文科数学高考宝典.pdf

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1、目 录（-）集合与简易逻辑.2（-）函 数.4（三）导 数.1 2（四）不等式.1 5（五）数 列.1 8（六）三角函数.2 4（七）平面向量.3 0（八）直线、平面、简单多面体.3 4（九）直线和圆.3 7（十）圆锥曲线.4 2（十一）概率、统计.5 0（十二）统计案例.5 3（十三）算法初步与框图.5 5（十四）数系的扩充与复数的引入.5 8（十五）选修4系 列（坐标系与参数方程、优选法与试验设计初步）5 92012届高考数学概念方法题型易误点技巧总结(-)集合与简易逻辑基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为1 1届的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基

2、本解题方法，其次要熟悉一些基木题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，定能大幅度地提升高考数学成绩。一、集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如1、设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q=q +b l a e P,b w。,若尸=0,2,5 ,Q =1,2,6,则P+Q中元素的有 个。(8)2、非空集合S q 1,2,3,4,5 ,且满足“若aeS,则

3、6 aeS，这样的S共有_ _ _ _ _ 个(7)二、遇到A P I 8 =0时,你是否注意到“极端”情况：A =0或8 =0；同样当A q 6时，你是否忘记4 =0的情形？要注意到0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合 A =x I a x-l =0 ,8 =x l x?-3 x +2 =0 ,且 4 U B =B,则实数 a=(a =O,l,；)三、对于含有个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2%2-1,2-1,2 -2.如满足 1,2$M=1,2,3,4,5 集合 M 有 个.(7)四、集合的运算性质：(l)A U fi =/1 Be A；(

4、2)A A 8 =8 o 3=A ；(3)A q 8 =3C?(A 8)=；(5)C 0(A U 8)=gA 0 Cc,B .等.五、研究集合问题，一定要理解集合的意义一一抓住集合的特征元素。如：以1=坨犬 一函数的定义域；1?=怆 一函数的值域；(x,y)l y =l g x 函数图象上的点集.如(1)设集合M=x l y =JT,集合N=y l y =x 2,x w/,则MAN=(4,+o o)；六、数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如 已知函数/(x)=4 2(p 2)x 2 p

5、 2 一0+1在区间-1 上至少存在一个实数。，3使/(c)0,求实数p的取值范围。(-3,-)七、复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：(1)“且q ”为真是“p或g ”为真的充分不必要条件；“p且q ”为假是“p或q ”为真的充分不必要条件；“或q ”为真是“非p”为假的必要不充分条件；(4)“非p”为真是“p且q ”为假的必要不充分条件。其中正确的是(d)(3)八、四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若P则F”;逆否命题

6、为“若q则P”。提醒：(1)互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价：(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“AnBoAnA”判断其真假，这也是反证法的理论依据。(5)哪些命题宜用反证法？九、充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾)，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论

7、成立的必要条件。从集合角度解释，若则A是B的充分条件；若B =则A是B的必要条件；若人=8,则A是B的充要条件。如1、给 出 下 列 命 题：实 数。=0是 直 线ax 2y =1与2以一2y =3平 行 的 充 要 条 件；若a,b E R,a b-0是同+网=+成立的充要条件;已知x,y e R 若x y =0,则x =0或)=0 的逆否命题是“若xwO或y *0则x y /0 ；“若a和匕都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是假 命 题.其 中 正 确 命 题 的 序 号 是 ()；2、设命题p：1 4%-3 1 1 ；命题q:-(2a+l)x +a(a+1)W 0。若r p是r q的必要

8、而不充分的条件，则实数a的取值范围是(0,1)(二)函 数一、同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数.若函数y =；2x +4的定义域、值域都是闭区间 2,2切，则=(2)二、求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则)：1、根据解析式要求如偶次根式的被开方大于等于零，分母不能为零，对数l o g a x中x0,a0且TT TT三角形中0 A)，最大角之二，最小角工等.3 3如：(1)函数 y =J(、一 的定义域是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(0,2)

