2015年高考数学导数真题及答案.pdf

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1、导数目录1.【2015高考福建，理 10】.-2-2.【2015高考陕西，理 12】.-2-3.【2015高考新课标2,理 12.-3-4.12015高考新课标1,理 12.-4-5.【2015高考陕西，理 16】.-5-6.【2015高考天津，理 11】.-6-7.【2015高考新课标2,理 2 1（本题满分12分）.-7-8.【2015高考江苏，19】（本小题满分16分）.-8-9.【2015高考福建，理 20】.-10-10.【2015江苏高考，1 7（本小题满分14分）.-13-11.【2015高考山东，理 21】.-14-12.【2015高考安徽，理 21】.-17-13.【2015

2、高考天津，理 20（本小题满分14分）.-19-14.【2015高考重庆，理 20】.-21-15.【2015高考四川，理 21】.-22-16.【2015高考湖北，理 22】.-24-17.【2015高考新课标1,理 211.-26-18.【2015高考北京，理 18】.-27-19.【2015高考广东，理 19】.-29-2 0【2015高考湖南，理 21】.-31-1.12015高考福建，理 10】若定义在R上的函数“X)满足0)=1 ,其导函数尸(x)满 足/(x)kl ,则下列结论中一定错误的是()【答案】C【解析】由已知条件，构造函数g(x)=/(x)k x,则g (x)=/(x)

3、女 0,故函数g(x)I 1 1 t在R上 单 调 递 增，且 0 ,故8()g(0)，所 以/()-1,k-k-V k-Y k-/(一)一,所以结论中一定错误的是C,选项D无法判断;构造函数(x)=f(x)-x,k-1 k-l则(x)=f(x)lo,所以函数(x)在R上单调递增，且，0,所以(：)(0),即/(+),1,选项A,B无法判断，故选C.【考点定位】函数与导数.【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题.2

4、.12015高考陕西，理 12】对二次函数/*)=。/+法+。(a为非零常数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是()A.-1是/*)的零点 B.1是/*)的极值点C.3是/(x)的极值 D.点(2,8)在曲线=/(%)上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，fx)=2ax+b,因为1是/(x)的极值点,尸(1)=0 (24+0 =0 /?=2a/、3是“X)的极值，所以 ,叫a +b +c-3,解得：1-3 +/因为点(2阴 在./I I曲线y =/(x)上，所以4 a+2b +c=8,即4 a+2x(2a)+a +3=8,解得：a=5 ,

5、所以b=-0,c=8,所以/(x)=5f 10X+8,因为/(l)=5 x(I p10 x(1)+8=23片0,所以 1不是/(x)的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A.【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值.【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题.解题时一定要抓住重要字眼”有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误.解推断结论的试题时 定 要 万 分 小 心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理.3.12015高考新课标2,理 12】设函数/(X)是奇函数/(x)(xe R)的导函数，/(1)=

6、0,当x 0 时，xf (x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-oo,-l)U(0,l)B.(-l,0)U(l,+o)C.(-oo,-l)U(-l,0)D.(0,l)U(l,+oo)【答案】A【解析】记函数g(.r)=四，则g (x)=，因为当x 0时，xf(x/(x)v 0,故当工 0XX*时，g(x)。，所 以g(x)在(0,+H)单调递减；又因为函数：/(x X x W&)是奇函数，故函数g(x)是偶幽数:,所以 g(x)在(一七 0)单调递遍，且 g(-l)=g(l)=0.当 0 x 0,则/(x)0；当xT时,g(x)0,综上所述，使得x)0成立的x的取值范围是(T C1)

7、U(O 1)，故 选A.【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质.【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题.4.12015高考新课标1,理 12】设函数/(x)=e (2x 1)a x +a,其中E 1,若 存 在 唯 一 的 整 数 使 得/(/)：0,则。的取值范围是()3(A)-,1)2e【答案】D3 3(B),-)2e 43 3(C),-)2e 43(D),1)2e【解析】设g(x)=(2x 1),y a x

