《微积分》上册部分课后习题答案.pdf

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1、微积分上册一元函数微积分与无穷级数第 2 章极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列X”，若工2 T a(Z -8),%*+1 7 a(攵一 8),证明：(”8).证.Vi,0,x2k n (Z:oo),/.B K G Z,只要2人 2 K ,就有,24一。|2K 2+1,就有,2+1-4 a (_oo).2.若l im x“=a,证明l im|x=|a|,并举反例说明反之不一定成立.一 8 T8证明：,l imxn=a,由定义有：V 0,B N,当 ,N时恒有|x 一。|8又|l x|-1 a|xn-a e对 上 述 同 样 的 和,当“N时，都有|x“|a|8反之，不一定成立.如取x =(

2、一1),几=1,2,显 然l im区|=1,但l im x不存在.一 82.2 函数的极限1.用极限定义证明：函数/(X)当尤7 X。时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等.证：必 要 性.若 l im/(x)=A,V 0 ,3 0 ,当 0 ,-项)|6 时，就有I%1 f(x)-A E.因而，当0%-0 6时，有所以 1皿/(%)=4；同时当0 4-时，有|/(x)-川 0,0,当0 x-&时，就X T X；X-XQ有|/(x)-A|0,当。l0-时,有|/(x)-A|.取b=minb1,32,则当0 ,一次o|v b时，就有|/(x)-川Ao(4)lim f(x)=-oo,(5)

3、lim f(x)=A.X+8 X-解：(1 )设/:U丘0)7/?是 一 个 函 数，如 果 存 在 一 个 常 数A e/?,满 足 关 系：X/0 J6 0,使得当 0 X-/3 时，恒有 I /(幻 一 A 1(/)n(8,-a),a R,a 0.若存在常数AER,满足关系：V0,3X(G/?)0,使得当x -X时，恒有|/(幻一4|0,3 0,使得当 0 x-x0 M,则称当XT H时)(尤)的极限为正无穷大，记作lim f(x)=+8 或/(x)=+8(x t X；).(4)设/:(/)-R是一函数，其中。(/)n(。,+8)0 0,。6/?,若存在常数AE R,满足关系：VM 0,

4、3X(e/?)0,使得当龙X时，恒有/(x)+8时/(X)的极限为负无穷大，记作：lim f(x)=-oo 或 f(x)=oo(x +8).XT+oo(5)设/:。(/)一/?是一函数，其中。(/)=),+8)依 0,。6?,若存在常数A e R,满足关系：X/O,mX 0,使得当x X时，恒有|/(x)A|+8 时的极限，记作：l im /(x)=A或/(x)=A (九一 一).X T+82.3 极限的运算法则N1.求 l im V=11 +2+211解.：1 +2+=2 1-1M+1)(“+1)n n+12NE二1=2+=21-7N/.l im VNT8 T=1=l im 2(1-=211

5、11 +2+”N N +l11 +2+N +1Px+12.求 l im 1 -z O 1ex-11a r c ta n .x解.,l im e x=+8,X TO.l im ex=0,.s(rvex+1 1l im -a r c ta n -r-0+-Xex-11+e X 1 7Tl im-l im a r c ta n io+io+x 21-e x-ex+1 1l im -a r c ta n I。-Xex-1ex+1h m -x-0 1ex-1l im a r c ta n X T。一71 e +1 1 兀,/.l im ；a r c ta n =2 X 2ex-1X3.设 l im f(

6、x)存在，/(x)=x2+2x l im f(x),求/(龙).x-l x-l解：设 l im/(x)=A,则/(%)=元 2+2 元-AX-1再求极限：l im/(x)=l im(x2+2x-A)=1+2A =A n A =-lA-1 A TI/(x)=x2+2x A =x2-2x.r/r-,/士 a x )+b(x-l)+c x +34.确定 a 力,c,使-c=2X T l -a.J-.4,1 /b 2-Vx+3.r b 1 +x i上式左边=hm(a H-H-)=limt7 4-.a x-(x-1)i x-(%-1)(2+7X2+3).b(2M x1+3)-1-x=limtzd-7(x

