信号与系统习题.pdf

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1、例 1 设 一 个 LT1离 散 系 统 的 初 始 状 态 不 为 零，当 激 励 为/()=()时 全 响 应 为+1()，当 激 励 为 f2(ri)=一()时 全 响 应 为 必()=|.s(1)当 系 统 的 初 始 状 态 保 持 不 变，且 激 励 为 人()=4，()时，求 系 统 的 全 响 应 内(“)。(2)当 系 统 的 初 始 状 态 增 加 一 倍，且 激 励 为/；()=4“(-2)时，求 系 统 的 全 响 应 外()。(3)求 该 系 统 的 单 位 序 列 响 应()。解：设 系 统 的 初 始 状 态 保 持 不 变，当 激 励 为 工()=()时 系 统

2、 的 零 输 入 响 应 和 零 状 态 响 应 分 别 为 匕 5)、y f 依 题 意，有:,S)=()+J7()+1()(b根 据 LTI系 统 的 性 质，当 激 励 为 f2()=-()时 全 响 应 为 联 立 式、，可 解 得:同 样，根 据 LTI系 统 的 基 本 性 质，不 难 得 到:(|)当 系 统 的 初 始 状 态 保 持 不 变，且 激 励 为 人()=4”()时，系 统 的 全 响 应 为:%()=()+4()+4()”()+4+1”()(2)当 系 统 的 初 始 状 态 增 加 一 倍，且 激 励 为/；()=4 5 2)时，系 统 的 全 响 应 为:九(

3、)=2”()+4(-2)(3)由 于 5()=()一(一 1),所 以 该 系 统 的 单 位 序 列 响 应 为:h(n)=yf(n)-yf(n-T)()-出+1(-!)例 2 一 个 irn连 续 系 统 对 激 励/(/)=sin tu(t)的 零 状 态 响 应 yf(/)如 例 2图 所 示,求 该 系 统 的 冲 激 响 应/(，)。解：依 题 意，该 系 统 的 零 状 态 响 应 为：y,(7)=sin/(/)*由 于 没 学 过 卷 积 逆 运 算，无 法 直 接 求 得 冲 激 响 应。(/),可 以 从 卷 积 运 算 的 性 质 下 手，设 法 使 激 励 信 号 中

4、出 现 5(7),这 样 就 有 可 能 求 出 八。dsintu(t)/、d sin/w(Z)e/.z.因 为-=cos/(/)-=5Q)-sin 九/Q)dt,dr不 难 发 现：.八 d2 sinZw(Z)sin/(/)+-厂 dr=sin/”“)+3(。-sin ZM(/)=b(/)从 而，一 方 面，根 据 卷 积 分 配 律：sin tu(t)*h(t)+-z*(/)dt-.八 t/2sinZw(Z)1，/、=sin/w(/)H-；一-J*h(t)dt-=5(7)*(/)=(/)另 方 面，根 据 卷 积 的 微 分 性 质：s.m%.*%，(/)、+/si源 n/-”)-*h(t

5、)=y dyf(t)f(t)+”故 系 统 的 冲 激 响 应 为:d2yf(t)=(。+.at其 波 形 如 例 2解 图 所 示。例 3 求 卜.面 例 3 图(1)所 示 系 统 中 的 加 权 系 数()，以 使 得 该 系 统 与 例 3 图(2)所 示 的 系 统 等 效。例 3图(2)解：如 果 两 个 离 散 系 统 的 单 位 序 列 响 应 相 同，则 这 两 个 系 统 等 效。因 此，必 须 先 求 出 每 个 系 统 的 单 位 序 列 响 应。根 据 例 3 图(2),可 以 得 到 该 系 统 的 差 分 方 程 为:y(“)-5y(n-1)+6y(n-2)=x(

6、)+x(-1)设 该 系 统 初 始 状 态 为 零，当 激 励 x()为 单 位 取 样 信 号 5(“)时，系 统 响 应 y(n)就 是 单 位 序 列 响 应 瓦(),上 述 差 分 方 程 可 以 写 为：h0(ri)-5%(-1)+67?O(-2)=S(ri)+8(n-1)此 差 分 方 程 的 特 征 方 程 为：A2-52+6=0解 之，得 特 征 根：4=2,4=3由 于 激 励 是 单 位 取 样 信 号 3(“)，方 程 特 解 为 零，故 单 位 序 列 响 应 的 形 式 与 齐 次 解 相 同，即：%()=(G-2+G由 于 初 始 状 态%(-1)=4(-2)=0

