高考数列真题汇总.pdf

《高考数列真题汇总.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数列真题汇总.pdf（24页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2010全国各地高考数学真题分章节分类汇编一数列(解析版)第4部分:数列一、选择题：1.(2 0 1 0年高考山东卷理科9)设%是等比数列，则“5 偿。3”是 数 列%是递增数列的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件、(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若已知,则设数列 a 0 的公比为q ,因为所以有2 1。网。网2,解得q l,且 为0,所以数列 aj是递增数列；反之，若 数 列 aj是递增数列，则公比q l且 为0,所以a a a,q2,即为a 2 a 3,所以a Fa zVa?是数列 aj是递增数列的充分必要条件。【命题意图】本题考查等比数列及充分必要

2、条件的基础知识，属保分题。2.(2 0 1 0年高考全国卷I理科4)已知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 为 ,6 4%=5,%为=1 0，则=(A)5后 (B)7 (C)6 (D)4后【答案】A 解析 由 等 比 数 列 的 性 质 知q a 2 a 3 =%)4 =W=5，=(7 a 9)%=端=1。，所 以Ia 2a 8=5 0 3,_ _ _ I所 以 a4a5a6=(a4a6)a5=a =Q a 2a&J =(5 0)3=5后【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幕的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.3.(2 0 1 0年高考福建卷理

3、科3)设等差数列 4 的 前n项和为S“，若q =,&+4 =一6,则当S“取最小值时,n等于A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】设该数列的公差为4,则为+。6=2%+8 4=2、(_1 1)+8 4=-6,解得d=2,所以S“=一1 1 +生(2、2 =2-1 2 =(-6)2-36,所以当=6时，S“取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。4.(2 0 1 0年高考安徽卷理科1 0)设%是任意等比数列，它的前项和，前2项和与前3项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是A、X+Z=2 Y B、y(y-x)=z(

4、z-x)c、y 2 =x z D、y(y-x)=x(z-x)4.D(分析取等比数列1,2,4,令=1得X =1,y =3,Z =7代入验算,只存选项D满足。【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩卜一唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.5.(2 0 1 0年高考天津卷理科6)已知 4 是首项为1的等比数列，Sn是 4 的前n项和，且9s 3 =S6 0则数列”的前5项和为lan j(A)”或 5 (B)卫 或 5 (C)(D)8 1 6 1 6 8【答案】C【

5、解析】设等比数列的公比为q,则当公比q =l时，山4=1得，9s 3=9x 3=2 7,而1-(73S6=6,两者不相等，故不合题意；当公比q*1时，由9 s 3=S 6及首项为1得：9 X 一L,解-q -q得 q=2,所以数列，”的前5项和为1H 1-1 1 =,选C。an J 2 4 8 16 16【命题意图】本小考查等比数列的前n项和公式等基础知识，考查同学们分类讨论的数学思想以及计算能力。6.(2010年高考广东卷理科4)已知 4 为等比数列，5 n是它的前“项和。若a 2 4 3=2 q,且 与2%的等差中项为3,则 5 =4A.35 B.33 C.31 D.29【答案】C【解析】

6、设%)的公比为9,则由等比数列的性质知,2乌=%,。4=2%,即%=2。由%与2%的等差中项为:知，%+2%=2 x 5,即%=g(2x；a 4)=g(2x(2)=；.la,(n=l,2)”是a an为递增数列”的 B(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当 a“+i|a j(=l,2,)时，,.a/N a“，为递增数列.当 a“为递增数列时，若该数列为一 2,0,1,则由出|为|不成立，即知：。川|%|(=1,2,)不 定 成 立.故综上知，“an+i an(n=1,2,)”是“4 为递增数列”的充分不必要条件.故选反9.(2010

7、年高考北京卷理科2)在等比数列 叫中，q=l,公比|同/1.若“=%七%，则1(A)9(B)10(C)11(D)12【答案】C【解析】由a,“=q&a 344a 5 得又4=1，所以解得m=ll,故选 C。10.(2 0 1 0 年 高 考 江 西 卷 理 科 5 )等 比 数 歹 i j an中，%=2 ,%=4，函 数f(x)=x(x-al)(x-a2)-(x-as)，则/(0)=A.26 B.29 C.212 D.215【答案】C11.(2010年高考浙江卷3)设 S“为等比数列 a j的前n 项和，8 a 2+义=0,则 S s/S z=(A)11(B)5 (C)-8 (D)-11【答

