北京航空航天大学历年数学竞赛答案.pdf

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1、北京航空航天大学2012年数学竞赛试题填空题(每小题6分，共6 0分)1-l i m =_-I 1-x+l n x2.设/(x j)-，x rO:i J/；(o,y)=.,y,x =o,q rl n(x+2)-l n(x+1),-；-d x=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _J X2+3X+24.函数/(x)=r-%(/-)/的极大值为.5.设 =/(x y z)，其 中/有 三 阶 连 续 导 数，/=0/(1)=1,3=x 2y 2z 2(孙z)，则d xd yd zf(x)=-6 .已知函数/(x j)在点(%,为)处可微，且在该点沿着向量,=1,1和3=

2、-1,1的方向导数分别为1和0，则/(x,y)在点(x ,为)处沿着向量*=3,4的方向导数为.7.设。：(x 1)+(y 1)-W 2,则 JJx dx dy =-D_1008 .设/=1(l-x y dr,贝-=|9 .基级数1 +二+1 +式+的和函数为.4!8!12!16!10.已知 f(x,y)d x+x cos yd y=2/si n(Z2)，且 f(x,y)有 一 阶 连 续 偏 导 数，则f(x9y)=二.已知连续函数/(、)是周期为T的偶函数，且 /(%)治=全设=1 xfx)d x,n=1,2,3,求塞级数2%一和函数=1加三.设 x,y,z)在区域。:/+产+2241上有

3、连续的偏导数，且在边界上取值为零.求l i m 0Xfx+yfy+zf,(&+/+z 2)3dx dj也.四.设P为曲面S：x 2+V+z 2-y z =l上的动点，若曲面S在点P处的切平面与X0 P面垂直,求点P的轨迹，并计算曲面积分/=Mc+z改+xd z,其中r的方向从Z轴正向看是逆时针方向.五.设 函 数/(x)在 0,1上有二阶导函数，/(0)=1)=。，且 x)在 0,1上的最小值在区间内部取得，最小值为人 证明存在J(0,1),使 得/C)N 8(a 6).北京航空航天大学2012年数学竞赛试题答案一、填空题(每小题6 分，共 60分)L lim-=4v-*1-x+lnxexy-

4、l ,2 设/()=x 工 ，则/(0,y)=匕,y,x=0,3 fln(x+2)-ln(x+l)、ln2(x+l)h?(x+2)八J x2+3x+2 2 24.函数/(x)=/-%(/-%/的极大值为5.设=f(xyz)，其中/有 三 阶连续导数，/(I)=0,/(1)=1,=,r2y2z2fm(xyz)d xd yd z则/(工)=3 丘 一3 2 26.已知函数/(x)在点(%,%)处可微，且在该点沿着向量5=1,1 和 小 -1,1 的方向导数分别为1和 0,则/(x/)在点(%,为)处沿着向量5=3,4 的方向导数为噜7.设 Z):(x 1)+(y I)?W 2,则 JJxdxdy=

5、2).D&设X=*3(i_ x)d x,则 x,=An=9.基级数1 +大+大+二+立+的和函数为Le*+LT+cosx.4!8!12!16!4 4 210.已知)f(x,y)d x+xcosyd y=2/sin(/2)，且 f(x,y)有 一 阶 连 续 偏 导 数，则f(x,y)=si”+2,cos x2+sinx2.已知连续函数/(x)是周期为7 的偶函数，且m.设af i=xf(x)d x,=1,2,3,求嘉级数/鱼犬和函数.M=1加解：(1)令x=乃一Z,则心=1/(1)由。=彳 1/(/)d/=2,=1,2,3.00级数n=l n=-1 +1(-!)!8 n-2xn=x2 y _

6、x _d)!g xT+x)-占(T)!=x2ex+xex,X E(-oo,+00).三.设/(x,y,z)在区域C:+y 2+z 24i 上有连续的偏导数，且在边界上取值为零.求l i m0jn、,2.r2+y2+z2 6)解得翠 X o 2=b,管(1 7。)2“-6,jm)+W =(a_/,)(_ L+_二)2 8(0 与，(易 求 函 数 歹=!+丁 二 在(0,1)内2 2 x02(1 _与)2，x-(1-x)2的最小值是8).由 导 数 的 介 值 性 知 存 在 使 得/”=华+争北京航空航天大学2010年数学竞赛试题一.填空题(本题共6 0分)1 .设函数/(x)在区间(0,+8

