数学经典易错题会诊与高考试题预测.pdf

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1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测（四）考点4 数 列经典易错题会诊命题角度1命题角度2命题角度3命题角度4命题角度5命题角度6数列的概念等差数列等比数列等差与等比数列的综合数列与解析几何、函数、不等式的综合数列的应用探究开放题预测预测角度1预测角度2预测角度3预测角度4预测角度5预测角度6预测角度7数列的概念等差数列与等比数列数列的通项与前n项和递推数列与不等式的证明有关数列的综合性问题数列的实际应用数列与图形经典易错题会诊命题角度 1 数列的概念1.(典型例题)已知数列 a,J 满足 a i=l,a=a i+2 a2+3 a 3+,-+(n-l)a-i,(n 2),则 an的通项a.考

2、场错解 /a=a i+2 a 2+3 a 3+,+(n-1)an-i,/.an-i=a i+2 a2+3 a3+,+(n-2)an-2,两式相减得 a n-a”i=(n T)a ”，a=n a i.由此类推：a i=(n-l)a 2,a2=2 a i,由叠乘法可得 a 1=区2 专家把脉 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n的范围.当n=l时，a,=l与已知a】二 l,矛盾.对症下药,.,n-2 时,a。=a i+2 a 2+3 a 3+(n T)a r i 当 n 2 3 时，a-i=a i+2 a 2+3 冬+(n-2)a 一得 a n-an-i=(n-l)“i，当 n23 时，刍-

3、=n ,丁an-an=-生 丝a 2=n 4 3 X a 2=a2,V a 2=a i=lan-an-2 a3 a2?1 5 =1)当 n 2 2 时，a n=.当 n=1 时，a i=1 故 二包(n 2).2 22.(典型例题)设数列 a 的前n项和为Sn,SF 里空 工(对 于 所 有 n 2 l),且 二 5 4,2则 的 数 值 是.考场错解.s 产 强 四 2二 也 也，此数列是等比数列，首 项 是a i,公 比 是 3,由2 1-3a4=a 0,a2o o 3+a 2 o o 4 O,a2 00 3 a2o w 0 成立的最大自然数n是()A.4 0 0 5 B.4 0 0 6

4、C.4 0 0 7 D.4 0 0 8 考场错解 Va2oo,+a2oo3O,即 2a,+2002d+2003d0,(ai+2002d)(ai+2003d)0,要使S“0.即使na计 幽 心 d 0.这样很难求出a d.从而求出最大的自然数n.故而判断a20030,2azw.KO,所以前2003项为正，从第2004项起为负，由等差数列的n 项和的对称性使S0.故而取 n=4005 使 S0.专家把脉 此题运用等差数列前n 项的性质及图象中应注意.a2()03 0,出期0.a2oo3+a2o(M O,aax,aaxwVO,且 an为 等 差 数 列:.a j 表示首项为正数，公差为负数的单调递减

5、等差数列，且 出 须是绝对值最小的正数，出,是绝对值最大的负数(第一个负数)，且大2 .,.在等差数列 备中，a2ooj+a2oo4=ai+a,iw)6O,S则=4006+的06)0.使Sn0成立的最大自然数n 是 4006.23.(典型例题)设无穷等差数列&J 的前n 项和为(1)若 首 项&=，公差d=i,求满足证=(sM 的正整数k；2(H)求所有的无穷等差数列 a j；使得对于一切正整数中k 都有Sk2=(SM成立.考场错解 当 a i=3,d=l时，S=ln2+n,由 Skz=(SM得1+k?=工/+灯，即 k=02 2 2 12 yl或 k=4 kW O.故 k=4.(II)由对一

6、切正整数k 都 有 Sk2=(Sk)2 成立.即 1?2|+丘 生*:1=(1+理二2 4)2即2 2，22=0,(ai-a?)k2-adk2(k-l)+k2(k2-l)-k2(k-l)=0 对一切正整数 k 恒 成 立.故|可=0,求24d=0得 5=0 或 L d=0.等差数列 二 0,0,0,或%=L 1,1,.专家把脉(II)中解法定对一切正整数k 都成立.而不是一切实数.故而考虑取k的特值也均成立.对症下药(I)当 ai=3,d=l时，Sn=nai+如2/二+也 曰 户+由sk2=(Sj；2 2 2 2 2得 1k+k2=dk2+k)2,即.又 k w o,所以 k=4.2 2(II

