振动力学(倪振华)练习题.pdf

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1、2-1 一 单 层 房 屋 结 构 可 简 化 为 题2-1图所示 的 模 型，房 顶 质 量 为 机，视 为 一 刚 性 杆；柱 子高，视 为 无 质 量 的 弹 性 杆,其 抗 弯 刚 度 为7。求 该 房 屋作 水 平 方 向 振 动 时 的 固 有频 率。解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为k贝 Ij mg=kS其中6为两根杆的静形变量，由材料力学易知8=24EJ24EJ贝 I J k=h3设静平衡位置水平向右为正方向，则有24 EJm x=-kx2-2 一均质等直杆，长 为I,重量为W,用两根长的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出

2、此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。解：给杆一个微转角。2 O=ha2F=m g由动量矩定理：id =M1 2 ml120 a a2M=Fa sin a-cos 一 -mg a=-mg-2 2 8/i其中0i na a c o s 121a2 m l、0+m g-0=0124h2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是加和右，悬臂梁的质量忽略不计。解:悬臂梁可看成刚度分别为 自 和 心 的 遂 簧，因此，ki与后串联，设总刚度为题2-3图心 与心并联，设总刚度为左2文桂寿klk2k4+k 2k 3k 4+ktk2k4k=-kQ+k、k，+k k+k

3、.kA+k.,k/I 3 2 3 1 2 1 4 2 4加（加七+卜丸+ktk2+kfk4+k2k j2-4 求 题 2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭/转振动的固有频率。H 2-4 图其 中 乙、乙 和 乙 是三个轴段截面的极惯性矩，/是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G o解：3 =G J、/1、(J)k2=G J 2/l2(2)k3=GJ 3/l3(3)&23=GJ 2 J 3/(/2 1 3 +3,2)(4)P；=W +G)/由(D(2)(3)(4)知2P；=G S 3+2 A+金，/)/”2,3 +J L)2-5 如 题 2-5 图所示，质量为的均质圆盘在水平

4、面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动 惯 量 为/,忽略绳子的弹性、质量及个轴承间为的摩擦力，求此系统的固有频率。解：此系统是一个保守系统，能量守恒系统的动能为:有解赛(p1 2 1 2T=/n j x+tn 2x+2 22韵 2-m.r2 y xR2)系统的势能为:1U=-2XJ 一R2)=k2x2总能量E=T+Um j+-tn2 4I I y 2(1-x+-k2 R 22/勺 1-十 R2 2斯、T2由于能量守恒=0dEdr3+-tn 22消去尤得系统的运动方程为:3+-T H 22i Y.(+7,工 +k.R I工的勺）系统的固有频率为:2-6 如 题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯

5、量为 。，求系统的固有频率。解：设曲臂顺时针方向转动的夕角为广义坐标，系 统 作 简 谐 运 动，其 运 动 方 程 为 s i n(pj+a)。g很小，系统的动能为1 2 1 2 1 2T =IO(P+一 机(。0)+一 加 2。0)2 2 2=B p c o s(p J +a )1VIB1II文MB档I在I I线H I所以,、/m a x=_/。P+一机|Pa+一 P nlx2 2 2 2J 取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为巴凡凡，由2。（/）=xa+m t ga+k353b k2(21=0(A)-28一长度为/、顾度为m的冏须刚在竹玫接 于。点并以弹簧和粘性阻尼器支承

6、，如题2-8由题意可知，系统势能为图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数i2,1 2 2 1 和阻尼则有凝率的表达式。V=一&（。+环）-2 +氏3【（0 5+/）-可 1 +&2（。,黔/）-S2 +mig（pa2 2 2（B）解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力将（A）式 代 入（B）式，可得系统最大势能为，图 如（2）由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：/3c2n=文2 2.2kxa+k、b+当=P时，c=cc2nm 2 p m 2a2-7 一个有阻尼的弹簧一质量系统，质量；.%=H=3 3/V 3为10 k g,弹簧静伸长是1 c m,自由振动20个循 2-9如 题2-9图所示