8、案】D12.(2010年高考辽宁卷理科6)设 a“是有正数组成的等比数列，S“为其前n 项和。已知a 2a 4=1,S 3=7,则S$=(A)”2【答案】B31 33(B)7 717(D)2答 案 B【命题意图】本题考查了等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查了同学们解决问题的能力.【解析】由a、q=1可得=L 因此q =-X，又因为S；=4(1+4+q )=，联立两q.1.4(i-q)_ 3i式有(y+3 X)/-2)=0,所以g=1 4=4,所 以 1-1 ，故选 B./q/q 2-13.(2oio年高考全国2 卷理数4)如果等差数列 为 中，/+%+%=1 2,那么q+4+.+%=(A

9、)14(B)21(C)28 (D)3 5【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】%+4 +%=3%-12,a4=4,.,.ay+a2-F%=7 a 4=2813(2010年高考重庆市理科1)在等比数列 怎 中，420H)=8 4007 ,则公比4 的值为(A)2(B)3(C)4(D)8【答案】A解析：咏=/=8 =2。2007二、填空题：1.(2010年高考福建卷理科11)在等比数列 aj 中,若公比q=4,且前3 项之和等于21,则该数列的通项公式 q=-【答案】4 2【解析】由题意知q+4 q+1 6 a l =21,解得q=1,所以通项,=4向。【命题意图】

10、本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题。2.(2010年高考湖南卷理科15)若数列 4 满足：对任意的 w N*,只有有限个正整数机使得/九成立，记这样的机的个数为(4)*,则得到一个新数列(4)*.例如，若数列 4 是 1,2,3，w;,则数列 他“)*是 0,1,2,，.已知对任意的 eN*,an=n2,则(%)*=，(4)*)*=【答案】2,n2【解析】因为册 5,而a“=2,所以 11=1,2,所 以(%)*=2.因 为()*=(),(4)*=1,(能)*=1,()*=1，(%)*=2,(%)*=2,(%)*-2,(/)*=2,(%)*=2,(%o)*=3,(6 )

11、*=3,(%2)*=3,(%3)*=3,(%4)*=3,(。”)*=3,(%6)*=3,所以(4)*)*=1,(5 2)*)*=4,(%)*)*=9，(*)*)*=1 6,猜想(4)*)*=2【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。3.(2 0 1 0 年高考江苏卷试题8)函数y=x x 0)的 图 像 在 点 处 的 切 线 与 x轴交点的横坐标为ak+hk为正整数，/=1 6,则【答案】2 1 解析 考查函数的切线方程、数列的通项。在点(四,四 2)处的切线方程为：y-。/=2 4(x -%),当 y =0时，解得x =?,所以 a&+=,q

12、+%+。5 =1 6 +4 +1 =2 1 o4.(2 0 1 0 年高考浙江卷 1 4)设 2,n e N,(2 x+)-(3 产)=an+a./+a“x ,将 I2 3a 的最小值记为T“，则7 2=，4=好 最，7*=0 =/一其 1=_ _ _ _ _ _ _.0,【答案】h 15.（2 0 1 0年高考浙江卷1 5）设a,d为实数，首项为a公差为d的等差数列，的前项和为5,满足 8+1 5=0,则d的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答案】d一2五 或4 2 2友6.（2 0 1 0年高考辽宁卷理科1 6）已知数列 应 满足q=3 3,%+|-=2,则区的最小

13、值为n2 1【答案】21 6.答案引【命题立鲁】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导致判断函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.【解 析】4=（4”-a o j+g,一a2）+（生 一4 1）+4 nR l +Z*1-f-（n-l）+3 3 ,=3 3 +rT-w所以 1 =三+_1,n n设“）=2+-1,令/（）=三+1 0,则 _/（）在（后,+o c）上是单调递噌，在n n（0：底J上是递减的，因为所以当n=5或6时f（,7）即 恐 有 最小值n又因为些=&巴.=史=卫，所以，幺 的最小值 为 竺=u5 5 5 6 6 2 n 6 2 三、解答题:1.（

