原子物理学杨福家1-6章课后习题答案.pdf

《原子物理学杨福家1-6章课后习题答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《原子物理学杨福家1-6章课后习题答案.pdf（54页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、原子物理学课后前六章答案（第四版）杨福家著（高等教育出版社）第一章：原子的位形：卢瑟福模型第二章：原子的量子态：波尔模型第三章：量子力学导论第四章：原子的精细结构：电子的自旋第五章：多电子原子：泡利原理第六章：X射线第 一 章 习 题 1、2 解1.1 速度为v的非相对论的a 粒子与一静止的自由电子相碰撞，试证明：a 粒子的最大偏离角约为1 0-4 r a d.要点分析：碰撞应考虑入射粒子和电子方向改变.并不是像教材中的入射粒子与靶核的碰撞（靶核不动）.注意这里电子要动.证明：设 a粒子的质量为Ma,碰撞前速度为V,沿 X方向入射；碰撞后，速度为V ,沿 0方向散射。电子质量用m e 表示，碰

2、撞前静止在坐标原点0处，碰撞后以速度v沿巾方向反冲。a粒子-电子系统在此过程中能量与动量均应守恒，有：丫 2用,2+，22a 0 a c eN 乙（1）M N -M cos 0+my cos cpCX/（JC V z rj x0 =M a V s i n 6 相/s i n 0(3)s i n/9mev =M aV作运算：（2）X s i n O （3）X c o s O,得s i n(0 +9)(4)“e“T 7 S i n。MV=MV s i n(6 +cp)(5)再 将 （4）、（5）二 式 与 （1）式联立，消s i n2 cps i n 2 (8 +9)M+m2.y2s i n2 6

3、s i n e +o)去V ，与化简上式，得s i n2(+cp)=s i n2 +s i n2 3me(6 )若记meN=-此.可 将（6）式改写为/s i n(e +0)=4 s i n 0 +s i n 0(7 )视。为小的函数0 （!）,对（7）式 求 0的极值，有s i n 2 0-j j.s i n(。+0)=/-s i n 2(p+s i n 2(。+cp)d(p令丝二0d（p,贝 ij s i n 2(9 +4)-s i n 2 b=0若s i n 0 =0,则。=0 （极小）即 2 c o s (0 +2 b)s i n 9 =0(8)(2)若 c o s(0+2 巾)=0，

4、则 0=9 0-2 巾(9)将（9）式代入（7）式，有/sin2（90 0 一0）=/sin2 e+sin?0由此可得sin。=14x18360弋1 0-4弧 度（极大）此题得证。1.2 （1）动能为5.O O M e V的a粒子被金核以9 0。散射时，它的瞄准距离（碰撞参数）为多大?（2）如果金箔厚1.0 P i n,则入射a粒子束以大于9 0 散 射（称为背散射）的粒子数是全部入射粒子的百分之几？要点分析:第二问是9 0 1 8 0 范围的积分.关键要知道n,注意推导出n值.二N总分子数二m o l 二1（陛 人/）=V _ V-V A A，其他值从书中参考列表中找.解（1）依ZZ,e?4

5、兀 /2 2金的原子序数Z 2=7 9,1 2Z-ez 0 79x 1.44 几。小 华 仁 s-i 5/、b=-cot =-cot 45=22.752 x 10（m）2 4峻E 2 5.00答：散射角为9 0所对所对应的瞄准距离为2 2.8 fm.（2）解：第二问解的要点是注意将大于9 0的散射全部积分出来.（问题不知道n A,但可从密度与原子量关系找出）从书后物质密度表和原子量表中杳出Z A u=7 9,A A u=19 7,p A u=l.8 8 8 X 104 k g/m 32dN=ntN -_ 2 si n 比。16sin4-依：2d N:乃sin劭9二 in t-LN q 16si

6、n4-2 2s i n =2 sin-c o s-2 20 0=2 sin 22d（sin 2）=j2d了=髀沙瞪、.e o2 sincos-看d916x sin4 2c 02 cos-%。16 x sin3 2.0,z.34 sin d(sin)16 x sin4 2”必 皿 丛 与A，N.注意到：l V V A A 即小位:体积内的粒子数为密度除以摩尔质量数乘以阿伏加德罗常数。n/2Z x(4 E是常数其值为L 0 x l 0,6 x1.88xl0-x6.22xl0-197(1.4 4X10I5)2-X*=9.648 x 1 O-54 5.000Ji COS 7T1一力 =2 j sin-