7、)内连续，对任意正数x ,有/(x)=/(x2),且/(3)=5 ,则川)=_2 .设/(幻=上，贝U/(x)=3 .已知/(x)在(-0 0,+8)内可导，且 l i m/(x)=g,x*2l i m()x=l i m/(x +1)-f(x-1),贝U c=X-W X C XT84 .已知，(x +p)3 e(d *=0,则。=.Z X p5 .当p满足 时，级数型芈绝对收敛.CC6 .l i m(l -x)2 nxn=Xf 1-=17 .已知/(x)=/(x +4),/(0)=0,且在(一2,2 上有/(x)=|x|,贝U/(9)=8 .计算积分 丘“如尸心=9 .设Z是八面体|x|+|y

8、|+|z|l的表面，则 积 分JJ(x +2z+3)dS-_1 0 .设由曲线必=x与直线x =l所围的均匀薄片(面密度为1)绕过原点的任意直线的转动，则该转动惯量中的最小值为(本题 1 0 分)设口=-si-s i n-Q a 0 d z+yd zd x+zd xd yz (x2+y2+2 z2)32,其中Z:z =6-(x-1)2 -(y-2)2 的 Z N O部分的外侧.五、(本 题1 0分)求最小的实数C,使得满足j/(x)|d x =l的连续函数都有01f(K)d x 1-n=16 .已知/(x)=f(x+4),/(0)=0,且在(-2,2 上有 f x)=|x|,则/(9)=7 .

9、计算积分 f可 班 3z=一却T)-8 .设Z是八面体|x|+|y|+|z区1的表面，则12j j(x +2 +4 z +5)2JS=_1 1 4 V39 .设函数“=/+与，直线乙是直、线 2 z l =在平面=5上的投z2 U-2 z +4 =0影，求在点尸(0,0,1)沿直线的方向导数1忑(规定上与Z轴正向夹角为锐角的方向为e的方向)1 0.设由曲线F=x与直线x =l所围的均匀薄片(面密度为1)绕过原点的任意直线的转动，则 该 转 动 惯 量 中 的 最 小 值 为-1 5b二.(本 题 本 分)求P的值,使J(x +p)3 e(x+P严d x =0aa+bb b+p 2解：p=_ a

10、+b 时 j(x+p)3e(x+p)1 d x =j(t)3e t,J d t =|t3er d t =02 a a+p a+br三、(本题1 0分)设R二-也 包 选 曲-s i n as i n P +s i n ps i n y +s i n y s i n a,TT(0 a p y y),试问a,p,丫中哪一个的变动对R影响最大?他解 RD =-1-+1 +-1s i n a s i n p s i n y两边取全微分=dR=-警d a-驾d p-曾d ys i n a s i n p s i n y/cos a,cos p cos y ,)d R =R 1 da +-d p+-d y

11、(s m a s i n p s i n y J故 圾=葭 等d a,=R dp,K=R 2 W L d yd a s i n2a 郎 s i n *3 s i n 2 y由r h于h 0八 a op y cos三B cosy 0八,2 sin2a sin2P sin2y葭 正 而，因此a的变动对R影响最大四、(本 题10分)设f(u)为连续函数，L为分段光滑的平面闭曲线，求 f(x2+y 2+x y)(2x +y)dx +(2y +x)dy 五、解：因f(u)为连续函数，故F(u)=Jf(t)dt存在，且有0dF(x2+y 2+x y)=f(x2+y2+x y)d(x2+y2+x y)=f(

12、x2+y2+x y)2x +y)dx +(2y +x)dy 所以，*f(x2+y2+x y)(2x +y)dx +(2y +x)dy =0L五、(本题 1 0 分)已知 a n uj-2 J x,求 (-l)nan_ 1 +e n=0(t=-x)1 f,nf 1 1 L -f 1 I ,an n =2 J x U-+-e-x H-l-+-e-x dJ x -x-dx =-2-n-+-l,n=1,2,S(x)=(-l)nanx2n+l=,S(0)=0,-1X 1,n=O n=O 2n+1*1xS (x)=Z(-x)2 =-S(x)=arctanx ,(-i)nan=S(1)=-n=0 1 +X

13、n=O 4六、(本题 1 0 分)设 f(u)在 u=0 可导，f(0)=0,Q：X2+y2+z2 arCSI|jf(x2+y2+z2)dV =Jd0 jdr jf(r2)r2 sincp dcpC 0 0 02t arcos 8 2 t r2T I jr2f(r2)(-cos(p)|0 21 dr=2K p2f(r2)(1-)dro 0 2t既：好(x2+y2 4-z2)dV =2n l im1 0+2t 2tt jr2f(r2)dr-jr3f(r2)dro2 ot62tjr2f(r2)dr2n lim -rt-o+6t5=2 兀 limt-0+2(2t)2f(4t2)_ 32 KH m3

