2023年中考数学压轴题培优教案01共顶点模型(含答案解析).pdf
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1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题1共顶点模型解题策略模型1:等腰三角形共顶点已知在等腰ACB 与等腰DCE 中,CA=CB,CD=CE,且NACB=/D CE.如 图,连 接BQ,A E,交 于 点F,则:(l)ABCDAACE;(2)AE=BD;(3)ZAFB=ZACB;(4)FC 平分NBFE.模型2:等腰直角三角形共顶点已知在等腰 RtAACB 与等腰 RtZDCE 中,NAC3=NDCE=90.如 图1,连 接BD.AE,交 于 点F连 接FC.AD.3E.则:(DABCDAACE;(2)AE=BD;(3)AEBD;(4)FC 平分NBFE;(5)AB2+DE
2、2=AD2+BE2;BF=AF+C,EF=DF+72FC;模型3:等边三角形共顶点已知等边ABC与等边DCE,B,C,E三点共线.如 图,连 接BD.AE,交 于 点F,B D与A C交 于 点G,A E与DC交 于 点H.连 接CF.GH.则:(l)ABCDAA CE;(2)AE=BD;(3)ZAFB=ZDFE=6O;(4)尸。平 分/臼 法;(5)B F=A F+FC,EF=D F+FC;(6)ACGH为等边三角形.模型4:相似三角形共顶点AC已知在AC/3 和ECD 中,/=段,NACB=NECD.EC DC如图,连 接BD,AE,交于点F.则:(D(1)BCDs/MCE;(2)ZAFB
3、=ZACB.E经典例题【例 1】(2022全国九年级专题练习)如图,A A B C 为等边三角形,。为A C 边上一点,连接为B。的中点,连接AM.图3(1)如 图 1,若 4 8=2 百+2,工4 8。=4 5。,求4 4 M。的面积;(2)如图2,过点M作MN 1 与 AC交于点E,与B C的延长线交于点N,求证:A D=C N;(3)如图3,在(2)的条件下,将 A B M 沿 AM翻折得力 B M,连接8 W,当 8N取得最小值时,直接写出与子的MN值.【例 2】(2 02 2 江苏八年级专题练习)(1)问题发现:如 图 14 8和4 DC E均为等腰直角三角形,乙4 cB=乙 DC
4、E=9 0。,连接A D,BE,点4、。、E 在同一条直线上,则乙4 EB的度数为,线段A D、BE 之间的数量关系;(2)拓展探究:如图2 二 4(?湃 必 DC E均为等腰直角三角形=Z.DC E=9 0。,连接A D,BE,点4、D、E 不在一条直线上,请判断线段4。、BE之间的数量关系和位置关系,并说明理由.(3)解决问题:如图3,A 4 cB和 DC E均为等腰三角形/4 C B =乙 DC E=a,则直线A D 和B E 的夹角为.(请用含a 的式子表示)【例 3】.(2 02 2 江苏八年级课时练习)如图1,在 A BC 中,A E L B C 于 E,A E=B E Q 是 A
5、E 上的一点,且。E=C E,连接 BD,C D.(1)试判断B D 与AC的位置关系和数量关系,并说明理由;(2)如图2,若将OCE绕点E旋转一定的角度后,试判断B力与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由;(3)如图3,若 将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变.试 猜 想 与AC的数量关系,并说明理由;你能求出BD与4 c的夹角度数吗?如果能,请直接写出夹角度数;如果不能,请说明理由.【例4】(2021福建 闽江学院附中九年级期中)正方形ABCO和正方形AEFG的边长分别为3和1,将正方形A E F G绕点A逆时针旋转.(1)当旋转至图1位置时,连接8EQG,
6、则线段B E和D G的关系为(2)在 图1中,连 接 求 在 旋 转 过 程 中8。尸的面积最大值;(3)在旋转过程中,当点G E Q在同一直线上时,求线段B E的长._培_优_训_练_ _一、解答题1.(2022四川自贡九年级专题练习)问题:如 图1,在等边三角形ABC内,点P到顶点A、B、C的距离分别是3,4,5,求/A P B的度数?探究:由于南、PB、PC不在同一个三角形中,为了解决本题,我们可以将ABP绕点4逆时针旋转60。到4ACP处,连结P尸,这样就将三条线段转化到一个三角形中,从而利用全等的知识,求出N A P B的度数.请你写出解答过程:应用:请你利用上面的方法解答:如图2,