7、L222,06f(sin 一)_ =1.3。sin2最后结果为：dN,/N=9.6 X 1 0-5,说明大角度散射几率十分小。1-3-1-4 练习参考答案（后面为褚圣麟1-31-4作业）1-3 试问4.5MeV的 a 粒子与金核对心碰撞时的最小距离是多少?若把金核改为7 L i核，则结果如何？要点分析：计算简单，重点考虑结果给我们什么启示，影响靶核大小估计的因素。rma 0=1 +csca解：对 心 碰 撞 时rm=3 0+c s c 90。)=a22 9 =180。时in离金核最小距离Z.Z?e2a=4虑/2 x 7 9 x 1 4 4”o.56fm4.5离7 IJ核最小距离Z.Z2e2r=

8、a=m 4/E2x3x1.44=L 9 2 f m4.5结果说明：靶原子序数越小，入射粒子能量越大，越容易估算准核的半径.反之易反。1-4 假定金核半径为7.0 fm,试问入射质子需要多少能量才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面？若金核改为铝时质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，那么入射质子的能量应为多少？设铝核的半径为4.0 fm o要点分析:注意对头碰撞时,应考虑靶核质量大小,靶核很重时，m M可直接用公式计算;靶核较轻时,m M不满足,应考虑靶核的反冲,用相对运动的质心系来解.7 9 A A u=19 6 13 A A i=2 7解：若入射粒子的质量与原子核的质量满足m 9 0 的a粒子占

9、全部入射粒子的百分比，己知金的原子量为179。解：此题解的要点是注意将大于9 0 的散射全部积分出来.设散射入大于9 0 角的粒子数为d n,入射的总粒子数为n,金箔的单位体积内的粒子数为N。dn T,二Ntda依：dn A./1 、2 /2Z=Nt zd(y=Nt L(-百d en h2+47rg Mv .4 2sin 2co se ”J(s i ne-、)p I=J 6 =2 J =1N 上N J.3(9 J.3 6iv 一 A iv Q s i n s i n 注意到：A 2 2 2 2最后结果为：dn/n=3.89X10-7问答:如果知道散射的总粒子数，如何计算散射入某一角度内粒子的数

10、量？如何求出其散射截面？如何算出散射几率？散射入某一角内的粒子数dN=Na2dO 1 ZZ2e2 2-nAt=ntN（-）j4 4飞 4E164 sin 02dQ.4。sin2散射儿率(微分散射截面)蛔曲三4c dQ.NntdQ.习 题 1-5、1-6 解)=二看)21sin4-2%2sina/8补：求积分式解：积分式的积分结果s in 2的积分结果h 27r sin 3d0s in 2sin 3d0.、-W=2 兀s in 22sin,co s%。2sin24g22万20 sco s -d，2 3日s i n-21-5动能为l.O M eV的窄质子束垂直地射在质量厚度为1.5 m g/cm

11、2 的金箔上，记数器的记录以6 0 角散射的质子。计数器圆形输入孔的面积为L 5 cm 2,离金箔散射区的距离为1 0 cm,输入孔对着且垂直于射到它上面的质子，试问：散射到计数器输入孔的质子数与入射到金箔的质子数之比为多少？（质 量 厚 度 Pm定义为单位面积的质量P m=P t,则 P=Pm/t 其 中P为质量密度，t为靶厚）。要点分析：没给直接给n t。设置的难点是给出了质量厚度，计算时需把它转换成原子体密度n和厚度t.需推导其关系。解：输入圆孔相对于金箔的立体角为A A u=1 9 7mp 0=60（注意密度为单位体积的质量 V，单位体积内的粒子数 为n=-m-1-N,r p,zA=N

12、AV A A)n=NAA人n=Pm NAtAnt=Pm NAA%依公式dN=mN,7 a2-d-Q-.-16.4。sin 2N 1 6 s i/：1 9 7 1 6 91-6 一束a粒子垂直射至一重金属箔上，试求a粒子被金属箔散射后，散射角大于6 0 的a粒子与散射角大于9 0 的粒子数之比。要点分析：此题无难点，只是简单积分运算。解：依据散射公式8080sinnsiSn2260为因8-28292-3-2同理算出产 sin g)Io.0sin-22s in 2可知dN。=3/2=3dN,9 0 1/2-il80902习题1-7、8解2 万 s in。补：求积分式.4 sin 2的积分结果解：积