7、)设 数 列 的公差为d,则在Sk2=(Sk)2中分别取k=l,2,得25=(5)2,q=q，a)即、4x3 2x1S4=4al x tZ =(2q+2).由(1)得 apO 或 a i=l.当 ai=0 时，代 入(2)得 d=0 或 d=6.若 ai=0,d=0,则 an=0,sn=0,从而 Sk2=(Sk)2成立;若 ai=0,d=6,则 a=6(n-l),由 S3=18,(S3)2=324,$9=216 知 SgW(S3而 故所得数列不符合题意.当a.=l时，代入(2)得 4+6b=(2+d)2解 得 d=0或 d=2.若 apl,d=0,则an=l,Sn=n,从而 Sk2=(SM成立

8、；若 ai=l,d=2,则 an=2n-l,Sn=l+3+(2n-l)=n2,从而 Sk2=(Sk)2成立.综上，共有3 个满足条件的无穷等差数列:a j：&50,即 0,0,0,；a:a=l,即 1,1,1,；:a=2 n T,即 1,3,5,.4.(典型例题)已知数列 的各项都是正数,且满足：=1,a*1 a 0 (4-a),neN.2证明 an an+i2,nGN.(2)求数列 a的通项公式 考 场 错 解 用数学归纳法证明：(1)1 当 n=l时，a0=l,a)=-ao(4-a0)/.a02 2ai 2,命题正确.2 假 设 n二 k 时 有 ak-i ak 2.则 n=k+1 时，a

9、k-ak+i=-ak-i(4-ak-i)-ak(4-ak)-2(ak-i-ak)-(ak-i-ak)(ak-i+ak)二-(ak-i-ak)(4-ak-i-ak).2 2 2 2而 ak-i-ak0,/.ak-ak-i0.X ak-i=-ak(4-ak)=-4-(ak-2)2 2./.n=k+l2 2时命题正确.由1 、2 知，对一切n N 时有anaeV 2.am二 an(4-a)=-2)?+4.j 2(an+2)=-2)2，an+2=-!(an-2)2 bn=an_2,2 2 2bn=-(l)1+2+-+2n-1 一 又 曾 产 a 2=-L b 产(工产2。即 an=2-(l)2nt2n

10、-1.2 2 2 2 专 家 把 脉 在(I I)问中求b ”的通项时，运用叠代法最后到b o而不是b i.对症下药(I)同上,方法二:用数学归纳法证明：1 当 n=l时，彻=l,a尸工证(4-。)=2,2 2.-.0aoai2;2 假设 n=k 时有 a-V akV 2 成立,令 f(x)=，x(4-x),f(x)在 0,22上 单 调 递 增，所 以由假设有：f(a Q Vf(ak)V f(2),即 V，ak(4-ak)2 2，X 2(4-2),也即当 x=k+l 时 akam2 成立，所以对一切 nCN,有 akag22(2)下面来求数列的通项:an+产,an(4-an)=,-2)2+4

11、,所 以 2(&-2)=-(&厂2)令2 2b“=a/2,则 b.=片_ 产(片.2)、己 严 比=_(!)3*恒,又 b.=T,所2 2 2 2 2 2以 bn=-(1)2 4 B.Sm+n VC.Sm+n=4 D.-4 Vs m,“l o g(3a L a，是公差为T 的等差数列,3 18又2a 2-&,2a 3 2,2%-a,是等比数列，公比为q,|q|VI,这个等比数列的所有项之和等于;.(1)求数列 a.的通项公式；答案：设 b n=l o g 2(3a n+a n),因为答是等差数列,d=-l.b-i=l o g 2(3a 2_a i)=l o g 2(3-)=l o g 2 =T

12、 于是4 1=-1+(w-1)(-1)=-n.18 3 3BP l o g2(3a,rL-a)=-n,所以 3&启 一&尸 2一“设 C n=2anan,&是等比数列，公比为 q,I q I 0 0=2.(l-i)=l.5已知数列 a j是公差dWO的等差数列，其前n项和为S“求证：点P i(l,袅)，P0(n,包)在同一条直线h上;12n1.答案：因为等差数列 a 的公差d W O,所以a.k(k-V)d Sk J T,Sk=M+-=的 +-+-d)-a.当%2 2(%N*)时,5一L=-2-=，d(d是常数)，即奶是常数(Z=2,3-左 一1 2-1 2所以P2,P”，Pn都在过点P l(