14、0t415 i0+f(4t2)-f(0)=32Kf4t215 I)七、(本题1 0分)求最小的实数C,使得满足J|f(x)|dx =1的连续函数都有Jf(V x)dx 2o o n+2因 此 最 小 的 实 数 C=2。(n oo)北京航空航天大学2009年数学竞赛试题一、填空题(每题5 分),.V 2+V 3+V 4.,1 .l im(-)=32.设a 0,f(x)=(x*则 l im M(x)=XT+OC3 .当x f 0时，e*+111(1-)-1与0是等价无穷小，则二r+y pi 2 cr zdu /d v,则=_5 dxdy5.设 fex)=sin x +cos x9 贝 lj /(

15、x)=.V2 26 .求二重积 分，+，其 中 D：x 2+y 2(8 .设曲线L:y=1-起点和终点坐标依次为4(1,0)、3(0,1),则变力了=*2y,xy沿该曲线做功为 o线 1 42 d Inx ,9 .已知 2 T=，则|dx=J “2 小 一x -n=ln 0 1 x1 0.设有向曲面N:|x|+|j|+z =l9z 0,外侧。则积分*dydz+dzdx+dxdyX N+M+z二、设函数f(x)=If Idt,X e-1,1,试讨论函数/(x)的奇偶性,并求心设p 1,试判别级数zM=1nV,+2p+-+np的敛散性.四、计算曲面积分Irr xdydzJJx2+j2+z2-其中E

16、是曲面*2+_/=R2介于两平面7=R之间的那部分表面的外侧。五、在曲面N：z=4+J(0 4 z W/z)内如何作内接长方体，才能使得长方体的体积a2 b2最大？求最大体积。六、设函数/(X)在 0,1上连续，在(0,1)内可导，满足/(0)=0,/(1)=1,且p(x)0,/(X)=(X，则 lim 犷(x)=0 xf+003.当X T0时，e*+ln(l x)-l与 好 是等价无穷小，则=_ 3 _,a =64.设 =r 而fe”加，则 之 三=_ 尸_小 小 dxdy5.设/(1)=加 工 +(：0 =一万，其中D:4 17.已 知I-x1 2 x2e*2 d x =裴,(k 0),则

17、 dx=_(后-1)后8.设曲线L:y=1-*2,起点和终点坐标依次为4(1,0)、3(0,1)，则变力F =x2y,xy沿该曲线做功为21 5c g 1 2 n l,Inx%29.已知 i=,贝 ij I-d x=-6 加1-*610.设有向曲面N:|x|+|y|+z =l,z N 0,外侧。则 积 分 口电当善半由 空x +v+z2二、设函数/(x)=1/If Idf,X -1,1,试讨论函数/(x)的奇偶性，并求/(x)Jx解：y(x)=t t d t=1 +x3_ _ 3，-1 +x3-1 x 0,f(-x)=f(x),偶函数。0 x i,试判别级数zW=1n1+2。+.+/的敛散性1

18、解:n1 +2。+/,因为 z(L)p)(i 1 r n n*Ec1)-,=i nnpxpd x=1p +l 所以此级数收敛。四、计算曲面积分/=!上孝孑其中2是曲面*2 +y 2 =R 2 介于两平面z=R 之间的那部分表面的外侧。解：作辅助平面N1：Z =R,上侧，E2：Z =-R,下侧,7_ f f xd yd z _ f f xd yd z _ (xd yd z(xd yd z f f xd yd z=J J V2 U-V2-Lr2=J J R2 上 J=J J p2 ,T2-J J p2.2 J J .2N“+j+Z N+Z1+N2 A+Z N l +Z z-dv+z2兀2R2五、在

19、曲面N：z=+J(0 4 z 4/z)内如何作内接长方体，才能使得长方体的体积a2 b2最大？求最大体积。解：在 第 一 卦 限 的 N 上 取 一 点(x,y,z)做 为 长 方 体 的 顶 点，则该长方体的体积为2x-2y(h-z)2 2设拉格朗日函数七=2*-2_(/1 7)+；1(三+二 一7),a2 b24y (A-z)+M =0,4x-(h-z)+2=0,-4xy-2=0,za2 b22 2x,ya b&nZE3a 4 h b4h h Xrri,abh2解得x=-,y=-,z=,取大体积为-2 2 2 2六、设函数/(x)在 0,1上连续，在(0,1)内可导，满足/(0)=0,/(