7、-1)(2+Vx2+3)同理有 lim/(2+J/+3)-1 _幻=()=*T l41(2+7X2+3)-1-X/.a=-lim -/=-limI(X-1)(2+VX2+3)I3(1-/28 d x G+3+2x)163 1故/=上c=2为所求.16 22.4 极限存在准则1.设玉=10,Z+i=j6 +x,=1,2,).试证数列%,的极限存在，并求此极限.证：由/=1 0,%=J6+X =4,知%2.假设4 Z+i，则有x+i=J6+x*J6+%=x*+2.由数学归纳法知，对一切正整数，有尤”x“+i，即数列 4 单调减少.又显然，0(=1,2,)，即%有 界.故limx”存在.”一 8令l

8、im x,=a,对七什=J6+x”两边取极限得a=J6+a,从而有a?-。-6=0,一)8.。=3,或。=-2,但,X”0,/.d!0,故 lim=3n oo2.证 明 数 列0 /百,*用=3(1 +%)收敛,并求其极限.3+x.证明：利用准则n,单调有界必有极限来证明./.0 玉 百，由递推公式0 x23(1+七)3+X,2x,2-1 +=1+-3+/1 +3尤1V3/.0 x2 V 3同理可证：0%03+$3+$3+X .x2 X j同 理 3尤2，.,数 列 演 单调递增，由准则n limx 存在，设为A,由递推公式有：n A=3 0 +A)=A=A/3(舍去负数)3+4limxn=V

9、3.一 83.设 x,J为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a,证明limx“=a.证 明:设%k 为%的一子列,则%也为一单调增加的数列，且limx.=ak nk o o k对于 =1,B N,当N时有|x,k。|1从而lxt1=1 x(-a +a xn t-a +a+a取M=max|%M I,J%,l+|a|,对一切以都有|xt|82.5 两个重要极限1.求 T+li8m cos 7/1+1 -cos.解：原 式=lim-2 sindn+1+VH.Yn+1 -4n-sin-22_ .J.+1-yn _.与.Vn 4-1 4-Vn S m 9+1 -G=lim-2 sin-方-*2 Vn

10、+1 -y/n 21_ _+1 +Vn J=o,.，+1 VH=22.求 lim sinOrJ+1).“T+8解.原式二l i m s i n(n;r+兀mn?+1 )=l i m (-1)M si n z rW/i2+1 M 4-oo n +o=l i m (一 1)n +co3.求l i m(si n+co s)”.解.原 式 二=l i m (si n r+co srr-0L4.设 f(x)=2(1-co sx)x 0l i m华1 0 /=l i m (1+si n 2t)sin 2/-0sin 2/XT8 X令XX洋求解：:l i m =l i mX T0+九 x-0+2 3X+X3

11、X1,l i m =l i mX T。-XZ XTb2(1-co s x)2Xx02.6 函数的连续性1.研究函数g(x)=x-x 的连续性，并指出间断点类型.解.x =n,n e Z(整数集)为第一类(跳跃)间断点.2.证明方程x3+p x+q=0(p 0)有且只有一个实根.证.令+*+4，：/(-8)0,由零点定理，至少存在一点J使得/G)=o,其唯一性，易由/(x)的严格单调性可得.3.设/(*)=el,x ，求/(x)的间断点，并说明间断点的所属类型.l n(l +x),-l x 0 x 4-X2pn x/、解./(x)=l i m-=0,x =0,因此/(x)在(一8,0),(0,+

12、)内 连 续，又 T8 1 +e,l xx,x 05.设 函 数/(x)在(8,+8)内连 续，且l i m/=0,证 明 至 少 存 在 一 点 使 得1 8 XM)+=0.证：令F(x)=f(x)+x,则l i m型2 =1加 殁+1 =1 0,从 而 区0.由极限保号XT8 X*78 X X性定理可得，存在引0使F(x J 0；存在尤2 0使尸()尸C O在口2，玉 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点J使得尸)=0,即/C)+4 =0.l-x2 n6.讨论函数/(x)=l i m 丁的连续性，若有间断点，判别其类型.1 +尤”1|%|1解：/(x)=17.证明：方程尤=asi n x

13、 +。(a 0,力 0)至少有一个正根，且不超过。+江证明：设/(x)=x-asi n x-。，考虑区间 0,a+。,/(0)-b 0,当/(a+Z?)=a(l-si n(a+。)=0 时，x =a+。是方程的根；当/(a+h)=a(l si n(a+0)0时，由零点定理，至少m je(0,a+b)使/(J)=0,即 J一asi n J 0=0 成立，故原方程至少有一个正根且不超过a+42.7无穷小与无穷大、无穷小的比较1.当X T 0时，下面等式成立吗？(1)x-o(x2)=o(x3)；)=o(x)；(3)o(x)=p(x2).X解.(1),七 o )=)0(尤 0),A X-O(X2)=6