7、的系统中，刚杆质量不环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm,求阻尼系数 计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及解：振动衰减曲线得包络方程为：X=4 e振动20个循环后，振幅比为：0.16固有频率。20n P1-N0故通解为mlmlb Ak 48020=-=2 4 ()1zn-2000 ,x。=0,。=0.03 向$。xHisn(C,cos PI torii tfttldt+C2 sin pdt)2-10如题2-10图所示，质量为2000 kg的重故通解为x e”(C|cos p dt+C 2 sin p dt)其中，=JP：_ n，=4.8 7 5。(代入初始条件，当Z=0时，D,J=

8、0当 t=0 时，JC=0/1=0.006x=0.006e sin4.875tx=0.006 e “(-0.49)sin4.875t+0.006x 4.875cos4.875当x=0时，振 幅 最 大，此 时t=0.03s.当t=0.03s 时，m0.005m)代入初始条件，得nx+x xC!=x0=0,C2=-=-=0.006P Pd，得x=C 2e sin p j物体达到最大振幅时，有l1B物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已 知k=48020 N/m,c=1960 N s/m,问重物 在 碰 撞 后 多 少 时/y-n I j I间达到最大振幅？2 U

9、7 7 T.务 rJ斤7 7最大振幅是多少？熟2-1 0图解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为x +2nx+p 2x =0c k所以有x +m x +m x=01 9 6 0 4 8 0 2 0其特征方程为：r2+2 0 0 0 r+2 0 0 0 =0=-0.4 9 4.8 7 5i物体达到最大振幅时，有x =nC 1Z,e s i n p a/+CZ a c os -p*.at=0既得r=0.30 s 时，物体最大振幅为x =O.(M)6 e-0 4,x 0 3 si n(4.8 7 5 x 0.3)=0.52 8 c m2-1 1 由实验测得一个系统的阻尼固有频率为Pd,

10、在窿谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为。求系统的无阻尼固有频率乙、相对阻尼系数，及对数衰减率s o解：3 =P“-2 s 2 ,&=Jp一 2 ,ng=三个方程联立，解得：22文，在修H U所以：X=J e 049，cos4.875t+e-04,，sin4.875t由于 在哎0.408IWBIIlHBII mi的 阻 尼 振 动 周 期 为1.8 s,相 邻 两 振 幅 的 比 值At 4.2儿”1，若质量块受激振力尸”)=360 cos 3,N的作用，求系统的稳态响应。解：由题意，可求出系统的运动微分方程为2 360 x+pnx+2nx=-cos 3tm得到稳态解x=B cos(3t-

11、a)其中Bo 360B=,-%=-=0.45 m八“2、2.2.2 LV(1 T )+44%k2n co 2。2 x 0.223 x 0.838 0.374tg a=-=-=1.2551 -0.838 2 0.298a=51.45 所以 x=1.103 cos(3r-5l27,)2-2 一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率叼=6 r a d/s时，系统发生共振；给质量块增加1 k g的 质 量 后 重 新 试 验，测 得 共 振 频 率=5弘ra d/s,试求系统原来的质量及弹簧刚度。解：设原系统的质量为m,弹簧常数为女6=所以又 由 当由4 1M1凰 圜i JJ-S-225%口

12、 5 54文 待 投 匐9钱由r j =-=4.24.1=e%P n=%=J=5.8 6V /n+1I n 7 7 =n Td r d=1.8与联立解出nI n T J 2TT=-=0.7 9 7 P d =3.4 8 92=7 4 4.8 4 N/m加=2 0.6 9 kg/2 T又P d=q “一 2-3总质量为卬的电机装在弹性梁上，使梁产生静有2 2Pn=P j +n pn=3.5 7 9挠度,，转子重。，重心偏离轴线e,梁重及阻尼可以彳粉，求转速为。时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。解：列出平衡方程可得：Q 2W 一 左+x)-w e s i n w t =gW XgW Q 2 x

13、 +kx =w e s i n(wt +)g g文 结 在a1三 罐 小 上O 2 2 5*、口 3/S4文 档 投 稿 叫kg Q,x+-x=we sin(w/+rr)W所以:WP=区n W,Q 2h=w eWWW=Ab,即&=-又因为 J，将 结 果 代 入B=，得:g-w)2Qw2ea t,B=-W(o rx)2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接，涓一：Q 225“j T即为所求的振幅2 4如 题2 d图所示，作用在质量块上的激振力处有一激振力F。sin，求质量块的振幅。F()=尸。sin J弹簧支承端有运动凡=cos ,写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。2-4图题则有