20、1)=1,且p (x)Jx=p 试证明：在(0,1)内至少存在一点疯 使得了 0 =0.证明:设辅助函数F(助=/(x)-x,则尸(0)=0,尸(1)=0,又 由(/(xMx=；知:尸(x)dx=0,从而存在ce(0,1),使得尸(c)=0,由罗尔定理知在(0,1)内至少存在一点，使得尸 0 =0,即 有/(4)=0.北京航空航天大学2008年数学竞赛试题.填空题(每题4 分，共 4 0 分)1 .l im n(V x -1)(x 0)=.w002 .设/(x)=/+/si nr，则使/w(x)连续的阶数2 的最大值为=_ _ _ _ 0,x =03 .设/(x)=xa r c t a n x

21、,贝/皿*。)=.4 .直线乙:%+1=NT=z与直线/T=V +l =z 1 所在的平面方程为1 1 1 1 2 4 8 5 -l n(l +x2+盯)八5 .设%/)=贝 U /；(0,0)+/；(0,0)=.乂 x =0n 4 r6 .p (ab w 0)=J o a s in x +Z)*c o s x7 .当x -0 时,，1 +%。-1(&0)是比 l n(l +/)d/高阶的无穷小，则 a的取值范围为_.38 .曲线y=s in 2 x(0 x兀)与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体 积 为 一.9 .设有向曲面E:z=j 4-x 2-y 2,上侧，则 向 量 场)=1

22、,2,3 在，上的通量为_ _ _.1 0 .已知X=2Y (1 严 空 竺(万 x万)且之(1 严 二=二”=i n =i 1 2则/的傅里叶展开式为.,p s in (2n-l)x,二(本 题 io 分).求/=-:-口J o s in x三(本题io 分)设/(%)在 0,2 上有一阶连续导数,且/(0)=/(2)=1,|f(x)1.四(本题1 0 分)求 暴 级 数 l +f(T)的和函数急(2)!五(本题1 0 分)已知函数/(X)为 0,+8)上的连续函数，且满足方程/=兀 7+JJ广 焉 在+/)*dy,求/的表达式.x2+y2 0（。为常数），记S）为球面，+/+（z _ q）

23、2 =/2被包含球 面x2+y2+z2=a2内部部分的表面积.试求S（/）的最大值.七（本 题1 0分）.求4/出+2 2山；+尤2出，其中-为曲线Z=JR2y 2,X 2+y 2 =&（冷0）,若 从Z轴正向看去，。为逆时针方向.北京航空航天大学2008年数学竞赛试题答案一.填空题（每题4分，共4 0分）1.lim n（Vx-1）（x 0）=In x.一 83 4.1 n2.设/（）=-+*sm,则使/（）（x）连续的阶数的最大值为=.0,x=03.设/（x）=xarctan x,贝U/顺4。）=_ 一 2008 2006!.4.直线/|：牛=号=；与直线，2：F=燮=F所在的平面方程为3x

24、+V 4z +2=0.ln（l+JC2+盯）八5.设 x,y）=；则/；（0,0）+/；（0,0）=_2.y,x=0,fv dx/,八、1 a6.4-（ab。0）=_ arctan _.J。a sin-x+b cos-x ab b7.当x 0时,Jl+x。-l（a0）是 比 、ln（l+/）d/高阶的无穷小，则a的取值范围为_ a 4 _.38.曲线y=sin?x（0 W x W兀）与x轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体 积 为.一 3 一9.设有向曲面2:z=上侧，则 向 量 场)=1,2,3在2上的通量为12 乃.10.已 知 =2(-1)+1丝 (一 乃 乃)且之(1)|-=匚 则

25、F 的傅里叶=1 =i 12展开式为/=口+4名(一1)叫 土3 M n-rr s i n (2n-)x,二(本题 i o 分).求/”=I -:-d xJ o s i n x.7s i n (2n+)x,rs i n 2nx c o s x+c o s 2nx s i n x,解：&i=-j x=-；-d xJ s i n x J s i n x0 0_ s i n 2x.i c o s 2x.7s i n (2n-1)x,r=-c o s x a x-smx ax=-d x-lnJ s i n x J s i n x(,s i n x所以，/“=/|=兀.三(本题10分)设/(X)在 0,