14、 (x3)(x 0)X X(2)(3),/X/=)-0(X T 0),J.x)=u(x)(x T 0)7 X X X也 不 一定趋于零，.o(x)=o(x2)不一定成立(当X 7 0时)X2.当 X 7 8 时，若一7 -=0(1),则求常数 0,C.ax +bx +c x +1解.因 为 当X 7 8 时，若=。(一)，所以ax +。光 +c x +1l i m +bx +c/=iim/+1=0,故a，0,加c任意./1 ax +c3.写出x 7 0时，无穷小量飞X+五的等价无穷小量.=l i m J l +F =1A-0当x -0,-x+J x x第3章导数与微分3.1导数概念1.设函数/

15、(x)在/处 可 导，求下列极限值.(i)li m/(xo+2/;)-/(A-o-3/?)；i(i(x。).h X T X o X-XQ解.原 式 l imf/(/+2 0-/1 0).2+/-/)-/(%),31 57()小。|_ 2/?-3h J 0(2)原式=l im X o b(x)/(x。)二广(/)(工 工。)=/，(%)_/&)f。x-x02.设 函 数/:(0,+8)7氏在工=1处可导，且(0,+o o)有/(w)=W(x)+4(y)试证：函 数/在(o,+8)内可导，且 八%)=2 1 0+广.X解:令x =y =l,由 f S O=W(x)+曲(y)有/1(1)=2/得/=

16、0.Vx e(0,+o o),4)=妈/(x +Ax)/(x)矶1 +=l im AJVTOArxAx(.Ar xf A-1 +=l i m Av-0AxAx-/MI/W-/W /1+-=l im AJ TOArxAr+幽=片1)+这X XX故/(x)在(O,+8)内处处可导，且f x)=/+.X3.设/在(8,+8)内有意义，且/(0)=0,八0)二 1，又/(%1+x2)=/(X,)(X2)+/(工2)。(%)，其中奴元)M C O S X+f/,求 r(x).解：v)=l im/(x +-)-/(尤)=l im/(x)p(Ax)+/(一)孔)一/(x)以TO Ar 加TO Ax=叫，二)

17、9(x)+/(x)9)二 1 =广(0)9(x)+/(x)”(O)TO Ax -Ax=(p x)=c o s x +x2e-2tQ rc tnn 丫4.设函数/(无)在x =0处可导，且l im华吐=2,求/(0).X TO/解：由已知，必有-1 =0 ,从而 l im/(%)=0 ,而/(x)在x =0连续，故/()=0.X TO X TO土 曰 c 1.a rc ta nx v x .1 1 人小、1于是 2=hm；=h m-=l i m-.故/()=一 .i o/(x)x-o /(x)-/(0)/(0)J 2x5.设，(x)具有二阶导数,尸(x)=lim*/(A-+-)-/(X)sin-

18、,JF(x).f t J t解m：令A/.2 =一1 ,则ntI/(幻=h mf(x-+-2-/z)-/(x)sin hx 0、一/-=2xf(x).t;-0 h h从而 F(x)=2/(x)+2xf(x),dF(x)=F(x)dx=2(x)+xf(x)dx.6.设/是 对 任 意 实 数 苍y满 足 方 程f(x)=f(x)+f(y)+x2y+xy2的函数，又假设lim 4 =l,求:(1)/(0)；(2)/(0)；(3)fX x).X T X解：(1)依题意 等式 f(x +y)=/(x)+f(y)+x2y+xy2 成立令x=y=0 有,/(0)=2/(0)=/(0)=0(2)又=l,即

19、lim/)二=1 =/(0),/./z(0)=1 30 x z。x-0(3)f，(r)=nm/(x+A r)/(x)=./)+./W)+At+x 3产一-(x)&TO AX A I AX=lim-/(A-x-)-+-x-2-A-x-+-x-(-A-x)2=lim/(Ax-)4-x2 2+x-AvA Ar 加TO Ax=/(0)+/=1+/.fx)=+x2.7.设曲线y=/(x)在原点与丁=4!1%相切，试 求 极 限lim 2 (2).T8 V n解：依题意有 了(0)=/(0)=1且/(0)=0/(I)8.设函数/(X)在x=0处可导且/(0)。0,/(0)=0,证明lim生T =1./(0

