dx*2/(1)、4+1 =5再令/(x)=x，得 J。3 2 6 24故求积公式具有3次代数精确度。(2)令*X)=L x,/代入公式两端使其相等，得4 1+4+4=4%X_(-)+4/=o t-/_ I +4 =04(-力)2+4/2=|(2与3 +4 吟 OA儿 产4=与九4 =_ 5 4.令/(x)=/解出 3 3 得1 3以=|旗 _ 幻3+3=0而对y(x)=X不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。(3)4/炽)=1,五,X代入公式精确成立，得A+B=2h 5.08,取产6,即 区 间 2 分为12等分可使误差不超过5

43、对梯形公式同样黑w 2 夕（工）曰，由余项公式得兀|凡（/）|磊M J xlO 51乙 乙，8 乙2 l(-)3xl05 6.46x104即 6 2ci-X 10-5阀之254.2取联255才更使复合梯形公式误差不超过21 7、解：本题只要对积分J。使用Rom b e rg算 法(6.2 0),计算到K=3,结果如下表所示。,球不 心00.68394010.6452350.63233320.6354100.6321350.63212230.6329430.6321210.6321200.632120-1=0.71 3 2 71于是积分J乃加，积分准确值为0.71 3 2 721 8.解：本题直

44、接应用三点Gauss公式计算即可。S 1 1 X =-(/+1)由于区间为国，所以先做变换 2rl 0 v fl 1 r 1(?+1)Z=x2e dx=J i-(/+l)2e2 dt于是I -0.5 5 5 5 5 6 x (1,774 5 9 72 e0 8 8 72 9 8+(1 -0.774 5 9 7)2 e8本题精 确 屈=e -2 =0.71 8 2 8 1 8 2 81 9、解：本题直接用Gauss-Ch e b y sh e v求积公式计算7_ f l 1 ,f l 1 1 ,1-1 -dx-1 .-d x,括 一/J-l J 1-尸 J 1 +/(X)=/2即+X,我 1I

45、2/1-阀 +1 仁 4-T2于是 E R q i+Xx,因n=2,即为三点公式，于是xk=c os 1 rc,k =0,1,2 与=*，勺=，=当k 6，即 2 2产 1 1吗+0.8 8 8 8 8 9/5 =Q71 8 2 5 2故Z7 冗3（1,1,1），；2.(1)(1.2,1.4,1.6,0.8)1；3.对第1题中的系数矩阵=2.630411习题五.；(2)(-1.5,2,1,1)T13-249-8100-551.5101261 12 61-18 526对第2题中的系数矩阵4.(1)8,12TJ2125123151 35；6,134V1 8 +V2 60 ,85.解本题是Gauss

46、消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。13 x?=15415 3x3=-154x153=-177.69町=-6 0(-4 +5向)=476.92=4(9-x3-x2)=-227.08故 6 56.解：先选列主元=2,2行 与1行交换得-1 8小月-18121-18003行 与2行交换L回代得解工3=3,为=2,行列式得3-1-150-33151160消无一17-3171831-63761-1171873-1 5315消元1-180037-67-6171822一73166677 22d et=6 77.解：由矩阵乘法得-661114A=LU=43215160-361161

47、451315再 由 /=力求得-154)由解得X=(-227.08,476,92,-177.69)r8.解：A中 色=0,若A能分解，步分解后，22=2 2+与 2=盯2=0，“3 2=4 2+0 +相互矛盾，故A不能分解，但det 0,若A中1行 与2行交换，则可分解为LU对B,显然A 2=A 3=0,但它仍可分解为且U奇异。C可分解,6 319.解：用解对三角方程组的追赶法公式计算得且唯一。12 3 4尸1=一 ，尸2=一耳，尾=一 了 ，=-5_0 _ 3 _ 4 _ 5 _ 6al 2,叼一-号。4 -J，%一 5_/1 1 1 l、r,_,5 2 1 1 1、了yk23,4,5,6)

48、，X-6,3,2,3,6)1 0.解：用4 =乙严分解直接算得4L=1 22-3 3由力=力及不 x =T求得 =(-1,2,6)r,x =(-p4.2)r1 1解：卜I：=号鬻君+W=同:即IHL-H a ,另一方面卜|：=w+W+W夕晦忖|=w t故 凡 名 赤 卜I L1 2.解：K=L L MI=0&MF=V =0-84r r o.37 0,331 rAr A=，)=0.68 5 340.33 0.34故愀=7 0,68 5 34=0.8 27 8 513.证明：根据矩阵算子定义和Ml定义，得II,|=吨1网?b1四网”TRLFT劄=科,因p非奇异，故x与y为一对一，于是14.解：记A

49、240-319-179 2403A0-0.5-0.5 0则A x =b的解x-(4,3),而+朋)(x+及)=8的解(x+凉)=(8,6/故卜IL=4,|矶=4而A 1 =旃1 n2490 23419CJ C()9 =IMI 1 iUt I.LI.=6 2 6 2ll =0-5-k1U K =056012由(3.12)的误差估计得Condk Av画LML0.560120.439881.2741-ll&L 工1万4帆 5.10表明估计I2IL=4略大，是符合实际的。15、答案：(1)3 (2)(-)(3)(4)G)(5)3 (6)(+-)(7)(8)(f习 题 六(1)(2)(3)(4)雅可比迭

50、代法收敛发散收敛发散高斯一赛德尔法收敛发散收敛发散2.雅可比迭代法:塞德尔迭代法:中=0.9 47 48甲=1.9 69 12嘤=29 4312甲=3.9 69 14x)=0.9 9 5 14x 4 =1.9 9 8 03x )=2.9 9 7 7 7x P =3.9 9 9 093（1）范数10仰 1,故雅可比迭代法收敛x9=0.7 67 4印=1.138 4卓=2.125 6 范 数Ml 1,由1可判定雅可比法收敛。4.方程组系数矩阵对角占优，因此塞德尔迭代法收敛婷）=0,7 67 4芯4）=1.138 4守=2.125 6与3题（1）迭代结果相比较，这里收敛速度快。运蛆-A1 =05A