13、l,a)且斜率为常数9的直线h上.(2)过点Q i(l,aJ,Q 2 a l作直线k 设L与h的夹角为9,求证:ta n。W 4答案：直线12的方程为y-a i =d(x-),直线12的斜率为d.tan9=,dd-21 +J 2_ d _ 1ll+|d|,1 后n r 4?|d|d当且仅当2=i d I,B U I d i=拒时等号成立.k/|命 题 角 度 3 等比数列1.(典型例题I H)数列 a J 的前n 项和记为S”，已知a 尸1,a =S (n=l,2,3-).证明：n(I)数列 包 是等比数列；n(I I )Sn+l Sn.考场错解(I )已知 a i=l,aI 1,i=a2=3

14、Si=3,S2=4 a3=-S2=2X4=8./.n 2S3=1+3+8=12.即1 =1,送=2,2=4 .故 2 是公比为2 的等比数列.1 2 3 n(I I)由(I)知 也=4 近，于是S“=4(n+1)近,=4 须.又a?=3.S2=a i+a 2=4,因止匕对于任n+1 n -1 n-1意正整数n l,都有SH=4 a.专家把脉(I)中利用有限项判断数列类型是运用不完全归纳法，应给予证明.(I I)中运用前推一项必须使n 22.对症下药(I )3“=小&,(n+2)S“=n(S S“)，整理得 n S*2(n+l)=S”,n所 以&1=2包 故 包 是以2 为公比的等比数列.+1

15、n n(II)由(I )知务旦=4&(n 2).于是 S,”=4(n+1)显,=4a“(n 22).又 a2=3 Sl=3,故 +1 /l-l W-1S i=a i+a2=4.因此对于任意整数n 21,都有Sn4i=4an.2.(典型例题)已知数列 a 的前n项和为S,S n=g (a-l)(n N*).(I )求 a i,&2；(II)求证数列 a j 是等比数列.考场错解(I )S i=L (a l),得 a 产)，S 2=1 (a2-l),即痔/(a2-l),a2=l.32 3 3 4(II)a =S-S*L (a l)(a r-1),得 人=，所以 是首项为，公比为 的等比3 3%_

16、2 2 2数列.专家把脉 在利用a=S S T公式时,应考虑n 2 时才能成立.对 症 下 药 (I)由 S i 得 a i=，(a.-l),AaF-.又 S 2=(a l),即3 3 2 3a i+a 2=-(22-1),得 a 2=3 4(H)当 n l 时,a n=S n S e=1 ,得 以-=-工，所以 a 0 是 首 项 为 公 比3 3 a,_ 1 2 2为-L的等比数列.23 .(典型例题)等比数列的四个数之和为1 6,中间两个数之和为5,则该数列的公比q的取值 为()A.1或44B.1或5g4 8C.4或-空5何8D.4或工或5历3或 包5叵4 8 81=1 6，1 考场错解

17、 设这四个数为W：,a q,a q3.由题意得L 由得a=L代入/q+。夕=5(2),2得q=(或q J2.q 2=_ L或q?%,故所求的2 4公比为!或4.故应选A.4 专家把脉 上述解答设等比数列的公比为q?是不合理的.这相当于增加了四个数同号这个条件,而题设中的四个数不一定同号.因此,产生了漏解现象.对症下药 设这四个数为a,a q,a q2,a q 贝J ；，=电解之得g =4或;或 也 凸aq+4=5,4 8或 _ 更 迎 因 此 应 选D.84.(典型例题)设数列 a 的 首 项 a,=a关上，且4如 为 偶 数 ,a n+L ，记%-_ _ 7/=1,2,3,斯H 为 奇 数4

18、(I )求 a 2,a3;(II)判断数列 b“是否为等比数列，并证明你的结论；(Il l)求 h m (b i+b2+b3+b)./?-00 考场错解(I)a 2=a i+：=a+：,4 41-8I-21-2(ID b m=a 2E-L 如=-1,1=1.4%*4bi(-)a-_(111)求.(b i+b 2+b 3+“+b)=l，m 1=4=7=0)=九 .-oo n-oo 1 1 3 4 3 34 4 4 专家把脉 在求证b 0是等比数列是时，式子中，a n中n为偶数时，况=是a2n-2an 2连续两项，并不能得出&2=.%4 对症下药(I)a2=ai+-=a+-,a3=-a2=-a+-

19、;4 4 2 2 8(II)*.*a4=a3+=a+3,所 以 as=aF a+，所 以4 2 8 2 4 16b产=a-L b m sJ(a，),b产asJ(a)，猜想：b“是公比为,的等比数列.4 4 4 2 4 4 4 4 2证明如下：因 为b n+1=a2L二L a2 n-展,)二，b n,(nWN*)所以 bj是首项为a-,4 2 4 2 4 2 4公比为L的等比数列.2(III)求1 i m(b i+b2+b 3+-+bn)=/7 -00limv f 8仇。一/)23=2(。).1-2专家会诊1.证明等比数列时应运用定义证皿为非0常数,而不能反(此时n22).anan-2.等比数列