20、)证/(-+0)-/(0)/(一)/(一)/(O)H m nL _ w ,，:“1 r(o)l im=l im l +左-.=Z(O)=e =e =i.i/(O)5/(O)3.2求导法则1.计算函数y =(2)，(2)。(土 族(。0,6 0)的导数.a x a解.y,=(-y I n-(-)a(-)6 4 Y-(-)h+b(-)b-Y-T (-)f la a x a v x j x )aj a a a)aJ x=(与(与(为a x a _ a x x _2.引入中间变量M(X)=Jl +2,计算y =1 a rc ta n 71+x2+-I n 的导数包.2 4 T T T -i d xWt

21、m.引f入、(,x)、=r t 41+2 x ,/曰 得 y =1 a rc ta n +1 iI n-+-1-，于 曰是 一d y =-d-y-d-”,又2 4 u-1 d x d u d xd y=i if i _ _ _ _ _ _ i i =i -1d u 2(1+w2)4(+l w -1J 1 -w4 _(J +/2x2+x4也 x ,则 电，-_ L .=_ _ _ _ _=J_ _ _ _ _ _ _心 Jl +%2 d x V2x2+x4 J 71+x2 X(2+X2)V1+X23.设无二科+丁，u=(x2+x y,求 心 .d u解.=虫，又 虫=2y +l,包=3(/+x)

22、；(2x +l),得 =-1-,d u d x d u d y d x 2 d x 2y 4-1=-2,则得 d y _ =-2-d u 3(2x +l)Vx2+x d u 3(2)，+l)(2x +l)Vx2+x4.已知 y =/(-),f x)=a rc ta n x2,求 电-3x +2 d x解：y =/(-2)-(-3-x-2),=a rc ta n(-3-x-2)2 2 -3x +2 3x +2 3x +212(3X+2)2.dydxx=0rt儿=a r c/t3axn(2.)2-高12方=3 71.4。43.3高阶导数i.计算下列各函数的阶导数.1(2)y=e*cosx.解：11

23、1（，）1冗+63()117(X+6)M(2)/y-e(cosx-sin x)=V2e j-cos x-=sin xJlex cos x+I 4y=y2excos x+I 4si.n(兀、x 4I 4 J=(V2)ex cos(尤 +2 由 此 推 得y=（行）”cos（尤+n 2.设y=/s in 2龙，求 产）/解 y(50)=(sin 2X)(50)(X2)+Co(sin 2x)(49)(x2)+C氯sin 2x)叫/)=250%2 sinf2x+502 1+50 250 xsinf2x+4 9-7C-K 50 x49-丁-249 sinl 2A:+4 8 2 J2 25 尤2 sin

24、2x+50 250 xcos 2x+1225-249 sin 2x=249(1225-2x2)sin 2x+1 OOxcos 2x/r 13.试 从 竺=；，。0,其中y三阶可导，导出dy yd2x yl x =3(/)2-心”dy(y,r公 _ 1 d2x _ J 1 dx _ y _ 一 dy y dy2 dxy)dy-(/)2/(/)3八=d 卜 门 dx _-+y”3。丁 y”；3(行 一 办”万一研加万 一 (y r VTF4.设/(x)满足/(x)+2/(j=1(X HO),求/(X),/(X)/(X).解 以 工 代x,原方程为j f，=2/(x)=3x,X x)/(X)+2/1

25、)=3 X)X+2/3 =3x消 去 叱求得/(X)=2X L 且得1(X)=2+1，/叫 )=(一1匚(/2).X X X5.设 f(x)=arcsin x，试证明 f(x)满足(i-x2)r(x)-w)=o(2)(1-x2)/”2)(x)一(2 +l)V 0X|=c2x x 0 x 0+xf_(0)=lim=hm-=0X T。-X X T。-Xr(o)=o又 八x)=0 x 0 0+X IO+X(0)=lim 二/=lim=0KT X X-0-Xr(o)=o而 广 =12x ，f (0)=limf-x-)-/-7-0-)-=lim 24=+8 不存在X 0 10+X 30+X故使)(0)存