8、-a,山题知存在唯一的整数%,使得g(x 0)在直线y =a r-a 的下方.因为 g (x)=e*(2x +l),所以当 x -；时，g (x)-；时，1g (x)0,所以当 x =-时，g(x)m a x =-2e 2,当 x =0 时，g(0)=T,g =3e0,直线 y =a x-a 恒 过(1,0)斜 率 且 故 一a g(0)=-1,且 g(-l)=-3e“2-a-a ,解得3一 Wa0）,因为该抛物线过点（5,2）,所以2 P x 2 =5 2,解得=亍，所以即）,=点/，所以当前最大流量是（2左2）公=（2 得/）|：5 =（2 x5焉x5 3）2 x（-5）一,x（5）3 =

9、与,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是 =1.2,所以答案应填：1.2.40T【考点定位】1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义.【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线x=a,x=b,=0和曲线），=/（）所围成的曲边梯形的面积是6.12015高考天津，理 11】曲线y =2与直线Y二 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为.【答案】-6【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图冢，解议程组 J =得两曲线的交点坐标为(O

10、 P)L 1),由y=x图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积“，r 1,1 1S=|Jx-x*)=；-x*-r；=-.0 C 3 儿 6【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.【2 0 15 高考湖南，理 1 1 *一 1)，氏=.【答案】0.【解析】试题分析：f(x-l)d x=(1x2 _ x)；=0.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一

11、是利用牛顿-莱布尼茨定理：二是利用定积分的儿何意义求解.7.12015高考新课标2,理 21(本题满分12分)设函数/(x)=emx+x2-mx.(I)证 明:/(x)在(-8,0)单调递减,在(0,+8)单调递增；(H)若对于任意为,马-1 J，都有|/(西)一/()|4 6-1,求加的取值范围.【答案】(I)详见解析；(I I)-1,1.【解析】(I)f(x)=m(e m l)+2 x.若 m 2 0 ,则当 xe (-o o,0)时，ex-1 0 ,/(x)0 ,/1U)0.若加 0 ,f(x)0 ；当 xe(0,+o o)时，emx-1 0.所以，/(x)在(-8,0)单调递减，在(0

12、,+0 0)单调递增.(I I)由(I)知,对任意的m,/(x)在 1,0 单调递减，在 0,1单调递增，故/(x)在x=0处 取 得 最 小 值.所 以 对 于 任 意 和1,1 ,|/(xJ /(X 2)|W e -1的充要条件是:即 V/(一1)一/()e-1,em+me-,设 函 数 g(f)=e -f-e +l则g )=e 1.当t 0时，g(f)0时，g(f)0.故g(f)在(-o o,0)单调递减,在(0,+o o)单调递增.又g(l)=0,g(l)=e i+2 e0,故当fw -1,1时，g(r)0.当m 时，g(m)Q,g(-m)0,即 当 z n 0 ,B|J e +m e

13、-.综上，加的取值范围是【考点定位】导数的综合应用.【名师点睛】(I)先求导函数/l)+2 x,根据用的范围讨论导函数在(8,0)和（0,+8）的符号即可；/（X 2）|e 1 恒成立，等价于|/（x J-/（X 2）L x W e -l.由是两个独立的变量，故可求研究/*）的值域，由（I ）可得最小值为/（0）=1,最大值可7一 f（Q）e-能是/（-1）或/（I）,故只需，从而得关于m的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解.8.12015高考江苏，1 9（本小题满分16分）已知函数/(x)=x3+ax2+b(a,b e R).（1）试讨论/（x）的单调性；（2）若方=

14、c-a （实数c是a与无关的常数），当函数/（x）有三个不同的零点时，a3 3的取值范围恰好是（-巴-3）U 伺）%,+8），求c的值.【答案】（1）当。=0时，/（X）在（F,+8）上单调递增；当a0时，/（X）在1 8,-事），（0,+。）上单调递增，在上单调递减；当a 0（X HO）,所 以 函 数 在（一第三叼上单调递阍当a 0时，x w；-；山0,+工）时，门x）0,（一 二：0；时，/（x）0,所以函数可在;f-W 0.+H）上单调递增,在；一 至：0；上单调递减;1 =当a0时，x e(-o o,0)l j f-,+时，/(x)0,x e(0,-g卜寸，/,(x)0,所以函数/(