14、,题2-5图解：设 弹 簧1,2的 伸 长 分 别 为x i和 即，X=xx+x2解：选3=时 物 块 平 衡 位 置 为 坐 标 原 点0,建立 坐 标 系，如 右 图，贝|J/MX+k(x-Xt)=p it)即mx kx=kxs+pQ)即 m x+k 4 上。s e 4 spi n(*)P o 改成C，下面也都一样利 用 复 数 求 解，用e 代 换s in w t并设方程/.，-、又 J A n、r 一、m _i/./口 if+kF，L.rM v 口 工V X-kTt(A)由 图(1)和 图(2)的 受 力 分 析，得到kix=k 2x2+PQ sin(o t(B)mx=-k2x2(C4

15、H,篇I*t -o-3%j 6 54 心/攵处小用中，TH _c T w sm w i*以刀4土()的解为这里求的是特解，也就是稳态解。f Po+#4 ”一 丁，B=-=Px Q)=B/代入方程(*)得 k m 1其 中B为振幅，。为响应与激励之间的相位差，2(C)联立解得，O k k k2mx-x+-Po sin co tk1+k2 储 +k2k、k、k.x+-x=-Po sin cot(kt+k2)m(kx+k2)mp=!k 丸所 以 X m(k&),=o,得，h H 1B=_=-J(p：-J)2 +(2 n(0)2 k J(1 -/)2+(2/)2-6在遮2-6图示的系统中，刚性杆A B

16、的质量忽略不计，8端作用有激振力尸。sM，写出系统运动微分,，岗T上 -e-5 里:口 q/54文档投着It钱Po4c8 =8 2/kax 214 m/2a1co=P2)2 9co,n cop Ja-r +(2 -V Pn Pn Pn(I 3)?+2-8机器质量为4 5 0 kg,支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5 c m。机器有一偏心重，产生偏心激振力C OFn=2.2 5 4 g N,其中。是激励频率，g是重力加速度。求(1)在机器转速为1 2 0 0 r/mi n时传入地基的力；机器的振幅。解：设系统在平衡位置有位移X,贝 I jmx +kx=FoAE工-k(12a浦)2 +(2 4

17、 2)2证明J 2 2b E =I-c 2 8-一s =/re m 8文与在线Uns a 1 im uni即 m mmk=又有mg =kS“则 8(1)2所以机器的振幅为8 4(2)且C ONC D=4 0 a d/P“，/s (3)2 人P n=又有 阳g，(4)将(1)(2)(4)代 入(2)得机器的振幅B=0.5 8 4 m m则传入地基的力为%=K B =5 1 4.7 N2-9 一个粘性阻尼系统在激振力尸=尸。s i*1 3 作x(r)=8 s i用 下 的 强 迫 振 动 力 为6),已知j*2 2 2 E =-c f o B c o s(c o t -(p)d t =-J t c

18、 c o BJ oF J kB=/-F：/T 尸；2aA =CCD-=-(1-A2)+4户？k(1-A2)+(2,4)2-1 1证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在=乙时振幅达母大值。证明：设结构阻尼的应变幅度为B,则应变改变一周 期 内 所 消 耗 麻 量W =aB 1Ja为与材料有关的常数与频率。无关，则等效粘性阻尼系数a B2 ac =-=-mt)B moFo =1 9 6 N,B=5 cm ,6 9 =2 0 r ad/s,求最初 1 秒及HBm s i it*i aui3 日 曜 二上 =M-U 8 5 4=0.0395J文 档 属flHt2 1 2无阻尼系统受题2-12图示的外力作

19、用，已知 Ex(0)=x(0)=0,求系统响应。2-1 0证明粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示为题2-12图题2-13图解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为解：由图得激振力方程为令 X,=（*_*,）,则有尸 =n2mx+ex,+匕.=-mbu(r)身曲蠹3 Q .0 .口7彳 7 5 4 7当(Hr 时，F(r)=%,则有，p Px(t)=f-sin p n(t-r)d r=-1-cos p/J。nip“mp*由于心=1,所以有x(r)=1-cos pntk当八，亥时，F)=-A,则有.P.x(t)=|-sin p“Q r)d rmp ni-p+-sin p(t-T)drh呷n文档投M M

20、 钱m xr+e xr+kx r=-mbu(t)-得到系统的激振力为，尸()=-样“)，可得响应为/-mb 八x r(t)=f-e sin p d(t-r)d r%mp&b-nt f nr,、P d nf=-e I-e sm p,(f-r)+-e cosPd n+Pd n+Pdi-a-b ne.a=-7(1-sin pdt-e cos p J)n+P j P d其中 pd=J。：-/,2k cpn=-2n=m 9 m o2-14上题系统中，若 基 础 有 阶 跃 位 移 求 零初始条件下的绝对位移。解：系统振动的微分方程为DDmx=-c(x -xt)-k(x -x,)Dr文档投稿里钱m畿 小

21、工n o 藐 一 _ 三一；X.=1 rcosk当Pn(。-0 -cos pnt-1-cos pn(ti-t)即mx基征y CX+kx=kxt+CXtB有阶跃位移a“),故x，=0 x，=a ()，则有mx+ex+kx=kau(t)2 时,尸(r)=,x(r)-f s in 呷n则有P.Q -r)d r=cos+J sin P(r-,叩.Pn(t,-t)-cos p t -r)dr+生r cos-002 T)-cos得到系统的激振力为，尸（r）=a（r）,可得响应为x（r）=f-r）s in pj r）df。”（八一）1 0 mPJk k2-13如 题2-13图的系统，基础有阶跃加速度加（，）

22、,初始条件为、（）=W）=0,求质量m的相对位移。X(t)，竺 也L )-1 -e sin pd(t-r jd t mF-e sin p j(t-r)d rJ。m pka*n n pd 1 pd-e 2 2 e【2 “一(sm p J +2 cos pdtmp 壮 n P j n e n n r nSttSH=匕“n t+cos D I与 JU.is J A5%.一 1 0当时，F)=0,则有X（，）=I文档投稿用钱短I Tj OW 口、J 尸(r)x(r)=j -s i n pn(t-t)d r%mp.i p=-r s i n pnt -T)d r“m p j/o 1 1 1=-(C O S

23、 pn(t-r)r I；-J co s pH(t -r)J r)m Pj P n P n P i F 1=-co s p(t r)d rktx 3儿(D=-*p Q弦脉冲作用，若。;求 系 统 响 应。题=4 _L s i”kt,工ktxF/P n“d)l：2/7酶解：由图得激振力方程为s i n pnt、PJ)f P s i n(o尸 Q)=1 0 4 t(t,z当 0f“0-1)Sin P (t-t2)2当 0 M f i 时，F（r）P”r：,则有k L PJ 。/。2一 乙）乙（，2-G J2-17零初始条件的无阻尼系统受题2-17图的半正I P r px(f)=(-1-sin pn(

24、t-r)d r =(1J。mp n r；k当2时,尸）=0,则有Z“L s i n”“T)d r+。-b sin P（r-r,）-sin p J、=1+-Pn P 32-20求零初始条件的无阻尼系统对题2-20图所示支承运动的响应。”X(r)=I l -Is I n”(t-T)dT+UJ 呻 n tyP0 2 2 2 2l c o w.Q -c o s p j -s inp n(t-k P?i P Ji乂 小 心RJTJHWZ。题2-20图2-19无阻尼系统的支承运动加速度如题2-19图所示，求零初始条件下系统的相对位移。解：系统运动的微分方程为题2-19图解：系统运动的微分方程为mx=k(x

25、-x r)rnx+kx=kxt由图得支承运动方程为t%-(ax+。2)一 0 h当 0 r fl 时力;盟 F：.O-g一.；2；54mx=-k(x-xf)令X.=x-x,则*+k Xr=一哈由图得支承运动加速度方程为tb 0 MOxa=ttI。r)。OrF(r)=-m x =-mb-当0 r f l时，4，贝|J有-mb T-b t sin p肛()=-sin P“Q-r)d r=-(-tnP n。P“6 P J当Ch时，F )=。，则有文档投第电钱产(r)=kx,=ka、-k(a+%)一。，则有J ka-k(a+a)rx(r)=f-sin p(t-r)d r=a,(1-cos 呷n h当r

26、(1)求车通过曲形地面时的振动;(2)求车通过曲形地面后的振动。SHSMW B I Imti mi文档投稿am车通过曲形地面后峰乙以初位移 5)和初速度处)作自由振动，即a 2y(tl)=a+-(co cos pPn 一文愀在dI亘 堂ra JU 入 口 /5 4文植投稿ans由 公 式题2-21图解：由牛顿定律，可 得 系 统 的 微 分 方 犀 为，my=-k(y -y J(2 )y,=a|1 -c o-s-x|由 曲 形 地 面：v/J,得到my+ky=ky,2*F(r)=ka(1 cos-x)得到系统的激振力为，/Oy(r.)y(r)=y(r jc -e pn(t-r,)心，得到车通过

27、曲形地而后的振动响应为20)ay(O=-1cos Pnt-cos pn(t-2 k Inp (o-v其中，I o或积分为0 F (r)y(f)=-sm p n(t-r)d T=m P nka ,-J sin p”(r-r)dr-J cosrur sin p(r-r)J,rJ:,xJiij 里1 _Xj 匚 13/34文 档 投 稿am解：由牛顿定律,题2-2 1图可得系统的微分方程为,my=-k(y -y,)由 曲 形 地 面：y,=a|1一得 到“2 2J(i)=-一 P”sin sin。Pn-色由公式y(r)=y(rjc 乙。一。)+-s pn(t-ti)P”，得到车通过曲形地面后的振动响

28、应为C D ay(0 =-7【cos p J -cos p.U )*p n-C t)2k 2”p=(i)-.其中，机，I或积分为2 aF (r)=ka(1 -cos-x)得到系统的激振力为，/x=vtka-1 J sin pH(r-r)/r-J c o s r sin pn(r-r)/而“女?产 检%.1 14 1 54文档投稿原修3-1复 摆 重P,对 质 心 的 回 转 半 径 为 夕 J质心距外 力 矩 中 不 出 现，所 以 对 转 动 轴 取 矩 可 直 接 建 立 刚 体 运动 微 分 方 程。这 是 绕 定 轴 转 动 微 分 方 程 的 一 般 用 法。在某 些 情 况 下 也

29、 可 用 此 方 程 求 解 未 知 力。如 图(c)所 示，若转动轴的距离为写复摆的运动御解:系统具彳标，原 点 及 正 方 陷 网 加 闺J-1题位 置 无 初 速 地 释 放，列花 复 摆 转 角。为 广 义 坐(a)中 所 示。复摆在任意位 置 的 外 力 图 如 题3-l(a)图。根 据 刚 体 绕 定 轴 转 动 微 分 方 程3/=M。1图已 知 皮 带 轮 角 加 速 度 ,可 用 定 轴 转 动 微 分 方 程 求 皮 带拉 力7,厂 之 间 的 关 系。(2)当 刚 体 运 动 确 定 后，欲 求 转 动 轴 处 的 未 知 约 束力，可 用 质 心 运 动 定 理，即，n

30、U C r=Z 匕“O.=Z 尸“B ill -O-5%i 口；1 4/54.2/2 2、J o=-(0c+a)其中 且得到复摆运动微分方程为一P(p2 2c+a)0=Pa cos(p82 2或(pc+a)p-ga cos=0.d(P(p-(p-由 d(p 和初始条件=，0。=，。=0将上式分离变量积分可得到复摆在任意位置的角速度。J J gaf(pd(p=-c o s(pd(p%Jo p l+a.2 2 ga.P =-7sin p所以 pc+0(P=2 2当 2 时，?c+,此瞬时复摆的外力 图 如 图(b)o 由质心运动定理aCr=a(p=0a .=-=a 2式中 dt,“o.=a s,a

31、 为质心距转动轴的距离。约束力沿质心切线与法线方向分解较为方便。(3)刚体运动微分方程列出后，根据给出的初始条件进行积分，可求得刚体任意瞬时的角速度及角位移。在本题中也可直接用定积分求出摆至铅垂位置时的角速度，积分式为Orv.,./ga.(pd(p=-7 cos(pd(p%pc+a o在铅垂位置处直接应用定轴转动微分方程，可求出此位置的角加速度，即,二”。，此 时 外 力 矩 为零，所以 =。(4)在本题中也可选例图13-2(d)所示 角为广义坐标，此时微分方程为一(X 7 ；+a 2 庐=-pa sin p8o所以 2 2 P c +a要点及讨论(1)刚体绕定轴转动微分方程J。炉=用。可与质

32、点 运 动 基 本 定 律=F类比。运用此方程可解决定轴转动刚体的动力学问题，因通过转动轴的未知约束力在文档投稿(I读者试解释方程中的“一”号表示什么？并给出对应于。角的初始条件，然后求解问题(2).3均质半圆柱体，质心为c,与圆心5 的距离为e,柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为 c,在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。厩 二5 i lj“o，H 1 5 /5 4文橙投稿Oh l解：系统具有一个自由度，选6为广义坐标。半圆柱体在任意位置的动能为：1 2 1 2T=-mv r+Jr(o2 2用瞬心法求:2*2 2 2 vc=(CC )=(e +R -2

33、 Re cos G)0co 0故mxc=一 尸 m yc=N-mg=F(R-e cos 0)-Ne上述 方 程 包 含 几，九，。，F,N五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标。之间的关系f xc=RO-e sin 9y yc=R-e cos 0 xc=R。-e cos 06 yc=e sin 00所以xc=R 0-e cos 00+e sin 00 2 y c=e sin 00+e cos 00 2 文冲荏M耳幽撒日！g -:曰，/1 5 /34，T=-m(e 2+R 2-2 Re cos 0)0 +m p 6 22 2系统具有理想约束，重力的元功为(VW =-mge

34、 sin OdO应用动能定理的微分形式(IT=dW2 2*2 1*1d m(e+R-2Re cos 6)，+一机，=一mge sin.2 22 2 2*,2m(e+R +0 c )d 6-2m R ecos30d0+m R e。s i nfid等 式 两 边 同 除 市，m(e 2+R +p；)0 f)2m Rec o sffffff+m R eff 2 s i nffff=d *o ,等式两边同除。故微分方程为2 2 2 2m(e +R-2 Re cos 4-p c)0+m R eO sin +m g e sii文档投网”线I y c=7 siu(/(/十,?二 3 t/U运动学方程式与方程

35、联立，消去未知约束 力N ,F,就可以得到与式相同的系统运动微分方程。因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。(2)本题也可用机械能守恒定律求解。系统的动能户=-m(e2+R 2-2 Re c Q 0)0 +mpO 夕 _ 2.2鎏 随 祸 野 为。1所在平面为零势面，系统的势能V=-mge cos 0由 T+V =E-m g es i1 2 2 2 2*2 rn(e+/?-2 Re cos 0)0+mp 0-mge cos 0=E2 2两边对时间f求导数，即可得到与式相同的运动菖价方程。StAHHH U B IIU I

36、!黑 之 工 Q 5%口：L 15/54,若为小摆动sin 0=0 cos 0 1 ,并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为2 2(/?-r)+pcff+geff=0要点及讨论(1)本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图(b)所示。列写微分方程3-3均质杆A 8,长/,质量为，”，沿光滑墙面滑下,如 题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。解：系统具有一个自由度，选。为广义缈标。系统在任一位置的动能为T-1 mv 2 1 2c Jc（o2 2由瞬心法求质心的速度I 1 2V-=-（p J c=ml2,12=病所以I

37、1 2 .T=-ml p2 3系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为图广义坐标，正方向如图（b）所 示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为l.Ivc=-0 dr c=dO2,2系统的动能1 I-2T=,ml 02 3主动力的元功/=mg-cos Od02tSWy 鹿 /O 口;；166W=mg-drc=mg-sin (pd(p2由动能定理 dT=bW所以1 1 2.2/d(一,-ml )=mg sin(pdtp2 3 2系统的运动微分方程为“3 g.八(p-sin(p=0

38、2/要点及讨论1 ,2T=-J,(t)C l)平面运动刚体可用式 2 c 计算刚体动能，式中JC-=+标2为刚体对瞬心的转动惯量,d为质心与瞬心间的距离。2 .1.2在本题中质心的速度也可用式V。=底+人计算。其中2根据动能定理建立的方程为I 1 2 2 /d(一 ml 0)=mg cos 6d 02 3 2所以3 g0-cos 02 I“一”号说明当 取正值时)为负，即反时针方向。2 (3)本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。3-4如题3 4图所示，均质网柱体质量为小，半径为，沿倾斜角为。的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。4就盗工

39、=O 氯=口：5 4算。其中fI xc=sin vdydr=0种J fjJ o J q J o J A Jo则系统的动能(e)对式进行分部积分运算，得到(1)r/I f m w d w d yLJo-J J m vvSwdydr J(7w)6w，J；dr系统的势能为+j；(EZw)节 w；dr-J J(E7w)6wdyd,+J j F(y,r)8wdydr=0 1M MIfllt!I*1 1图&.坦占Jj.河LL 19 /文 橙 投毗I由于，时，哈密顿原理要求bw=O,因而式变为V=-k J：+k2(x2-Xj)2+-k3(x3-x 2)k 4(x4-x3)22 2 2 2(3)计算拉格朗日方

40、程中的各项导数如下：J J m wSivdydr J(EI w M)8vv*0 dr+J(E7 w*)/6M,0 d/Q =xi-J J(7 w)6wdydr+J J F(y,i)5wdyd/=0d dTdr a*|,dT=刑/-=05x(-k2(x2-Xj)=(A)+k2)xt-k2x2dV嬴-=&44与ddTSTq”飞 因为，”与f2区间的虚位移6w不可能为零，由此，得到梁的边界条件drdVd x20 2,-=k2=m 2x2 -=08 X2(x2-x,)-k 3(x3-x,)=-k 2x+(k 2+k 3)x(CE1 m)6W：=0d(d T、arq、=心/京=m3X3-O-X.=0(C

41、EI W”叫 =0与运动方程dVa(h)-=%(0-X2)-k4(x4-X3)=-kyx2+(3 q 3 改与运动方程文档投稿01钱dV-=k2(x3-x2)-k4(x4-x3)=-k3x2+(3 +%4)xdx3mw+(7 w )=尸(y,D(i)(i(d r .a rq 4=x4-.=m 4x4;-=0d r)而&两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。dV-=-k-4.x4.x,3)=-k 4.x,3 +k 4.x 4.凡将以上各项导数代入拉格朗日方程得3-7应用拉格朗日方程导出题3-7图所示系统的运动微分方程。题3-7图 写成矩阵形式解：取各质量偏离其平衡位置的X|、X2、X3、X

42、4为广义坐标。即其中Qi=X.i=1,2,3,4m jXj+(kl+k2)x(-k2x2=0m 2x2-k2xx+(k2+ky)x2-Jt3x3=0m 3x3-k3x2+(七3+k 4)x3-A4X4=0m 4x4-k4x3+4X4=0(4)m q+kq=0M S AiwBiiiMitii am哥 工 豳 臼1-O-，-0-m=mi0000 0m 2 00 m 30 00 110 11o 11W4 j质量矩阵+k2-A200 11匕g +k,-430 110-k3g +4-g 100Tq一 k 4=/x2 X33 JX刚度矩阵位移列阵3-8在地震研究中，电筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的

43、刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k,扭转弹簧的弹性系数为厚 如题3-8图所示。设b为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标，求出mh(o Ay-met)A2+kA 2=0+mh ry A 2+(mh +/o 2 A)+(mgh kT)Aj=0则频率方程为,2.2-mh o)k-m(o222(mh+1 c)a)+(mgh-kT)mh a)即(mh 3 2)2+(k-m a)2)(mh 2+/G)a)2+(mgh-kT)-0或4 2 2 2ml Q(o(o(mkh+!Gk-m gh+mk T)-mghk+kk r=0由动静法得，以刚体m为研究对象：

44、Z X-tnOh cos 0-mx-mO2h sin 0 kx=0Z 切=m3 h+Ia0+kT0-mxh cos 0-m gh sin 0-0 xwais图百3 2 O-5羯20/g L|m(x +h 0)=-kx IG0+m(x+h0)h=-kT0+mgh 0因此运动方程为 omh(/+hx+kx=Q|mh x+(mh 2+%)力-(mgh-kT)0=0如果 J =A sin ryz,x=A2 sin c o t,贝|J文替投棚*钱5%-口：7 X文档投穗蝎钱y =4 1(9 1 +勿 3)2 +_ 与 例 _ dq 3：+k2(q22 2 2式中，V为贮存在弹簧中的势能。有：j *q )

45、+A 2(2X 1 =*-aq、乙=-q?+町x2=x3=0由拉格朗H方程得d dT一(-)=旭dt 3%d dT一(-)=m q2d t a以丫1=九=oy2=+%丫3 =%一 图中：kx、加丫应反向。方程应为 m A 3 +人 三+左x =0|w i h x +(mh 2+1 仃)0 一(m g kT)0=0d dT一()=/人dt dqydT ST-=0 -=0明2dVdT=0肛-=2 (*+bq 3)+k、(q -dq.dV-=2k?qz-2 k2aq3*a iS EHS nMn战 q上 5*-q f543-9 为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，

46、如 题 3-9图所示。试求机座在图示平面内的运动方程。bdV-=kb(ql+b q3)-kid(qt-d qy)-a k 1 ,sin，画出受力图，并施加物体列平衡方程，Z X =T2C Q -W 2 g=010 2 u tan 0 2力与力偶。，的，9isin 0 乏 tan。=一%,解得,彳-工 厂。$y=oJV一文,在HIIB IH O 1 HHI凰幽蠡r s，-o,m2g -m2gkl2=-kZ 2 =k2+-%,l2得作用力方程为E 知 c=I I2 I1k?”N-k、-k2 =02 4 43-1 1题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支 P lA 3俨c】!k +kl座上，刚杆

47、顶面和底面受水平弹簧的约束，质心C上受 0-10C L .I I I12 J 1 1(*2-fc,)(储 +七)-m8 L 2 4 23-1 2题3-1 2图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为白I，上层为2,采用微小水平运动阳及孙 为坐标，列出系统运动的位移方程。解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角 解：由材料力学知，当悬臂梁目由端尢转角_ 12 EJ时，其梁的等效刚度为*=一 厂，由此可将题3-12图等效为图，其中12 EJ,12 EJ,加=2 x-k2=2 x 广义坐标如图（a）示。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k O设x,=I，A =0,画出受

48、力图，并施加物体力斑E i i文 档 投 耦 毗Iku，Q,列平衡方程，可得到kU=kl +k2,*2 1 =-k2同理可求得的2，心。最后求得刚度矩阵为由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为得到系统的位移方程为3-1 3 质量仍、?2以及长为八、h的无重刚杆构成的复合摆，如题3-13(a)、(b)图所示。假设摆在其铅垂平衡位置附近作微幅振动。试分别取例、伤和即，必为广义坐标，求刚度矩阵。一 h；h；f A 24 EJ.24EJ,(P j 叫 0 1 f i；1(x2)h%h2|W 0 mj l x j j24 EJ,24 EJ 24 EJ,也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图(a)中的巴施加单位力

49、，而明不受力，此时(a)(b)imBiiiwi am第一个弹簧变形为和，第二个弹簧变形为零。由此 可 得 位 移 为，dr=1 1二。最后得到同理求出A=柔度矩阵为I 24 EJ j 24 EJ j“婷/；I-I 24 EJ 24 EJ,24 J 2 JA、B两点的受力分别为：FA=/I-机房 3 =J _ m2x1系统运动的位移方程为：文档投倒9钱已解：首先求对于广义坐标他、他的刚度矩阵。令8 =1、6=0。如题3-13(c)图所示.此时是跖,跖分别代表施加于两个刚杆上的力矩，由静力平衡条件得*21 +*|=(!+m2)/|r1d 画 盘七 LIJ O 5%23 3 4余 次 奇 动 的 位

50、 移 力 程 刃：;h;h:X I|24%24 EJ,K-m t xt.I!hi(h；j-m/2 24%24 EJ f 24 EJ 2*21=文 档 按 耦!I钱由 式 、得kg=(m,+m2)x/|x3-14 在 题3-14图 所 示 系 统中，刚 杆A 8不计质 量，当 质 量M与，位于铅垂线上时小&-e-24/54为系统的平衡位置。试以x,。为广义坐标导出线性系统运动微分方程。解：令垢=x,q2=e t则质量m的坐标为x2=x+Z sin 0y2=l cos 3质量m的速度为v 2=：=(x+Iff cos 8)2+(Z sin 00)2(1)e系统动能为T=-1 Mx 2+1 mv2c