26、在的最高阶数=2.7.若将多项式心(x)=4+a.x+变形为P“(x)=b0+bl(x-x0)+b2(x-x0)2+-+bn(x-x0)n,则有：%=2。)也=%/)也=萼 也=找餐.证：比较两式显然有益=匕(%)，由于2(%)在玉)处存在任意阶导数，又e：(x)=仇+2打(/)+4=%0)：(x)=24+3,2 4(%-%)+(”一 1)/(X /)-2,_吸)2 2!月)(x)=！bn_暇(/)!1.设43.4微分与微分技术x =2t 上 一 d2 yg+y+i=。确定)=y 求 本，=0解 一 由f =g(x +l)得(X+1,V+2y +2=0上式对 x 求导得 ev+(x +l)ey

27、 +2y =0(1)再对 x 求导得 2eyy/+(x +1)0 v(y+(%+l)e，y +2y =0r =0时得x =-l,y =l,代 入(1)式得 y|,=0=-1e-.将x =-l,y =-l,V =J _ eT代 入(2)式 得 曰 =-e-2.2d x2 2r=0(2)一/(v e)e)v 解二 x；=2,x：=0,由+G y；+y；=0得(x)+y 2d(x)+：7+r p(x)+y 2/(x)+2(l+j 9瓦d x-I 1 +(1 +/)r-2 r ,一=9(X)+TV.*P(x)+y 2+(p x)+2-2 5 g f (p x +y-L L(l +e“(1 +力3.设y

28、=y(x)由方程组x 3t+2r+3evsin，一y+l=0 所确立，求 左 乩。.解方程组4x=3产 +2r+3ey sin Z -j +1=0两边对x求导得,dt.dt1 =6,一 +2dx dxv dy.y dt dyey sm t+e co st-dx dx dx,两边再对x求导得=0,d2 t+e c o st-dx2d2 ydx20将,=，必=1 代入得包dx,=o1 dy _ e d2t _ 35Kzz才干Ji叁 I第4章中值定理与导数的应用4.1微分中值定理1.证明：若函数/(九)在(-8,+8)内满足不等式广(幻=/(幻，且/(0)=1,则/(幻=.证：令 R x)=exf(

29、x)则F x)=-e-xf(x)+exfX x)=e f x)-/(%)而 广(x)=f(x)则 F(x)=0从而 F(x)=e-xf(x)=C(常数)又/(0)=1 则 C=1ex f(x)=1即/(x)=e.2.若函数/(x)在(a,b)内具有二阶导数，且/(项)=/(%2)=/(工3)，其中4 x I 工2%3 2，引 上 分 别 用 定 理,得/&)=0。区,%2)广 2)=0 (x2,x3)又 在,4)上再用R。修 定理，得/C)=0 Je&,$)=区,%).3.设/(幻在。,可上连续(0。),在(。,份内可导，证明在(。,与内存在,使得2/)=4/().ab证：对/(x)和g(x)

30、=!在3,旬上应用c a u c hy中值定理知,存在e(。力),使X叫中=牛=卅 八 初 即结皿=3 由La gr a nge中值定理知，存_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _b-a abh a 7 2在J e 使 得 )一/=八于是f =或b-a ab4.设函数其中0。R在 0,2上二阶可导，并且满足|/(幻 区1,|f x)|1,证明：在 0,2上必有|广。)|2,证 明:V x e 0,2,则/(X)在 0,幻 X,2上二阶可导,由T a y l o r公式,在无处展开:/(0)=/(x)+/(x)(0-x)+1 )(0-x)2。e

31、(0,x)/=/(%)+八 幻(2-x)+g)(2-x)2 J?e(龙，2)两式相减/-/(0)=2 仆)+?/(a )(2-x)2-/)/2 1 f x)|=|/(2)-/(0)-/2)(2-x)2-|W(2)|+|/(O)|+i|r(2)(2-x)2-r()x2|x=lg(0)=4=g(2),g=2 gmax(2)=4从而|/(x)区 g(l+l+gx4)=2.6.设 函 数/在 0,1具有三阶连续导数，且/(0)=1,/=2,/(；)=0,证明：至少存在点 会(0,1),使|/纭)。24.证明：/在 0,1具有三阶连续导数，考虑了在处展开，0)=/(；)+-g)(o;)+g(。一 f 2