13、分式的积分结果9 2 2-sin 3d0.乙 一sin 2sin OdO _-7 =2 兀sin 222 s in-c o s-2sin24f24万ecos-d。-2心=4不.3 Usin2结果:%2TI sin 3d0.sin 一2仇1-7单能的窄a粒子束垂直地射到质量厚度为2.0mg/cm2的钮箔上，这时以散射角0 020,散射的相对粒子数（散射粒子数与入射数之比）为4.0X10-3.试计算：散 射 角0=6 0 角相对应的微分散射截面要点分析：重点考虑质量厚度与n t关系。d N生”加 =2.0 x10-22解：P m=2.0mg/cm2N ATa=181 ZTa=73依微分截面公式 知

14、该题重点要求出a2/16由公式,4sine2 x 6.022 xl023x x181 162TI sin 3cl0=4.3x10-3x6.022xl023 x x181 162/rsinHe=6.65xl02,x x(-4)16180=4.3x10-3206.65 x IO?1*氐x(4开)x(-22.13)=4.3x IO-3所以2a=2.33x10-2616e-2n 4si2.33x 1 ()-26*=1.456x IO-27.4 60sin 21-8(1)质量为m l的入射粒子被质量为m2(m2 m l)的静止靶核弹性散射，试证明:入射粒子在实验室坐标系中的最大可能偏转角e由下式决定.s

15、in3=-(2)假如粒子在原来静止的氢核上散射，试问：它在实验室坐标系中最大的散射角为多大？证明：mV2=my,2+z n2v22 1 2 2 2(1)my=myf co s 6 +m2v cos cp0 =m y s i n 0-m2v s i n cp(3)作运算：（2）Xs i n。土 Xcos。，得m2v =m y s m。s i n()=/s i n2 p+s i n2 0(7)视 0为 6的函数0 （6）,对（7）式 求 0的极值，有d 0 s i n 2 9 s i n(6 +0)=/-s i n 2(p+s i n 2(。+)d(p亚=0d(p令,则 s i n2(6 +4)-

16、s i n2 =02 cos(0 +2 4)s i n 8 二 0若s i n0=O,则 6 =0 (极小)(2)若 cos (0+2 巾)=0,则 0=9 0 -2 6(8)将式代入式，有 s i r?”。）i s +s i n2（。）./m2s i n，=-由此可得若m 2=m l则有vyis i n8=2=1,0 =9 0。m1此题得证。第一章 习题1-9、1 0题解1-9动能为1.0 M e v的窄质子束垂直地射到质量厚度（P t）为1.5 m g/cm 2的金箔上，若金箔中含有百分之三十的银，试求散射角大于3 0 的相对质子数为多少？要点分析：此题靶为一个复合材料靶，关键找出靶的厚度

17、t.然后计算出金原子数和银原子数，即可积分 计 算，从 书 后 表 可 知：ZA u=7 9,A A u=1 9 7,p A u=l.888X 1 0 4 k g/m 3;ZA g=4 7,A A g =1 0 8,P A g=1.0 5 X 1 0 4 k g/m 3.解：先求金箔的厚度 t p t=（0.7 P A u+0.3 P A g）t=1.5 m g/cm 21.5 x 1 0-21.5 x 1 0-20.7夕 4,+0 3 夕 Ag0.7 x l.888x l 04+0.3 x l.0 5 x l 04m=0.9 1 6 pm这种金箔中所含金原子数与银原子数分别为PAGT NA和

18、再计算质子被金原子与银原子散射到0 3 0 0范围内的相对数目。被金原子散射的相对数口为:7AUCT2疫in6U 3 0 范围内的质子数。同理可得质子被银原子散射的相对数目为：180加AN 180A g=的N 3,a1 2/zsin 闲。1 6sin二 小祝;Z；1.4 4?_ 15 .2。sin-2304。22被散射的相对质子总数为PAul 必Z。.4 4 x 1 0-5)2 必J 祝:Z；(1.4 4 x 1 0-5)2募一+K 一 s in 21T T i s os i n 2将已知数据代入：N A=6.0 2 X 1 0 2 3,E=1.0 M e V,t=0.9 1 6 n m,ZA

19、 u=7 9,A A u=1 9 7,P AU=1 8.88 X 1 0 3 k g/m 3,ZA g=4 7,A A g=1 0 8,P A g=1 0.5 X1 0 3 k g/m 3 nl.0 2 8X1 0-5结果讨论：此题是 个公式活用问题.只要稍作变换,很容易解决我们需要这样灵活运用能力.1-1 0由加速器产生的能量为1.2 Me V、束流为5.0 n A的质子束，垂直地射到厚为L 5 um的金箔上,试求5 m i n内被金箔散射到下列角间隔内的质子数。金的密度(P=L 8 8 8 X1 0 4 k g/m 3)1 59 6 1 ;2 0 0 0=6 0 3 0 9 0=60的值。