26、2上有一阶连续导数，且/(0)=/(2)=1,1 f(x)1.证明 f f(x)d x=/(x)c f e +f f(x)d x.由 /(x)=/(0)+/,)x=l +/(x)=/(0)+/&)(2-x);l (l-x)4&=1,f/(x)t/l.四(10分).求基级数 1-解：=由 Z,0)=得 c =o,n8 0 0 8 Y M=1 w=l H n=几/,(,)x l-x,0 l l-2+x=x-l,l 2 f (x-l)t Z r=1,卜 竺 芈 的 和 函 数.6(2)!！：(%)=/卜x(c+jx e e K)=e C +1Xnexw=一n8 z/r 1:e*xnd x=e j j

27、=en,，xe -l,l)、o =i J o l%1 X五(本题10分)已知函数/(x)为 0,+8)上的连续函数，且满足方程/(。=3+J J +/)d x d y,求/(X)的表达式.x2+y2 rr t 广2乃 :一J 4a?T；tp 7 c 2 /Y-d p=2加-4 7 aC,/、A 3 7 l t 2 c ”/、4 6 7 l tS(f)=4R-,S(Z)=4万-.a aS(a)=如:而 s =一 双/-+z2=-(zx+xy+zy)d S(利用对称性)EJJzx dS=-2 xd xd y dS=R工%RcosO _Jp2cos0dp=-R3.0 0 4北京航空航天大学2007年

28、数学竞赛试题填空题(本题共40分)Llim-I-=_-XT-2 2)2.设x-0时匕丝与是同阶无穷小，贝、b=+bx-3.设平面曲线在极坐标系下方程为r=e,则它在6=-所对应的点处的切线方程为2、“八，fl,0 x 1,5.1im ,(+1)(+2)(+3)(+)=.X3 y 2 2 A6./(x,y)=7 7 *+N 贝|J/；(O,O)=，Z；(0,0).0,x2+y2=0,8 17.幕级数Z 6y的收敛域为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=2 win n8.曲线卜=+2/,至卜沙坐标面平面的距离的最 大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

29、x+y+z=19.设。：/+/41,X)连续且恒正，是常数，则 也 立 业 也 My的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _r /(x)+/(y)修flt f !+(+1)!-_ _ L二、(本题1 0分)设 P“(x)是X的次多项式，/(x)=0 x%一 X X、口 ，1,0 x 1,x+1 +C,x 1,e+C,x 0.5.lim-x/(+l)(w+2)(n+3)-(+)=e2ln2 一 8 l.3.2 26./(x,y)=p T7 V 则/：；(0,0)=_ 0 _/(0,0)=_ l_.0,x2+y2=0,s 17.基级数 的收敛域为_ U).n8曲 线 卜=y

30、+2舅，到xoy坐标面平面的距离的最 大值为 L 叵9.设。:+必v 1,/*)连续且恒正，a,b是常数,则J簧 篙 梦,依 的 值 为 一(；)(+2)22+I占 !+(+1)!2(e4-l)二、(本题10分)设p“(x)是x的次多项式，f(x)=1e，x w 0,。0,x=0.1.证明对任意的正整数，有lim p,d)。,=0;1 x2.证明对任意的正整数，有/(0)=0.1.解 1 先证 lim e =0;1 0%”1 1=lim r=lim-=-=0X T O _ /oo er 2ter所以对任意的正整数，有lim p d)e滔=0;1 X/”(0)=l i m/()=l i m.J

31、F =0;/”(x)=|(U)e,0,XT0 X XT。I X X0,x =0.对任意的正整数，有(e下)()=p,d)e下X设/()(无)=P ,(g)e/，x 工 0,则可得/(+|)(。)=0.0,x =0.综 上 所 述，证 明 对 任 意 的 正 整 数 ，有 尸 )(0)=0.X2,三、(本题1 0分)已 知 函 数/=1x2+y2|x|+|y|l,其 他,D:x +y 2.计算DI 1-x 1 x2d xd y=4 d x J x2d y=4 j x2(1-x)d x=,|x|+|y|0.y-06 J；公 忌、-,7 .已知广义积分甘0()d x收敛，则常数。=_ _ _ _ _

32、 _ _ _.尸+1 2x+c8.设/是直线在平面x+y +z =5 上的投影直线，则 函 数 =co s2+4在M(0,0,1)处沿L方 向(取 与z轴夹角为锐角者)的方向导数为.9 .设空间区域。：，+/+z2 为自然数，则 巾x“+/_z.d v=.x+y+z10.设力f=y i -x/+(x+y +z)%,则质点沿螺旋线1x=a cost,y =a si n /,从 A(a,0,0)到 B(a,0,c)时ctz=2 兀f所做的功为二、(本题10分)计 算 定 积 分 J j co s2 xsi n 2 xd c三、（本 题10分）设函数f（x）单调可导，且/=2/（1）=-三,尸(1)