32、 +(0-33 4 e (0,1)/=代)+吗(1 -；)+学(1 -夕 +(lf 辟(1,D相减得=-+,GJ-3!8 3!8=/&)+/4 )=48 又_T(x)连续式 匕,虞 使I玉 )国 厂6)I尸(百)区I/C)从 而 C)|?g-48=24.尤27.证明：X-ln(l+x)0).九2证明：(1)设/(x)=+x)(x 0)1 -v2,/f x)=1-x-=-0时 有/(x)/(0)=0尤2尤2故 x-ln(l+x)0 x-0)g(x)=7-1 =-0 时 g(x)g(0)=0ln(l+x)-x 0 即 ln(l+x)xx2从而有 x-ln(l+x)0).4.2洛必达法则1.已知当x

33、 7 0,/()=匕 丝 为X的三阶无穷小，试确定常数“力.1 +bxx +ax解：因 为lim驾=Hm 一 下 区:lim e 一 1 一 -二的 ”+法)一 媒XT0 尢 3 i o x3 XT x3(l+Z?x)1 3x+4/?x3由 lim e*(l+/?+bx)-。=0 得：b-a =0(1)A 0上 式 二lim(l +2 +?x)由 ime*(l+2 +x)=0 得：l+2/?=0(2)i o 6x+12bx2-0由(1)(2)得：6?=,b I(I+YX e2.求极限：(1)lim(4一2arctanx)Inx;(2)lim-.XT+co XT。尢-2解缶 力 ：(/1，、).

34、rli m/(4一c2 arc,t an x)、，I n x=vh m-2-a-r-c-ta-n-X-=.h.m-i +-x2x +oo X T+8 1 .r|Inx-xln2 x1.2xln2 x _ 2xln2 x _ 2In2 x _ 4Inx 八=lim-=lim-=lim-=lim-=0.X-1 +工2 XT+OO 2 1 X T+8 X A-+co 尤X (l+=)X1 ln(l+x)(2)lim(1 +A)1-g=lim =lim(e )，=e-lim(ln(1 +x 0%x-0 1 X TO x 0%-ln(l+x)啊 一Hm%一 如(1 +九)(1+尤)I。X22xe-lim

35、 1 elim-二 一 一.i。2(1+x)23.(1+x)v%0讨论函数/(x)=L e_ ie x|ln*-/(O+O)=lim/(x)=lim-x=lim ex e10+A-0+e K T+-L-i1 ,.ln(l+x)-x j+r y ln(l+.v)hm-hm-=lim ex X=T+厂 =e jo+2xx-0+uni-一 一=e*fO+2M+x)=e 2 f(0+0)=/(0-0)=e 2=/(0)/(x)在x=0处连续.fM xw04.设 函 数/具有一阶连续导数，7()存在且/(0)=0,g(x)=0,/limg(x)=lim/(x)=(0),，x 0 x 0 xa=/(0)8

36、(。)=也哈皿=盛/W-V C O)X2gx)=limx-0/(x)/(O)由 J_r(Q)2xW(x)/(X)X2；，(O)尤WOx=0limg(0)=lim(x)D.1 0 X-0 加4()一步(0)+小(0)-/。)XTO r2=lim 广 一 广 +V(0)-(，10 X X2=/(0)+lim，丁 3=/*(0)-i /(O)=:r(0)=g，(0)A。2X 2 2/.g(x)具有一阶连续导数.4.3函数的性态 a+h b i.试证：对于任何实数。力成立不等式 +a+b l+|a|1 +回x1_证：设/(x)=(x 0)贝！f x)=-0 从而/(x)单调增加1 +x(1+x)2又

37、卜 +4 f(a+h )f(a +b )即 a+b /(x)=e*2由 f x)=0 得 x=In 2八2)=*2=2 0 则x=ln 2为极小值点且 极 小 值 为/(In2)=2-ln 2-tz所以，当2-ln2-a 2-ln 2时，有两个实根,当a=2-ln 2时，有唯一实根.13.求曲线y=e x-+x+1 arctan(x-l)(x+2)的渐近线.1 2 i解：v lime7-arctan上-=-/.y=-为水平渐近线f(x l)(x+2)4-4lime*：arctan-+A+=-，x=0 为垂直渐近线so(x-l)(x+2)当X 7 1+和XT 时，y极限不存在.4.设函数y=)，

38、(x)由方程2y3-2/+2%丁 一 _?=1所确定，试求”加)的驻点，并判别它是否为极值点.解：在 原 方 程 两 边 对x求 导 并 化 简 得：3y2y,-2yy,+x y+y-x =0(1)令 了 =0得y=工 再 代 入 原 方 程 有2/一尤2一1 =。得 唯 一 驻 点 =1.在 两 边 对x再 求 导 并 整 理 得：(3/-2 J +%)/+2(3 -1)/2+2/-1 =0因此 y(j)=；0,故 驻 点x=l是y=y(x)的极小值点.5.如图，4和。分别是曲线y=e*和y=e-2,上的点，AB和DC均垂 直 于x轴，且AB:DC=2:1,求点8,C的横坐标，使梯形ABCO