20、中q可以取负值.不能设公比为q2.3.会运用等比数列性质，若m+n=p+k,则a,a=aP a .考场思维训练1试在无穷等比数列1,Ll，中找出一个无穷等比的子数列(由原数列中部分项按2 4 8原来次序排列的数列)，使它所有项的和为L4,则 此 子 数 列 的 通 项 公 式 为.答案：a n=(J；分析：略。2已知等比数列 an的首项为8,S0是其前n项的和,某同学经计算得S2-20,S3=36,S,=65,后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为()A.S.B.S2 C.S3 D.S4答案：C分析：略。3已知数列 a j的首项为a 公比为q(q#T),用 表 示 这 个 数 列 的 第n

21、项到第m项共m-n+1项的和.(I)计算S iT J,S 7 f 9,并证明它们仍成等比数列；答案：S-=a i(l+q+q2),S，i 6二a i q3(l+q+q“)，S 7-9=a i q(l+q+q?),因为 S:M-:C=4 3,所以S i 3s 4 T6 s 7 9成等比数歹人54 f 6 Sl-3(H)受上面(I)的启发，你能发现更一般的规律吗?写出你发现的一般规律,并证明.答案：一般地SpTp+m Sr_r+n j(2P=r+旦加叩r均为整数)也成等比数列,S,f=w T(l+q+g2+-q,),Spp+,=a -d +q+q2r SS f+m=+4+/+.+/),沪 皿=尹4

22、=qP-Qp=r+),所以与-研历一小萨,“成等比数列.p-p+m rt n+tn4已知数列 a j中，出 二，a n+尸a n+(L)(n N*),数列 b j对 任 何n N嘟 有b i n-i-an.6 3 2 2(1)求证 b“为等比数列；答案：b n+l=为+2 -g册+=g%+(；)+2+g)+l =g(%+若 b n=O,则 a n+尸g%ng%=g a +(g)+i 斯=3 5 l 2不满足条件故如=L即回 为等比数列2bn 3,_ 1 1 zlx2 1 1O i=a2-6/j=4-()-4 =2 3 2 2 9.%=严(2)求 b j的通项公式；设 数 列 a j的前n项和为

23、权,求 S .X-0 0又 挑+产答案：an+l-g%=%=(；)+】SN=3+2 4 8一+(一)2L3 9 27 3 J=(；)-3.(g)+2.-.l i m S=2X f 85已知数列 a j的首项为a 1=2,前n项 和 为S“，且对任意的正整数n,a.都 是3s4与2-9$0 T的等差中项(n 22).(1)求证:数列 a j是2等比数列，并求通项a;答案：当 n 2 2 时，2a =3S/4+2-g s“_i，即2(5“-与-1)=3与-4 +2-1 ”_|得到与=；“1+2,又q=2,则有。2=1，而 皿=邑上|二&=-A=L所以数列%围公比为上的等比数歹U,得知 =a”Sn-

24、S _1 2 a i 2 2 a-2证明 g (1 0 g2S+1 0 g2S n 2)1 0 g2S H；答案：由 知=壶，得5 =4-薪y,S S +2=(4-/)(4-/)=1 6-5(雅)+(3 )(配+1/=(4 -位)2=1 6 -4(吉)+2 1 1S“S +2(S +)(l o g 2 s +l o g 2 s+2)R”,若存在，请求出所有n的值，若不存在请说明理由.答案：bn=2 -1,c =In,T=2+I-n-2,R=n2+n,当 n=l、2、3 时，TWR“.当 n=4、5 时 TOR”.当”耐,2 l =(1 +l),+l=C,2i +G*+以+i +啕+CM 1+1

25、 (CRi +C*i+以+i)=/+3 +4 M+2n+2.即 2+i-2 M+.T R.-.n 4,n e N命题角度4 等差与等比数列的综合1 .(典型例题)已知数列&的前 n 项和 S=a 2-(l)-1-b 2-(n+l)(I)-1 (n=l,2,),2 2其中a,b是非零常数，则存在数列 x.、y,J使 得()A.an=x+yn 其中 x 为等差数列，%为等比数列B.a=x+y,其中 x,和 y j都为等差数列C.%=x,.y,其中 x)为等差数列，%为等比数列D.&其中 x j 和 y j都为等比数列考场错解 a2-(!)=x，b 2-(n-l)(5 n=y”又xn,y0成等比数列