33、=1,其反函数为x =g(y),求g .四、（本题 1 0 分）设/（x）=?7,/（,0 0,（0）1 +X +X五、（本 题1 0分）证明：当6 al时，有殳 一a a六、（本 题1 0分）计算曲面积分 p 4 d z +N fe必其中X是曲面z=W+/上满足z 0时，有A/Z，41 0 8（土 土 炉 广（不用均值不等式）6北京航空航天大学2 0 0 6年数学竞赛试题答案一、填 空 题（本题共4 0分）11l ./（x）=（Q-1）xa当Xf +0 0时是比-高阶的无穷小，则常数a的取值范围为 a 1 .x2.设函数 x）在-1,1 上有定义，且满足 s i n x f（x）+4 2y-

34、z+4=0 z24在M（0,0,1）处沿乙方向（取 与z轴夹角为锐角者）的方 向导数为-7=V 429.设空间区域Q:/+/+z 2 w i,为自然数.，则 仙x：+y；z：出=.千 xn+yn+zn 9-1 0.设力=y 7-工/+（工+夕+2）左,则质点沿螺旋线，x=a c o s /,y=asi n/,从 A(a,0,0)到 B(a,0,c)时ctz=24/所做的功为 2如2+二、(本题1 0 分)计 算 定 积 分，c o s 2 x s i n 2 M r解0工1 p工 u=2x 1J?c o s 2 n X s i n 2 nxd x=-J 2 S i n 2 n 2xd x=-s

35、 i n 2 =1 (2 1)!王b 22 fl+1 2 !！2三、(本题1 0 分)设函数/(x)单调可导，且/=2,八 1)=-七,/(1)=1,其反函数为*=8(y),求8”(2).解:g 看 g 3)=-1 需=-焉1 湍=5四、体 题 1 0 分)设 x)=11 +X +X解:1 _ r 8/(x)=L =(l-x)x 3 ,其中储项的系数是-1,所以1 X =0个叽-I。!.五、(本题1 0 分)证 明：当 6 a l 时，有a a证明：不等式等价于(1 a)l n b (l 6)l n a,即 工 业 1,根据g(x)=-x l n x l 时，g(x)l 时，/(x)a l 时

36、 3,f(b)f(a),即 In/?Inab-1。一1六、(本题1 0 分)计算曲面积分小 2 永/z+/龙 此 其中是 曲面 z=-+/上满足z 0时，有 型2Z3-108(+:+z)6(不用均值不等式)6证明：对任何(x,y,z),做过该点的球面(球心在原点)x2+y2+z2 6 r2,设函数(x j,z)=lnx+21ny+31nz，求 u(x,y,z)在条件/+V +z2=6/下的最大值,令 =lnx+21nj+31nz+2(x2+y2+z2-6 r2)工+2疝=0Xc2x=r解 方 程 组 +2初=得 唯 一 驻 点.歹=&此 时 函 数u(x,y,z)取得最大值-+2A z=0 卜

37、=技x2+y2+z2=6r2 m a x=ln a)2(技,所以，k z,2 2 2两边平方得 x2y4z6108(X+J；+Z)6,再令 X=y=/,z =z2,则有飞3 2 77.设 /(x)=arcsinx,贝ij/(2w+n(0)=.8.可微函数=/(x j,2)在 A/处的梯度是1,2,3 ,向量，=2,1,2 ,则5|M=_ _ _ _ _ _ _：9.三次积分J(；dxj；改或包*二心的值为_ _ _ _.1-Z10.f f j jx2+y2+z2 d v 的值为.Q其 中 Q:/+/+z 2 w 芯 同 为 不 超 过 x的最大整数.二、(本题10分)设/(x)有二阶连续导数，

38、且 l i mS m 2 x +4&)=0,求/(),/”(0),广(0).x l n(l +x)三、(本题10分)设/(x)=je，xw O,求 0,x =0四、(本题10分)计算曲线积分噌谭，其中L 是 曲 线 尸(1-x 2)/上从点4-1,0)到点8(1,0)的一段弧.五、(本题io 分)求 级 数 上 迎 0H匚 的 和.喜(2n)!22n六、(本题10分)设 有 向 曲 面 2 :面+y 2 +(z-Ip =,外侧,y(x)有 连 续 导 数,且/(0)=a,求极限-_ _ _ _ _ _ .急-3 1 16.l i m(l +尸=x-+2 z7 .设 f(x)=a r c s i