7、不 难 根 据 差 分 方 程 迭 代 求 出 n0 的 初 始 条 件：瓦(0)=1 力 o=6将 它 们 代 入 单 位 序 列 响 应，求 得%(o)=G+2=1%=2G+3a=6解 之，得 Cx=一 3，l G=4故：%()=(一 3-2+4-3”)”()(D对 于 例 3 图(1)所 示 系 统 的 响 应 为：y()=(0)x()+h()x(n-1)+.+h(N)x(n-N)+.00=m)m=0 x(n)*h(ri)因 为 系 统 的 零 状 态 响 应 等 于 激 励 信 号 和 单 位 序 列 响 应 的 卷 积，所 以 图(1)所 示 系 统 中 的 各 加 权 系 数 人(

8、)正 是 该 系 统 的 单 位 序 列 响 应 在 不 同 时 刻 的 样 值。这 样 要 使 图(1)和 图(2)所 示 的 两 个 系 统 等 效，则 图(1)所 示 系 统 的 加 权 系 数/7()就 应 和 式 a 相 同，即 A()=(-3-2M+4-3n(H)从 上 面 分 析 可 以 看 出，图(1)所 示 系 统 实 际 上 是 一 个 卷 积 器。利 用 这 个 结 构 可 以 模 拟 线 性 离 散 系 统。6.3习 题 精 解 1.下 列 系 统 中/()为 激 励，y()为 响 应，x(0)为 初 始 状 态，试 判 断 它 们 是 否 为 线 性 系 统。y(t)

9、=x(0)/(Z)y)=x(0)3+5/Q)(3)_y(w)=4x(0)-7|/(w)|(4)y(n)=af(n)+b,其 中 a、6 为 常 数 解：由 于 系 统(1)不 满 足 分 解 性；系 统(2)不 满 足 零 输 入 线 性；系 统(3)不 满 足 零 状 态 线 性，故 这 三 个 系 统 都 不 是 线 性 系 统。对 于 系 统(4),如 果 直 接 观 察 y()/()关 系，似 乎 系 统 既 不 满 足 齐 次 性，也 不 满 足 叠 加 性。但 考 虑 到令/()=0 时，系 统 响 应 为 常 数 6,若 把 它 看 成 是 由 初 始 状 态 引 起 的 零 输

10、 入 响 应 时，系 统 仍 是 满 足 线 性 系 统 条 件 的，故 系 统(4)是 线 性 系 统。2.下 列 系 统 中/()和 卜/()分 别 表 示 激 励 和 零 状 态 响 应，试 判 断 它 们 是 否 为 时 不 变 系 统。(1)yf(t)=aco s/(Z),其 中。为 常 数 歹/()=/()，其 中，为 常 数 解：(1)已 知/(/)力(/)=acos/),设/；)=/(/一 勿)，力，则 其 零 状 态 响 应 为 yn(/)-tzcos/；(/)=6 7 c o s/(/-/(/)J,显 然 yJA(/)=yf(/-td),故 该 系 统 是 时 不 变 系

11、统。(2)已 知/()()=a f()，设/；()=八 一 0),o，则 其 零 状 态 响 应 为()=妨()=V(一 o),显 然 力|()=力(一 o),故 该 系 统 是 时 不 变 系 统。3.下 列 系 统 中/()和 N/G)分 别 表 示 激 励 和 零 状 态 响 应，试 判 断 系 统 的 因 果 性。(1)yz(/)=7/(/)+3(2)(/)=,/(x)d x()=3/()+5/(一 2)(4)()=Z，(i)(5)力()=/(+1)(6)yz(/)=/(3z)z=-oo解：对 于(1)(4),由 于 任 一 时 刻 的 零 状 态 响 应 均 与 该 时 刻 以 后

12、的 输 入 无 关，因 此 都 是 因 果 系 统。而 对 于(5),系 统 任 一 时 刻 的 零 状 态 响 应 都 与 该 时 刻 以 后 的 激 励 有 关。响 应 在 先，激 励 在 后，这 在 物 理 系 统 中 是 不 可 能 的。因 此，该 系 统 是 非 因 果 的。(6)也 是 非 因 果 的，因 为 如 果/(/)=0,t tQ则 有(/)=3/)=0,/?3可 见 在 区 间 上/0上 歹/(/)力 0,即 零 状 态 出 现 于 激 励 之 前，因 而 该 系 统 是 非 因 果 的。4.下 列 系 统 中/()和 分 别 表 示 激 励 和 零 状 态 响 应，试

13、判 断 系 统 的 稳 定 性。()=3/()+2/(-1)(/)=L/(x)d x解：(1)显 然，无 论 激 励/()是 何 种 形 式 的 序 列，只 要 它 是 有 界 的，那 么 丫/()也 是 有 界 的，因 果 该 系 统是 稳 定 的。(2)若/(/)=(/),显 然 该 激 励 是 有 界 的，但 yf(t)-J(x)d x=/,/0它 随 时 间/无 限 增 长，故 该 系 统 是 不 稳 定 的。5.已 知 系 统 方 程 及 其 对 应 的 初 始 条 件(。+状 态)，求 系 统 的 零 输 入 响 应。(1)yt)+2yt)+2y(t)=f(t),给 定:y(Q+)

14、=Q,/(0+)=2；yt)+2yt)+y(t)=f(t),给 定:y(0+)=1,/(0+)=2；解：(1)特 征 方 程 为：A,+2A+2=0,得 特 征 根：Aj=1+j,4=-1)因 而，可 设 零 输 入 响 应 为:yx(t)=e-(C cos t+C2 sin t),/0代 入 初 始 条 件 得：yx(0+)=/(G cos/+。2 sin z)|,=0=C(=0y/(0+)=-eC cos t+C2 sin/)+e-/(-Cl sinr+C2 cos/)|,=0=-C,+C2=2联 立 以 上 两 式，解 得 G=0，。2=2所 以，系 统 的 零 输 入 响 应 为：片(

15、/)=2/sin例(2)特 征 方 程 为：几+2A+1=0,得 特 征 根：4=丸 2=1因 而，可 设 零 输 入 响 应 为：孔(。=(。/+。2)，z0代 入 初 始 条 件 得：匕。)=/+。2 b 1，丸=。2=1汽(0+)=G(G/+)e-1i=G=2联 立 以 上 两 式，解 得 G=3，。2=1所 以，系 统 的 零 输 入 响 应 为：yx(t)=(3t+l)eu(t)6.给 定 系 统 微 分 方 程、初 始 状 态(0一 状 态)以 及 激 励 信 号 分 别 为 以 卜.三 种 情 况：(1)y(t)+2y(f)=/(/).(0_)=0,/(/)=(/)y)+2y(/

16、)=3/),y(0_)=0,/(/)=0)(3)2y,(/)+3y(/)+4xo=/,(o.xo_)=b y(o_)=i,/)=(/)试 判 断 系 统 在 起 始 点 是 否 发 生 跳 变，据 此 对(1)(2)分 别 写 出 其 M 0+)值，对 写 出 M+)和 尸(+)值。解：(1)将/“)=”(/)代 入 方 程，由 于 方 程 右 边 没 有 冲 激 信 号 6。)及 其 导 数，所 以 系 统 在 起 始 点(从 0_状 态 到 0+状 态)没 有 发 生 跳 变。从 而 可 知：y(0_)=y(0_)=0(2)将/(/)=(/)代 入 方 程，由 于/(/)=6。)，即 方

17、程 右 边 有 冲 激 信 号 6(/),所 以 系 统 在 起 始 点(从 0_状 态 到 0+状 态)会 发 生 跳 变。根 据 奇 异 函 数 匹 配 法 的 原 理，可 设：/(/)=a(r)+/?(/),0_4/40+。(注 意：这 里(/)不 代 表 单 位 阶 跃 信 号，只 是 借 用 它 表 示 Q)在/=0 点 有 一 个 单 位 的 跳 变 量。)从 而 有：y(Z)=au(t)代 入 原 方 程 可 得：(/)+bu(t)+2au(t)=3bQ)解 得：(7=3,b=-6故 y(。+)=(。一)+4=3(3)将/(/)=(1)代 入 方 程，由 于/”)=6(1),即

18、方 程 右 边 有 冲 激 信 号 6(/),所 以 系 统 在 起 始 点(从 0_状 态 到 0+状 态)会 发 生 跳 变。根 据 奇 异 函 数 匹 配 法 的 原 理，可 设：y(r)=a S(r)+b3(t)+cw(r),0_/=-,y(0+)=y(0_)+a=l7.给 定 系 统 微 分 方 程(7)+3了(/)+2。)=/(，)+3/Q),若 激 励 信 号 和 初 始 状 态 分 别 为/)=(/),丁(0_)=1,/(0_)=2,试 求 系 统 的 全 响 应，并 指 出 其 零 输 入 响 应、零 状 态 响 应、自 由 响 应、强 迫 响 应 各 分 量。解：(1)求

19、零 输 入 响 应 匕(/)：由 已 知 条 件 有：匕+3”()+2匕=0,(。+)=(0-)=2.”(。+)=”(。一)=1特 征 方 程：+3/1+2=0特 征 根 为：4=L 九 2=-2故 可 设 零 输 入 响 应(齐 次 解)为：yx(/)=(Cte-+C2e-2),/0代 入 初 始 条 件，并 求 解 得 C|=4,C2=-3故 y.x(,)=(46-3e2)(/)(2)求 零 状 态 y/(7)：依 题 意，可 设 齐 次 解 D-+D2e2,/0,3又 由 于/0 时，/(/)=(/)=1,易 知 5 是 方 程 的 一 个 特 解。3故 零 状 态 响 应 为：yf(t

20、)=De+D2e2+-,t0为 了 确 定 待 定 系 数，将/代 入 原 方 程，有：(/)+3+2yf(?)=河)+3(/)根 据 奇 异 函 数 匹 配 法，当 0_/0+时，可 设：夕/(/)=。3(7)+6(/),则：y/(t)=au(t),yf(t)-atut-0代 入 方 程，平 衡 两 边 相 同 项 的 系 数 得。=1,6=0故 为(。+)=力(0一)+。=0+1=1,%(。+)=%(0 一)=0代 入 表 达 式，可 解 得：D,=-2,D,=-2i 3故 yf(t)=(-2e-+-e-2(3)全 响 应 M，)=Xr(7)+(7)=(2e“一|2+(/),其 中:零 输

21、 入 响 应 为：(4e)(r)零 状 态 响 应 为:白 由 响 应 为：(2c e)(/)2强 迫 响 应 为:3 八 TM(Z)28.有 系 统 满 足:当 激 励 为 f=时,全 响 应 为 必(Z)=；当 激 励 为 力(Z)=Z(z)时,全 响 应 为%(/)=3(/)。(1)求 该 系 统 的 零 输 入 响 应 yx(t：(2)设 系 统 的 初 始 状 态 保 持 不 变，求 其 对 于 激 励 为 力(/)=-5(/)的 全 响 应 必。解：(1)设 当 激 励 为 工(/)=(/)时，系 统 的 零 输 入 响 应 为 j(/)、零 状 态 响 应 为/(/),则 系 统

22、 全 响 应 为：必“)=”(/)+J7)=2 打 d)系 统 的 初 始 状 态 保 持 不 变，根 据 UTI系 统 的 性 质，当 激 励 为 人(/)=5(。时 全 响 应 为：%(，)=八 4)+(/)=6。)联 立 式、，可 得：力(/)-(/)=3(/)-2/(/)又 知 丁/(0_)=0,用 经 典 法 解 式 所 示 的 方 程，可 得 yf(t)=eu(t)从 而，系 统 的 零 输 入 响 应 为：yx=%(0-匕=2eu(t)-5=eu(t)(2)由(1)不 难 看 出，系 统 的 单 位 冲 激 响 应 酬/)=歹/(/)=5(/)所 以，根 据 卷 积 积 分 法，

23、当 激 励 为 右(/)=e-(/)时，零 状 态 响 应 为：y(/)=f3(t)*h(t)-(/)*b(f)-(7)=eu(t)te-u(t)-(l-/)e-,w(Z)又 由 于 系 统 的 初 始 状 态 保 持 不 变，所 以 系 统 的 零 输 入 响 应 仍 为 歹 式/)=，故 系 统 的 全 响 应 为：%=K+%3=+(1-t)eu(t)=(2-t)eu(t)9.某 E T I系 统，无 初 始 储 能，在 外 界 激 励/(/)=2e-3,w(z)作 用 下 的 响 应 为 火/),即 y)=7/(/),乂 己 知：?/(/)=-3y(/)+e-2,w(Z),求 该 系 统

24、 的 单 位 冲 激 响 应(7)。解：依 题 意，对 于 初 始 状 态 为 零 的 LTI系 统，在 激 励/(/)=2e-3“(/)作 用 下 的 响 应 为：-=)=%)*(/)则 在 激 励/(/)=一 6“+2b(/)作 用 下 的 响 应 为：y(o=n/(oi=/(o*A(o由 于/(/)=一 6e“(/)+25)=-3/(/)+2b),故 有：yt)-3h(t)+2-(f)*h(t)=-3A(/)*h(t)+28(t)*h(t)=-3y(Z)+2h(t)又 由 已 知 条 件：yt)=T/(r)=-3y(t)+e2u(t),从 而 得：-3X0+e-2u(t)=-3X0+2h

25、 故 该 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 为：力 10.电 路 如 题 10图 所 示，/0 时，开 关 位 于“I”且 已 达 到 稳 定 状 态，t=0 时 刻,开 关 自“I”转 至“2”。(1)试 从 物 理 概 念 判 断 i(0_)、“0_)和“0+)、z(0+)；(2)写 出/0+时 间 内 描 述 系 统 的 微 分 方 程 表 示，求，(/)的 全 响 应；(3)写 出 一 个 方 程 式，可 在 时 间-00/+8 内 描 述 系 统，根 据 此 式 利 用 奇 异 函 数 匹 配 法 判 断 0 一 时刻 和 0+时 刻 状 态 的 变 化，并 与(1)的 结 果 比

26、 较。解：(I)，=0_时 刻，开 关 位 于“1”，电 路 处 于 稳 定 状 态，不 难 得 到：wc(0_)=10V,ML(0_)=0V,z(O_)=zL(O_)=0从 而 可 知：i(0_)=i,(0_)=wL(0_)=0-L/=0+时 刻，开 关 自“I”转 至“2，电 容 电 压 和 电 感 电 流 不 会 突 变，故 有：uc(0+)=c(一)=10V,z(0+)=j JO+)=九(0_)=0而 电 感 电 压 要 发 生 变 化，有 KVL可 知：(0+)=20 10=10(V)1从 而 可 知：，()+)=%(。+)=L(+)=1/综 上 所 述，有：z(0_)=z(0_)=

27、z(0+)=0,z(0+)=10A(2)时，由 KVL 可 知：w(-(/)+L/(/)+/?/(/)=20z/(Z)dt方 程 两 边 求 导 并 将 i)=代 入，可 得：dt+7?z(Z)+z(/)=203(/)d r dt C由 于 L=R=C=1,且/N O.时，b(/)=0,所 以 系 统 微 分 方 程 为：d2 ddt-dt A/3其 特 征 方 程 为：+4+1=0,得 特 征 根：2显 然 o是 方 程 的 一 个 特 解，故 全 响 应 可 设 为：i(t)=K M 2 2+K2e 2 2,/代 入 初 始 条 件 i(0+)=0,i(0+)=10,解 得:K _ 10.

28、_ 10.K=一 忑 J 忑 J代 入 上 式，并 化 简，得 系 统 的 全 响 应 为:./、20；，.、/、it=-=e2 sin(Z(/)V3 2(3)根 据(2),不 难 得 到,在 一 8/00时 间 内，系 统 微 分 方 程 为:其 中，/)=10,Z0,这 可 表 示 为/(z)=10+10i/(z)代 入 系 统 微 分 方 程，得:根 据 奇 异 函 数 匹 配 法 的 原 理，可 设：/(/)=ab(/)+bu(t),0_/0+从 而 有：z(Z)=au(t),z(Z)=atu(t)=0代 入 原 方 程 可 得：”b(/)+bu(t)+an=10b(/)解 得：a=1

29、0,Z)=-10故：z(0+)=f(0_)+4/=0+10=10,z(0+)=z(0J=0可 见，与(1)的 结 果 一 致。11.设 某 因 果 ETI系 统 输 入、输 出 之 间 的 关 系 可 以 用 以 下 方 程 表 示：歹,+5y(/)=其 中 p=勿+3 S Q),求 该 系 统 的 单 位 冲 激 响 应(/)和 阶 跃 响 应 s(/)。解：y(/)+5y(/)=/(r)-r)Jr-/(/)=p(Z)*f(?)-f(r)为 了 求(/),将 已 知 条 件 pQ)=eu(t)+3S(t)及 了 求)=b 代 入,并 化 简 得:力+5(/)=eT“+23。)易 知 力(0_

30、)=0,用“经 典 法”可 求 得 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 为:7从 而 进 一 步 可 以 得 到 系 统 的 阶 跃 响 应 为：s(/)=r W)r=4/-二)(/)J-8 5 4 41 2.如 题 1 2图 所 示 电 路，以/(7)为 输 入，“2(力 为 输 出，试 列 出 其 微 分 方 程，用 时 域 分 析 法 求 出 电 路 的 冲 激 响 应 和 阶 跃 响 应。1Q题 12图 解：依 题 意，不 难 得 到 电 路 的 微 分 方 程 为：2：(7)+“2(/)=u s(/)+Us(0,(/)=3(/)作 用 于 系 统 时，对 应 得 到 的 系 统 亦

31、激 响 应(/),从 而 有：2”(/)+(/)=(/)+&特 征 方 程 为：22+1=0,得 特 征 根：2=-2J I可 设 齐 次 解：4=A e(Z0+)初 始 状 态：/?(0_)=0用 奇 异 函 数 匹 配 法，设/(/)=a(Z)+Z?SQ)+c(/),0/0财/(Z)-a3(t)+bu(t)代 入 方 程 2(7)+/?(/)=(/)+3(/),得：1a-2。+26=1b+2c=0解 得：a=,h=,c=-2 4 81 1 1故 A(O+)=/)+/?(OJ=-；即()+)=Z e 2 L o=-,从 而 有 N=a又 因 为 冲 激 响 应 中 含 有 b(/)分 量，故

32、 所 求 冲 激 响 应 为：1/?(Z)=-(Z)+-e 2”进 一 步 可 得 系 统 阶 跃 响 应 为：f r i 1 1-rs(7)=h(T)dT=(r)+e 2 urdrj 2 41 1 1-Z=-M(Z)+(-e 2)M(Z)1-Z=(/)-e 2(/)13.题 13图 所 示 系 统 是 由 几 个“子 系 统”组 成，各 子 系 统(积 分 器、单 位 延 时 器、倒 相 器)的 冲 激 响 应 分 别 为:用(?)=(/),2 a)=b(f T)，久(。=一 5(/)，试 求 整 个 系 统 的 冲 激 响 应 力。题 13图 解：根 据 串、并 联 系 统 的 特 点，不

33、 难 得 到 整 个 系 统 的 冲 激 响 应 为：=九(。+刈(/)*%(/)*3=(/)+bQ l)*“(/)*6Q)u(z)u(j 1)14.已 知 系 统 的 冲 激 响 应(f)=(1)若 激 励 信 号 为=2)+俄。-2)式 中 尸 为 常 数，试 求 系 统 的 零 状 态 响 应 丫/(/)。(2)若 激 励 信 号 表 示 为/(/)=X。)-u(t-2)+傥(t-2)式 中 x(/)为 任 意/函 数，若 要 求 系 统 在，2 的 零 状 态 响 应 为 零，试 确 定/值 应 等 于 多 少？解：(1)依 题 意，可 得：yf(/)=h(t)*/(/)=e-2u(t

34、)*/“(/)-u(t-2)+e-2/M(/)*/38t-2)=e2,u(t)*u(t-2)+/3e2(12)u(t-2)先 计 算：e2u(t)*eu(t)=e2re(r)dr=(e-e-2/)w(r)JO由 卷 积 积 分 的 性 质，可 得：e2,u(t)*eT(f-2)=e-*u(t)*e2-e-,-2)u(r-2)=e-2e-(,-2)-e-2 0-2)w(r-2)=e-e2,+2)u(t-2)故 有：yf(t)=(e-e-2M t)+(e-e-2,+2 M t-2)+优”)“。一 2)=(e-,-e2 1)(/)+(e-,-e2,+2+/3e2,+4)u(t-2)也 可 以 写 作

35、：当 0 f 2 时，yf(t)=e-2(/3e+e2-1)(2)依 题 意，可 得：y,(/)=(/)*./,)=e2u(t)*x(?)w(Z)u(t 2)+e2u(t)*p8(t-2)=f e-20r)M(/-r)x(r)(r)t/r-e2(1T)u(t-r)x(r)w(r-1)dr+J3 e2(2)u(t-2)=e-2(,-r)x(r)i/r-(/)-e-2(,_r)x(r)i/r-(/-2)+(3e1(,u t-2)当/2 时，要 yf(t)=O,即；e2 e1Tx(T)dr-e2(e2rx(r)dr+/3e2(2)-e-2,e2rx(T)(7r+4=0故 有：0=-e4 e2rx(r

36、)t/r21 5.-个 乒 乓 球 从 方 米 高 处 自 由 下 落 至 地 面，每 次 弹 学 的 最 高 高 度 是 前 一 次 最 高 高 度 的 若 以 y()表 示 第 次 跳 起 的 最 高 高 度，试 列 出 描 述 此 过 程 的 差 分 方 程。若 给 定 力=2,试 解 此 差 分 方 程。2解：依 题 意，可 得 此 差 分 方 程 为：y(n)-y(n-l)=O且 y(0)=h9 n 0从 而，用“经 典 法”不 难 得 到 方 程 的 解 形 如：y(n)=C(|)M,n0由 y(o)=力 得 c=A,于 是 有：o所 以，当 人=2 时，得 y()=2(1)n,0

37、16.已 知./()分 别 表 示 LTI离 散 系 统 的 激 励 和 单 位 序 列 响 应，试 求 系 统 的 零 状 态 响 应。(1)以 n)=u(n),h(n)=3()-3(-3)(2)/()叫)心),摘)=-加 5)解：(1)利 用“卷 积 和”求 ETI离 散 系 统 的 零 状 态 响 应 歹()=/()*/?()=u(n)*3(n)-8(n-3)=u(n)*b()-z/()*6n-3)=()_?/(_ 3)(2)利 用“卷 积 和”求 ED 离 散 系 统 的 零 状 态 响 应 y(n)=f(ri)*h(n)=/?()*/()=()-W(M-5)1*(g)“()2“1=x

38、(吁 吗 尸-加=70 J 1 0 0 1 n-m=-(5)m=0 乙 m=5 乙 _ 7M+1 i 75-7w+,=(VK 心)F 丁 丁(5)=(2-2-)w()-2-2=(_ 5)17.题 17图 所 示 的 系 统 由 两 个 级 联 的 un 系 统 组 成，它 们 的 单 位 序 列 响 应 分 别 为()和 2()。已 知 九()=5()-3(-3),2()=(。8)()。令/()=()，求 y()。/（）%S）-A 4 2 5）-A 歹（）题 17图 解：方 法 1：y（）=（）*%（）*/?2（）=()*8(h)8(n-3)*(0.8)w w(w)二 W(H)-u(n-3)*

39、(0.8)n()8 8=Z(0.8),Mw(w)w(w-m)-Z(0-8),Humun-m-3)/n=oo zw=-oon w-3=Z()8()Z 08(3)m=0 m=0l-(0.8)w+11-0.8,、l-0.81,-2,.、u(n)-u(n-3)1-0.8=5(1-0.8+,)()-(1-0.82)“(_ 3)方 法 2：y(n)=/()*/?(n)*/t2(n)=u(n)*8(n)8(n 3)*(0.8)M(H)=()*0.8(”)-0.8-3(_ 3)00 00=Z 08(加)(一 团)一 二)0.8-T(一 团 一 3)m=-w=oc=08()一 0.8-3(-3)m=0 m=0(

40、.8，T l d“(”3)1-0.8 1-0.8-=5(1-0.8 川)()-(1-OB”)(-3)is.已 知 u n 离 散 系 统 模 拟 框 图 如 题 18图 所 示。题 18图/()（1）列 出 系 统 的 差 分 方 程。（2）求 出 它 的 单 位 序 列 响 应 和 阶 跃 响 应。(3)已 知 激 励/()=3()，求 该 系 统 的 零 状 态 响 应。解：(I)根 据 上 图 列 出 差 分 方 程：y()=3y(-1)-2y(n-2)+f(n)+/(w-1)整 理 后 得 到：y()-3y(n-1)+2y(n-2)=f(n)+f(n-1)(2)单 位 序 列 响 应/

41、()满 足 J/?(/?)-3h(n-1)+2h(n-2)=b()+3(n-1)/(I)=/?(2)=0由 迭 代 法，可 得 初 始 条 件：/?(0)=3/?(-1)-2/(-2)+J(0)+5(1)=0-0+1+0=1/?(1)=36(0)-2/(-1)+5(1)+J(0)=3-0+0+1=4特 征 方 程 为：22-32+2=0特 征 根 为：4=1,4=2可 设 单 位 序 列 响 应 为：h(n)-(C+C2-2”)”()将 初 始 条 件 代 入，得 例 o)=G+c,=1 fG=2(1 2，解 之，得 1为=G+2c2=4 C2=3从 而 得 系 统 的 单 位 序 列 响 应

42、 为 h(n)=(-2+3 2”)()进 步 得 系 统 的 阶 跃 响 应 为 s()=4)=(-2+3。2)4)=(-2+3 2)=(-2+2-1)/=-oo j=-oo?=0(3)激 励 为/()=3(力)，系 统 的 零 状 态 响 应 为：yf(/)=/()*h(n)3u(n)*(-2+3 2”)()=(1-6 2+6 3)()第 七 章 例 1 已 知 一 个 连 续 LTI系 统 可 用 如 2+2 y。)=/(/)描 述，利 用 傅 里 叶 变 换 求 下 列 输 入 信 号 作 用 下 的 输 dt出 阿:(1)f(t)=eu(t)(2)/(1)=(/)解：对 微 分 方 程

43、 求 傅 里 叶 变 换，得:jC Y(jC)+2y(./0)=F(JQ)频 率 响 应 为:H g=Y g)F(jC)12+加(1)输 入/(7)=eu(t)，其 傅 里 叶 变 换 为 F(jC)=+:丫(阳)=/(/。)”(阳)=:二 1+.1012+jQ求 其 反 变 换 可 得 y)=(1-e_ 2,)w(r)。(2)输 入/(/)=(/)，其 傅 里 叶 变 换 为/(/0)=万 5(0)+二 一，jCI 1 I 1)1 1Y(jC)=F(jC)H(jC)=痴(0)+)-7i8/?+-,0 2+j i l 2 1 _ I ji2 JJ 2 2+ji21 力 求 其 反 变 换 可

44、得=-(l-e-2/)w(/)o例 2 如 例 2 图 所 示 的 电 路，若 激 励 电 压 源 U s Q)为 单 位 阶 跃 信 号(力，求 电 容 电 压。,的 零 状 态 响 应。例 2 图 解：电 路 的 频 率 响 应 函 数 为:1 1=0=正 U.g R+1 图+,a+jQjQC RC式 中，a=!。单 位 阶 跃 信 号(/)的 傅 里 叶 变 换 为：RC。,(/。)=超(0)+工 jQ可 得 零 状 态 响 应 u/)的 频 谱 函 数 为:aUe(./0)=H(jQ)Us(jC)=a+/0乃 5(。)+-2-a-n-3e(z1 f2)+-a-a+jQ jC(a+jC)

45、考 虑 到 冲 激 函 数 的 取 样 性 质，得:4 g=刖 0)+方 入 取 上 式 的 傅 里 叶 反 变 换,得 输 出 电 压 4)=；+(Sgn(Z)一 1(/)=(1 一 e)式 中，a 二 一 RC2-7 0 例 3 某 LTI系 统 的 频 率 响 应 为 4(/0)=-,若 系 统 输 入 为/(/)=C0S(2/),求 该 系 统 的 输 出 2+jily(t)o解：因 为 E(2)=乃 E(0+2)+S(0 2),所 以 系 统 的 输 出 N(/)的 傅 里 叶 变 换 Y(J0)为:y(/0)=H(jC)F(jC)=2一.乃 做 0+2)+3 g-2)=/1忸(0+

46、2)+3(0-2)2+J0得 输 出 为 y(/)=sin It。例 4 已 知 某 理 想 低 通 滤 波 器 的 频 率 响 应 为(JQ)=G24O(0)，若 输 入 信 号 为/(/)=20COS(100/)COS2(104/),求 输 出 y(7)。解：对 输 入 信 号 进 行 化 简，得：/(Z)=10cos(100/)+5cos(l00+2 X 104)Z+5COS(2xlO4-100)/即 输 入 信 号 包 含 了 三 个 频 率 成 分：0=1。，01=100+2 x 104以 及。2=2 x 1 O 100。由 于系 统 频 率 响 应 是 截 止 频 率 为 120的

47、 理 想 低 通 滤 波 器，则 只 能 让。0=1 0 0的 频 率 分 量 通 过，而。1和 R 无 法 通 过，故 y(E)=lOcos(lOOf)。例 5 已 知 系 统 框 图 如 例 5图 所 示，其 中 G(/)为 门 函 数，子 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 为:%(/)=n-.3万 sin t%(/):7lt系 统 输 入 为 e(f)=cosm(-o o/+oo)0(1)求 子 系 统 输 出 的 傅 里 叶 变 换;(2)/、1 k7i证 明 口(f)傅 里 叶 系 数 为=.-c o s；兀(1 k)2(3)求 系 统 的 稳 态 响 应。解：(1)(/)=(/)

48、G|(7)*九(/),因 为 e()3 E(J C)=疝 3(0-%)+b(0+左),G,(/)再 由 时 域 卷 积 定 理 可 得:C 7 T2+S”改【2C 7 12+Sa|/2+乃+8而(/)=Z 6(/-2)的 周 期 T=2,角 频 率 为=万，由 于 其 单 周 期 40(7)=6 Q)的 傅 里 叶 变 换 M=-0 0为“io 0。)=1，则 由 周 期 信 号 的 傅 里 叶 级 数 与 单 周 期 信 号 傅 里 叶 变 换 的 关 系 得:2Ko_ 1 1h)=E 亍 乩。3 匠 吟/J-W=-0 0/乙”=-0 0故 其 傅 里 叶 变 换 为:1 尸,尸,H、(y/

49、2)=Z 25(。一 万)=乃，b(0-1)2 n=-o o“=-oo则 叭/0)=3 Sa 专 3+S平 产)(+8-2-2c o s&(2 3.储 C n兀+00 2 cos V-2-y i-/b(Q-n 兀)(2)由(1)知 Q)也 是 周 期 7=2,角 频 率 为=万 的 周 期 信 号。若 0(/)的 傅 里 叶 级 数 为 0(7)=Z%e”a,则 其 傅 里 叶 变 换 为:“=-0 0丁 0 0 _%(/。)=2万 Z 化/(。-万)?=00Y 1 7 1COS 与(1)的 结 果 相 对 比 直 接 可 得 多，=-:万(1/),34sin t(3)由 傅 里 叶 变 换

50、的 对 称 性 可 知 2(/)=爰-3 G 3.(0),即 系 统 2(7)是 一 个 理 想 低 通 滤 波 器，7 tt3兀 其 截 止 频 率 为 o 由(2)知 口 的 基 波 频 率 为。1=7 T,则 2 次 谐 波 和 2 次 谐 波 以 上 的 频 率 分 量 全 部 被 滤 除，只 剩 下 直 流 分 量 和 基 波 分 量，即 输 出 信 号 为：r(/)=+(e+eim)=+cos(加)7 1 4 7 C 2sin 4/sin 5/例 6 已 知 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 为/(/)=-2cos 1000/,输 入/(/)=:-2cos997z,求 系 7 T