26、，故选 D.2专家把脉 应从数列 a.的前n 项和S,的表达式入手，而不能从形式上主观判断.对 症 下 药 C.a,=Si=3a=Sn-S-1=a 2+(l),r,-b 2-(n+l)(1)n+,-a 2+(1)-2+b 2-n(1),r2=(b-b-a)己 严2 2 2 2 2.(4)”“为等比数列，b a-b 为等差数列.22.(典型例题)已知数列 a0 是首项为a 且公比q 不等于1 的等比数列,S“是其前n 项和，4,2a7,3a4成等差数列.(I)证 明 12s3,S6)SSe成等比数列；(II)求和 T0=ai+2aMa?+na3 n 2 考场错解(I)由ai,2a力3 a,成等差

27、数歹人得 4a7=ai+3&,4aq6=a+3aq3.从而可求q3=-_L,4或 q.当 q J-J时，-A_=,近 鸟=q6=J_.故 12s3,S6,SLSS成等比数列.当q l4 12s3 16 S6 r 16时，3 _ =L 首%=q6=i故 12s3,Sfil SS6不成等比数列.12s3 6 S6 专家把脉 本题条件中已规定q H L 故应将q=l时舍去.对症下药(I)证明：由 a 2a%3a“成等差数列.得4a7=a,+3ab即 4aq6=a+3aq3.变形得(4q3+l)(q-l)=O,所以 q 或 d=1(舍去)由4可(】一 96).(1-产)6 q J+q 3=1 S、2-

28、S 6-S12”q =+q 6 _ _ q 6 _ l s6 _ s1 2-s612S3-泊 12 16 S6 S6 1 6 12s3 S6 1-q 1 -q所 以 12s3,S6,SS6成等比数歹U.(II)解 法：Tn=a1+2a4+3a?+na3a-2=a+2aq、+3aq6+naq，即Tn=a+2 (-)a+3 (-)2a+*+n*(-)1 Ja.4 4 4(1)X(-)3a f#：-Tn=-a+2 (-)2a+3 (-)3a+,+n (-)a 4 4 4 4 4 4-有：Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)a+(-)1a-n (-)na=4 4 4 4 4 4“(一”=%”),(一

29、”.所以，%导乎(一 3.(典型例题)如图,O B C的三个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2),设R为线 段B C的中点，P 2为线段C 0的中点，P 3为线段O P i的中点，对于每一个正整数n,P n+3为线段PR”的中点，令P n的坐标为(Xn,Y n)a1 上 上n=-yn+yn+i+yn+2.2(I )求 a】，a2,a 3 及 a;(1 1)证 明 加=1-血，1 1 四4(III)若记b“=y4w,n N*,证明 b 是等比数列.考场错解(1),.,yi=y2=y.i=l,y3=；,ys=：,可求得 a i=a?=a 3=2,由此类推可求得 an=2(H)将工yn+

30、y w+y*2同除以2,得y.+产 迎 主业邑.2 2 4(ID)b n*l=y4n*8-ytoM=-(y4n+y4)=-bn.如 =.故 b j 是等比数4 4 b 4列.专家把脉 第(I)问题运用不完全归纳法求出a”的通项.理由不充分,第(III)问 中 如=-L要考虑b,是否为0.即如有意义才更完整.bn 4 bn 对症下药(I)因为 yi=y2=y=l,y3=g ,ys=j，所以 a i=a z=a 3=2.又由题意可知%.3=%+田.2a n+i=yn+i+yn+2+yn+3=丫”1+%+2+d+i=-yn+yn”+yn+2=a n,+y,2=2两 边 除 以2,得,y+配 上 山.

31、=i,又；yt4=迎 口1，,2 4 2 2y*l-等.4(III)V b n 二y，-y4n 产(1 “7)一 (1 一牛卜一；(Y 4n 44-y4n)=5 U,又 丁 匕二 丫8一 丫 产 一 7 0,匕 是公比为-的等比数列.44.(典型例题)在等差数列 a中，公 差d#0,a 2是&与&的 等 比 中 项.已 知 数 列a i,a3,%。匕，a kn,成等比数列，求数歹(J k J的通项k.考场错解:a k a i+(n T)d,p =a)a4/.(a i+d)2=a i (a i+3d).d=ab/.an=n d.a 尸&a3=3d./.生=3=q./-4“=k,1 .ak=kn+