9、U(2,3)U(3,4).l g(x-3)2k Y+ir(2)若函数2 的定义域为R,则k c _ _ _ _ _ _ _ _ _(0,-).k x2+4k x+3 4 j(3)设函数/(x)=l g(a/+2x +l).若f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;若/(x)的值域是R,求实数。的取值范围(。1；0 4 a 4 1)2、根据实际问题的要求确定自变量的范围。3、复合函数的 定 义 域：若 已 知/3)的 定 义 域 为 国力,其 复 合 函 数/g(x)的定义域由不等式a g(x)b解出即可；若已知/Ig(x)的定义域为 a,b,求f(x)的定义域,相当于当x e a,切时,求g

10、(x)的值域(即/(x)的定义域).如：(1)若函数y =/(x)的定义域为g,2,则/(l o g?x)的定义域为 r l V 2 x -23、换元法一一通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，常见换元有代数换元和三角换元.1 7如：（1）y=2s i n2 x-3 c o s x-l _ _ _ _（-4,一 ）.8（2）y =2x +l +J T 的 值 域 为 （3,+o o）（令U=t,2 0。运用换元法时，要特别要注意新元，的范围）.（本题亦可用单调性求解）(3)y =s i n x +c o s x +s i n x c

11、 o s x 的值域为(1,+V 2).2(4)丁 =+4 +。9一一 的值域为_ _ _ _(1,3 72+4).4、函数有界性法一一直接求函数的值域困难时，可以利用己学过函数的有界性，来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性，,、皿 2s i n -l 3 2s i n -l z z 13/八、/3 _,、如：求函数 y=-，y=-,y=-的 值 域（-8,一、（0,1）、（-o o,）.1 +s i n。1 +3 1 4-c o s 0 2 25、数形结合法一一函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率等.如：（1）已知点P（X,y）在圆2 +y2=1上，求 二

12、及 了一2犬的取值范围（，孚 、6,6 ）;（2）求函数y=J（x-2）2+J（x+8）2 的 值 域（口0,+8）；6、判别式法一一对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：）下型，可直接用不等式性质，如求y=-j 的 值 域（0=）k +x2+x 2y=一bx一型，先化简，再用均值不等式。x+m x+n如 求y=-J的 值 域（0 0 ）；求 函 数 旷=互2的 值 域（）1 +x 2 x+3 2 产 型,通常用判别式法；x+m x+n如 已知函数y=l o g?”厂：8x+q的定义

13、域为匕 值域为 o,2,求常数机,的值（相=5）X+1),二Lx 叱ITIx 2n型,可用判别式法或均值不等式法，m x +nr 4-V 4-1如：求.=土 的 值 域(_ 8,3 u n,+8).x+l7、不等式法一一利用基本不等式。+方2 2 疝(a/e/T)求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有忖须要用到拆项、添项和两边平方等技巧.如：设x,q,a,y成等差数列，x，4，4,y 成等比数列，则 巨 上”的取值范围是(8,0 U 4,+8)。仇名-8、导 数 法 一 般适用于高次多项式函数或指对数函数.如求函I数/。)=2 1+4/-4 0%，

14、xe 3,3 的 最 小 值.(-48)四、分 段 函 数 的 概 念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是类较特殊的函数。在求分段函数的值/(X。)时，一定首先要判断小属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如：设函数/(x)=l)-五、求 函 数 解 析 式 的 常 用 方 法：1、待定系数法一一已知所求函数的类型(如二次函数的表达形式有三种：一般式：f x a x2+bx+c-,顶点式：f(x)a(x-m)2+n；零点式：f (x)a(x-xt)(x-x2),要会根据已知条件的

15、特点，灵活地选用二次函数的表达形式)。2、代 换(配 凑)法 一一已知形如/(%)的表达式，求/(%)的表达式。如(1)已知/(1-8 5 幻=5足2%,求/卜 2)的解析式(/(x2)=-x4+2 x2,x e -V 2,V 2)；1 .1 .(2)若/(1 一一)=x2+,则函数(X2-2X+3)；X X这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即/(X)的定义域应是g(x)的值域。3、方程的思想一一已知条件是含有/(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于/(X)及另外一个函数的方程组。1Y如 已 知 是 奇 函 数，g(x)是偶函数，且/(x)+g(

16、x)=,，贝_ _ _ _ _ _(=).x-1 X-1六、函 数 的 奇 偶 性。(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)：定义法：如：判断函数丁=丫/的奇偶性(奇函数).利用函数奇偶性定义的等价形式：/。)/(-)=0或 但=1 (/(x)0).f(x)如：判断/(x)=x(1一 +3的奇偶性一.(偶函数)2 1 2图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。(3)函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区

17、间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.若/(X)为偶函数，则/(-x)=f(x)=/(I X I).如：若定义在R上的偶函数/(X)在(-8,0)上是减函数，且/d)=2,则不等式/(l o g|x)2的解集3i为 一 .(0,0.5)U(2,+a)若奇函数/(x)定义域中含有0,则必有/(0)=0.故/(0)=0是“X)为奇函数的既不充分+Q 2也不必要条件。如：若-为奇函数，则 实 数(1).2、+1既奇又偶函数有无穷多个(/(x)=O,定义域是关于原点对称的任意一个数集).七、函数的单调性。1、确定函数的单调性或单调区间的常用方法

18、：在解答题中常用：定义法(取值一作差一变形一定号)、导 数 法(在 区 间 力)内，若总有了“)0,则/(X)为增函数；反之，若/(x)在区间(a,6)内为增函数，则/(x)N0,请注意两者的区别所在。如：1)已知函数/(幻=%3 一砂在区间口,+8)上是增函数，则a的取值范围是_(0,3)；(2)函数y =x +2c o s x在(0,外 上的单调递减区间为_ _ _ _ _ _-6 6在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意)，=4+2(4 0,8 0)型函数的X图象和单调性在解题中的运用：增区间为(-8,-+00),减区间为如：(1)若函数/(x)=/+2(。-l)x+2

19、在 区 间(-8,4 上是减函数，那么实数。的取值范围是 a-3(2)若 函 数/(月=1 0 8.+：-4(40,月。#1)的值域为电则实数a的取值范围是_ _ _ _ _(0 0,求实数m的取值17范 围.(2 0),则/(x)是周期为a的周期函数”得:(1)函数/(x)满足/(x)=/(a +x),则/(x)是周期为2 a的周期函数；(2)若/(x +a)=a W 0)恒成立，则T 1a,若 fx +a)-a 丰 0)恒成立，/(x)/(x)则T=2 a.如：设/(X)是(8,+8)上的奇函数，/(x +2)=/(x),当OWxWl 时，/(x)=x，则”47.5)等于_(-0.5)；定

20、义在R上的偶函数/(x)满足/(x +2)=/(x),且在-3,-2 上是减函数，若a,4是锐角三角形的两个内角，则/(sina)J(cos/?)的大小关系为(/(sina)/(cos/?)；已知/(x)是偶函数，且/=993,g(x)=/(x-l)是奇函数，求 2 011)的值(993).十、常见的图象变换:平移(上下、左 右)、伸缩、对称、翻折1、函数y=/(3+。)3 0)的图象是把函数？=/(x)的图象沿x轴向左平移。个单位得到的.如：设/(x)=2 r,g(x)的图像与/(x)的图像关于直线y=x对称，力。)的图像由g(x)的图像向右平 移1个单位得到，则力(x)为(/(x)=-lo

21、g2(x-l)2、函数y=/(x +a)(a 0)的图象是把函数)，=/(x)的图象沿y轴向上平移。个单位得到的；4、函数y=/(x)+a(a 0)的图象是把函数=/(x)的图象沿x轴伸缩为原来的,得到的.a如：(1)将函数y =/(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的L (纵坐标不变)，再将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所 得 图 像 对 应 的 函 数 为(/(3 x +6)；(2)如若函数y =/(2 x l)是偶函数，则函数y =/(2 x)的 对 称 轴 方 程 是(x =-1).6、函数y =af x(a 0)的图象是把函数)，=/(x)的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.7、

22、l/(x)l的图象先保留了(X)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；/(I x l)的图象先保留/(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如：作出函数y =1 lo g2(x +l)I及y =lo g 2 I x +1 1的图象；十一、指数式、对数式：m -_ rn 1an=J an t,a =3，a=l,lo gf/1 =0,lo g a=l t I g 2 +lg 5 =1,lo g x =I n x ,and =N =lo gr t N =b(a 0,a 丰 1,N 0),。嘀=h =l

23、o g”ah，lo g b=log0l o g =llo g“b 等.m如：g产 型 的值为_(2)十二、指薪、对数值的大小比较：(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同指数(或同真数)后利用图象比较。十 三、抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：1、借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：正比例函数型：f(x)=k xk 0)-f(xy)=/(x)/(y)；幕函数型：f(x)=x2-/(盯)=/(x)/(y),心

24、)=梨;y /(y)指数函数型：f x)=ax-f(x+y)=f(x)f(y),/()=梨;/(y)X对数函数型：f(x)=ogax/(x y)=/U)+/(y),/(-)=/U)-/(y)：y三角函数型：/(x)=t an x /(x+y)=八/+小)。f(x)=c o s X -f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)2、利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究：如；(1)设/a)是定义在实数集R上的函数，且满足/(x +2)=/(x +l)/(x),3如 果/=lg j,/(2)=l g l 5,求/(2 0 0 1)(1).(2)已知定义域为R的函数/(x

25、)满足/(x)=/(x +4),且当x2时，/(X)单调递增.如果$+94,且(再2)(-2)l时，/(x)0,y又/(g)=l，求证/(X)为减函数；解不等式/(x)+/(5-x)2-2.(0,l u 4,5).4、函数的凹凸性：函数y =/(x)在 内 任 意 内,2a，/()rr(2 )已知函数/(x)=2/为常数)图象上A处的切线与x y +3 =0的夹角为,则A点 的 横 坐 标 为 (。或,)；6五、导 数 的 运 算 法 则：1、常数函数的导数为0,即C =O (C为 常 数)；2、(X)=X T(GQ),与此有关的如下：=(厂)=一3，(4)=)=j；3、若/(x),g(x)有

26、导数，则(x)g(x)r=/(x)g (x);21如：(D已 知 函 数 的 导 数 为 广。)=81,则2 二 一()；4(2)函数y =(x-l)(x+1 的导数为(/=3X2+2X-1)；六、多项式函数的单调性:1、多项式函数的导数与函数的单调性：若 尸 0,则 x)为 增 函 数;若/(x)0,则“X)为 减 函 数;若/(x)=0恒成立，则/(X)为常数函数；若f(x)的符号不确定,则/(X)不是单调函数。若函数y =/(x)在 区 间 力)上 单 调 递 增，则尸(x)2 0,反之等号不成立；若函数y =/(x)在 区 间(a力)上单调递减，则/(x)W 0,反之等号不成立.如：已

27、知函数/(x)=法(6为常数)在区间(0,1)上单调递增，且方程/(x)=0的根都在区间-2,2 内，则b的取值范围是(3,4 ).2、利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求广(x)；(2)求方程/(x)=0的根，设根为阳,马,当；(3)苍,马,x.将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断了(X)的符号，由此确定每一子区间的单调性。七、函数的极值：1、定义：设函数/(X)在点X。附近有定义，如果对X。附近所有的点，都有/(x)6或。匕 0,则 优/或 后 物；如（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：若a 6,则a c?/；若=2 be?,则匕；若a b a b，？；若 a /?

28、0,W O ；若 a /?区；（）若a b b ；a b a b若 c a b 0,则，一 -b_；若 a Z?L 则 a 0,/?0）的最小值是2 46X XC、y =2 3 x 4（x 0）的最大值是2 40 D、L的最小值是2x V x2+22、若x +2 y =l,则2 +4 v的 最 小 值 是 （2 72 ）.3、正数x,y满足x +2 y =l,则工+工 的 最 小 值 为 （3 +2 72 ）.x y四、常 用 不 等 式：】、声2号2而N 4a b（根据目标不等式左右的运算结构选用）；2、a、b、c e R,a+b2+c2 ab+be+ca（当且仅当。=b=c 时，取等号）；

29、h h 4-tn3、若”匕0,?0,则 一 (糖水的浓度问题).a a+m如 如果正数。、h a h =a+h +3,则“6的取值范围是(9,+o o)五、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论)常用的放缩技巧有：-一=4 -=一一-n +1 (+1)n n(n-l)n-1 n4k +-4k =1 1 1“k+1 +y/k 2y/k y/k-1 +-J k=y/k -y/k+1六、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键.”注意解完之后要写上：“综上

30、，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.2 2如 1、若l o g“1或0 a A在区间D上恒成立,则等价于在区间D /(x)n,n A若不等式/(x)B在区间D上恒成立,则等价于在区间D /(x)m；i x。对一切实数x恒成立，求实数。的取值范围_(al)；(3)若不等式2 x-l加(犬一 1)对 满 足 帆 的 所 有 用 都 成 立，则x的取值范围V7-i V3 +1(-,-)；2 2(4)严若不等式(一1)。A；若在区间D上存在实数X使不等式/(x)B成立,则等价于在区间。上的/(解,B.如：已知不等式卜-4|+卜-3|1

31、)3、恰成立问题 若不等式/(x)A在区间。上恰成立，则等价于不等式/(x)A的解集为。；若不等式/(x)B在区间。上恰成立，则等价于不等式/(x)AD B两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为SM C T/=5刖*2 +SM CD2+SM BD2(2)通过计算可得下列等式：22-12=2 x 1 +1,3?-2 2 =2 x 2 +1,42-32=2 x 3 +1 (n +l)2-n2=2 x/i +l将以上各式分别相加得：(+1)2 -I2=2 x(l+2 +3 +)+，即1 +2 +3 +类比上述求法:请你求出F +2 2 +3 2 +2的值.解：23-I3=3 x l2

32、+3 x 1 +1 ,33-23=3X22+3X2 +1,43-33=3 x 32+3 x 3 +1 (n +1)3 -n 3 =3 X 2 +3 X +1 ,将以上各式分别相加得：(+1)3-1 3 =3 x(J+2 2 +32+“2)+3X(1 +2 +3+)+所以 I2+22+32+-+/12=-(n +l)3-l-n-3-n=，“(+1)(2“+1)3 2 6（五）数列一、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集 1,2,3,，n）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.如：1、已知=（e N*）,则在数列%的最大项为_ （）；n+1 5 6 2 52、已知

33、数列 2中，an=n2+A n9且%是递增数列，求实数4的取值 范 围（4 3）.二、等 差（比）数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法4M-%=d（d为常数）或+|=an-an_l（n 2）.等比数列的判断方法：定义法4M=q（q为常数），其中gw。,4#。或4=&（2 2）。J如：（1）一个等比数列 4共有2 +1项，奇数项之积为1 00,偶数项之积为1 2 0,则 川 为 _（-）;6（2）数列%中，5=4 4 _卢1 （22）且卬=1,若a=”+2 a”，求证：数 列 a 是等比数列.2、等差数列的通项：%=q +（一l）d或=。阳+（一m）d。等比数列的通项：%=或许如：（1

34、）等差数列%中，/o=3 O,出。=5 0,则通项“=（2 +1 0）；Q（2）首项为2 4的等差数列，从 第1 0项起开始为正数，则公差的取值范围是（2 d 6,n e N*)4、等差中项：若a,A力 成等差数列，则A叫做。与的等差中项，且A=3土2。2等比中项：若a,A,。成等比数列，那么A叫做。与b的等比中项。提醒：(1)等差(比)数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：4、d(q)、“、a；及 S n,其中4、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2)为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，a-2d,a-d,a,a+d,

35、a+2d(公差为d)；偶数个数成等差，可设为，a 3d,a d,a +d,a +3d,(公差为2d)如奇数个数成等比，可设为，二,3,a,a q,a/(公比为q)；但偶数个数成等比时;q q不能设为二,，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q q(3)不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个/茄。如：(1)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。(15,9,3,1或0,4,8,16)(2)已知两个正数a,b(a w b)的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为

36、(AB)三、等 差(比)数 列 的 性 质：1、当公差d wO时，等差数列的通项公式4,=%+(-1)=血+q-4是关于的一次函数，且斜率为公差a ；前和s“=+(%一()是关于的二次函数且常数项为o.2、当 =p +q时，等差数列有金+%=+%，特别地，当加+=2时，则 有 品+%=2 4.(等距性)等比数列有有am an=ap aq,特别地，当m +n =2 p时，则有am an=a；.如：（1）在等差数列 a“中，0 ，且6 il%o l，S ”是其前项和，则（B）A、耳 S i。都小于0，S u，M 都大于0 B、几 都 小 于0，$2 0,都大于0C、5,S?55都小于0，&,S 7

37、 都大于0 D、3，52S 20都小于0，S 21，22都大于0（2）在等比数列 七 中，2+6=1 2 4,%。7 =一512,公比q是整数，贝1 6=-（512）.（3）各项均为正数的等比数列%中,若。5，%=9，则l o g s%+l o g 3 a 2+l o g 3 a i o =（10）.4、若 4、电 是等差数列，则5”,邑”一/，邑”一52”，也成等差数列（即”片片和）而 a%成等比数列；若%是等比数列，氏 0,则 1g是等差数列.若 叫是等比数列，且 公 比#-1,贝|擞列5“,52”-5”,53,-52,“他是等比数列。当。=-1,且为偶数时，数列5“,52,-5“,53,

38、-邑“，一是常数数列0,它不是等比数列.若 是等比数歹U，则 I。/、4,+，w （P，q e N*）、伙4成等比数列；若 4、瓦 成等比数列，则。也,、才 成等比数列；如：（1 ）在等比数列%中，S,为其前n项和，若邑0 =13sHp%+1。=14 0,则$2。的值为_（4 0）（2）等差数歹i j的前n项和为25,前2n项和为10 0,则它的前3n和为.（225）5、在等差数列伍“中，当项数为偶数2时，S偶 一 S奇=d；项数为奇数2”一1时，S奇一 5儡=。中，%”T=（2 -1）a中（这里。中即%）；S奇：S儡=也+1）M。如：在等差数列中，S u =2 2,则4=（2）.A6、若等差

39、数列 a“、也,的前和分别为A,、B,且 瞪=/（“），O.,则%.=(2 T)册 _ 4“bn(2-岫-如：设%与 2 是两个等差数列，它们的前项和分别为S“和7；,若 鼠=即“T 4 n-3那么匕b(6 -28 一77、“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和.法一：由不等式组1%2。或）确定出前多少项为非负（或非正）；4 0（b t l 0；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n e N*。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大

40、或最小项吗？如：（1）等差数列%中，4=2 5,S9-S ,问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（1 3,1 6 9）；若%是等差数列,首项4 0,出0 0 3 +“2 0 0 4 0，0 2 0 0 3%0 0 4 0成立的最大正整数n是（4 0 0 6）8、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项 数 不 一定相同，即研究%9、等比数列中，若4 0,ql,则%为递增数列；若q 0,ql,则%为递减数列；若q0,0 q l ,则%为递减数列；若 0,0 q l,贝 心4为递增数列

41、；若q 7V,6 1如：数列%中，q =1,对所有的 2 2都有，则。3+。5=_ _ _ _ _ _（）1 64、若4用一%=/（）求。“用累加法：an=（a-an_x）+（an_x-an_2）+（a2-at）+at（n 2）,已知4包=/（）求a“，用累乘法：。“=，曰 an%an_2 q如：(1 )已知数列%满足。i=1,an-an_=.=(n 2),则。=+1 +(c in=-jn +1 5/2 +1 )、4(2)已知数列 a,J 中，%=2,前项和 S“，若 S“=-Q“，求%(a“=-)5、已知递推关系求。“，用构造法(构造等差、等比数列)。特别地，形 如 a“=Si+b、a“=k

42、 a z+b (k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为女的等比数列后，再求如：已知 q =1,4 =3 a+2 ,求 a“(a“=2 3 -1)；已知q =l,an=3%+2”,求a“(an=5 3 -2,+1)；(2)形如勺=的递推数列都可以用倒数法求通项.k%+b如：已知=1，=号7,求小y)；已知数列满足q=1,-瓜=加“*,求%(4“=，)注意：(1)用%=S“-S -求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？(n 2 ,当=1 时，4 =S )；(2)一般地当已知条件中含有4 与 S.的混合关系时，常需运用关系式*=S“-S,I，先将已知条件转化为只含4 或，

43、的关系式，然后再求解。54,n =1如：数列 4 满足=4,S“+S“+=山，求 4(J 13 4，五、数列求和的常用方法：1、公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式，注意：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论2、分组求和法：将通项分成若干个等差(比)数列或容易求和的数列，再进行求和的方法如：设数列1,(1+2),(1+2+4),(1+2+2?+2|)的前加项和为2 0 3 6,则m的值为1 03、并项求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常 将“和式”中“同类项”先合并在起，再运用公式法求和.如：已知 S“=l 2+3 4H-F(-1)n,则 S 17+S 3

44、 3+S 5 0等于 1_4、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法(这也是等比数列前和公式的推导方法).如：设函数/(x)=(x-l)2,g(x)=4(x l),数列%满足=2 J(a“)=(a“一 an+i)g(an)(n e N+)(1)求证：数列 氏-1是等比数列;(2)令/?(%)=(q -1)%+(%-1)/+(4-1)%，Q Q Q求函数/?(x)在点x=处的导数力(一)，并比较力(?与2 2 一的大小。(1)略；(2)力(|)=(-1)2+1,当=1 时，力(|)=2 2；当=2 忖，(|)2 n2-n )5、裂项相消

45、法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：(1)1 J -L；(2)1 1(1 1-)；(几+1)n n+1 (+%)k,n n +kz1 1 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1(3)-=(-)，-=-v-=-；k2 k2-l 2 k-k +l k k +l (k +l)k k2(k -l)k k-kn n+l)(z?4-2)2 (+l)(+l)(+2)(6)2(J九 +l VA Z)=-y=_2 -J n J n +l n-T如：求和：一+一+-1-=();1x4 4x7 (3 -2)x(3”+1)3 +1在数列%中，/=

46、/，且 S n=9 ,则 n=_(9 9).V n+V n +16、倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).如；已 知/(%)=鼻，贝i J/(D +/(2)+/(3)+/(4)+/(；)+/(；)+/(；)=72)六、“分期付款”、“森林木材”型应用问题1、这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务 必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统 一 到“最后”解决.2、利率问题：(1)单利问题：如零存整取储

47、蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r,则 期后本利和为：Sn-p(l+r)+p(l +2r)d (l+“r)r)(等差数列问题)；(2)复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款)p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一 期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分期还清。如果每期利率为r （按复利），那么每期等额还款x元应满足：p（l +r）n=x（l +r）-+x（l +r）-2+x（l +r）+x（等比数列问题）.（六）三角函数一、角 的 概 念 的 推 广：二、象 限 角 的 概 念：三、终边相同的角的表示:四、a与,的 终 边 关 系:L

48、 t l “两等分各象限、一二三四”确定.如若a是第二象限角，则4是第 象 限 角（答：一、三）2五、弧 长 公 式：/=l al R,扇 形 面 积 公 式：5=4东=*1。1a2，1弧 度（1r ad）a5 7.3.六、任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义：丁设a是任意一个角，P（x,y）是a的终边上的任意 一 点（异于原点），它与原点 xy jF l的距离是=0 ,那么5布。=上,（：0 S&=*,t an a=,（x 0）,三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。丁七、三 角 函 数 线 的 特 征 是：正弦线M P “站在x轴上（起点在x轴上）”、余弦线0 M “

49、躺在x轴上（起点是原点广、正切线AT 站在点A（1,O）处（起点是A）”.八、特殊角的三角函数值:3045600901802701575si n acos at an a/九、常用三角函数的基本公式和方法1同角三角函数的基本关系式:s.in2 a+c o s o a=,l,-s-m-t-z=t an ac o s a2、三 角 函 数 诱 导 公 式（乙%+a）的 本 质 是：2奇 变 偶 不 变（对人而言，指左取奇数或偶数），符 号 看 象 限（看 原 函 数，同 时 可 把a看成 是 锐 角）诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其 般 步 骤：1、负角变正角，再写成2k/r+a,0 4

50、a 修 一4等）如：已知 tan（a+）=2,tan（-?）=；,那么 tan（a+：）的值是（最）.2、三角函数名互化（切化弦）如:(1)求值 sin 50(1+百 tan 10)(1)；(/2_、)已/知-s-in-a-c-o-s-a-=l.,tan/(a-八)、二2,求、tan(“尸一23 a)x 的 值(/一1)、1-cos 2a 3 83 公式变形使用(tanatan=tan(a/?)(l+tanatan/?)o如：(1)已知 A、B 为锐角，且满足 tanAtan8=tanA+tanB+l,则 cos(A+3)=(一方-)(2)A4BC中，柩 A+8+6 =,si n A cos