14、2 0 1 0年高考山东卷理科1 8）（本小题满分1 2分）已知等差数列 对 满足：%=7，%+%=26，4的前项和为S,.（I ）求为及 S.；(I I )令bn=(ne N*),求 数 列也 的前n项和Tn.an-1【解析】（I）设等差数列 a“的公差为d,因为%=7，。5+%=26,所以有a,+2d 7,解得q=3,d =2,2 q+1 0 d =2 6 1所 以%=3 +2(n l)=2 n+1 ；S“=3 n+，x 2 =n2+2 n。-,1，一),-1 (2 n+l)2-l 4 n(n+l)4 n n+1(I I)由(I )知 a”=2 n+1,所以 bn=，a所以 ,=一1 (Z

15、1,-1-1-1 -1-1-1-1-1-)、=1 八(1-1 -)、=4 2 2 3 n n+1 4 n+1n4(n+l)即数列也 的前”项和7；=n4(n+l)【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。2.(2 2)(2 0 1 0 年高考天津卷理科2 2)(本小题满分1 4 分)在数列.%中，=0,且对任意成等差数列，其公差为4。(1)若4=2 1 ,证明的1，。2&，。2 k+2 成等比数列(k eN*)；(II)若对任意 eN*,的*一 1，%人，%2 成等比数列，其公比为伙(i)设1.证明J 一，是等差数列；

16、q T.3 k2(i i)若 出=2,证明 2 ；2)2 k-2%【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。【解析】(I)证明：由题设，可得外,.-a.=4 k,k G N*。2 k+1 2k-1所以&2 左 +i =(。2k+1-2 A -1)*(。2k-1-3)+-+(03-f l|)=4女 +4(左 一 1)+4x 1=2 k(k+l)山 q=0,得 a%工1=2 女(+1),从而心.-2k 2 k2,a ,=2(+1)2.乙 K I J L 乙 K

17、乙 K I 1 乙 K I乙于是。2/+_ 左 +1 3+2/+1 所以“2 k+2 =2 A +1a2k k，3+J k，3+1-a2k 所以4 =2 左时，对任意k e N*,%,a。成等比数列。K2k 2K+1 2K+2(II)证法一：(i)证明：由I，2.，。/1成等差数列，及)成等比数列，得2 k-I 2k 2k+1 2k 2k+i 2 k+22a 2k.a2k-1 +02k+二 +一 +纵2k 2k 1 21 a 2k 02k qk-当 马W 1 时，可 知/W l,ke N*从而=-i-=i一+1,即!-1一=1(A:2)qk-2 _ _ _ _ 1 _ _ _ _ 1 qk-i

18、 qk-qk-xqk-所以J 一 是等差数列，公差为1。.4 i(II)证明：=0,%=2 ,可得%=4,从 而?=2,-=1.由(I )有2 4-1=i+女1 =%,得=11,ACNqk-k所以“2女+2 =“2 k+l =1+1a2k+l因此，a2kk，从而=a 2k k2-,k&NaSa2k-202k-202k 4aA k2(/r-1)2 22 c ,2 k+l 八，K,a2.a2。-(-i-)-y2.-(”-2)-2.I-2 .2 =2k2k+1 1 =a。2.k.-k-=2k(2k(k+i)4二+44-1-2攵(攵+1)2攵(攵+1)11 1 32 m+2(m-l)+(1-)=2n

19、2 m 21JLk2 3 1 3 k2所以 2 =I ,从 而2n 2,=4,6,8.t=2 ak 2 n 2 皿 4 当n为奇数时，设n=2 m+l (m G N*)弋 廿 2m ki(2m +1)2 3 1 (2 m+1)2A=2 ak k=2 ak 电，+1 2 2m 2m(m+1)=4 m d-=2-2 2（7?2 +l）2 n+1 3 1 3 3 k2所以2一=+从而3 L 2,=3,5,7 4 2 n+l 23 1k）综 合（1）（2）可知，对任意之2,GN*,有一 22 k=2 ak证法二：（i）证明：由题设，可得”=。2女+1 一。2%=Q ka2k a2k=。2及（/一 1）

20、，九=a2k+2-a2k+l=q/a 2k-。2M（%-D，所 以 九=qkdk/=4 2h3=%+2+4 +1 =+妇 1.=+4=1+Ta2k+2 a2k+2 q*2k 纭 2 A Q k由1 w l可知/w l#e N*。可得-=&-=1,%+1%-1%T%-1所 以 一 是 等 差 数 列，公差为1。q T,（i i）证明：因为1=0,=2,所以&=%q=2。所 以%=的+4 =4,从而=2 =2,一=1。于是，由（i）可知所以,一|是 公 差 为 1 的等%/T 外 T,1 4+差数列。由等差数列的通项公式可得/、=l+（k l）=k,故/=七 工。从而%=%.4 k所以a=4.也.

21、&.=q _ 1 l =k,由4=2,可得4 4 T dk_2 4 k-l k-2 1 1dk=2k 0于是，由（i）可知4+i=2 （左+1）,4=2 42,左w N*以下同证法一。3.（2010年高考数学湖北卷理科20）（本小题满分13分）已知 数 列 缶,满 足：d=，坐端=誓,数 列 版 满 足：bC l n。+1=a+i，a:（n，l）.（1）求数列“,仿“的通项公式；（II）证明:数列/?中的任意三项不可能成等差数列.2 0.本小题主要考查零差数列、等比数列等基宛如设以及反证法，同时考查推理论正隆力.（满 分13分）解；（I）由题意可知,1-*=：（1-霏）.令，=】-。3则*=*

22、”X q=1-W=；，蚂数列化.）是苜项为q=j，公 比 为:的 等 比 数 列，即。=去 =：=*停）-又q=；。,a a,v。，（H）用反证法证明.假设数列也 存在三项b：（r 3 4 4 则只可能有2冷=8十也成4 3立.两边同乘T少 化 简 得 产+”=2,2 1 T 7.山于，$/,所以上式左边为奇数,右边为码数，故上式不可能成，匕导致矛盾.故散列（4 中任意三项不可能成等差数列.知；与a 之5 时,有/(幻之I n x Q r N I).令 a =f t f(x)=(.r-)2 I n x(x 1).2 2 x且当x 1 时，I n x,2 x&*+1 3 +l 】fE*l k i

23、 1r/1 I、八 1 、令 八 丁 有 叱LQ 1 一17Tb/晨-百)】，即 ln(t I)I n 左 -(+J)k=1,2,.格上述个不等式依次相加得,、J I 、1L n(w *,)，I n，f n +，1、)+-“-.2 3 n 2(n+)解法二】川数学以纳法证明.(I)当刀=1 时，左边=1,右边=卜2 +!1不等式成立.4(2)以设w =A 时,不等式成立.就是,111 I 0in(ln(E +1)+-+!2 3*4+1 ,2 优十】)口如犷磊由 1【知：当az g时，有x）N ln x（x Z l）.令=:，tf之 I n x (x zl).2 2 x令A.x=kr+r 2r

24、得5tl 71,(X7+7 27-土*+所/+2 .z,.77T=网上+2)-网4+。,二呵北 +1)+J 2 1 1 1(*+2)*，2，,2(k+1)2(4+2).1 I I I ，“小 k +1*+-+-ln(+2)+-.2 3 k k+l 2(*+2)这就必说，当力=E +I 时，不等式也成立.根据(1)和(2),可知不等式刈任何“w丁那成立.4.（20 10 年高考湖南卷理科21）21.（本小题满分13分）数列 a （e A7*）中，q =：4 7 是函数/Xx）=2 f-4（3 4 +）/+3/*的极小值i 2点。（I）当4=时，求通项生；（I I ）是否存在 使 数 列 4 是

25、等 比 数 列？若 存 在，求a 的 取 值 范 围；若不存在,请 说 明 理 由。【解析】易知/,(x)=x2(3al t+n2)x+3n2an=(x-3a)(x-n2)令 （x）=O,得 不，3际 x n2）若3a“n2,当 脓3%单雌蜘0力(x)当时，/单减(x)0 0(x)当 脓 单 嘛 獭2 0力(x)故力(x)在 尸 肘 取 得 极 小 值。(2)若舫“0 可 得,1在 取 得 极 小 值o x=3(3)若助 力 无 瞥 阚N O fnM(I )当 a=。时，%=0,则3a l：1：曲 Q)知生=1：=1因3a：=3 3：:由(2)知%=3生=3x4因34=363：油(2)知q=3

26、%=3：x4、由此猜想：当B3时，=4 x 3-下面先用数学归纳法证明：当n三3时，3%/事实上，当n=3时，由前面随的搬结论成立假设当“=k(k 3)时,3%M成 立，则 由(2)知a：4=3%/从而3_ i-&+1)：3 X-a+1)：=2k(k-2)+2k-l 0所以 3/_ i(A+l)：故 当n 3时，%=4x3*3于是由 知，当 当G 3时，%_ i=3xa,，而 生=斗，因 此%=4x325.(2010年高考安徽卷理科2 0)(本小题满分12分)设数列4,中的每一项都不为O o证明：,为等差数列的充分必要条件是：对任何e N,都有1 1 ,1 一-1 F ,H-1 。巡2 a2a

27、3-anan+以 4+1.-r y I*X I r,4/n,（20）（本小题满分12分）本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力.证：先证必要性.、设数列1 4 的公差为，若 d=0,则所述等式显然成立.若d K O,则1 /1 _ 1 1 *d ai d 5%5 4“再证充分性.证法L（数学归纳法）设所述的等式对一切n N.都成立.首先:在等式-1-+r-1 -=-2-5/02a 3 5出两端同乘aa2a3,即得知 +%=2%,所以a】，O j ,O j成等差数列，记公差为d,则a,=%+d.假设+-l）d,当=4+1 时，观察如下二等式11.1 k-1

28、+.+-,._Q%0 2 a 3 ak-ak 4%。2。3 Q*-1 4 匹为“将代人，得A-1.1 k-+-=-,aak 44.1在该式两端同乘aakak,得(A-+,=包.将+(L l)d 代入其中，整理后，得ap=5 +k d.由数学归纳法原理知，对一切n W N.都有a“=%+(n-l)d.所以 a 1J 是公差为d 的等差数列.证法2：(直接证法)依题意有1 1 1 n -+-+=,。1与 02a3-0 nan*l 4八1 1 上 1,1-_ 2L 1-a,02 a2a3 anan 4+1 4+2 al0 *2-得n 4-1 n4.1 4+2 aia*2 aia*i 在上式两端同乘，

29、外.臼.2,得 =(”+l)a“+na”同理可得 CL=nan-得 2nan.=(4+2+4)，即4.2 -4.1 =4.1 -4,所以是等差数列6.（22）（20 10年高考全国卷I理科22）（本小题满分12分）（注 意：在 试 题 卷 上 作 答 无 效）已知数列。“中，q=1,a“+i =c-.（I）设。=|也=/万，求 数 列 出 的通项公式;（I I）求使不等式可。用3成立的c的取值范围.【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考

30、查.【解析】（22）解:=用、=+2,即以“=4 4+2.%+i -2%-2 ax-22 2 14+1 +孑=4(4+孑)，又 的=1，故自=-=3 3 /-2所 以r 4+2W1 是首项为-1，公比为乙的等比数列,4-1 2口=-.(I I)4 =1,2=c-l,由得 4 c 2用数学归纳法证明：当。2时%+（i）当=1时，=c-a f命题成立;a,（i i）设当加=上时，纵 匕一一=羯 1,4+1 ak故 由（i ）,（i i）知当c 2时%2时，令 仪=一-,由 +-4 +-=c 得/va.2 冬%当 2 c 竺 时，ax a 3,且于是a 一%+i =-（。一 4）工 w （仪 一%）

31、，%。3a 1当附 lg3-时，a-n+i a-3,3 -a-3因此c 竺不符合要求.3（i o|所以c 的取值范围是2,.I 37.（2 01 0年高考四川卷理科2 1）（本小题满分1 2 分）已知数列 小 满 足 伯=0,a2=2,且对任意?、都有筋-1+。2 -1=2 az M+n-1+2 （加 一 ）2（I ）求。3，。5；（I I）设 儿=。2“+1 一%江M），证明：彷 是等差数列；（I I I）设 好=（即+1%）0 1（4#0，WM），求数列 c 的前项和冬.：.一 川:川.，!:U/HMIi l川，I出 力 丁；;,c5&都成立。求证:。的最大值为二9。2 解析本小题主要考查

32、等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满 分1 6分。(1)由题意知：d 0,=框 +(n-l)d=8+(n-l)d2 a2 =4 +。3 n 3出=S 3 n 3(S2-S J =S3,+d)2-aj2=+2 d,化简，得：y d,ay-d 1y 7 d+(-l)d=nd,S“=n2d ,当“N 2 时，an=Sn-S_t n2d2-(n-1)2 J2=(I n-1)J2,适合 =l 情形。故所求见=(2 _1)/(2)(方法一)y y i 2 +A?9一Sm+Sn c Sk=m2d 2 +版2 c-k2d2=/w2+2 c-k2,c (m +n)2=9

33、k2 =%耳,9 9故c W三，即。的最大值为三。2 2（方法二）由 J =d 及=+-l）d,得d0,S 抑=n2 d?。于是，对满足题设的加，几,k,m w ，有s,“+S“=（川 +2 川2 =9m 2 2 29所以C的最大值C x 之：。另 一 方 面，任 取 实 数 4 9。设上为偶 数，令 加=33 +1,=3?左1 ,则机，次符 合 条 件，且2 2 23 3 15,+5”=（22+2川2=12（5 女+1）2+（5 左_ 1）2 =5 1 2（9左 2+4）。2 1于是，只要9/+4,时,S,“+S“一/.2成 2=s7 2 9 ，2 1 19 9所以满足条件的c 4 ,从而c

34、ma x 。2 29因此c的最大值为。29 （2010年全国高考宁夏卷17）（本小题满分12分）设数列 q满足 =2,用一。“=3 22-1（1）求数列 6,的通项公式；（2）令”=%,求数列的前n项和Sn（17）解：（I）由已知，当nl时，an+=K%+I-4）+（4 -a”T）+（。2 -）+q=3（22n-+22n-3+-+2）+2_ 22（n+l）-I而 ay-2,所以数列 凡 的通项公式为an=22-1 o（II）由2=nan-n-2 ”知S=1-2+2-23+3-25+-+-22-从而22-S=1-23+2-25+3-27+-22,+,-得（1 -22）-S=2+23+25+22,

35、-1-n-22,+|。即 S“=：（3-l）22M+2910.（2010年高考陕西卷理科16）（本小题满分12分）已知匕”）是公差不为零的等差数列，G=】，且5,析,小成等比数歹（I）.求数列口）的通项；（U）求数列（当）的 前n项和S解（I）由题设知公差d*Ol 2 d =1 十 8J由Ql=1,成等比数列得 1-1+解得d =I.J =0（舍去）故 的通项a.二】+（n 1）X】一 n.【H）由（i）知/二2L,由等比数列前n项和 公 式 得 利=2+2?+2?+2-=驾二11.（2010年高考江西卷理科22）（本小题满分14分）证明以下命题：(1)对任一正整数a,都存在正整数6,c S

36、c),使得/力2,成等差数列；(2)存在无穷多个互不相似的三角形A,其边长a“,c”为 正 整 数 且 成 等 差 数 列.22.(本小题满分14分)证明：(1)易知12,52,7?成等差数列，故。2,(54)2,(7 4)2也成等差数列，所以对任一正整数4,都存在正整数b =5a,c =7 a,(b 4)1bn -an =2n+2 cn-bn =2n-2 f+22 n _1易验证，3满足，因此A,叫，烧成等差数列，当 2 4 时，有%0因此,2,%为边可以构成三角形.其次，任取正整数机/(?,2 4,且?。及)，假若三角形加与相似，则有：m2-2m-ln2-2 -1m2+1 _ m2+2m-

37、ln2+1 n2 4-2n-l,据比例性质有:m2+1 _ m2+2m-1 _(m2+2m-1)-+1)_ m-1n2+1+(/+2 -1)-(2+1)-1m2+1 _ m2-2 m-l _(m2 2m 1)(m2+1)_ zn+1n2+1 n2-2 n-l(/一2-1)一(/+1)n+1所以竺土1=V _1,由此可得机=，与假设加w矛盾,+1 -1即任两个三角形小与 4,m w /?)互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形心其边长氏,2,党为 正 整 数 且 c ；成等差数列.12.(2010年高考全国2卷理数1 8)(本小题满分12分)已知数列 为 的前项和5=(2+n)3.(I )；

38、-8 S(II)证明：尊+4 3.I2 22/【命题意图】本试题主要考查数列基本公式4 的运用，数列极限和数列不等式的证明,考杳考生运用所学知识解决问题的能力.【参考答案】n=*2.3*3，.f l*所以,当r 2 1时,冬+冬+,+T 3*.I2 2 n3【点评】201。年高考数学全国I、n这两套试卷都将数列题前置，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能，重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单

39、的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.13.(2010年高考重庆市理科2 1)(本小题满分12分，(I)小问5 分，(II)小问7 分.)在数列 ,中，=1,a“+|=恒“+，(2 +1),(7*)其中实数/0.(I)求 4 的通项公式；(I I)若对一切AwN*有七上出1，求 c 的取值范围.(I )解法一：由 =1 ,a2=c ay+c2 3 =3 -2+c =(22-1 )c2+c ,a、-c at+J,5 8c，+c*=(32-l)c3+c2,a4=c a3+c4,7 =1 5 c*+c3=(42-1)c4+c3,猜测 j =(n2-l)c-下用数学归纳法证明.当n =l时，等式成

40、立；假设当n =时，等式成立，即=-则当凡时,a*M =c at+cl+1(2 A +1)-cL(r：-1)c*+a2k.l，彳 肆(2.)2 -1 产+/”(2 人-J)2 -I?4-1+卢”,因 C2*-2 0,所以(4-1)?-(4 42-4 A -1 )c -I 0.解此不等式得:对一切LWN，有 c q 或 c 噎,其中_ (4-4-I)+7 7 而 工*-!)2 ；不/-1)c*2(4 肥-1)*，_(4 炉 一 妹-1)-_ )2c*-2(4 必-1)，易知】i m q=1 ,一 8又由，(4*-4&-f p+4(4 k丁 f y v W -1)2 +4(4 1-1)+4 =4

41、A-2+I,知(4 储-4 k-】)+4)+1 _ 8k*-4kC i 2(4 -I)=8A2 2 q对 一 切 在 N*成立得cmi.又4,=一 2(4k1-4 4-1)+，(4 必-必-1)2 牛4(4,-)0,易知q 单调递增，故q N c J 对一切HN成立,因此由d c j 对一切4 N.成之得c a，得(24)J-I k +(2A-1/_ c2*-+c”，因*-2 0,所以4(，-c”2 +4M-J +c-】0 对 kc N恒成立.记/()=4(c?-c)d +4=-c?+c-1 ,下分三种情况讨论.(i)当/-c=0 即c=0 或 c=l 时，代入验证可知只有c=1满足要求.(i

42、 i)当c?-c 0 时，抛物线y=/(z)开口向下,因此当正隹数G充分大时,/(k)0 即 C 1 时，抛 物线y=/(x)开门向上，其对称轴*=一、-必在直线工=1 的左边.因此，/(工)在口，+8)上是增函数.所以要使/(幻 0 对“N恒成立，只需/(1)0 即可.由 /(1)=3c2+c-1 0 解得 c 1 t-OO结合 C 1 得 c LO综合以上三种情况.C的取值范围为(-8,-1+严)U 1,+8).O14.(2 0 10 年上海市春季高考2 3)23.(本题满分18分)本摩共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知首项为的数列 x j满足4“=乌

43、、(a为常数).X”+1(1)若对任意的再工-1,有x“+2=x.对任意的“eN,都成立，求a的值；(2)当a=l时，若4 0,数列4 是递增数列还是递减数列？请说明理由；(3)当。确定后，数列卜,由其首项为确定.当。=2时，通过对数列 x.的探究，写出”X“是有穷数列”的一个真 命 题(不必证明).说明：对 于 第(3)题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分.2 3.解(1)v x“+2 =旦 旦-=x”i+laxa-=-x,+l2分%+X.+1x”+l/.a2xn=(a +l)x*+x.当 =1 时，由 X的任意性，得 a L.a =_L 4分a +l =

44、O,(2)数列 x 是递减数列.6分:不 ，x+i=7，Xn+1/.x 0,n e N*.8 分rX.又 Xz _ x”=-r 0.w N,x n+l xn+l故数列 x.是递减数列.10分(3)真命题：9 Y 1(i)数列x”满足X7=2-,若 再=-,则 Z是有穷数列.12分X/+1 7(写出再取某些特殊值时，x“是有穷数列的真命题，均得2分)(ii)数列 x“满足“+|=卫 匚，若 玉=_/，m s N ,则 x j是有穷数列.14分(写出再的一般表达式，但仅是充分性或必要性的真命题，均得4分)Oy(iii)数列&满足x”i=Wj,则 芍,是有穷数列的充要条件是存在W GN,使得X”+1(写出玉的一般表达式，并提出充分必要性的真命题，均得6分)(i v)数列 x.满 足/“=三 ，则 Z是有穷数列且项数为m的充要条件是X”+1盾=-,w e N,.18分1 1-2(写出再的一般表达式，提出充分必要性，且说明有穷数列的项数与首项看之间的关系的真命题，均得8分)