7、A48C中,NC4B=90F8=AC,E、尸为8 c上的点,且NE4F=45。,求证:B E2+FC2=EF2B圉1圉2.(2 02 2全国九年级专题练习)【探究发现】(1)如 图1,在四边形A BC D中,对角线A C 1BD,垂足是O,求证:AB2+CD2=AD2+BC2.【拓展迁移】(2)如图2.以三角形A BC的边4 8、A C为边向外作正方形4 BDE和正方形4 C FG,求证:C E 1BG.(3)如图3,在(2)小题条件不变的情况下,连接G E,若“G Z =9 0。,G E=6,4 G =8,则BC的长.(直接填写答案)3.(2 02 2全国八年级课时练习)两个顶角相等的等腰三
8、角形,如果具有公共的顶角顶点,并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形,我们把这样的图形称为“手拉手”图 形.如 图1,在“手拉手 图形中4 B=A C 4 =A E,/B A C=N Z M E,连结 B D C E,则AAB。丝A C E.(1)请证明图1的结论成立;(2)如图2,A A 8C和A A E O是等边三角形,连接B 2 E C交于点O,求N B O C的度数;(3)如图3工8=8(7,/4 8。=/瓦 可;=60。,试探究/4 与/(7 的数量关系.4.(2022.重庆开州.八年级期末)在正方形ABCO中,连接对角线AC,在 4 c 上截取4E=BC,连接BE,过
9、点A作4 尸1 BE于点尸,延长A F交B C于点M.如 图 1,连接ME并延长交A D的延长线于点。,若BC=5,求4 4QM的面积;(2)如图2,过点A 作4P 1 4M于点A,交CD的延长线于点尸,求证:AP-2 F M=BE.5.(2022福建省福州延安中学模拟预测)如图,在用 S C 中/力CB=90 C=BC,D为斜边AB上一动点(不与端点4 8 重 合),以 C 为旋转中心,将 C。逆时针旋转90。得到CE,连接尸为AE的中点.求证:BE LA B;(2)用等式表示线段CD8E,C/三者之间数量关系,并说明理由;(3)若 仃=|。=疗 求 13叱 8 的值.6.(2022浙江湖州
10、中考真题)已知在RfA48C中,N4CB=90。/力 分 别 表 示 的 对 边,a b.记 ABC的面积为S.图3 如 图 1,分别以AC,CB为边向形外作正方形ACDE和正方形B G F C.记正方形ACDE的面积为S1,正方形8GFC的面积为52.若S=9$2=16,求 S 的值;延长E 4交 GB的延长线于点N,连结FN,交 BC于点M 交 AB于点若 F H _L AB(如图2 所示),求证:S2 S1=2 S.(2)如图3,分别以AC,CB为边向形外作等边三角形AC。和等边三角形C8E,记等边三角形4C。的面积为S1,等边三角形CB的面积为S 2.以AB为边向上作等边三角形AB尸(
11、点 C 在aAB尸内),连结Ef b.若 EF_LCF,试探索S2-Si与 S 之间的等量关系,并说明理由.7.(2022 贵州遵义 三模)某校数学兴趣学习小组在一次活动中,对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究:A(1)发现问题:如 图1,在等腰AABC中,4B=4C,点M是边BC上任意一点,连接AM,以4M为腰作等腰AAMN,使AM=AN,/M4N=/8AC,连接C N.求证:ACN=AABM.(2)类比探究:如图2,在等腰 ABC中=30。,48=BC,AC=4,点M是边BC上任意一点,以4M为腰作等腰 AMN,使AM=M N/AM N=乙B.在点M运动过程中,4N是否存在最小值?若
12、存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.(3)拓展应用:如图3,在正方形4BCD中,点E是边BC上一点,以DE为边作正方形DEFG,H是正方形DEFG的中心,连接C H.若正方形DEFG的边长为6,CH=2近,求 CDH的面积.8.(2022重 庆一中七年级期中)如图,等腰三角形ABC和等腰三角形ADE,其中A8=AQW=AE.如 图1,若NBAC=90。,当C、D、E共线时,A D的延长线A fL B C交BC于点尸,则NACE=;(2)如图2,连接C、3E,延长E)交3 c于点F,若点尸是8 c的中点,NBAC=/D4E,证明:ADLCD-,(3)如图3,延长0 c到点M连 接 使 得 乙
13、48加+乙4皿=180。,延长ED、BM交于点N,连接AN,若NBAC=2NNA,请写出NADW、N D 4E它们之间的数量关系,并写出证明过程.9.(2022 重庆巴蜀中学一模)在等边A2BC中,点。在AB上,点E在BC上,将线段O E绕点。逆时针旋转60。得到线段OF,连 接CF.A图图(3)。(1)如 图(1),点。是 AB的中点,点 E与点C重合,连接4 F.若A B =6,求 AF的长;(2)如 图(2),点 G在 AC上且乙4G D =60。+4只78,求证:C 尸=C G;(3)如 图(3),48=6,8。=2。后,连接4 过点F作 AF的垂线交AC于点P,连接B P、D P.将