32、xd.dj=&q=3.二 kJ 是公比为 3 的等比数列.kr l 3 T=3 T.%kn 专家把脉 错因在把ki 当作数列 a n 的首项.kF l.而实际上k 尸 9.对症下药 依题设得 an=a i+(n-l)d,=a!a.i,(a i+d)2=a i (a i+3 d),整理得 d2=a i d,V d 0,/.d=ab W a 产n d,所以，由已知得d,3 d,k i d,k z d,kd是等比数列.由d#0,所以数列1,3,k,.k z,k“，也是等比数列,首项为1,公比为q=：=3,由此得k,=9.等比数列 k n 的首项可=9,公比q=3,所以k=9 X qn l=3n H(

33、n=l,2,3,)，即得到数列 k,J 的通项k=3n H.专家会诊1 .赋值法在解等差、等比数列问题中是常用方法.从而求出系数的值及从中找出规律.2 .等比数列中应注意考虑公比等于1 的特殊情况,等比数列中的公差为0的特殊情况在解题时往往被忽视.3 在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解.要注意常两种情形的不同之处.考场思维训练1 已知数列 a“满足3 a t i+a=4(n 2 l),且 a i=9,其前n 项之和为S,则满足不等式I S-n-6卷 的最小整数n是()A.5 B.6 C.7 D.8答案：C设3(a +A)=(c in+4),则4=1,.*.3(a“+I)=(

34、6 zM 1)1),1 以 8 为首项,q 为公比的等比数列,an=8()H*+1,SW=6可化为3 7 50,最小整数是7.2 已知等差数列 a 的首项为a,公差为等等比数列限 的首项为b,公比为a,其中a,b e N；且 a i b i a 2 b2a 3.(I)求 a的值；答 案：a a+h ab a+2b,a,b G N+,b,1aah+.a-b-l,a 1 H-/-+-,1:(.=2或“=3(谢不合题意舍去).故”2.2b 2 a v 4.a -a T(n G N+).答案：由知 a n=5n-3,b,=5 2 T,册,=-3=5 2“T _ 3,C =5,2T _ 3,S=5(2-

35、l)-3zi,7,=y7i(5-l).vS,=7；=2,S2=7 i =9,当wZ 38tSn-Tn=5 2 -n2-n-l=5(l+l)H-n2-n-l 2 2=51+C+或+)-g/尸-g-1n(n-i)1 2 1 八 51+n+-n n-1=0.2 2 2/.S 4.综合以上，便得S Tf l(n e N+).3设函数f(x)=a x?+b x+c 的图像是以(2,0)为顶点且过点(1,1)的抛物线；数列 a j是以d 为公差的等差数列，且 a 尸 f(d-l),a 3=f(d+l);数列版 是 以 q(q 0)为公比的等比数列,且b,=f (1-1),b3=f (1+1).求数列q q

36、 a j b j 的通项公式;答案：解设f(x)=a(x-2)2 过点(1,1),f(x)二(X-2)2a=3)2,%=f(d+1)=(J-1)23 a=2dy(d I)2(d 3)2=2d得 d=4又a】=(d-3只=1 /.an=4 -3-1)=(-3)2,fr；=/(-+1)q q q=(-i)2=)2=/q 0,得0=g,q 仿 1 _3 3q义瓦=(L-3)2=(3-3)2：.b,=(3-g 34 知定义在R上的函数 6)和数列 满足下列条件,2 k&=51)(1 1=2,3,4”)，2 2W a i,f (a“)-f (a,i)=k(a“-a,T)(n=2,3,4,)其中 a 为

37、常 数,k 为非零常数.(1)令 b 产a#a”(n G N )，证明：数列 b j 是等比数列；答案：证明：由4=2-q 片0,可得比=。3-“2 =/(2)-/(a 1)=人(“2-1)#。由数学归纳法可证%=%+-%H 0(e N*)由题设条件，当 2H寸_ 4+1 _ /(4)/(-I)_ k(a.-4“)_ 卜bn-a-an_x因此，数列 2 是一个公比为%的等比数列(2)求数列 a 0 的通项公式;答案：解；由知,b“=kn-a】)(nWN)当 kWl 时，b i+b2+-+b n-i=(a 2-a i)-(n 2)-k当 k=l 时,b i+b 2+,+b nT=(n T)2)(

38、n22).而 b i+b 2+b n-i=(a2-ai)+(a3-a2)+(a3-a2)+卜(an-an-i)=an-ai(n22)所以，当 kWl 时 an-ai=(a2-ai)上 (2).-k上式对n=l也成立.所以,数列 的通项公式为I _ k lan=a+(f(a)-a)-(n w N*)当 攵=1 时-ax=(n-1)(一 )(之 2).1-k上式对n=l也成立，所以，数列 a.的通项公式为a.=a+(n+l)(f(a)-a)(nGN*)当|k|V l 时,求 Hm。“W -0 0答案：解：当|k|l 时 lima=lim a+(/(a)-a)上吆=a+aa-k-kn f 8 n f