39、的面积最大.解：设8,C的横坐标分别为玉,x,则e=2 e=,得 玉=ln 2-2 xBC=x-x1=3x-ln2,(x 0)3、*e,S梯形=(3x In 2)e 二3 I 1令 S =(3 6x+21n2)e 2、=o 得 驻 点：x=-+-ln2,2 2 3当 x 0,当 x L +!ln 2 时，S 0时/(k)0,0,故/(0)为极小值，/(0)=1当为偶数时，无论x 0还是x 0,都有了(x)0/./(x)为凹函数由凹函数定义/(x)Wy(y为过两点(七,/(*),(%,/()的直线纵坐标)令 0 r=1 Vjce xt,x2f(x)=f(-t)xt+tx2直线方程：y=/区)+/

40、(士)一 八*%7 1)x2-x=f(xi)+(f(x2)-=(1-。/(的)+/(尤2)故/(I-t)xt+tt2 (1-Z)/(x,)+tfx2)方 法（二）：取 x（）=（1 T）X +tx2 xQ e x,x2 ,0 r 0/./(x)/(x0)+/(Xo)(x-JCO)由得：/(匹)2/(九0)+/*0)区-与)又 1-r 0(1-/)/(%,)(1-r)/(x0)+(1-r)/(x0)(x,-x()tf(x2)tf(x0)+tfx0)(x2-x0)+得：(1-O/U|)+-)/(X0)+/(Xo)(1 T)(X -“0)+心2-X。)又(1 f)(Xj X。)+Z(X9 X。)=(

41、1 Z)X 1 (1 t)%+Z%2 比 o=(1-t)x-X。+比0+tx2+txQ=0所以(1-t)f(x)+)/(x0)=/(I-r)x,+%即 力(1 一 项+%4 a 一。/a)+tf(x2)8.设某银行中的总存款量与银行付给存户利率的平方成正比，若银行以20%的年利率把总存款的90%贷出，问它给存户支付的年利率定为多少时才能获得最大利润？解：设年利率为x,总存款为y,则丁=依2 (k 0,x 0)利润函数为R(x),依题意R(x)=0.2x0.9y-xy=0.182R(x)=0.36 米-3/a2=心(0.36-3x)令R(x)=O得x=0.1 2唯一驻点且R(x)=0.36%-6

42、日 R”(x)ko2=0 36r 0当尤=0.12时，砥x)最大，故年利率定为12%可获得最大利润.4.4弧微分与曲率1.求曲线r=a(1+cos。)在 6=0 处的曲率.解:2.v /=-as i n。r”=-a co s 0re=o=O r e=o =a 又 r e=o =2 aI e=or+2/-zr13(r2+/2)1|4a2-(-2 a2)|36 =0 _ 7 1 -4a(4/)2x-a co s 02.求椭圆4 3 力0)上哪一点的曲率为最大(或最小)？y =bs i n 0解：因椭圆上任一点的曲率为：,_ 忸 (6)*(6)-abk-3 -3-*2(6)+-2(夕)2 (/s i

43、 n2 0+b2 co s2 4户当0为何值时，k为最大或最小等价于求函数/(8)=Y 皿2。+b2 co s2 4(0 W，W 2万)的最值.令 F(6)=a2 s i n 2.0-b2 s i n 20=(a2-Z?2)s i n 20=0 得e =g 兀,g乃 且在端点处有：F(0)=F()=FW =b,F(y)=F(y)=4 Z,.当e=o,%时,F(e)最 小,当。=生，包 时，风夕)最大,2 2故 当6 =0,时，曲率上最大，当6 =色,阴时，曲率女最小.2 23.设抛物线)，=0?+汝+。在 4 0 处与曲线丁=6，相切,又有共同的曲率半径，求 a,6,c.解：依题意有:=(2a