14、 B 0 P 沿着B P 翻折得到 B Q P,连接QC.当 A D P 的周长最小时,直接写出 C P Q 的面积.10.(2022 江苏八年级课时练习)A C8 和口:是共顶点C 的两个大小不一样的等边三角形.问题发现:如 图 1,若点A,D E 在同一直线上,连接A E.8 E.求证:A C。丝 8 CE;求/A E B 的度数.(2)类比探究:如图2,点 8、E在同一直线上,连接A J4 ,8 E,CM为 “中。E边上的高,请求/4 O B的度数及线段。氏A。,O W 之间的数量关系,并说明理由.(3)拓展延伸:如图3,若设A O (或其延长线)与8 E 的所夹锐角为a,则你认为a为多
15、少度,并证明.1 1 .(2 0 2 2 浙江诸暨市浣江初级中学一模)【问题探究】(1)如 图 1,锐角aABC 中,分别以A B、AC 为边向外作等腰直角 回 和等腰直角A CZ),使 A E=A 8,A O=A C,N B A E=/C4 =9 0 ,连接BD,C E,试猜想8。与 C E的大小关系,不需要证明.E图I【深入探究】(2)如图2,四边形A B C。中,4 8=5,8 C=2,N A B C=N A C =N A OC=4 5 ,求的值;甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和 4 B D全等的三角形,将进行转化再计算,请你准确的叙述辅助线的作法,再计算;E.工B C图2【
16、变式思考】(3)如图3,四边形A 3 C Q中,4 8=8 C,/A B C=6 0 4B-C图31 2.(2 0 2 2.河南周口.九年级期末)观察猜想工B,7 TS/c 5 C M B M图1 图2 图3(1)如 图1,在等边A A B C中,点M是边B C上任意一点(不含端点8、接CN,则N A B C与乙4 CN的数量关系是_ _ _ _ _ _.,/A O C=3 0 ,AD=6,BD=10,则 CDTcC),连接A M,以A M为边作等边4 MN,连类比探究如图2,在等边ABC中,点M是BC延长线上任意一点(不含端点C),(1)中其它条件不变,(1)中结论还成立吗?请说明理由.(3
17、)拓展延伸如图3,在等腰2BC中,B4=BC,点例是边8C上任意一点(不含端点B、C),连接AM,以 力M为边作等腰4MN,使顶角MN=N 4B C.连按C N.试探究乙1BC与乙4CN的数量关系,并说明理由.13.(2021 辽宁东港市第七中学一模)如图,在4BC、ADEV AB=AC,AD=A E,B A C =DAE=a.连接BD,以BC、BD为邻边作团BDFC,连接EF.若a=60。,当4D、AE分别与AB、AC重 合 时(图1),易得EF=C F.当 ADE绕点4顺时针旋转到(图2)位置时,请直接写出线段EF、CF的数量关系;(2)若a=90。,当力DE绕点4顺时针旋转到(图3)位置
18、时,试判断线段EF、C尸的数量关系,并证明你的结论;(3)若a为任意角度,4B=6,BC=4,40=3,4DE绕点4顺时针旋转一周(图4),当4、E、F三点共线时,请直接写出4尸的长度.14.(2022江苏苏州高新区实验初级中学三模)【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形,连接这两个角的顶点的线段称为对余线.【理解运用】如 图1,对余四边形中,A8=5,BC=6,CO=4,连接AC,若AC=AB,则cos乙48C=,sinZC AD=_图1(2)如图2,凸四边形中4。=8力 4,8。,当2 0+c=C 42时,判断四边形A B C。是否为对余四边形,证明你的结论.图2【拓展提升】(
19、3)在平面直角坐标中4 (-1,0),B(3,0),C(1,2),四边形A B C。是对余四边形,点 E 在对余线8。上,且位于AM C 内部,/A E C =90。+ZA B C.设 祭=,点。的纵坐标为f,请在下方横线上直接写出与f 的函数表达,并注明 的取值范围_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .15.(2022陕西咸阳八年级期末)A B C 和 A D E如图所示,其中/A B C =/.AC B,/.ADE=AED,.BAC =DAE.图 图(1)如图,连接B E、C D,求证:BE=C D;(2)如图