39、 85 设 实 数 aW O,数列 a j 是 首 项 为 a,公比为-a 的等比数列，记 b=a.,lg|a|(n6N*),S=b1+b2+-+b,求证：当 a WT 时，对任意自然数 n 都有 S产 色 吗 1+(-1)n t,(l+n+na)an(1+4答案：解：%=*1 =a(-a)n-=(-l)n-an.b,=alg|an|=(-l)f 1g|(-I)|=(-1)Tl g|f l|S“=alg|a|-2a2 坨|+3/lg|f l|+.+(-l)-2(-l)aT 1g|a|1g|a|=a-2a2+3(+(-l)n-2(n-l)an-l+|a|记5=a-2a2+3/+(_ 1)-2(_

40、)/T +(-y-iaS=aa2-2a2+-+(-l)n-3(n-2)an+(-l)n-2(n-l)a+nan+得(l+a)S=a-/+“3+.+(_1)-241+(一 1)-2a”V a-1,；.(1+a)S=a+(T)f/1 +而”+1l-(l-a)。a+(-D+L+i+(l+a)(-l)T 2 Ms=-5 W-/.S=a+(1+na)-(1+4“口 +(1+曲)(-1严/(l+a)2S=0+(-l),+l(1+na)an(l+a)2命题角度5 数列与解析几何、函数、不等式的综合1 .(典 型 例 题)已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)和 数 列 a.满 足 下 列 条 件：

41、ai=a,a=f (aa t)(n=2,3,4,),a2W al,f (a)-f (a-i)=k(a-a-i)(n=2,3,4,),其中 a 为常数，k 为非零常数.令 b“=a,a”(n e N*),证明数歹U b,.)是等比数列；(H)求数列 a j 的通项公式；(H D 当|k|V l 时，求“m a 一 8 考场错解(I )证明：由 b 产 a2-aH 0,可得：b2=a3-a2=f (a2)-f (ai)=k(a2-ai)=0.由数学归纳 法 可 证 b n=an+i-an rO(nN*).由题设条件，当 n 2 2 时b=册+i-%=/(%)=双即一册 1)二 女bn-斯-%T a

42、n-an-an-an-故数列 b j是公比为k 的等比数列.(I I )由(I )知 bn=k1(a2-ai)(n N*)b i+b2+,+bn-1=(a2-ai).(n 2 2)而-kb i+b2+,+b i 二 a2-a1+a：3-a2+,+以 一 a。-1 二 an-ai (n 2 2)i _ I/.an-ai=(a2-ai)-(n 22)-k故 an=a f (a)-a (n N*)an=a+(n-l)f (a)-a (n N*)-k(III)当|k|V l 时li m art _ li mn o o 一 o oa+(fa-a)-=a+J-k I2.（典型例题）如图，直 线 L:y=k

43、x+l-k（kW O,k W士 工）与 L 相2交于点P.直 线 h与 x 轴交于点P i,过 点 P i 作 x 轴的垂线交于直线12于点Q 1,过点Q i 作 y 轴的垂线交直线L 于点p2,过点P 2作 X 轴的垂线交直线k 于点盘,这样一直作下去，可得到一系列点P“Q”P 2,Q z,点 P n（n=l,2,）的横坐标构成数列 xj.(I )证明 X n H-l=-(xn-l)，(n e N*);2k(I D求数列 xj 的通项公式；(III)比较 2 I P P n I 2 与 4k2 I P P J 2+5 的大小.考场错解 证明：设 点 P 0 的坐标是(X n,%)，由已知条件

44、得点Q u、P n+I的坐标分别是：.由 P n+I 在直线 1 1 上 得;巧 1+；=kX r r l +l-k.所 以;(Xn-1 )=k(Xn+l-l).BP Xn+1-1=(X n-1),B N*.2k(ID 由(I )知 2 4=_L,故 xl 是等比数列，且 首 项X 1-l=-l ,公比为-L.从而求xn-2k k 2k得 XF2X(-L)n,nGN*.专家把脉(H)问中对于先应考虑x/l 能 否 为 继 而 可 求.对症下药(I)同错解中(I ).(I I )解法:由 题 设 知XFI-4储+表一)，所以数列 x f 是 首 项 为 X T 公比为小的等比数x 1-1=-1