39、 n x,贝 U /。.=解 1)!/或?一 口!或(2 -1)!(2 +1)!.(2M)!2 ！(2M+1)8可微函数 =/(3,2)在“处的梯度是1,2,3,向量，=2,1,2%贝部Ui 39.三次积分(d x d y d z的 值 为 匕 码 .J o J o J o l-z-210 .J J j 7?+y2+z2 小 的值为_ 4 乃 乃 3 一型 _ _ _ _ _ _ _ _Q 3其中C :x2+/+z20 X x-0 2 -g eQx w 0,x =0/(o)M i m/，(x)：/，(O)Mimx-0Xx-02 -7Px2 .TT 匕 2/4=lim=lim=0 x-o 8 e

40、ex4 6 T(x)=(,一)e X 关 0,x=0四、(本题10分)计 算 曲 线 积 分 誓 学 其 中 心 是 曲 线y =(1-X2)/上从点/(T O)到2 x +y点8(1,0)的一段弧.解:设尸=-0 =-2x2+y2，y 2x2+y2则富塔(x2+y2 工0)在上半面曲线积分与路径无关,xdy-ydx _ 1 c xdy-ydx3 I 2 x 2 +.2七 2x2+y262犯其中 0:2/+y2=2,(-1 x l),五、(本题1。分)求 级 数尊 嘿 萨的和.解:堂(一1)(2-1)/=04由积分中值定理(/%)+/(怎)+/(勿)川如M z (/而)+考)+/(切)写.原式

41、=l i m-=l i m-=/(0)=4 如r-0+r5 r 04 r5 3七、(本题本分)设/(X)在 0,1 可导,/(0)=0J=1.证明：(1)至少存在一点百e (0,1)，使 得/)=1;(2)存 在小，(0,1)，使得/W，)=1.证明：(1)令(x)=f (x)+x-l,g(x)在明 1 上可 导,且 g(0)=T 0,由零点存在定理，存 在,e(0,l),使 g )=0,即/J+1=0,八/=1 g(2)在(0,9,C，l)上用拉格朗日中值定理得，存在 e(0 4)U(0,1),G GG，1)U(0,1)使/，=以2/2 1,即/，()=牛=与；,即/&)=m0=帚；于是八

42、力/)=1。1苦 1苫 1苦北京航空航天大学2004年数学竞赛试题一、填 空 题(本题共4 0 分)1 W(O)=o,/XO)=1,且在X=0 处/(x)连 续，贝 him*-=_ _ _ _ _ _.一。(。力/2 .设/*)=7 二 则/。)(0)=_ _ _ _.V l +x23./(x)=,-2匕*的 极 大 值 点 为x=.4.当a,6满 足 条 件 时，方 程=区 伍 1)恰 有 一 个 实根.5 .级数-1)在 x =3 处条件收敛,则其收敛半径为R=.M=l6.lim e-A(l+-)j2=.77.过点（一 1,0,3）,平行于平面3%4 歹+2 10 =0,且与直线1+1 =

43、3=2相交的直线方程为.8.已知 也%”，则（皿 g:X X9 .二次积分 yd y ex 必:的 值 为.10 .设已知由y轴/=/,以及歹=。所围成的平面图形和由歹=。/=%2,以及=i所围成的平面图形绕V轴旋转一周所得的旋转体的体积相等，则a =.二、（本 题10分）设可微函数z =/（%,y）满 足 包=xyex+y,且/（-y,y）=0,求心.ox三、（本 题10分）计算曲线积分 xyd s其 中 讣 V+z 儿 x+y+Z=0四、（本 题 本 分）计 算 曲 线 积 分 等 答，其中 是刈伊平面上任意一条不经过原点的逆时针方向的简单闭曲线.五、（本 题10分）+8 2w设 募 级

44、数 X 的和函数为s（x）,求：士（2）！（1）s （x）与S（x）所满足关系式；（2）s（x）的表达式.六、（本 题 本 分）设向量场）=丁,0,0 ,在球面x2+/+z2=&内作有一面平行于面的长方体，问该长方体的长、宽、高为何时，向量场通过该平行六面体外侧面的通量中为最大？并求的最大值.七、（本 题10分）设/(x)在 o,1 可导,/(0)=/(1)=0,且在(0,1)内不变号.证明对于任何实数左，至少存在一点J w (0,1)使得北京航空航天大学2004年数学竞赛试题答案一、填 空 题(本题共4 0分)1 .即(0)=0,尸(0)=1,且在X =0处广(X)连续，则 li m-=_2