20、,连接B E、C D、BD,若乙BAC =Z.DAE=6 0,C D 1 AE,AD=3,C D=5,求B D 的长.16.(2022 河北保定八年级期末)如图1/A C D =90。,4c =D C,M N 是过点4 的直线,过点。作D B 1 M N 于点仇连接C B;过点C作C E 1 C B,与M N交于点E.图I图2图3N.连接A D A D是AC的 倍;(2)直线MN在 图1所示位置时,可以得到线段8。和AE的 数 量 关 系 是,B C-B 4与8 c之间的数量关系是,请证明你的结论:(3)直线M N绕点、A旋转到图2的位置,若BO=2,BC=&,则4 3的长为(直接写结果);(
21、4)直线M N绕点、A旋转到图3的 位 置 时,直 接 写 出 线 段 之 间 的 数 量 关 系.17.(2021江苏苏州八年级期中)【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形.若其中有一个三角形是等腰直角三角形,则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”,把这个四边形叫做“等腰直角四边形”,当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形.若其中一个三角形是等腰直角三角形,另一个三角形是等腰三角形,则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”,把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”.E(1)【巩固新知】如图,若AD=34 =。8=。(7,8。=3或,则四边形48。(
22、填“是”或“否”)真等腰直角四边形.【深度理解】在图中,如果四边形A8CD是真等腰直角四边形,且N8Z)C=90。,对 角 线 是 这 个 四 边 形的真等腰直角线,当AD=4AB=3时,则边8 c的长是.如图,四边形ABCO与四边形ABCE都是等腰直角四边形,且/8。=90。,/4。=90。,8。4。4比对角线B。、A。分别是这两个四边形的等腰直角线.求证:AC=BE.(4)【拓展提高】在图3中,己知:四边形ABC。是等腰直角四边形,对角线BD是这个四边形的等腰直角线.若BO正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边,且AO=34B=4,/B 4 4 5。,求AC的长.18.(2022江苏八年级
23、课时练习)如图,在等腰4A B C与等腰中4B=ACAD=AE,NBAC=/D4E=a,连接B D和C E相交于点P,交AC于点M交A D于点N.求 证:BD=CE.(2)求证:A P 平分NBPE.若a=6 0。,试探寻线段P E、A P、之间的数量关系,并说明理由.19.(2022全国八年级课时练习)在A A B C中/B =90。,。为8 C延长线上一点,点E为线段4C,C C的垂直平分线的交点,连接EA,EC,ED.图1图2图3(1)如图 1,当484c =5 0。时,则U E D=;(2)当Z _ B 4C =6 0。时,如图2,连接A。,判断 A ED的形状,并证明;如图3,直线C
24、 F与E D交于点F,满足Z C F D =4 E.尸为直线C F上一动点.当P E-P D的值最大时,用等式表示尸 尸。与 之 间 的 数 量 关 系 为,并证明.20.(2021 安徽合肥八年级阶段练习)如图,在AABC和AAOE中,48=A C 1)=A E,NB A C=ND 4E,连接BD,CE,BD与C E交于点O,BD与A C交于点F.(1)求证:BD=CE.(2)若NB A C=48。,求N C O。的度数.(3)若 G为 C E上一点,G E=O 2A G=O C,且 A G B Z),求证:BDAC.BAC21.(2021福建省福州延安中学九年级期中)如图,AABC为等边三
25、角形,点。为线段B C 上一点,将线段A O以点4 为旋转中心顺时针旋转6 0。得到线段A E,连接BE点D关于直线B E的对称点为F,BE与。尸交于点G,连接 DE,EF.(1)求证:30(2)若/EF )=45 o,A C=VI+l,求 8。的长;(3)如图2,在(2)条件下,以点。为顶点作等腰直角 O MN,其中。N=M N=e,连接F M,点。为 FM 的中点,当绕点。旋转时,求证:E O的最大值等于BC.O M22.(2021河南许昌九年级期中)如图,在等腰直角三角形A 8 C 和 4 O E 中4 C=A 8 K O=A E,连接皮),点M、N分别是8 ,B C 的中点,连接MN.
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