20、-a-5.719x1()9 x 1 =-5.719X109X-2”sin 一-24118().1 0sinL 2.60解：3 由 于 0。的值为无穷大，无法计算，所以将作以变换.仍然像上式一样积分，积分区间为10-180。，然后用总数减去所积值，即 9 90=10的值。=5.719x109x3=1.7151x10-5.719X109X=-5.719X109Xe-22nSI180=5.719X109X32.16=1.84X10,110总数为 9.36X1012-7.56X1011=8.6X1012(个第二章习题解答2.1 艳的逸出功为1.9 e V,试求：（1）钠的光电效应阈频率及阈值波长；（2

21、）如果要得到能量为L5e V的光电子，必须使用多少波长的光照射?解:光电效应方程=/i v-O2(1)由题意知vz w=0 即/z v =0 1.9 v =-h 4.1 36X1 0-1 5W-5=4.59 x 1 0%(2)Z.=-c =h e =-1-,-2-4-n-m-K-e-v =6 52.6 x?v 1.9e v m vz=1.5e v/.l.5e v =h v =h-c h e 1 .2 4/I/?2 K e v .Z=-=-=3M.7 n ml.5e v+中 l.5e v +l.9e v2.2对于氢原子、一次电离的氢离子He+和两次电离的锂离子Li+=分别计算它们的：（1）第一、

22、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；（2）电子在基态的结合能；（3）由基态带第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退激到基态所放光子的波长。解：（1）由波尔理论及电子的轨道半径公式r =r ,n为氢原子第一波尔半径Z6=44兀“力 2 _ (h e)2mee2 mec2e2/4n s0(1 9 7.3)20.5 1 1 x l 06x l.4 4n m x 0.05372772氢原子第二波尔半径可知：He*（Z=2）r2=n2r=4 弓=0.2 1 2 机r=0.0 2 6 5 m%1 222=a,=0.1 0 6 m?:2 1 2Li (Z=3)0.0 1 7 6 n m220.0 7

23、 0 5?电子在波尔轨道上的速率为vzn=a c n于 是 有H:v,=a c =一x 3 x l()8 次-2.1 9 x l 06/7 2-.y_|1 1 3 7v?=l.l x l 06m-5-2 2He*:V j =2 a c =4.3 8x l 06m-5,la=2 9 x 0 6 m.s-I2Li+:v,=3 a c =6.5 7 x l 06/-.v-1=2=3 28X106W1.5-I2 2(2)电子在基态的结合能Ek在数值上等于原子的基态能量。由波尔理论的能量公式E,1 /z、-/M/a c-)n2可得=|E,|-m(a c z)2-1 3.6 z2e v2故有I I :Ek

24、=1 3.6 e vHe*:Ek=1 3.6 x 22=5 4.4 e vEk=1 3.6 x 32=1 2 2.4 e v(3)以电压加速电子，使之于原子碰撞，把原子从基态激发到较高能态，用来加速电子的电势差称为激发电势，从基态激发到第一激发态得相应的电势差称为第一激发电势。对H:He*:1 =学=13&2(l-f 1V1 2=1 3.6 x(l-)=1 0.2 vv i 7 =1 3.6 x 22x(l-l)=4 0.8v ILi:V1 2=1 3.6X32X（1-）=9 1.8V共振线(即赖曼系第一条)的波长：%=枭=占I.c 1.24/?m k e vH :羽=-=121.6nm”2

25、10.2evT T+c 124n m -k e v 彳He:九 二-=30.4m位 40.8evT.+,1.24n m-k e v 1一Li:/L9=-=13,j n m”91.8ev2.3 欲使电子与处于基态的锂离子Li+发生非弹性散射，试问电子至少具有多大的动能?解：Li基态能量为,-m (acz)2-I22.4e v ,从基态到第一激发态所需能量为2,1 3A.,=13.6xZ2 x(l-、)=122.4xe=91.8vi2224故电子必须具有91.8ev的动能.2.4 运动质子与一个处于静止的基态氢原子作完全非弹性的对心碰撞，欲使锂原子发射出光子，质子至少应多大的速度运动？解：欲使基态

