2015高考真题立体大题.pdf

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1、2005年各地区高考题一立体几何汇编【全国一】1.如图，四边形A B C D 为菱形，Z A B C=120 ,E,F是平面A B C D 同一侧的两点，B E J _平面 A B C D,D F J _平面 A B C D,B E=2D F,A E E C.（I ）证明：平面A E C _L 平面A F C；（ID求直线A E 与直线C F 所成角的余弦值.【答案】（I）见 解 析（I I）3试题解析：（I ）连接B D,设 B D C A C=G,连接E G,F G,E F,在菱形A B C D 中，不妨设G B=1,由 N A B C=120 ,可得 A G=G C=J L由 B E _

2、L 平面 A B C D,A B=B C 可 知,A E=E C,又.A E L E C,A E G=V3,E G A C,在 R t Z i E B G 中，可得 BE=8,故 D F=X-.2巫2在 R t a F D G 中，可得F G=在直角梯形B D F E 中，由 B D=2,B E=&，DF=E 可得E F=上 也，2 2EG1+FG2=E F-,A E G 1F G,V A C n F G=G,E G _L 平面 A F C,；E G u 面 A E C,二平面 A F C 1.平面 A E C.E（H）如图，以G为坐标原点，分别 以 而，比 的 方向为x轴，y轴正方向，回为单

3、位长度，建立空间直角坐标系G-xy z,由（I）可得A（0,一 百，0）,E （1,0,6）,F(-l,0,),C(0,V 3,0),A A E =(1,6,0.),C F =(-1,-7 3,).-102 2分M A EC F V3故 co s =：=-AE CF 3所以直线A E与C F所成的角的余弦值为也3【全国二】2.（本题满分12分）如图，长方体A B C O -A百GR中，AB=6,BC=0 ,A 4 1=8,点E,尸分别在C,D,尸=4.过点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（I ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）;（I I）求直线AF与平面a所成角

4、的正弦值.【答案】（I）详见解析；（I I）拽.15【解析】（I）交线围成的正方形E”GE如图:(H)作 垂足为 则 AM=4E=4,EM A A=8,因为 E HGF试卷第2页，总29页为 正 方 形，所 以 E H =E F =B C =10 .于 是 M H =4IH2 E M?=6 ,所以A H =1 0.以。为坐标原点，方 的 方 向 为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一盯z，则 A(10,0,0),7/(10,10,0),(10,4,8),尸(0,4,8),丽=(10,0,0),*.F E-0/7 E =(0,-6,8).设 3=(x,y,z)是 平 面 的 法 向 量

5、，则 _ 即n-H E =0,1 O x=0,一 -所 以 可 取 =(0,4,3).又=(-10,4,8),故 6 y +8 z=0,I-I n-AF 4 J 5 4 J 5co s =jL-p J i =*.所以直线AF与平面a所成角的正弦值为.11刚叫15 15【北京】3.（本 小 题14分）如图，在四棱锥A-E F C 5中，A E F为等边三角形，平面 AEF 1 平面 EFCB,EF/B C ,BC=4,EF=2a,N EBC=NFCB=60 ,。为 E F 的中点.（I ）求证：A O A.B E；（I I）求二面角F-A E-B的余弦值;(I l l)若B E _L平面40C,

6、求a的值.J 5 4【答案】(I )证明见解析；(I I)-；(I I I)a =-.5 3试题解析：(I )由于平面A E F _L平面E F C 8,/X A E尸为等边三角形，。为E F的中点，则4。1 E F ,根据面面垂直性质定理，所以4。，平面E F C B,又BE u平面E F C B,则 A O L B E.(H)取C B的中点D,连接0 D,以0为原点，分 别 以 破 OD、0 A为X、八z轴建立空间直角坐标系，4 0,0儡),E(a,0,0),8(2,2 0 一 囱a,0),拓=(a,0,-儡),砺=(2-a,2向-0 a,0),由于平面A E F与y轴垂直，则设平面A E

7、 F的法向量为q =(0,1,0),设平面4旗 的法向量&=(X，八 口 ,4 AE,ax-瓜a=0,x=M,出，E B,Q _ 4才 +(27 3-恁)y =0,y =-1,贝ij “2=(6,1,1)，二面 角 F-A E-B 的余 弦 值C 0 S4,4 二 三 7=,由二面角尸-A E -8为钝二面角，所以二4 n2 v 5 5面角F AE -B的余弦值为一-.5(I I I)由(I )知 4。L平面 E F C B,则 A 0 _L 8 E,若 B E J.平面 A O C,只需应1 1 OC,砺=(2 a,2A/3-6 a,0),又 无=(-2,27 3-M a,0),BE -OC

8、=-2(2-a)+(2 亚-儡 =0,解得 a =2 或 a =,由于 a 2,3则&=3【上海】4.(本 题 满 分12分)如 图，在长方体A B C D A|B|G D中，A A,=1 ,A B =A D =2,E、F分别是AB、BC的中点.证明A：CrF、E四点共面，并求直线C D,与平面A|G F E所成的角的大小.试卷第4页，总29页,V15a r cs i n-【答案】15【解析】解：如图，以。为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A(2，)、C,(0,2,1)E(2,l,0)F(l,2,0)C(0,2,0)D,(0,0,1)、因 为 跖=(2,2,0),医=(一1,1,0)