45、W O,又 由(I )知列.从而 X l=x(-L严，即 X F 1-2X (_ L),n e N,.k 2k 2ky=kx+k,(山)解 法：由.1 1 得点p 的 坐 标 为(1 ,1 ).所 以I 2 22 1 P P 12=2(x-l)2+2(kx+l-k-l)=8 X ()2n+2(2 产 2 4k2 1 P p/2+5 =2k 2k4k2(l-l-l)2(0-l)2 +5=4k2+9.当 1k 1*,即 g或 k；时，4k，|P P g 5 l+9=1 0.D 而此时。弓|1,所以 2 1 P P n 1 2 8 X 1+2=1 0,故 2 1 P P|2 4k2|P P,|2+5

46、.(ii)当 0|k|,，即 k e(-1,0)U(0,-)时，4k2|PPT+5 1,所以 2|PPKI8X1+2=10.故 2|PP|、4k2 1Ppi1+5.3.(典型例题)已知函数f(x)=g(x x-l).设数列 a.满足尸1,&*(既)，数列 匕 满x+足 b n=|an-6|,Sn=b i+b2+,+b n(n e N*).(I)用数学归纳法证明b.W史?；2-1(I I)证明s.述.3 考 场 错 解 (I)b=|a-百 I,又 V a=l+,a+l=一一(n 2 2),二an-+1 an-+1a2=2,a3=-,ai=2./.an 2 1.bn=-+2-=/-+2-73=由叠

47、 代 法.b n W3an_+1 2 3an-2+1(后-1)2-1(1 1 昌也+(斤1)+(石-产 2+正-上 石 二 弓 空.2 2-,V3-1 31-2 专家把脉 运用叠代法时并不能化简成 史 二 匕.2T 对症下药(I)证明：当 x 2 0 时,f(x)=l+A.因为a,=l,所以a“2 l (nCN*).下面x+1用数学归纳法证明不等式b n店?.2-1(1)当 n=l时，b 尸石-1,不等式成立，(2)假设当n=k时，不等式成立，即 b W(勺，.2k一 1那么1=乐 石|=(百-牺一里与 八叱严.所以，当 n=k+l时，不等式也成立.1 +4 2 2A根 据(1)和(2),可知

48、不等式对任意nGN*都成立.(I l)证 明：由(I )知，b.W.所 以 S n=bl+b2+bn W2(6-D+迈 二 丫+史=匕=(-i)二(V i-l)-=2百.故对任意 n2 2 T V 3-1 ,V 3-1 31 -1-2 2G N*,S ),所 以P为4马的中点，则为+X 2 =1 +丫2 =为)+/*2)=环 二 方+诏石=1，所以=(2)S=f(1 )+f(-)+f(-)+-+f(1),n G N*,求 S”;n n n答案：由(1)矢 口 项 +%2 =1,凶 +y2=/(X|)+/(x2)=1/(1)=2-V 2而 S n=/(1)+/(-)+/(-)+-+/()+/(-

49、)n n n n nc,一 1、一 2、“一 3、1、sn=/(n)+/(-n-)+/(n)+/(-n)+/(-n)两式相加，得2 S =(-1)、1+2(2-虚)=+3-2亚，所以 S n=+3 2 2 记 T,.为数列|-Q-尸|的 前 n 项和，若 T 2+行)对一切n G N*都成(S+V 2)(S+I+V 2)J立，试求a 的取值范围.答案：由 有 与+瘦=等 岛+咛+扬，+扬=(用)=七%-六)-+1-44 x 5 5 x 6-(+3)(+4)(4 5 5 6 n+3 n+4)+4由题意得：。+(5“+2+拉)因为5“+2+后 0,所rjr以.q q-Tn =-I-n-=2S.+2

50、+O(+4 X+5)+”+9n设备g()=+型，易证g()在 2石,+00上是增函数，在 0,2石 上是减函数,n而g(4)=9,g(5)=9,所以g()的最小值为9,于是京一V 所以。+3+9 9 9n2 已知一次函数f(x)的图像关于直线x-y=0 对称的图像为C,且 f(T)=0,若点(n+1,9(n N,)在曲线C上,并 有 a 产 a z=l.(1)求曲线C的方程；答案：设 f(x)=kx+b(kW 0),则曲线C的方程为f-x)=-x-bk./(l)=0,.T +b=0 (1)又点5 +L&-坦(e N*),在曲线C上,(2,丝)%1即(2,1)在曲线上.k由得：k=b=l .C: