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1、高考数学经典易错题会诊(六)考点6平面向量经典易错题会诊命题角度1向量及其运算命题角度2平面向量与三角、数列命题角度3平面向量与平面解析几何命题角度4解斜三角形探究开放题预测预测角度1向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合预测角度2平面向量为背景的综合题命题角度1向量及其运算1(典型例题)如图6-1,在 RtZkABC中,已知BC=a,若 长 为 2 a 的线段PQ以点A为中点,问而 与 正 的夹角0 取何值时际.诙的值最大?并求出这个最大值.考 场 错解 B P=B Q +Q P,C Q =C B+B Q,:.B P*C Q =(B Q +B Q)(C B +B Q)=|B Q +B Q C
2、 B+Q PC B +Q P B Q,此后有的学生接着对上式进行变形,更多的不知怎样继续.专家把脉 此题是湖北省20典型例题)已知,怙|=五,|b|=3,a 与 b 的夹角为45,当向量a+A b与 Aa+b的夹角为锐角时,求实数A的范围.考场错解 由已知a b=|a|b:cos45=3,:a+入 b 与 A a+b的夹角为锐角,二(a+Ab)(X a+b)0即 X|a|2+X|b|2+(X 2+l)a b=0,A 2 X +9 X +3(X 2+1)0,解 得x-11+785-11-85.实数人的范围是6 6 专家把脉 解题时忽视了 a+入 b 与 a 入+b的夹角为0 的情况,也就是(a+
3、入 b)(入 a+b)0既包括了 a+入 b 与入a+b的夹角为锐角,也包括了 a+入 b 与入a+b的夹角为0,而 a+入 b 与入 a+b的夹角为0 不合题意.对症下药 由己知 a b二|a|b|,|b|Xcos45=3.又 a+入 b 与入a+b的夹角为锐角,(a+入 b),(入 a+b)0,且 a+入 bW i(入 a+b)(其中H k,u0)由(a+入 b)(入 a+b)0,得 E F+入|b +(入 2+i)a b0 即 3 入 2+ii 入 +30,解4s、-11 +)85 1 11 85得 A)-或 4 0.(1)求向量c;答案:设=(m,n),由 a”=。,得 m+n=。再由
4、la1=1 c 1,得 指 正 2,联立,;工解得 m=L n=T 或 m=T,n=l,又,:b,c=(L 0)(m,n)=m0.m=l,n=-l,c=(l,-1).(2)若映射f:(x,y)+(xz,yz)=xo+yc,将(x,y)看作点的坐标,问是否存在直线1,使得 1 上任一点在映射f 的作用下的点仍在直线1 上,若存在,求出直线1 的方程,若不存在,请说明理由.答 案:xa+yc=y(l,l)+y(L T)=(x+y,x-y),则 f:(x,y)-(x+y,x-y),假设存在直线 1满足题意.当1 的斜率不存在时,没有符合条件的直线1;当 1 的斜率存在时,设 1:y=kx+m,在 1
5、 上任取一点p(xo,y0),则 p 在映射f 作用下的点Q(x()+yo,xo-yo),Q 也应在1 上,即xo-yo=k(xo+yo)+m X (xo,yo)在 1 上,yo=kxo+m,整理得(l-2k-k2)xo-(k+2)m=O,此式对于任意xo恒 成 立.l-2k-k2=0,(-k+2)m=0.解得k=T 土 后,m=0,综上所述,存在直线1:y=(-1土 及)x 符合题意.3 已知A、B、C三点共线,。是该直线外一点,设 凉=a,/反二c,且存在实数m,使ma-3b+c5成 立.求 点 A分 所成的比和m的值.答案:解:设 点 A 分靛所成比为入,则后二人旋,所以3-而二人(次-
6、3).即 a-b二X(c-d),则(1+入)a b-入c=0(1)由已知条件得c=3b-ma代人(1)得(1+入)a b-3入 b+m入a=0,即(1+入 +m X )a-(l+3 入)b=0 加 而不共线,a、b 不共线/.1+X +m X =0,1+3 X =0,解得人二一一,m=2.3A 分 正 所 成 的 比 为m=2.1.(典型例题)设函数f(x)=a-b,其 中 2=(2%1)5=(。$百,且、李自)求*;(2)若函数y=2 s in 2 x 的图像按向量c=(m,n)(|m|5)平移后得到函数y=f(x)的图像,求实数m、n之值.考场错解(1)依题意,f (x)Y c o s,x
7、+V s in Z x =1+2 s in(2 x +?).由l+2 s in(2 x +)=1 -75,W s in(2 x +)=,v-x -2 x+n,:.2x+=-,B Px =-;3 323333 3 3 3(2)函数y=2 s in 2 x 的图像按向量c=(m,n)平移后得到y=2 s in 2(x+m)-n 的图像,即 y=f (x)的图像,由(1)W f (x)=2 s in 2 (x+)+l,v|mw=-1.6 2 1 2专 家 把 脉 “化一”时 出 错,2 c o s 2 x +V Js in 2 x =c o s 2x=c o s 2 x +A/3 s in 2x+1
8、 =2 s in(2 x +)+1 不是 2 s in(2 x +为+1,第(2 )问在利6 3用平移公式的时有错误.对 症 下 药 (1)依 题 设,rf (x)=2 c o s2x +V3 s in 2 x =1 +2 s in(2 x +M),由 1+2 s in(2 x +)=1 石,得s in Q x +2)=6 6 6 2 x 2x+2x+=.U P x =3 3 2 6 6 6 3 7(2)函数y=2 s in 2 x 的图像按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2 s in 2 (x-m)+n 的图像,即函数y=f(x)的图像,由 得 f(x)=2 s in 2(台+L,.I
9、m|1=1+4+-+产 9-24-两=9 _ 2 j,得 丽(9-24-,1,0).|函|=|函|+1 福|+I 3五+(-1)2拉=2痣+痣.西=(2而+扬.专家把脉 向量是一个既有方向又有大小的量,而错解中只研究大小而不管方向,把向量与实数混为一谈,出现了很多知识性的错误.对症下药(1 )V An_j4=2AAn+l,:.AnAn+l=An_tA,l,:.A7Ag=AbA1=-(-)6A1A2,-*-.I f-I又 Aa=0A2-0A=4j,.AqA=(-)4j=-j.i-i,i 一 ,一 9 i.由知 AAn+=-AiA2 An+lA=J,-OA=OA+A,+AA,=j+4j+2j+-+
10、j=(9-2)j.两的坐标为(0,9-24-).同理 OBn=OB+-+B“.B;=3 j +3 j+(-1)(2i+2 j)=(2+1+(2+1).函 的坐标是(2+l,2n T3.(典型例题)在直角坐标平面中,已知点Pi(l,2),P2(2,泊,P3(3,23)-,P(n,2),其 中 n 是正整数,对平面上任一点A。,记 4 为人关于点R 的对称点,坛为A、,关于点冉的对称点,A,为 Ae关于点P”的对称点.(1)求向量A,A;的坐标;(2)当点A.在曲线C上移动时.点儿的轨迹是函数y=f(x)的图像,其中f(x)是以3 为周期的周期函数,且当x(0,3)时 f(x)=lg x.求以曲线
11、C为图像的函数在(1,4)上的解析式;(3)对任意偶数n,用 n 表示向量京的坐标.考场错解 第(2)问,由(1)知 屯=(2,4),依题意,将曲线C按向量(2,4)平移得到y=f(x)的图像.y=g(x)=f(x-2)+4.专家把脉 平移公式用错,应该为y=g(x)=f(x+2)-4.对症下药(1)设点A(x,y),A。关于点R 的对称点儿的坐标为由 (2-x,4-y),Ai关于点 Pz的对称点A2的坐标为A?(2+X,4+y),所以,京=2.4.(2”.屯=2,4,;.f(x)的图像由曲线C向右平移2 个单位,再向上平移4 个单位得至1.因此,曲线C是函数y=g(x)的图像,其中g(x)是
12、 以 3 为周期的周期函数,且当x(-2,1)时,g(x)=lg(x+2)-4,于是,当 xG(l,4)时,g(x)=lg(x-l)-4.(3)=M M +A2A4+A“_ 2 A 由于 A2 k_2A2k=2&_|P 2 k,得 R=2(而 +版 +-+C)=2(1,2+您+0,/.sin2 a=cos a,由于 cosa 0,得 sina=,贝!j cos22aW22 设向量 a=(cos23,cos67).b=(cos68,cos22),c=a+tb(tGR),求|c|的最小值.答案:解:|a|=cos223。+cos2 67=1=1,|b|=J 8 s 2 680+8 s 2 220=
13、I=1a b=cos230 cos68+cos67 cos22=cos23 cos68+sin23 sin68=cos(230-68)二 旦.2|c 12=(a+tb)2=I a 12+t21 b 12+2ta b=t2+l+/2 t 2;.c l的最小值为交,此 时 t=-也2 23已知向量a=(2,2),向量b 与 a 的夹角为3,且 a b=-2.4(1)求向量b;答案:设 b=(x,y),Va b=-2,/.2x+2y=-2,即 x+y=设,(1),又.a 与 b 的夹角为.五,4/.I b|=d =1,/.x2+y2=l(2),联 立 、(2)得 x=T,y=0 或 x=0,y=-l
14、,I a I cos 44Ab=(-1,0)或 b=(0,-1).(2)若 t=(l,0)JB b t,c=(cosA,2 c o s 2-),其中 A、C 是AABC 的内角,若三角形的2三个内角依次成等差列,试求,|b+c|的取值范围.答案:由题意得 B=土,A+C=,b t,t=(l,0),.,.b=(0,-1),b+C=(cosA,cosC),3 3b+C|-COS2A+COS2C=1+-(cos2A+cos2C)1+2 2cos2A+cos2(-n-A)=l+1 cos(2A+-),V 0 Z A ,A-Z 2 A+-,;-1 3 2 3 3 3 3 3cos(2A+-)l,.-.|
15、b+c|2e l A ,.|b+c|b0).由已知得 C=m,=a=2m,b=后a 2故所求的椭圆方程是+E=i.(2)设 Q(x,%),直 线 1 的方程为y=k(x+m),则点M(0,km),VM,Q、F 三点共线,MQ=2QF,:.MQ=2QF.当 荻=2万 时,由于F(-m,0),M(0,km),由定比分点坐标公式,得 狗=-剑,坨=g版,又Q在椭圆 +=1上,.有解得&=2石;4/n2 3m2 9 27,2 2同 理 当 荻=-2函寸,有1 +”-=1,解得4=0.故直线1的斜率是0,2而2.(典型例题)如图64,梯 形ABCD的 底 边AB在y轴上,原 点0为A B的中点,A B|
16、=,|C Z)|=2-.A C B D,M 为 CD 的中点.3 3(1)求点M的轨迹方程;(2)过M作AB的垂线,垂足为N,若存在常数入o,使 而=40无,且P点到A、B的距离和为定值,求点P的轨迹C的方程.考场错解 第 问:设P(x,y),M(x y.),则N(0,y。)MP=(x-xo,y-yPN =(-x,y-y),又 而=APNx-xu=-x()X,y-y=X (y-y),Xo=-1.专家把脉 对 成=友 丽 分 析 不 够,匆忙设坐标进行坐标运算,实际上M、N、P三点共线,它们的纵坐标是相等的,导致后面求出入。=-1是错误的.对症下药 解 法 1:设 M(x,y),则 C(x,2
17、J 2 2 J 2*-1+半+y),D(x,l=y=-+y),由 AC 1 BD 得 AC BD=0,即(x,y-1)(x,y+l)=0,得 x?+y2=l,又 xWO,AM的轨迹方程是:x、y2=l(xWO)解法 2:设 AC 与 BD 交于 E,连结 EM、EO,VAC+BD,A ZCED=ZAEB=90,又 M、0 分别为CD,AB的中点,.而|=LCD|.|E O|=L|A B|,又E为分别以AB、CD为直径的圆的切2 2点,.0、C、M三点共线,|OM|=|OE|+|AB|=1,M在以原点为圆心1为半径的圆上,轨迹方程为x2+y2=l(xO).(2)设 P(x,y),则由已知可设 M
18、(xo,y),N(0,y),又由 MP=入 PN 得(x-x。,0)二 人。(-x,0),/.Xo=(l+X 0)x,又 M 在 x?+y2=l(x#0)上,.P 的轨迹方程为(1+入 jZ x、y、l(x#0),又P到A、B的距离之和为定值,.)的轨迹为经A,BP为焦点的椭圆,二1J=得(1 +(1+%)2 9X,)2=9,:.P 轨迹 E 的方程为 9x2+y=l(xO).3.(典型例题)如图6-5,ABCD是边长为2的正方形纸片,以某动直线1为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后点。都落在AD上,记为B;折 痕1与AB交于点E,使M满足关系式EM+E*(1)建立适当坐标系,
19、求点M的轨迹方程;(2)若曲线C是由点M的轨迹及其关于边A B 对称的曲线组成的,F 是 A B 边上的一点,色1 =4 过点F 的直线交曲线于P、Q两点,且 而=/而,B F求实数人的取值范围.考场错解 第(1)问:以A B 的中点为坐标原点,以 A B 所在的直线为y 轴建立直角坐标系,则 A(0,1),B(0,1),设 E(0,t),B (x o,1),贝 i j 由 丽=而 +而 得 x =x()y=-t,的轨迹方程为x=x 0,y=-t 专家把脉 对轨迹方程的理解不深刻,x=x o,y=-t 不是轨迹方程,究其原因还是题目的已知条件挖掘不够,本题中【而|=|由I是一个很重要的已知条件
20、.对症下药(1)解 法 1以 A B 所在的直线为y轴,A B 的中点为坐标原点,建立如图6-6所示的直角坐标系,别 A(0,1),B(0,-1),设 E(0,t),则由已知有O W t W l,由|前|=|由|及 B 在 AD 上,可解得 B (2 ,1)由 +屈=而+国 得(x,y-t)=(O,-1-t)+(2 ,1-t),即 x=2 亚 y=-t,消去 t 得 x 2=-4 y (0W x W 2).解法2以 E B、E B 分邻边作平行四边形.由于|而|=|西|知四边形E B MB ,为菱形,且而J.而,.动点M 到定直线AD的距离等于M 到定点B的距离,的轨迹是以B为焦点,以AD为准
21、线的抛物线的一部分轨迹方程为x 2=-4 y (0W x 0,又y=kx+m7X i+X 2=3 y,*=凸 二.设MN的中点P(x。,y。),则有X广也线段1-3*2 1-3*2 1-3*2|-3Jt2MN的 垂直平分线方程为丫-上=_ 1*_ 小 吗).由 题 意 D(0,T)在该直线上,代入得1-3M k-3k24m=3k-l,k 满足卜0消去卜?,得 m 4 或 m 0.存在这样的M、N,并4,”=3廿-1 4且 MN所在直线在y 轴上截距的取值范围是(4,+-)U(-1,0)43 已知点F(l,0),直线l:x=2,设动点P 到直线1 的距离为d,已知|1不|=巫 且 2 4 d 4
22、。2 3 2(1)求动点户的轨迹方程;2.答案:设 P(x,y),:空!=也1,.P 的轨迹为以(1,0)为焦点,以 1:x=2为对应d 2准 线 的 椭 圆.且=,4-c=l,解 得 a=啦,c=l,b=l.又N w dW 3,.,W|2-x|a 2 c 3 2 3w 2,解得Iw x w d,2 2 3P 的轨迹方程为+y2=l(L Wx W&).2 2 3若而=求向量而与丽的夹角;3答案:V PF=(l-x,-y),OF=(1,0),而=(x,y)A-PF OF=(l-x,)l+(y)0=Lx=工,3OP OF 1 1OP与OF的夹角为arccos-11 如 图,若点C满足5?二 2赤,
23、点 M满 足 而=3而二3PF,且线段MG的垂直平分线经过P,求PGF的面积.答案:由已知I承H;21而|,G为左焦点.又,|PG|=|PM|=3|PF|PG+PF=2V2而=*I正|=孚又|斤 1=2,二|而|2+|斤 =|两,,.PGF 为 RtZ,A.*.S=2命题角度4解斜三角形1.(典型例题)在AABC中,s i nA+cosA=,AC=2 AB=3,求tanA的值和AABC的面积.2 考场错解,.,sinA+cosA=4.两边平方得 2sinA cosA=-L;.sin A=-又 02 2 22A360.12A=210 或 2A=330 得 A=105 或 A=165,当 A=10
24、5 时,tanA=tan(45+60)-*+/I=-2-V 3 sinA=sin(450+60)=当 A=165 时,tanA=tan(45+1201-V3 4)=-2+V3,sinA=sin(45 +120 )=屈 一 五,ABC 的 面 积 为4AC AB9sin A(5/6-5/2).24 专家把脉 没有注意到平方是非恒等变形的过程,产生了增根,若A=165,sinA二此时s inA+cosA二 遥 十 四 cos A=一 四+拒,止 匕 时 飞in A+cosA=-,显然与 sinA+cosA=的4 4 2 2已知条件矛盾.对症下药 解 法1.sinA+cosA=4Z2.A/2COS(
25、-4 5O)=f#cos(4-45o)=-,X 0o A 180,/.A-45=60,得 A=105.2 2;.tanA=tan(45。+60)=-2-石,sinA=sin(45。+60)=+屈,SA A B C=AC AB sin A=(V6+V2)2 4解法 2 s i nA+cosA=,/.2 sin A cos A2 2又 0 A0,cosA0,V(sinA-cosA)2=l-2sinAcosA=-2.*.sinA-csoA=,解得 sinA二五十,cosA二 五 一 2 4 4s inA=-2-V3,5AABCsin A 一 函 +扬.cos A 2 42.(典型例题)设P是正方形A
26、BCD内部的一点,点P到顶点A、B、C的距离分别为1、2、3,则 正 方 形 的 边 长 是.考场错解 设边长为xNABP=a 则/CBP=90-a,在 ABP中/rABP=匕2 j.?32_1L2 =2.,在 ACBP 中 cos NCBP=2.?_2 _,L2_4x4x4xV cosZCBP=sin a,Ax2*+34x/X2-54x+=1,解得xz=5+2亚,或5-26.正方形的边长为yl5+2 4 1 5-2 4 2 .专家把脉 没有考虑x的范围,由于三角形的两边之差应小于第三边,两边之和应大于第三边,/.lx3.对症下药(前同错解)Vlx3,;.X=5-2 6应 舍 去,.正方形的边
27、长为J5+2收3.(典型例题)已知aABC中,AB=1,BC=2,则角C的 取 值 范 围 是.考场错解 依题意c=l,a=2,由正弦定理知故有 sin C=sin Asin A 4 L 又0 C 180,0 C V 30或 150 1 80.sin C sin A a 2 2 专家把脉 没有考虑大边对大角,由于ac,.角C不是最大解,.ISO。C,./4 /(7,.;,的取值范围是 0 CWsin C sin A a 2 230.专家会诊解三角形的题目,一般是利用正弦定理、余弦定理结合三角恒等变形来解,要注意角的范围与三函数值符号之间的联系与影响,注意利用大边对大角来确定解是否合理,要注意利
28、用ABC 中,A+B+C=n,以及由此推得一些基本关系式sin(B+C)=cisA,cos(B+C)=-cosA,sin B +C=cos等,进行三角变换的运用,判断三角形的2 2形状,必须从研究三角形的边与边的关系,或角与角的关系入手,。要充分利用正弦定理,余弦定理进行边角转换.考场思维训练1 在aABC 中,三内角分别为 A、B、C 若 4sinAsinB=3cosAcosB,若复数 za+bi(a,b WR),定义z的模|z|=Jo2+序,求复数z=41 c o s-zcos 的模|z|.22解:I z21 =7cos2-cos2-(l+cosC)+(1-cos(A-B)=4+cosC-
29、cos(A-B)=4+-7cos(A+2 2 2 2 2 2 2B)-cos(A-B)=4+(-8cosAcosB+6sinAsinB),2又,.,4 s in A s in B =3 c o s A c o s BA|Z|2=4,得,|z|=2.2 在a A B C 中,s in A+c o s A=l,A B=1 0,A C=2 05(1)求4 A B C 的面积;答案:由 s in A+c o s A=-得 2 s in A c o s A=-*,5 2 5/.s in A 0,c o s A 0,(s in A-c o s A)2=l-2 s in A c o s A_ 49 zg.A
30、_ 7 A-3 s i n A-c o s A ,S i n A ,c o m A.2 55 5 5.,.SAAB B 在 上),1 一)2=xi+x2x X2 2(月+丫2)即 A B =,又kAB =kM D =。孑,2 y o XQ+2.君+2 xo+2 宕=。x2 .又 M(x(),y o)在+/=呐部,XQ+2 V g 1:.OP=OA+OB =2OM,.x=2XQ,y =2 y o,代入上式得x2+2)2 +4 x=0(x-2)(方法二)当直线1 平 行 x 轴时,P(0,0);当直线J不与x 轴平行时,设 1:x=m y-2,并设A(xi,y),B(X 2,y 2)P(x,y),
31、x=my-2由 2 2x2+22=2(,2+2)y 2 _ 4 m y+2 =0 (1)根据=(-4 m)-8(m2+2)0.即痛 2,由 而=5 X +而 及 可 得y=y +y 2=wz+28x=xi+x2=(m y i-2)+(m y2-2)=-m2+2,.P 的坐标为1-3 ,-),消去m得l 涓+2 ,n2+2)x2+2 y2+4 x=0 (-2 xW 0).:.?的轨迹方程为 x2+2 y2+4 x=0(-2 x O b O),交于P.Q两点,直J庐线 1 与 y 轴交于点K,且 而 丽=而=瓦,求直线与双曲线的方程 解题思路 将向量关系式转化为坐标关系式,建立方程组求解.2 2
32、解答1 的离心率为有,庐2 2/.b2=2 a2,即双曲线的方程为-二=1,/设 1 的方程为了 y=x+m,P(xi,y i),Q(x2,丫。,由 而 丽=-3 得,xl x2+y l y 2=-3,由 丽=4KQ 得 XF-3X2,y=x-tn联 立 y2 得-=12”2x2-2 m x-m2-2 a2=0/.X +X 2=2 m,xi X 2=-m2-2 a2,y i y 2=(xi+m)(x2+m)=2 mj-2 a2,结合 XI=-3X2,得 x2=-m,xi=3 m,/.xi X 2=_ 3 m2=-m2-2 a2 W m -a 解得 y【y 2=0,xi x2=-3 a2=-3,
33、aJ=L m2=l,m=l.直线1 的方程是y=x l,双曲线的方程是/II口.2预测角度2平面向量为背景的综台题1.设过点M(a,b)能作抛物线y=x2 的两条切线M A、M B,切点为A、B(1)求 证 标;若 忘 赢=0,求 M的轨迹方程;(3)若 L A M B 为锐角,求点M所在的区域.解题思路 设切点坐标,利用导数求出切线的斜率,将 忘 标 转化为坐标运算,结合韦达定理求解.解答(1)设抛物线上一点P(t,t2),V y=x2,.y,=2 x,切 点 为 P的切线方程是:y-t2=2 t(x-t),它经过点 M (a,b),.*.b-t2=2 t(a-t),B P t2-2 a t
34、+b=0,设其两根为 ti,t2,贝!j ti+t2=2 a,ti tz=b.设 A(ti,t:),B(t2,t|),则 MA 二(t a,t j-b),MB=(t2-a,tj-b),MA MB (t j-a)(t2-a)+(t -b),(t-b)利用 ti+tz=2a,11t2=b,消去 ti,tZ得忘 标=(b-a?)(4b+l).(2)设 M(x,y),贝 ij 由 而 赢=0,而 标=(b-a?)(4b+l)得(y-x2)(4y+l)=0,又 M在抛物线外部,/.y 0,结合中结果有(y-x?)(4y+l)0,而 y x).4y+l0,即点M所在区域为y=-!的下方.42.已知豆二(1
35、,1),05=(1,5),OC=(5,1)若。=x,OA,y DB DC(x,y GR)2(1)求 y=f(x)的解析式;(2)把 f(x)的图像按向量a=(-3,4)平移得到曲线G,然后再作曲线C,关于直线y=x,的对称曲线G,设点列Pi,Pn在曲线C2的 x 轴上方的部分上,点列Q,Q?Q“是 x 轴上的点列,且OQR,QQPz,Q.iQR都是等边三角形,设它们的边长分别为a“a2,,求 S”=ai+az+a”的表达式.解题思路 将 丽 比。都 用 x 表示,再利用数量积的坐标运算,可求解(1),第(2)问关键是找a“的递推关系式,进而求a n 的通项,求 S.解 答 VOA=(1,1),
36、OB=(1,5),OC=(5,1)OD=xOA=(x,x),DB=(l-x,5-x),DC=(5-x,l-x)1 *o/.y=-)5 DC=x 2-6x+5/.f(x)=x 一 6x+5 将 y=f(x)的图像按a=(-3,4)平移得到曲线G,.,.Ci:y=x2,而 C l关于y二 x 对称曲线是C2:y2=x,在 x 轴上方的方程为y二 6,由已知 Qn-l(Sn-l,0),Pu(Sn 1+g 九,),又 Pn在 y=&上 .一3 2_Q,1nT 十一a两式相减得:-(a L i-a )=-(a n W,4 w+l 222又 H n+lW a n dn-l-3 n -,乂可求得 3 1 ,
37、3322 2 =+5 T)=3 70 2 (+1)+3 =一 =3 2 3考点高分解题综合训练1 已知 0、A、M、B 为平面上四点,S.OM =AOB+(lX)OA,AG(1,2),则()A.点 M在线段AB上 B.点 B在线段AM上B.点 A在线段BM上 D.0、A、M、B四点共线答案:B 解析:由而=人 而+(1-入)加,O M-O A-X(O B-O A),:.A M-X A B ,又入 W(l,2),.点B在 线 段 AM上,.选 B.-152 已知AABC 中,C B=a,C A=b,a+)2-=.4 2 -44 4 a2.-4 53 32 2解得a、8.所求椭圆方程为工+乙=1.
38、8 41 0已知0 为原点,E(-l,0),F(l,0),点 A、P、Q 满 足|旗|=2|而|,而=万,而 而=0,而/EP(1)求户的轨迹方程;答案:|族|=2|诃|,;.|凝|=4,,又 花=而,Q为 A F 的中点,赤 前,:.A、P、E 三 点 共 线 而 而=0,得 而,而,又 Q为 A F 的中点,;.P 为 A F 的垂直平分线与A E 的交:.PF|=|PA,|港|+|而|=|族|=4,;.P 的轨迹是以 E(T,0),F(l,0)为焦r2 2点,长轴长为4的椭圆,方程为二+2=1.4 3(2)设 M、N是户的轨迹上两点,若 赤+2 而=3 瓦,求 M N 的方程答案:由 已
39、 知 可 得 了=,成+2 而,.正在M N 上,且 E,分 而 的 比 为 2,由焦半径公式3 3有 刍_=2,得xi4 +%-2 x 2=4,又由 OE=-OM +ON:.x+2x2-3,/.X i=-,此时2y产土.M N 的斜率为正,.”但的方程为丫=6&+1).4 2 22 211若眄、F?为双曲线-2 一 =1 (a 0,b0)的左、右焦点,0 为坐标原点,户为双曲线的a1 b2左支上的点,点 M在右准线上,且满足*-OF OMFQ=PM1OP=A+(2 O).、5 I OMJ(1)求此双曲线的离心率e;答案:由 而=而 得 四 边 形 F Q M P 为平行四边形,5?=而 +而
40、,又而+.入=|函|=|而|,二 尸为菱形,:.F iP-C,1。4 1 I O M|由双曲线的定义有I 而|=|西|+2 a,二|根|=2 a+c又|丽|=c,二 争 =e,解得e=2,(2)若此双曲线过N(2,五),求双曲线的方程;2 2答案:可设双曲线方程为三-与二 1,又过N(2,V 3),a2 3a22 21=3,双曲线的方程为二一二二1.3 9(3)在的条件下,Bi、B,分别是双曲线的虚轴端点(B l在y轴正半轴上),点A、B在双曲线上,且 标 须,求 它,瓦5时,直线AB的方程.答案:由已知B2在AB上,.可设AB的方程为y=kx-3,又 由1而,.BiB的方程为y=-x+3K解
41、得B篇言),又B在:守 上,;.9(T)2-3(多 二 户27=0,解得k=拒 1,的方程为y=(V2 l)x-3.1 2已知等轴双曲线C:xz-/才(&0)上 一 定 点P(xo,yo)及 曲 线C上两动点A、B满足(O A-O P)(而-而)=0(其中。为原点).求证:(苏+赤)(历+而)=0;答案:设 A(x”yi)B&,y2),A、B、P在双曲线上,(xi-xo)(xi+xo)=(y-yo)(yi+yo)(1),(x2-x0)(x2+xo)=(y2-yo)(y2+yo)(2),(1)X(2)得(xi-xo)(X2-X0)(xi+xo)(x2+xo)=(y,-yo)3-yo)(yi+yo
42、)M+yo),(3),又(OA-OP)(O B-O P)=0f/.(xi-xo)(x2-x o)=-(y-yo)(y2-yo),将(4)代人中得(xi+xo)(X2+X0)+(yi+yo)(ya+yo)=0.(OA+O P)(而+5?)二0;(2)求I AB|的最小值.答案:由得工(加+况)(据+而)=0,W AP、BP的中点M、N,连接0M、ON,V2 2.I .1 .OM=-(OA+OPON=-(OB+OPOM 1.ON,又(OA OP)(OA OP)=0,2 2:.P A LP B,:.O,M、P、N四点共圆,且|A B|=2|M N|,利用圆的知识有MN为直径,|MN|0P|.|AB|
43、210Pl=2几2+姬13 已知|元|=5,|而|=8,而=而,而 而=0.(1)1 A B-A C;答案:由已知可得AD|=AB|=-,16 2且 CD_LAD,cos/BAC;,根据余弦定理得:|诟-廉1|=|而|=M+821 2X5X8X =7.(2)设NBAC=0,且 cos(0+x)=,-n x-冗 x-2,求 sin x.544答案:由 co s。=L 0 (0,JI)得 0 二三,cos(0+x,)=cos(+x)=,则 sin(土+x)=2 3 3 5 3 -,而一 n x +,如果 0 +x ,则 sin(+x)sin.故5 4 3 3 12 3 12 3 12./n 兀、3+443.sinx=sin(+x;=-3 3 101 4 如图6-8,已知AABC的三边分别为a,b,c,A为圆心,直径PQ=2r问 P、Q在什么位置时,BP CQ有最大值?答案:解:._ .B P Cg =(AP-AB)(AQ-AC)=(AP-AB)=(-AP-AC)=r2+AB AP-AP AC +AB AC =AB AC -r2+AP C B,设NBAOa,PA的延长线与BC的延长线交于D,NPDB=Q,则 8PCQ=bccos a-召+racosB ,Va,b,c,a,r 均为定值,只需c o s O=l,即 PQBC时,而、丽最大.
限制150内