26、氢原子发射光子，至少应使氢原子从基态激发到第一激发态，因此有：E1 ,mnk=勺 2=（I+_ _）A I2=2A12=20.4e v2 M Hv=I 2E1.c=J.2 x 20.4 x 3 x 08 m/s=6.26 xl04m/s V 938 Me v（质子静止能量机/=938Mev）2.5(1)原子在热平衡条件下处于不同能量状态的数目是按波尔兹曼分布的,即处于能量为E0的激发态的原子数为：N=N-e(EE)/kT,gi式中M是能量为L状态的原子数，k为玻尔兹曼常量，即和阳为相应能量状态的统计权重。试问：原子态的氢在一个大气压、20C温度的条件下，容器必须多大才能有一个原子处在第一激发态

27、？已知氢原子处于基态和第一激发态的统计权重分别为gi=2和g2=8o(2)电子与室温下的氢原子气体相碰撞，要 观 察 到 线，试问电子的最小动能为多大？略。2.6 在波长从95nm到125nm的光带范围内,氢原子的吸收光谱中包含哪些谱线？解：对于儿小=95nm,有IT)AminR I 95xl0-9x l.097373lxlO-1-V 95x IO-9 x 1.0973731 x IO7-1故4m=95?的波长的光子不足以将氢原子激发到n=5的激发态,但可以将氢原子激发到n=4的激发态ni=4同理有.=I 4渣一 口I亘五画巫叵=9 2 2min/?-l V125xl0-9xl.0973731

28、xl07-l对应于n=l的辐射光子的波长应比125nm更长，在波段以外又 氢原子的吸收谱对应于赖曼系，在(95si25nm)波段内只能观察到3条即=l,n=2)v2(m=l,n=3)v3(m=l,n=4)2.7试问哪种类氢离子的巴耳末系和赖曼系主线的波长差等于13 3.7n m?解：赖曼系主线：赖=R Z 2（1 5）=|/?Z 2巴耳末主线：*巴=氏？2（二 ）=9RZ2L 22 32 3 6二主线波长差：15 xR xl3 3.7 丽-15 x10973 7.3 1x10-7x13 3.7丸=Ayu A3 641 Q Q=-7x(108 20)=-=15 7?Z2 15/?Z2二 133.

29、7 ftm赖 一 5RZ23RZ2.Z=22.8 一次电离的氢原子He，从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能量处于基态的氢原子电离，从而放出电子，试求该电子的速度。解：He 从 E2-E.跃迁辐射的光子的能量为hv=E2-E,=-RCZ2（-1）=3Rhc氢原子的电离能为E=Ero-El=0-（-Rhc）=Rhe：.电离的电子的能量为Ek=3Rhc-Rhe-2Rhc该电子的速度为V=/2E 7_ 座/IC _ j4 x13.6x1.6x1()79-V 9.11X=3.09xl06;n/.v2.9 电子偶素是由一个正电子和一个电子所组成的一种束缚系统,试求出：（1）基态时两电子之间的距离；（

30、2）基态电子的电离能和由基态到第一激发态的激发能（3）由第一激发态退激到基态所放光子的波长。解：电子偶素可看作类氢体系，波尔理论同样适用，但有关公式中的电子质量必须采用体系的折合质量代替，对电子偶素，其折合质量为：meM _ meme+M 2(1)r;=4%，=2 4%?=2%=2x 0.05 3/?/?=0.106 n mmee(2)电离能为式中 此=七 一 =:也1 1-M于是 E,=-Rh c=-x.0973 73 1 x 107 x 1.24 xlO ev =6.80ev 2 2F则电离电势为 V,=6.80ve第一激发电势为（3）共振线波长为=h e1.24 xl03 n w i-e

31、v5A 0e v-243.In m2.10 子是一种基本粒子，除静止质量为电子质量为电子质量的207倍外，其余性质与电子都一样。当它运动速度较慢时，被质子俘获形成u子原子，试计算（1）口子原子的第一波尔轨道半径；（2）口子原子的最低能量；（3）u子原子赖曼线系中的最短波长。解：（1）口子原子可看作类氢体系，应用波尔理论，其轨道半径为4密方式中207”以207“207x183 6-207+183 6 e=186.0m 其第一波尔半径为r4万4方2186.0/次/_ 0.05 3，186.0-186.0=2.85 x1。-%?(2)U子原子的能量公式为u(a c)2=-x 186.0m (a c)