45、 _.2.即(x)=l=,贝，(0)=.7 1 7 7 5!-25 3./(X)=k 2产的极大值点为x =_ 1.4.当“力满足条件_6 0或6 0且6 =e l n a _时，方程=云(1)恰有一个实根.5.级 数%(x-1)在x =3处条件收敛，则其收敛半径为R =_ 2.W=16 .l im e-x(l +-)?=X f+8X7.过点(_ 1,0,3),平行于平面3%_ 4 +2_ 1 0 =0,且与直线+1 =、_3=5相交的直线方程为=5 6 9 -8.已知晒 =a,则(也 了 仆 a.X X9.二次积分j y办 为 的 值 为.1 0.设0。1,已知由 轴,y =%2,以及 所围

46、成的平面图形和由y =a,y =%2,以及x =l所围成的平面图形绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积相等，则=1一2-二、(本题io分)_设可微函数z=/3歹)满足dz:=xyex+S L f(-y,y)=O,求心.ox解：由 包=盯/+，得)z(x,7)=xyex+ydx+(p(y)=y(x 一 l)e+(p(y),dxJ而由 z(-y j)=/(-y,y)=y(-y l)+*(y)=O,得。(口)=二(1+1)，于是za,y)=j(x l)eP+y(j+l),所以dz=dx dy=xyex+ydx+(x-l)(y+)ex+y+2y+)dyd x d yx2+y2+z2=1x+y+z=O三、（

47、本 题10分）计 算 曲 线 积 分x y d s其中：,解：由对称性知上yds=，J（肛+yx+xz）4s,而L 3 L 2 _ -xy+yx+xz)ds=j(x+y+z)-(x2 4-4-z2)ds=-7i,所以 杰 二-一L2 A 3四、（本 题10分）计算曲线积分 等 常 淇 中 是工。歹平面上任意一条不经过原点的逆时针方向的简单闭曲线.解:7 0=一2x2+y2 2x2+y2则筹备能啜设P=(x2+y2 H 0)当原点0（0,0）在L所围区域的外部时，由Green公式得产一警=0；I 2x2+y2当原点0(0,0)在L所围区域的内部时，取/:2/+歹2 =/，为逆时针方向，且5足够小

48、,使 得1在L所围区域的内部，有Green公式得exdy-ydx cxdy-ydx 2r 1 ，V2 2,.7 2 .x,后I-r-I-I (cos t cos t+sin t,s sin t)dt v 2T T/2x2+y2 j 2x2+y2”2 2五、（本 题10分）+8 2n设 募 级 数 J 的和函数为s(x),求:士(2)！(1)s(x)与S(x)所满足关系式；(2)s(x)的表达式.co 2n-l oo 2M+1 8解:S(X)4(2 1)!=(2+1)!S(X)=x2n(2/7)!，X (-00,4-00),于是有S(x)+S(x)JL rV ex+ex(2)又于S(x)-S(x

49、)=Z3-=e T,所以S(x)=-M ！2六、(本题本分)设向量场N =卜10,0,在球面x?+/+z2=火2内作有一面平行于xo歹面的长方体，问该长方体的长、宽、高为何时，向量场通过该平行六面体外侧面的通量中为最大？并求的最大值.解：设平行六面体的长、宽、高分别为a,b,c,G u s s公式c b a=JJ/-n d S =Jljt/zv A-d V =3 x2d x d y d z =d z d y 3 x2d x =,Z Q Q _ _b _a 42-2-2又()2+g)2+()2 =斤，即 4火2=0,L =b c a3+/l(2+62+c2-4 R2),解方程组3、b e a2+

50、2a4=04 c a3+262=0v 4-A 3+2C2=04a2+b +c2-4 R2=0得唯一驻点26=表 尺，根据实际情况有最大值,故此时中取得最大值 max=巫 尺5。max 1 2 5七、(本题10分)设/(x)在 o,1可导,/(0)=,/(1)=0,且在(0,1)内不变号.证明对于任何实数左，至少存在一点Jw(0,1)使得证明:对任意实数 K,取/(x)=*/(l-x),F(O)=e/(l)=O,F(l)=eA/(0)=0,又 由 于/(x)在 0,1上 可 导，故尸(x)在 0 J上 满 足R o lle定 理 的 条 件，从而,3 J e(0,1),使9()=*(丁 (1-乡