15、X)在(一8,0),g,+o o 上单调递增，在(0,一 年 上单调递减.(2)由(1)知，函数“X)的两个极值为/(0)=人,卜 孙 M+b,则函数/(x)有三个零点等价于 0)/2a=。福/+“0小或I 2 7a 0 4 .0 b 0 时、一/一。+。0 或当 a 0 1寸，一-a +c 0.2 7 2 7设g(q)=a 3-a+c,因为函数/(x)有三个零点时，。的取值范围恰好是(-o o,-3)u f l,1-j u f-1,+oo j,则在(-8,一3)上g(a)0均恒成立,从而g(-3)=c-l W 0,且g l l n c-l N O,因此c=l.此时，/(x)=x +ax2+-

16、a-(工 +1)1 2 +(4-1)+l-a ,因函数有三个零点，则/+(。-1)+1-4=0有两个异于-1的不等实根，所以 A=(a _ l)2 _ 4(l _ a)=a 2+2 a _ 30,且(1(a 1)+a w 0 ,解得 a e(-o o,-3)U1 即(|,+oo综上c=1.【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点【名师点晴】求函数的单调区间的步骤:确定函数y=f(x)的定义域;求导数y =f (x),令f(x)=0,解此方程，求出在定义区间内的一切实根；把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(

17、x)的定义区间分成若干个小区间；确 定f (x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.已知函数的零点个数问题处理方法为：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图像，数形结合求解.已知不等式解集求参数方法：利用不等式解集与对应方程根的关系找等量关系或不等关系.9.12015高考福建，理 20】已知函数 f(x)=l n(l+x),g(x)=kx,(k R),(I )证明：当 x 0时，f (x)x ；(H)证明:当攵0,使得对任意x i(0,/),恒 有f(x)g(x)；(HI)确定k的所以可能取值，使得存在f 0,对任意的x i(0,t),恒有|f(x)-g(x)|x 2

18、.【答案】(I)详见解析：(H)详见解析：(IB)k=l.【解 析】解 法 一：(1)令 F(x)=f(x)-x =l n(l+x)-x,x?(0,),贝！有当x?(0,),尸 )0 时，F(x)尸(0)=0,即当x 0 时，f (x)0,所以6(外 在 0,+)上单调递增，G(x)G(0)=0故对任意正实数天均满足题意.1-Z-1当0 女 0.k k取-1,对任意恒有G1(x)0，所 以G(.r)在 0,xc)上 单 调 递 增G(.v)G(0)=0 :即 kf(x)g(x)综上，当左V 1时，总存在毛 0 :使得对任意的,V (0,七)：恒有f(x)g(x).(3)当左 1 时,由(3)知

19、,对 于 x违(0,+),g(x)x f(x),故g(x)f(尤),|f(x)-g(x)|=g(x)-/(x)=kx -l n(l+x),令 M(x)=kx-l n(l+x)-/,x祖0,+),贝i j 有一注、1 c -2/+(k-2)x+&-1MM(0)=0即|f(x)-g Q)/,所以满4足题意的t不存在.当女 0,使得对任意的任意的灯(0,%),恒有人工)8(了).此时|Rx)-g(x)|=Rx)-g(x)=l n(l+x)-kx,令 N(x)=l n(l+x)-k x-道 o,+),则 有M(x)1 ,c -2 f-(k+2)x-k+1-k,-2x=-1+x 1+x故当.伏+2)+麻

20、W)时，N仙)0 ,M(x)在4【O.-(k+2)+，住；2)-+8(1 -k)上单调递增,故N(x)N(0)=0,即 f(x)-g(x)/,记/与3呼Z五 中 较 小 的 为则当x?(0,x j时，恒 有|f(x)g(x)|f,故满足题意的t不存在.当k=1,由(1)知，当x违(0,+),|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-l n(l+x),1 _ 7 r2 _ x令 H(x)=x-l n(l+x)-祖0,+),则有 Hi(x)=l-2x=:-1+x 1+x当x 0时，H抬)vO,所以H(x)在O,+)上单调递减，故H(x)v”(0)=0,故当x 0时，恒有|f(x)-g(x)|

21、Y,此时，任意实数t满足题意.综上，k=l.解法二：(1)(2)同解法一.(3)当女 1 时，由(1)知，对 于 X违(0,+),g(x)x f(x),故|f(x)-g(x)|=g(x)-/(x)=kx-l n(l+x)kx-x =(k-l)x,令(k-l)x/,解得0 x 1时，对于x?(0,k 1)恒有|f(x)-g(x)|x 2,所以满足题意的t不存在.k+l当k l时，取 匕=，从而k l 0,使得任意x i(0,/),恒 有f(x)3 Ax =g(x).此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)(匕-k)x=-x,令一解得0 xx2,1 _k记3与-鼠中较小的为X,则当X?(0,

22、为)时，恒 有|f(x)g(x)x2,故满足题意的t不存在.当/r=l,由(1)知，当KW(0：+OC)：f(x)-g(x)：=g(x)-f 0时，M(-r)0，所以M(x)在 0,一工)上单调递旃 故M(x)0时，恒 有f(x)-g(x)g(x)与/(x)m i n g(X)m a x不等价，/(X)m i n g W m a x只 是/(用 g U)的特例，但是也可以利用它来证明，在2 0 1 4年全国I卷理科高考2 1题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续.10.12015

23、江苏高考，1 7（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为乙2，山区边界曲线为C,计划修建的公路为/,如图所示，M,N为C的两个端点，测得点M至I .,/?的距离分别为5千米和40千米，点N至I /,/2的距离分别为2 0千米和2.5千米，以乙，4所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系x Oy,假设曲线C符合函数y=x2+b（其中o,b为常数）模型.y M(1)求o,b 的值;（2）设公路/与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.、弋。请写出公路/长度的函数解析式/（，），并写出

24、其定义域；当t为何值时，公路/的长度最短？求出最短长度.【答案】（1）a =1 0 0 0/=0；（2）/（f）=jl+1 2,定义域为5,2 0 ,r =1 0 V 2,/（Om j n=1 573 千米【解析】（1）由题意知，点M,N的坐标分别为（5,40）,（2 0,2.5）.a/八-=40将其分别代入y=-，得 产5+,x+b a 日=设在点P处的切线/交x,）轴分别于A,B点，=一 ,则/的方程为y一 丝 詈=20 0 0-Z 5-x-t,由此得B(0,30 0 0设g(f)=r2 +4 x i-o6,n则i gl，/(t)=c2 f-1-6 x:10 6令g (f)=0，解得y 1

25、 0 8.当 f e(5,1 0时，g (f)0,g”)是增函数.从而，当/=1 0 8忖，函数g(。有极小值，也是最小值，所以g。*”=30 0,此 时 比 1 56答：当/=10夜 时，公路/的长度最短，最短长度为15百千米.【考点定位】利用导数求函数最值，导数几何意义【名师点晴】解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识,建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可.求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值

26、的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值.1 1.12015高考山东，理 21】设函数/(x)=l n(x +l)+a(Y 一 x),其中 a e R.(1)讨论函数/(x)极值点的个数，并说明理由；(I I)若V x0 J(x)20成立，求。的取值范围.【答案】(I)：当“,时，函数/(x)在(-1,+8)上有两个极值点；(I D a的取值范围是 0,1.【解析】函数 f(x)=l n(x+l)+a(x:-.v 的定义域为(-L +工)r，1 ,、lax1+ax+l-af(x)=-+2ax-a=-x+1 x+1令g(x)=2a x +a r+l-a,x e

27、 (-l:+x)(1)当 a =0 时，g(x)=l 0 ,f(x)0 在(T+x j 上恒成立所以，函数f(x)在(-L+0上单调递增无极值；(2)当a0 时，=/8 a(l-a)=a(9 a-8)Q当 0 a W 时，A 0,函数/(x)在(一1,+8)上单调递增无极值；Q 当 一 时，()9设方程2a x 2 +x +l-a =0的两根为xl,x2(xI x2),因为 +x2=所以，X,-1 4 -4由 g(_ l)=l o 可得：_%0，r(x)0 ,函数“X)单调递增;当x e(X ,X 2)时，g(x)0，r(x)0 J (x)0 ,函数/(x)单调递增；因此函数/(x)有两个极值

28、点.(3)当a 0由 g(1)=10可得：X j 0,尸(x)0 ,函数/(x)单调递增；当晟 X 2，+8)时，g(X)0,/(X)0 ,函数/(X)单调递减;因此函数/(X)有一个极值点.综上：当a0时，函数?时，函数”X)在(一1,+8)上有两个极值点；9(I I)由(I)知，Q(1)当OKaw1时，函数/(x)在(0,+o o)上单调递增，因为/(0)=0所以，x e(0,+o o)时，/(x)0 ,符合题意；Q(2)当 0 ,符合题意；(3)当。1时，由g(0)0 ,可得马0所以x e(O,X 2)时，函数/(x)单调递减；又 0)=0所以，当工6(0,)时，/(x)0不符合题意；(

29、4)当a 0 x+1 x+l所 以 酬 切 在 电+工)上 单 调 递 噌，因此当x w(Q+：c)时，Z?(0)=0即：l n(x+l)v x可得：/(X)1 时.,ctx+(1-a)x 0a此时，/(x)0,不合题意.综上所述，a的取值范围是 0,1【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用，着重考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方法，意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力，其中最后一问所构造的函数体现了学生对不同函数增长模型的深刻理解.1 2.12015高考安徽，理 21】设函数/(x)=X2-ax-b.T

30、 T T T(I )讨论函数/(s inx)在(-万,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(I I )记 人 =/一 曲+瓦，求函数1 7(5 1 1 1 x)-7 0(5 1 1 1 x)1在|-半 自 上 的 最 大 值D;2(I I I)在(H)中，取&=d=0,求z=?满足DS 1时的最大值.2【答案】(I )极小值为(I I)D=a-a0 +b-b0,(I I I)1.【解析】(I )/(s inx)=s in2x-6 t s inx+/?=s inx(sinx-a)+b,./(s inx)*=(2 s inx-t z)c os x,-y x .j r yr因 为-万 5，

31、所以c os x0,-2 2 s inx 2.当a 4-2,6 e R时，函数/(s inx)单调递增，无极值.当a w R时，函数/(s in x)单调递减，无极值.当一2a2,在 J,)内存在唯一的毛,使得2 s inx=a.TTTT一万时，函数/(s inx)单调递减；/无 5时，函数/(s inx)单调递增.2因此，-2 a R忖,函 数/回1 1*)在工0处有极小值/缶由0)=/(1)=6-亍.(I I)-%-时，2 2|/(s inx)-70(s inA：)|=|(旬-a)s inx+b%a-a0 +h-h0,7T当他。一0(%8)2 0时，取x=，等号成立，当R a)(%。)0时

32、，取X=等号成立，由此可知，函数|/(s in x)-4(s in x)|在 g f上的最大值为D a-an +b-b().2(I I I)D 1,B P|a|+1&|1,l J t W0 a2 l,-l Z?l,从而 z=b-2 4 1.取a =O,Z?=l,则|a|+|b区 1,并且z =b-幺=1.4由此可知，z =b-二 满 足条件D V 1的最大值为1.4【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题

33、转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用.13.12015高考天津，理 20(本小题满分14分)已知函数/(x)=n x-x ,x e R,其中ne N*,nZ 2.(I)讨论f(x)的单调性；(H)设曲线y=/(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证：对于任意的正实数x，都有/(x)4 g(x)；(皿)若关于x的方程/(x)=a(a为实数)有两个正实根孙x2,求证：|x,叫|一+21-n【答案】(I)当为奇数时，/0)在(-8,-1),(1,+8)上单调递减,在(-1

34、,1)内单调递增；当为偶数时，/(X)在(-8,-1)上单调递增，/(X)在(1,+8)上单调递减.(II)见解析；(川)见解析.【解析】由/(x)=n x-x*，可得，其中“jV*且，7之2,下面分两种情况讨论：(1)当为奇数时:令/=0,解得x =l或x=-1,当x变化时，/V)=/(-0,即x l时，函数/(x)单调递增；当/(x)l时,函 数(x)单调递减.所以，/(X)在(-00,-1)上单调递增，/(X)在(1,+00)上单调递减.1(II)证明：设点P的坐标为(/,0),则与=*,/(%)=2,曲线y=/(x)在点P处的切线方程为 y=r(x(,)(x X o),即 g(x)=/

35、(Xo)(x-X o),令 b(x)=/(x)-g(x),即/(无)=f(x)/(X。乂X-X。)，则尸(X)=:(X)-/V o)由于尸(x)=fx T+”在(0,+8)上单调递减，故?(X)在(0,+8)上单调递减，又因为F(xn)=0,所以当 xe(O,x()时，Fr(x0)0,当6(%,+0)时，F x0)0,所以(x)在(0,x0)内单调递增，在(4,+oo)内单调递减，所以对任意的正实数x都有F(x)F(x0)=0,即对任意的正实数x,都有/(x)K g(x).(Ill)证明：不 妨 设 事/2，由(II)知g(x)=(-2)(x-X o),设方程g(x)=a的根为，可得2 =-2

36、干+%.，当之2时，g(x)在(-00,+8)上单调递减，又由(II)知n-ng*2)z/(x2)=a=g(),可得了2 x2 类似的，设曲线y=/(x)在原点处的切线方程为y=(x),可得力(x)=x,当x e(0,+oo),f(x)-h(x)=-xn 0,即对任意i (0,+oo),f(x)h(x).设方程/?(x)=a的根为x：,可 得 因 为/*)=心 在(一8,+00)上单调递增，且nh(xr)-a-/(%)/?(%),因此x；X.由此可得 x2-x -X；=+%0 1-ni因为 2 2,所以 2i=(l+l)z Nl+C：_|=1+-1=，故 2 2 百=%,所 以 卜-)|-j-

37、+2.【考点定位】L导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.【名师点睛】本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函数证明不等式,第(I)小题求导后分为奇偶数讨论函数的单调性，体现了数学分类讨论的重要思想；第(1 1)(1 1 1)中都利用了构造函数证明不等式这一重要思想方法，体现数学中的构造法在解题中的重要作用，是拨高题.14.12015高考重庆，理 20】设 函 数/(,广尸厂,叫 若X)在x =0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线)，=/(x)在点处的切线方程；(2)若“X)在 3,母)上为减函数，求a的取值范围。9【答案】(1)a=0,切线方程为3

38、x-e y=0；(2)-/,+00).i6x+ae (3 x*+axe 3 x*+i 6a x+a【解析】对/(x)求 导 得 x)=-：二-=匚因为/(x)在x=0处取得极值，所 以/(0)=0,即a =0.当a =0时，/(乂)=竺(幻=士 二 故/(1)=3/(1)=1从而f(x)在点。，f(D)处的切线方程Q e Q Q为 _ 巳=3(x 1):代简得 3 x-e y=0Q Q,/曰 z,、JX2 6-ax-a由得，八 力=-:令g(:=-3工，(6-axa,八 金”曰 6-a -+3 6 6 a十 +3 6由 g(=0,解得为=-X：=-.6 6当v3时,g(x)v o,故 为 减

39、函 数;当 再 工 0,故/(X)为增函数;当%X 2时，g(x)0.(1)设g(x)是/(x)的导函数，评论g(x)的单调性；(2)证明：存在a e(0,l),使得/(X)2 0在区间(1,+o o)内恒成立，且/(x)=0在(1,+o o)内有唯一解.1 1 一 4 a i +4 a【答案】(1)当0aW时，g(x)在区间(0,3 ),(；,+8)上单调递增,在区间(；)上 单 调 递 减;当 时，g(x)在区间(0,+o。)上单调递增.(2)详见解析.【解析】(1)由已知，函数/(x)的定义域为(0,+8),g(x)=/(x)=2 x -2 a -2 I n x -2(1 +),x所以

40、g，(x)=2 2 +4=X X+2(：)x21 1 -J 1-4-1 +J l-4 a当0 0,(e)=-半 W)-.l+e l+e故存在/e(l,e),使得8(%)=0.令%1 1 X,u(x)=x -l-l n x(x 1),.由/(x)=1 -工2 0知，函数”(x)在区间(l,+o o)上单调递增.X所以。=罂 霭=&/(毛)=0；当X W (如+工)时，有 八 毛)0,从而/(x A/X x J H;所以，当x w(L+x)时，/(x)o.综上所述，存在a w(Q l),使得/(x)20在区间(1,r e)内恒成立，且/(x)=0在(1,-x)内有唯一解.【考点定位】本题考查导数的

41、运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以F.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第(1)题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得

42、的.解决函数题需要的个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想.在本题中，结合待证结论，可以想象出了(X)的大致图象，要使得了(X)2 0在区间(1,+8)内恒成立，且/(x)=0在(1,+8)内有唯一解，则这个解X。应为极小值点，且极小值为0,当X G(l,X o)时，/(X)的图象递减；当X G(X 0,+8)时，/(X)的图象单调递增，顺着这个思想,便可找到解决方法.16.12015高考湖北，理 22】已知数列。“的各项均为正数，h=n(+-)an(n e N J,e为自然对数的底数.n(I )求函数x)=l +x-e 的单调区间，并比较(1 +与 与e的大小；n(H)计 算 与，皿,处

43、 ,由此推测计算结 也 的公式,并给出证明；ax aa2 axa2a3 卬电(I I I)令%=(4%a,j，数列 ,，仁 的前项和分别记为S,7；,证明：TneS.【答案】(I)/*)的单调递增区间为(-8,0),单调递减区间为(0,o).(l+3o,即xo时，y(x)单调递增；当/(x)0时，/(X)单调递减.故/(%)的单调递增区间为(-o o,0),单调递减区间为(0,+o o).当x 0 时，/(x)/(0)=0 ,u p 1 +x ex.令x =1,得l 即(i +_L).的2 4当”=A +1时，唠=伏+1)(1 +上 严 ，由归纳假设可得他二 也加L=结?二%.媪=(k+D*(

44、k+1)(1 +一)1=(k+2)z.见见+1%+1 k+1所以当”=k+1时，也成立.根 据(1)(2),可知对一切正整数都成立.(I I I)由的定义，算术-几何平均不等式，2的定义及得T =c,+。2 +c、3 +c“=(4)|+aa2)2+(ala2a3)3+(%2 4,)他)；,(他 金(仇她)；,(他 J-H-+-r +-23 4 +1b,b,+h1 4 +a +&+,+b _!_!_ L+_!_|_|-_!_ 1 _L1 x 2 2 x 3 3 x 4 n(n+1)=b,.r-1-1-1-1 4-1-1 .+h,-r-1-1-1 -+H-1-1 .+“,-1-1 x 2 2 x

45、3 n(+l)2 x 3 3 x 4 n(n +1)n(n+1)=4(1-)+2(T-)+-+(-n+1 2 n+n n +1+-=(1 +3%+(1 +!)2%H-H (1 +)1 2 n 1 2 n e%+ea2 H-F ean=eSn.即，0),讨论h(x)零点的个数.3 3 5 3 5【答案】(I)a=；(I I)当a 或a 时，h(x)由一个零点；当a=或。=4 4 4 4 45 3时，6(x)有两个零点；当-一 a 0),则f(w)=0,f )=0,即1一-4，解得卜月-a 01 3x-=.&=2 4因此，当a=:时，x轴是曲线j =(x)的切线.5分(II)当XW(L+H)时，g

46、(x)=-In x 0 从而(x)=mi ng(:t)Wv 0,二.应 力 在(1,+8)无零点.当x=l 时，若。之一亍 则/(1)=a+j 20,b(1)=013/(1)名(1)=客(1)=0,故 =1是()的零点；若a 3,则/(l)=a+3 0,/j(l)=m in/(l),g(l)=/,(l)0,l%x=l 不是(x)的零4 4点.当xw(0,l)时，g(x)=-ln x0,所以只需考虑/(x)在(0,1)的零点个数.(i)若aW 3或。2 0,则/(幻=3/+。在(0,1)无零点，故/(x)在(0,1)单调，而/(0)=L,f(i)=a+3,所以当。43时，/(x)在(0,1)有一

47、个零点；当“20 时，/(%)4 4在(0,1)无零点.(ii)若一3。0,即-V a 0,f(x)在(0,1)无零点.V 3 4若即。=一:，则/(x)在(0,1)有唯一零点；I N 2若/(、一3)0,即一3 “-一，由于/(0)=，/(l)=a +，所以当一一。一一时，V 3 4 4 4 4 4“X)在(0,1)有两个零点；当 3 或a时，/?(x)由一个零点；当=或“=时，/?(x)有两个零4 4 4 45 3点；当一一。0,/（外 在（0,1）上为增函数，则 网 幻 F（0）=0,问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数4作讨论，首先A e 0,2符合题

48、意，其次当4 2时，不满足题意舍去，得出人的最大值为1+r 9试题解析：(I)Ax)=In,x e(-1,1),f W=上，r(0)=2,AO)=0,曲线1 jr 1 JT*j=在点10,fiO,il处的切线方程为2x-y=0；(II)当.xw|0,1 1 时，/1 x2 x-,即不等式/(由一 2(x+)0,对寸x w (0,1)成立,3/3设产(x)=In 1 +2(*+)=ln(l+x)InO.-x)2(J?+贝 .1 -x 3 3 1 -/当0,1时，尸Q)0,故产(x)在(0,1)上为增函数,则尸(x)#(0)=0,因此对Yx e(0,1),v3F(x)2(x+一)成立;3(III)

49、使/(x)A；x+成立，xe(0,1),等价于+XF(x)=In-Hx+丁)0,xe(0,1)；9尸,(*)=3-Hl+/)kx 2-k1 -当4 e 0,2时，F（x）0,函 数 在（0,1）上位增函数，Fix）F（0）=0,符合题意;k-2当 k 2时:令尸(x)=0,x 0 4 =e (0,1),X(0,匹)xo(4,1)F x)-0+F(x)极小值H x)尸(0)，显然不成立，综上所述可知：大的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.【名师点睛】本题考查导数的儿何意义和利用导数研究函数性质问题，本题第一步为基础，第二、三步属于中

50、等略偏难问题，首先利用导数的儿何意义求出切线斜率和切点坐标，写出切线方程，其次用作差法构造函数，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，最后一步对参数4进行分类讨论研究.19.12015高考广东，理 19】设al,函数/(x)=(l +f)e a.(1)求/(x)的单调区间；(2)证明：/(X)在(-0 0,+8)上仅有一个零点；若 曲 线 y=f(x)在点P处的切线与X 轴平行，且 在 点 处 的 切 线 与 直 线OP平行(o是坐标原点)，证明：w,一 2-i.【答案】(1)(-8,+8)；(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)依题/(犬)=(1 +*2)叱+(1 +尤 2)(/)=(1