32、22 n 2 n最低能量n=11 ,E,-xl86.0m(a c)2=-186.0 xl3.6ev =-2.5 3 xl03ev2(3)由 波 长 公 式 2A,h e h e 1.24 xl03n m-e v 八 彳 八Z-n=-=-=-=0.4 9/im%Ei 0-(-2.5 3 x103)2.11 已知氢和重氢的里德伯常量之比为0.999 728,而它们的核质量之比为m“/m n=0.5 00 20,试计算质子质量与电子质量之比。解:由RA=可知1 +1 +旦&=%=0.999728RD 1 +旦M”又：%=总I+(15 002也-j 一 =0.9997281+4MH则MH _ 0.4

33、995 28me 0.000272=183 6.5 =1.8x1()32.12 当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一个光子时，（1）试求这个氢原子所获得的反冲速率为多大？（2）试估计氢原子的反冲能量与所发光子的 能 量 之 比。解:(1)所发光子的能量1 1 3hv=-E,=Rhc(-7)=x 13.6ev =10.2ev2 I2 22 4h光子的动量Ahv 10.2ev氢 原 子 的 反 冲 动 量 等 于 光 子 动 量 的 大 小，即5=P =上hv 10.2x1.602x10，”/反立=1.67x10-27 x 3 x 1(/%=32 6%(2)氢原子的反冲能量为Ek=；机”唯=

34、；x 1.67x10-2,x(3.26)2 J =8.87x10-27/2.13 钠 原 子 的 基 态 为3 s,试 问 钠 原 子 从4 P激 发 态 向 低 能 级 跃 迁 时，可产生几 条 谱 线(不 考 虑 精 细 结 构)？解：不 考 虑 能 级 的 精 细 结 构，钠 原 子 的 能 级 图 如 下：根 据 辐 射 的 选 择 定 则4=1可 知，当 钠 原 子 从4 P态 向 低 能 级 跃 迁 时 可 产 生6条光 谱。2.14 钠 原 子 光 谱 的 共 振 线（主 线 系 第 一 条）的 波长等于入=5 8 9.3 n m,辅线系线限的波长 等 于 九=4 0 8.6n

35、m,试 求（1）3 S、3 P对 应 的 光 谱 项 和 能 量；（2）钠原子基态电子 的 电 离 能 和 由 基 态 到 第 一 激 发 态 的 激 发 能。解：（1）由N a的 能 级 图 可 知，3 P能 级 的 光 谱 项 和 能 级 分 别 为：耳=-=2.4 4 7 x 106/7 z-1入 e 4 0 8.6？%=c T 3P1.2 4 加 Kev4 0 8.67:m=-3.0 3 e v3 S能级的光谱项和能级可通过下式求出:13,一13P=Z =T,=7；,+-1-=2.4 4 7x1()6+-!_ =4.14 4 xl06m-1“3P 4 5 8 9.3 x IO-93s=

36、h cTis=-1.2 4 x 10 z/n -e v x 4.14 4 x 106m-=-5.14 2=,2meEK1.226VE1.2 2 6Tionmnm=0.388nmA1.2 2 6 _-nm=0A226nm V T o o九=入1 =P入 3=A=w/w=0.0388H/M10 0 03-2 设光子和电子的波长均为0.4 n m,试问：(1)光子的动量与电子的动量之比是多少？(2)光子的动能与电子的动能之比是多少？解：(1)由入=可知光子的动量等于电子的动量，即 P光子：P电子=1:1P(2)由 光子动能与波长的对应的关系九 光 子:M光子 E(KeV)电子动能与波长的关系、1.2

37、26入电子=瓦R z 1.226.2E电 子 二(7)n m人电子则知E光子 电子1.24X103 X0.41.2262=329.963-3若一个电子的动能等于它的静止能量，试求：（1）该电子的速度为多大？（2）其相应的德布罗意波长是多少？解:（1）依题意，相对论给出的运动物体的动能表达式是:E=me2 E=Ek+m0c2me2=27710c2 m=2m0m=（）-=41 1 V2厂、所以34v2c2V=0.8 66c（2）根据电子波长的计算公式:A=1.226nm 1.226nm国(eV)/511x1()3 eV=0.001715nm3-4把热中子窄束射到晶体上，由布喇格衍射图样可以求得热中

38、子的能量.若晶体的两相邻布喇格面间距为0.18 n m,一级布喇格掠射角（入射束与布喇格面之间的夹角）为3 0 ,试求这些热中子的能量.解：根据布喇格衍射公式n/.=dsinO2=d s in 9=0.18 x s in 3 0 n m=0.0 9 n mX 1.226nm一疽(eV)Ek=J226nm)2 =13 6 2 22eV=185.56eVA3-5电子显微镜中所用加速电压一般都很高，电子被加速后的速度很大，因而必须考虑相对论修正.试证明：电子的德布罗意波长与加速电压的关系应为：式中匕.=V(1+0.978X1(T V),称为相对论修正电压，其中电子加速电压V的单位是伏特.分析:考虑德