44、x+b)x=0=b,y -2a-,y L o=e L o=L /b=o=l；b=l 又 y(0)=c=e=l,在光=0处,两曲线的曲率半径相等即曲率相等有1 2 al 1 1Ml-=-=a=.故 a=,b=,c=1.(1 +1)%(1 +1)%2 2第5章不定积分5.1不定积分的概念与性质1.已知/(x)=/(九+4)J(0)=0,且在(一2,2)内 八 尤)=忖，求 9).解：因为/(尤)=x,0 x 2,-x,所以八幻二万+a，,-2 +c220 x 2,-2 x 0,又 因 为 函 数 可 导 必 连 续，则 有/(0)=/(0 +0)=/(0-0),从 而 6=。2=。，故9XfM =

45、2 ；X0 A 2,则有/(9)=/(5 +4)=/(5)=/(I)=1.-2 x 0,及/(无)=/x 0,x 0,而F(x)=1 在(-o o,+o o)内处处可导，且/(X)=/(X),所以尸(幻+C是-1-1,x 0,过(0)的原函数是b(X)=|/-F 1,X 0.23.计算下列不定积分：(1)X e d x；(2)(d x；(3)(l +xl n x)tZx.(4)；-d x.J (1 +x)J x(l 4-x ex)J x，as i n x +bc o s x余e不：(/1)、Ir -x-e-x-d,x =Ir x c r d,(z-1 -)、=-x-e-x-F Ir-1-d,(

46、z x e 八)=-x-e-x-F Ir e 丫 d,xJ(1 +x)1 +九 1 +x J 1 4-x l +x J=x ex+/+C =ex+C.1 +X 1 +x(2)原式=j -(L d x=f.=(-1)d(x ex)J x ex(l +x e )J x e i +x ex)3 x e l +x e rd(x ex)r J(l +xev)/八 1八 八 i xe”=-=l n(xeA)-l n(l +x ex)-l-C =l n-+C.J x ex +x ex l +xe*原 式=J公+J/n x d x =j evrfl n x+j eA n x d x=ex n x-ex n x

47、 d x+jex I nx d x =ex I n x4-C.当 a=0,b W 0 时;原式=Sn X d x =I n l co s xl +C ；bco s x b、J,八，r x n,L r-r-I、1 f*Si n X,J x -当。H 0,Z?=0 时，原式=I-d x =F C；。J s i n x a当a。0/H 0时，设7；=-迎4-d x ,T,=竺 公，则J as i n x +bc o s x J as i n x+/7 co s xaT+bT2=j =x+C,.7 T c ac o s x-bs i n x ,r J(as i n x+Z?co s x).一 ,二 匚

48、aT2-h T=-ax=-=n a s i n x+f t co s +C2,所以J as i n x+/?co s x J as i n x+Oco s龙T=2(ax -h l n|6 r s i n x+Z?co s x|)+C.4.已知/”)=二X-Q，求/(x).s i n x,x Q解：因 为/(幻=1 5 一 又可导必连续，贝i j/(o)=/(o+o)=/(o o),-co s x +C2,x 0,J.丫3 ;rf)即G=-1 +C 2,所以，八幻=十J 1 -co s x+C,x 0 ,求/(x).解：因为尸(x)=/(x),由/(幻尸(幻=5足2 2%可得 尸(幻 公=卜 山

49、2 2%公，从而守MT八 z c.1又尸(0)=1,所以，F x)-x s i n 4 x+1,4又F(x)2 0,所以，F(x)=J x-；s i n 4 x+l ,1 1 cin-0 r所以，/(x)=F x)=(出 一 丁m 4 +1)，=-/二Ax s i n 4x+1V 47.计算詈d x.解一：.(l n(l-x)-l n x),=-=-x x x(l -x)原式=-j l n(l -x)-In x r f l n(l -x)-l n(x)l n(l x)-In x +c =一-I2+c2 2 x11解二：原式二)l n(l -x)d x -十 一1-)In x d xx+-X=j

50、 l n(l -x)d In x-j l n(l-x)d l n(l -x)-j In xJ In x-j=l n xl n(l -x)+j-6 Z x-l n(l -x)2-In x2-J=In xl n(l -x)-l n(l -x)2-l n x2+c2 2=一彳 U n(1)+c.2 x8.计算J 3公.(l +，)5In x,-ax xIn x,-ax1-x解：(-7)=一W+x(1 +x2)2原 式 邛n xd（言）=署-rJ.L dx7 1 +X2 Xx l n xV l +x2/1 dx =*一 In|%+Jl +x，|+cV l +X7 V l +X2第6章定积分及其应用6.