高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析.pdf
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1、高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对,对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素,成为学生挥之不去的痛,如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的6 6个易错、易混、易忘典型题目,这些问题也是高考中的热点和重点,做到力避偏、怪、难,进行精彩剖析并配以近儿年的高考试题作为相应练习,一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在,另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱,以达到授人以渔的目的,助你在高考中乘风破浪,实现自已的理想报负。【易错 点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例1、设
2、4=k 1炉8x+15=0b8=xlax _ 1 =0,若 神 =5,求实数a组成的集合的子集有多少个?【易错点分析】此题由条件4口6=6易知B q A,由于空集是任何非空集合的子集,但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。解析:集合A化简得A=3,5,由A n8=8知8工力故(I)当8 时 一,即方程欧-1 =0无解,此 时a=o符合已知条件(H)当6 7。时 一,即方程公-1 =0的解为3或5,代入得”,或 综 上 满 足 条 件 的a组成的3 5集合为尼4,故其子集共有2=8个。【知识点归类点拔】(1)在应用条件AUB=B=AGB=A=A Bi|时,要树立起分
3、类讨论的数学思想,将集合A是空集中的情况优先进|行讨论.:(2)在解答集合问题时一,要注意集合的性质“确定性、无序性、互J 异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结:果是满足集合中元素的这个性质,此外,解题过程中要注意集合语言|(数学语言)和自然语言之间的转化如:A =(x,y)l x 2 +y2=4,|8 =(x,y)l(x-3)2+(y-4)2 =产,其中厂(),若 AfU求 r 的取值范围。|将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是:集合A表示以原j 点为圆心以2的半径的圆,集合B表 示 以(3,4)为圆心,以 r为半|径的圆,当两圆无公共点即两圆相离或内含时;求
4、半径r的取值范围。J 思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也:要注意集合语言的应用。【练 1 已知集合 A =x I x?+4 x =0、S=I x*2+2(a +l)x +a2 1 =O|?【易错点2 求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。2例 2、已知(X +2)?+Y =l,求V+y 2 的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关2于 X的函数最值求解,但极易忽略X、y 满足(X+2)2+?=I这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。若B A,则实数a的取值范围是。答案:a =1 或。-1。2 2解析:由于(x +2
5、 y+q=i得(x+2)2=l-二 W l,.-3 W x W T 从而x2+y2=-3 x-1 6 x-1 2=+-因此当x=-l 时x?+y2 有最小值1,当x=X 时,x?+y2 有最大值军。3 3 3故 x?+y2 的取值范围是 1,g;【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件(x +2+匕=1 对 x、y 的限制,显然方程表示以(-2,0)为中心的椭:v 7 4:圆,则易知-3 W x W T,-2 y 2o此外本题还可通过三角换元转化j 为三角最值求解。2 2【练 2】(0 5 高考重庆卷)若动点(x,y)在曲线?+%=1。0)上变化,则L+2 y的最大值为()仇
6、 2(.2+4(0 /?4)、+4(0 i)4答案:Aj【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的|定义域。例3、力=七 二 是 R 上的奇函数,(1)求 a的 值(2)求的反函数广【易错点分析】求解已知函数的反函数时,易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析:(1)利用/(x)+/(-x)=O (或/=0)求得a=L(2)由 a =l 即=设 y=/(x),贝 Ij 2(y)=l +y 由于 yw l 故2 =户,x =l o g 2 而/(X)=|T=1-Y(-1,1)所以1 y z 十1/十il+.r/(x)=l o g j1 (-1 X 1)1知识点归类点拔
7、】(1)在求解函数的反函数时,一定要通过确定原iI函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明(若反函数的:定义域为R可省略)。|(2)应用广9)=。=/可省略求反函数的步骤,直接利用原函j数求解但应注意其自变量和函数值要互换。【练3】(2 004全国理)函数X)=H T +1(XN1)的反函数是()A、y =x2-2 x +2(x 1)C、y =x2-2 x(x y =x2-2 x(x 1)答案:B【易错点4】求反函数与反函数值错位例4、已知函数x)=E,函数y=g(x)的图像与=广 -1)的图象关于直线y=x对称,则y=g(x)的解析式为()A、g(x)=B、g(x)=1 C、g(x)
8、=D、g(x)=【易错点分析】解答本题时易由y=g(x)与y=尸(x-l)互为反函数,而认为y=广,(x-1)的反函数是y=/(x-1)则y=g(x)=/(x-l)=1 而错选 Aol +(x-l)X解析:由“x)=t 2得/(x)=p从而1 +x 2+x=尸(1)=亨整#再求 1)的反函数得8(上了2 +(-1)1 +x 1 +x正确答案:B;【知识点分类点拔】函数y=/T(i)与函数y=x 1)并不互为反函:数,他只是表示/-(X)中x用xT替代后的反函数值。这是因为由求;反函数的过程来看:设y=/(x-l)则尸(y)=x-1,:了 =尸3 +1再将X、y互换即得y=/(x-1)的反函数为
9、y=尸(x)+l,:故 =/(x-l)的反函数不是y=f (x-1),因此在今后求解此题问题时!一定要谨慎。【练4】(2 004高考福建卷)已知函数y=l o g 2 X的反函数是y=(x),则函数y=(x)的图象是()【易错点5 判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条闲莞|义域关于原点对称。例5、判断函数/(幻=旦曰的奇偶性。x-2-2【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域,而按如下步骤求解:/(-X)=吗?W /(X)从而得出函数/(X)为非奇非偶函数的错误结尤 +2 2论。1 /A解析:由函数的解析式知X满 足:一二即函数的定义域为小-2卜2(7,O)U(O,1)定义域关于原点对
10、称,在定义域下同=业之易证 X T)=_/(X)即函数为奇函数。I【知识点归类点拔】(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶iI性的必要但不充分条件,因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函1数的定义域。I(2)函数“X)具有奇偶性,则x)=/(-x)或x)=-/(-X)是对定义I域内X的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。【练5】判断下列函数的奇偶性:京7+门2小)=(1)后4)=署 詈 黑答案:既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例6、函数/(x)=log2罚卜 g)的反函数为尸(X),证明广(
11、X)是奇函数且在其定义域上是增函数。【思维分析】可求/T(x)的表达式,再证明。若注意到/T(x)与“X)具有相同的单调性和奇偶性,只需研究原函数“X)的单调性和奇偶性即可;-2x 2x+2x-解析:/(-X)=log2=log2=-log2=-/(x),故/(x)为奇函数从而尸(x)为奇函数。又令f=l-5T在1 8,-和(巾)上均为增函数且y=10 g;为增函数,故“X)在1 8,-|和(;,+8)上分别为增函数。故尸(X)分别在(0,+8)和(-0 0,0)上分别为增函数。1知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论:(1)定义域上ii的单调函数必有反函数。(2)奇函数的反函数也是奇函
12、数且原函数和i反函数具有相同的单调性。(3)定义域为非单元素的偶函数不存在反:函数。(4)周期函数不存在反函数(5)原函数的定义域和值域和反,函数的定义域和值域到换。即 尸=a o f(a)=b.【练6】(1)(9 9全国高考题)已知/(x)=q二,则如下结论正确的 是()A、/(x)是奇函数且为增函数 B、/(x)是奇函数且为减函数C、x)是偶函数且为增函数 D、“X)是偶函数且为减函数答案:A(2)(20 0 5天津卷)设尸(x)是函数”x)=g(a,-aT)(1)的反函数,则2 2 使广(X)1成立的X的取值范围为()A、,+8)B、(-8,今一)C、(-,a)D、(a,+co)2a答
13、案:A(a I时,/(x)单 调 增 函 数,所 以【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发,注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。例7、试判断函数x)=ax+2(a0力0)的单调性并给出证明。X【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义X G D,x2 e D/(x,)/(x2)(/(x,)x2 0 ,不)-)=(%-)丝&心 由于玉-0故当不Jg+oo时XX2(V。/(x,)-/(x2)0,此时函数“X)在(R+oo)上增函数,同理可证函数“X)在卜,器)上为减函数。又由于函数为奇函数,故函数在卜后,0)为减函数,在 卜,书 为 增 函 数。
14、综上所述:函数“X)在卜8,-g|和(R+T上分别为增函数,在(。,用和心。上分别为减函数.【知识归类点拔】(1)函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中,应引起足够重视。(2)单 调 性 的 定 义 等 价 于 如 下 形 式:“X)在 a,句上是增函数o心 匕90,“X)在小句上是减函数o以 上90/0)是一种重要的函数模型,要引起重视并注:I意应用。但注意本题中不能说“X)在1-8,-哙)u(行+8)上为增函|数,在(0,用,-和)上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在|I多个单调区间之间添加符号“U ”和“或”,I【练7(1)(潍坊市统考题)力=+上三(。
15、0)(1)用单调性ax的定义判断函数“X)在(0,+8)上的单调性。(2)设“X)在0 xWl的最小值为g(a),求y=g(a)的解析式。答 案:(1)函数在(5+oo)为增函数在(0,J为减函数。(2)y=g()=j a(0 a o+巴为R H l勺偶函数。(1)求a的 值(2)试判断函数在(0,+oo)上的单调性并给出证明。答案:(1)a=l (2)函数在(0,+oo)上为增函数(证明略);【易错点8 在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必;要条件误作充要条件使用,导致错误结论。例8、(20 0 4全国高考卷)已知函数x)=ax3+3x2_x+l上是减函数,求a的取值范围。【易错
16、点分析】:(工)0卜(7/)是“X)在(a内单调递减的充分不必要条件,在解题过程中易误作是充要条件,如 x)=f 3在R上递减,但r(x)=-32 0。解析:求函数的导数:(x)=3 a/+6 x l (1)当/(x)0时 一,“X)是减函数,贝U /(x)=3 a x?+6 x l 0(x e R)故 ;:解得。-3时 一,在R上存在一个区间在其上有_f(x)0,所以当a -3时,函数/(x)不是减函数,综上,所求a的取值范围是(-8,-3。【知识归类点拔】若函数/(x)可导,其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明:/(x)0与/(x)为增函数的关系:1(x)0能推出“X)为增函数,
17、但反之不一定。如函数/()=/在(-8,+8)上单调递增,但八x)N O ,/(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件。尸(X)*0时,f(x)0与f(x)为增函数的关系:若将f(x)=0的根作为分界点,因 为 规 定 即 抠 去 了 分 界 点,此时/(X)为增函数,就一定有尸(x)0 .,.当_T(x)w O时,_f(x)0 Q/(x)为增函数的充分必要条件。(x)N 0与 X)为增函数的关系:x)为增函数,一定可以推出广20,但反之不一定,闪为:(x)N 0,即为:(x)0或/(x)=0当函数在某个区间内恒有f(x)=0,则/(x)为常数,函数不具有单调性。.F(X)NO是/(X)为增
18、函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。因此本题在第一步后再对 =-3利”-3进行了讨论,确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多,这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。【练8】(1)(2 0 0 3新课程)函数y u V+A x +c (x e(0,+o o)是是单调函数的充要条件是OA、b
19、0 B、b0 D、b 0 ,b 0 ,a+b=l,求(a+,)2+(b+1)2的最小值。a b错 解:(a+-)2+(b+-)2=a2+b2+二+4 2 2 a b+4 4 Jab +4=8a b a b ab v ah.(a+1)2+(b+D 2的最小值是 8a h【易错点分析】上面的解答中,两次用到了基本不等式a 2+b2 2 2 a b,第一次等号成立的条件是a=b=1,第二次等号成立的条件2a b=-L,显然,这两个条件是不能同时成立的。因此,8不是最ab小值。解析:原式:a2+b2+4+Jr+4=(a2+b2)+(+J-)+4=(a+b)2-2 a b +a2 b2 a2 b2(-+
20、-)2-+4 =(l-2 a b)(l+4 v)+4 *a b ()=1 得:a b ab a2b2 2 41-2 a b2 l-工=,且 上 2 16,1+221 7;.原式2工乂17+4=竺2 2 a2 b2 a2 b 2 2(当且仅当a=b=时,等号成立)+工产+8+工尸的最小值是2 a b2 5-o2【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时,要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”,在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。j【练 9】(9 7 全国卷文2 2 理 2 2)甲、乙两地相距s k m ,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得
21、超过c k m/h ,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(k m/h)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a 元。(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (k m/h)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?答案为:y =*+a)(0 c时,行驶速度丫气。【易错点1 0】在涉及指对型函数的单调性有关问题时,没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。例1 0、是否存在实数2使函数/(刈=地/-,在2,4 上是增函数?若存在求出a的值,若不存在,说明理由。【易错点分析】本题主要考查
22、对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法,在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。解析:函 数 是 由。(x)=a/-x和y=l o g产)复合而成的,根据复合函 数 的 单 调 性 的 判 断 方 法 当a数 时,若 使/3=1呜。在2,4 上是 增 函 数,则“。)=以2-在 2,4 上 是 增 函 数 且 大 于 零。故有 l。(2)当21时若使/(力=陛严-在2,4 上是。=42 0 4增函数,则0卜卜一一了在已可上是减函数且大于零/2。一 0(4)=1 6 a-4 0不等式组无解。综上所述存在实数2 1使得函数*)=地尸-,在2,4 上是增函数i【知识
23、归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如:一次函数的;:单调性取决于一次项系数的符号,二次函数的单调性决定于二次项系|:数的符号及对称轴的位置,指数函数、对数函数的单调性决定于其底|;数 的 范 围(大 于1还 是 小 于1),特别在解决涉及指、对复合函数的:|单调性问题时要树立分类讨论的数学思想(对数型函数还要注意定义!j域的限制)。|【练1 0 (1)(黄岗三月分统考变式题)设a0,且a w l试求函数y=l o g 0 4 +3 x-f的的单调区间。答案:当0。1,函数在J l,m上单调递减在艮4 上单调递增当空10,1)在区间(-;,0)内单调递增,贝底的取值范围是()A.1,1)B
24、、1)4 4C、(*+8)D、(1,1)答案:B.(记g(x)=/一 吐 工,则g x)=3 一&当 1时,要使得“X)是增函数,则需有g x)0恒成立,所以“3信)=|,矛盾.排除C、D当0 ”1时,要使“X)是函数,则需有g 1 X)31=;.排除A)【易错点1 1】用换元法解题时,易忽略换元前后的等价性.例1 1、已知sinx +siny =求siny-cosz%的最大值【易错点分析】此题学生都能通过条件$由成=;将问题转化为关于sinx的函数,进而利用换元的思想令仁sinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解,解 析:由已知条件有si”=;-si
25、nx且siny =;-sinx e-l,l(结合2sinx e -1,1 )得 sinx 1 ,而 2 ,2 、-sin y -cos2 x-sinx -cos2 x =sin2 x-sinx 令/=sinx r 0,0 0 0 求 f(x)=2 a(sinx+cosx)sinx cosx 2 a 2 的最大值和最小值。答 案:f(x)的 最 小 值 为 一 2 a 2 -2&a -g,最大值为1 V2-(0 6!2 2不等式Qax+件 解集是(4,b),_,b =_o一 元 二36-1-8-翦答(提示令换元=,原不等式变为关于t 的次不等式的解集为(2,旬)【易错点1 2】已知S“求a,时
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