39、布罗意波长,考虑相对论情况质量能量修正,联系德布罗意关系式和相对论能量关系式,求出相对论下P即可解.证明：根据相对论质量公式将其平方整理乘c)得其能量动量关系式题意得证.3-6(1)试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于式 中 线 和E分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量.（康普顿波长Xc=h/moc,砥）为粒子静止质量，其意义在第六章中讨论）当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长?证明：根据相对论能量公式将其平方整理 乘c2m2 l-(V)2 c2c2 2 2 2 2 2m c-p c =m0 cE2=p2c2+m02c4P=-mc4=-c cE=Ek+mc

40、Ek=E-E。2 2m0 cp =J/炉一加0 2 c 4 =1 J(E +团 2)2 加0 2 c 4 =1 +2 1屋2)=1 E -E0)(E+E。)(1)相对论下粒子的德布罗意波长为：A -h -3 _ _ _ _h_e_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ he_ P&E_E)(E+Eo)JE2-E（2）若粒子的德布罗意波长等于它的康顿波长()2=2,E=V2E0片)E=V2E0=后 x 511=722.55KeVEk=E-E0=722.55-511=211.55(KeV)则电子的动能为211.55KeV.则电子的动能为211.55KeV注意变换：1.尸转化为A 2表示；2.转化为A

41、 y表示；3-7 一原子的激发态发射波长为600nm的光谱线，测得波长的精度为A)丁 =1 0 1,试问该原子态的寿命为多长？解：依 A E A r h 求A t力AZAE 2A 力 欣九 X X 600 x10-9x107 TCZ,=1 6 x 1 0*-2AE 2hcM 4nc AZ 4x3.14x3x1083-8 一个电子被禁闭在线度为10fm的区域中，这正是原子核线度的数量级，试计算它的最小动能.解：粒子被束缚在线度为r的范围内，即A x=r力那么粒子的动量必定有一个不确定度，它至少为：2 AxM x=A/(PX-PX)2 PX=U,(夕x)2平均=.(p 2)平 均3 力 2.电子的

42、最小平均动能为 Ek=-一 2 =2.8 4 8 x108e V8 m r3-9已知粒子波函数=N e xp(-畀-*-展 ,试 求：归一化d b 2c常数N；(2)粒子的x 坐标在0到。之间的几率；(3)粒子的)，坐标和Z 坐标分别在-一+。和-C f+c.之间的几率.解：(1)因粒子在整个空间出现的几率必定是一,所以归一化条件是:帆 d v =1f f产 一2 2产 一2国产-2国产-2目即：J 帽 d v =N y e 2 ad x e 2bd y y e 2cd ze adx2ba1所 以N=r7 8 abebd2 c e cd.=N 2 8 abe =1y J)h cx 坐标在0 f

43、 a区 域 内 几 率-2M 产_2N 一 2且为：N j e 2 ad x y e 2 bd y e 2 cd z=N24abc-(e-1 _ )=g(l J(3)粒子的y (-b,b)6 w(c,c)区域内的几率为：N?e ad xe dye 2 2 c d z=N2Sah c(V)2=(-I)2J-oo J-/?j-c e g3-1 0若一个体系由一个质子和一个电子组成，设它的归一化空间波函数为 3,y”a；%2,以，Z 2),其中足标1,2分别代表质子和电子，试写出：(1)在同一时刻发现质子处于(1,0,0)处，电子处于(0,1,1)处的几率密度；(2)发现电子处于(0,0,0),而不

44、管质子在何处的几率密度；发现两粒子都处于半径为1、中心在坐标原点的球内的几率大小3-1 1 对于在阱宽为a 的一维无限深阱中运动的粒子，计算在任意本征态”中的平均值亍及（尤-三）2,并证明：当 f 8 时，上述结果与经典结果相一致.3-12求氢原子1s态和2P态径向电荷密度的最大位置.第三章习题13,14玻尔半径，试求势能。=-一 乙 的 平 均 值.4麻0 r3-1 4证明下列对易关系：为 =访x,py=0反,鼠=0反 卬=电同 工x1=0E，y=i%R第三章习题15解3-1 5设 质 量 为m的粒子在半壁无限高的一维方阱中运动，此方阱的表达式为：x 00 x a试求：（1）粒子能级表达式；

45、（2）证明在此阱内至少存在一个束缚态的条件是，阱深匕和阱宽a之间满足关系式：解：在x0时，由薛定谤方程可得:因为 V(x)=-o o所以 卑(x)=00 x a,V(x)=Vo 薛 定 谤 方 程 为：力-,3+%=E%2m dx(4)整理后得：嘿 _ 如 乍 曳 外=o令%=)2皿匕-E)/力则：也 _ 小 心=0 方程的解为：k=&*，(5)dx式中A,B为待定系数,根据标准化条件的连续性,有喳=廿3 心(。)夕 3(。)将 ，式代人得：kctgak-k,(6)：证 明：令 u=ka v=k a 则(6)式可 改 为：“c f g”=-丫同时，u和 v还必须满足下列关系式：u2+v2=(k

46、2+k2)a2=2mvoa2/h(8)联立(7)(8)可得粒子的能级的值.用图解法求解:在以v 为纵轴u为横轴的直角坐标系中(7)(8)两式分别表示超越曲线和圆,其交点即为解.因k 都不是负数,故 和v不能取负值，因此只能取第一象限.由图可知(7)(8)两式至少有一解得条件为：4-1 一束电子进入1.2 T的均匀磁场时，试问电子自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大？分析要点：7 Ms=l/2,gs=2;Az msS sB MB解：已知：电子自旋磁矩在磁场方向的投影4=机 S&4 =4 依磁矩与磁场的作用能量 E=R B =Bcos自旋与磁场平行时E=B-4sBeos 0=JUBB自旋与

47、磁场反平行时E2=B=cos 180=-ptBB则E=E2-EX=2/BB=2X1.2X0.5788X10 V =1.389X1074-2试计算原子处于之。3/2状态的磁矩 及投影外的可能值.解：已知：/3/2,25*1=2 5=1/2,1=23 3 1,4-4贝q8J=2+2=2+2=54依据磁矩计算公式勺=7 j(j+D gjB =7T-15依据磁矩投影公式 日z =mj8,2 ,64-3试证实：原子在6 G3/2状态的磁矩等于零，并根据原子矢量模型对这一事实作出解释.解：因为 2 S+1=6 5=5/2J=3/2 1=4功=3/2,1/2,-1/2,-3/23+23 T勺二2+2（产）=

48、2 1 2 J )gjmj=O这是一个多电子耦合系统,相互作用产生的总效果为零说明多电子作用有互相抵消的情况.4-4在史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场，并射到屏上，磁极的纵向范围d=10cm,磁极中心到屏的距离。=25 cm.如果银原子的速率为4 00m/s,线束在屏上的分裂 间 距 为2.0m m,试问磁场强度的梯度值应为多大?银原子的基态为2s，质量为 107.87 u.解：原子束在屏上偏离中心的距离可用下式表示：z=-M,g/adB7 dDBzoz 2EK对 原 子 态2SI/2 L-Q 5=1/2 片1/2故/=g朗德g因子为：g=2对于上屏边缘的线束

49、取M-J,对于下屏边缘的线束取M=J所以,dB温7 dD=d/BzAZ%AJG/iBDdAZ=2 x 1 0 3m g-2=0.5 7 88x 1 0-4eV-T-10=2 5 x 1 0-d=1 0 x 1 0-2代入上式得:=1.2 4 x l O2T/mdz4-5在史特恩-盖拉赫实验中（图19.1）,不均匀横向磁场梯度为dB _ _.=5.0 7 /cm及,磁 极 的纵向范围d=10cm,磁极中心到屏的距离O=30cm,使 用 的 原 子 束 是 处 于 基 态4品的钢原子，原子的动能&二5 0 M e V.试求屏上线束边缘成分之间的距离.解:对于多个电子 25+1=4 S=3/2 L=

50、3,六3/2则1 5 _1 93 2g j=5 +5（）=+2（）=M4SB dD依公式1?-m V2=50MeV2dB dD3kT=mV2=0.1eV3 2 V八 10 x30_ x x5.0 x-=0.52092cm_ 2 5 50r dB dD和 oz okT,1 2 uc 10 x30 scz_ x x5.0 x-=0.1736cm-2 5 50即：Z3/2=2 Z2（3/2）=2X0.52092=1.42cmZ 1/2=2 Z 2(1/2)=2X0.1736=0.347cm4-6.在史特恩-盖拉赫实验中，原子态的氢从温度为400 K的炉中射出，在屏上接受到两条氢束线，间 距 为0.6