9、,所以A E F,因此直线A C i与EF共面，即 入、G、F、E共面.设平面4GE F的法向量为 =(，卬)，则为工E F,万，F C1，瓦=(-1,1,0)F C；=(-1,0,1)-w +v =0 AC 0试卷第6页，总29页y +2 z =0 二 八 ,不妨设z =l，可得出二（0,-2,1）2x=0H LI 七 一-k 2 V 1 0 T 日.一 一 3V 1 0因此有co s=-，于是sm 1,%=-,2 1 0 1 0所以二面角D.-A C-B,的正弦值为之 叵.111 0（I I I ）依 题 意，可 设 庭 =44瓦，其 中/U 0,1 ,则 凤 0,4 2）,从而7V =（

10、-1,A+2,1）,又5 =（0,0,1）为平面A B C。的一个法向量，由已知得 -N E-n 1 1 ,co s N E,n=_ _ I =/=,整理得力+4 2 3=0,N E -n J（i p+（丸+2）2 +/3又因为又e 0,1 ,解得；1 =近 一 2,所以线段4E 的长为J 7 2.【重庆】6.（本小题满分1 3分，（1）小问4要，（2）小问9分）TT如图，三棱锥P-A B C 中，。，平 面 人/二 二/人 二,/工 分 别 为 线 段A3,8c 上的点，且C D =DE=&C E=2E B=2.（1）证明：O E _ L 平面P C。（2）求二面角A-尸。一。的余弦值。【答

11、案】（1）证明见解析；（2）且.6试题解析：（1）证明：由P C_ L 平面ABC,D E u 平面A B C,故 P C_ L DE由CE=2,C D=D E=&得 C D E 为等腰直角三角形，故 CDJ _ DE山 P Cn CD=C,DE垂直于平面P CD内两条相交直线，故 DE_ L 平面P CDTT（2）解：由（1 ）知，A C D E 为等腰直角三角形，N D C E=,如（1 9 ）图，过点4,D 作 DF 垂直CE于 F,易知DF=F C=EF=1 ,又已知EB=1,故 F B=2 .jr rp FR 9 7 Q由 NA C B=?得 DF AC,故 AC=1DF=2.2,A

12、C BC 3 2 2以c 为坐标原点，分别以乱,修 ，而 的 方 程 为 X 轴，y 轴，Z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0,),P (0,0,3),A (-,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0),2E5=(1,-1,0),_ _ _ _ 1DP=(-l,-l,3)DA=(-,-l,0)设平面P A。的法向量 尸(X p yp z,),由m )2=(),/i i -DA=0 ,题(1 9)图一/f -3Z =0得 1 故可取I =(2,1,1)./玉 _%=0由(1)可知DE _ L 平面P CD,故平面P CD的法向平正可取为由，即E=(L-L 0).从而法向量,n2

13、的夹角的余弦值为CO SS,%=匕卜网6故所求二面角A-P D-C的余弦值为【江苏】7.(本 题 满 分 1 4 分)如 图，在直三棱柱A 8 C-A与G中，已知4 C_ L 8 C,试卷第8页，总29页B C =C CX,设 A片的中点为 ,B.CAJSC,=.求证：（1）OE平面A 4G C；（2）BC,JL 24.【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）由题意知，E为B。的中点，又D为AB】的中点，因此DE/AC.又因为DEZ平面AA|GC,A C u平面AA|JC,所以DE/平面A A C.（2）因为棱柱A B CA|B|G是直三棱柱，所以CG 平面ABC.因为ACu平面A

14、 B C,所以AC，CC|.又因为AC L BC,C&U平面BCQBi B C u平面BCQBI,BCnCC,=C所以ACJ_平面BCC|B|.乂因为BG/32+42=5,7 A F=2FB,C G=2GB,，FGA C,直线P A 与直线EG所成角即为直线P A 与直线FG所成角Z P A C,在A P A C 中，由余弦定理得COSNPAC=PA2+AC2-PC22P A-A C5 2+(3 7 5)2 422 X 5 X 3“试卷第10页，总 29页【浙江】9.（本 题 满 分1 5分）如图，在三棱柱ABC-AI C-中，N 5 A C =9 0,A B =A C =2,4 A =4,4

15、在底面A B C的射影为6C的中点，。为耳G的中点.（1）证明：4D _ L平面A 0 C；（2）求 二 面 角 的 平 面 角 的 余 弦 值.【答案】（1）详见解析；（2）8试题解析：（1）设E为 的 中 点，由题意得4后_1 _平面4 8（7,4EJ.A E,；A B =A C,：.A EA.B C,故AE L平面ABC,由。，E分别用G，8C的中点，得。七/用6且D E=BI B,从而DE/&A,二四边形4 AE O为平行四边形，故I/A E ,又，:A E1平面A/G，,A Q J平面A/G；（2）作4尸，80,且4尸/。=，连结与F,由力E=E3=0,Z A,EA =Z A.E5

16、=9 0,得 A/=4 A =4,由 4。=4。，AXB =BB,得三八8|。6 ,由4尸_1 8。，得 B p 1 B D,因此 4尸耳为二面角4一8。一片的平面角，由 4。=行，A 0 =4,/。48=9 0,得 8 0 =3 近，4 14/=用 户=一，由余弦定理得，cosZAtF B,=一一.3 8G考点：1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解10.12015高考山东，理17】如图，在三棱台。E F-A B C中,为A C,8 c的中点.=2DE,G,“分别(I)求证：B D/平面FGH；(H)若 平面 ABC,AB 工 BC,CF=DE,ZBAC=45平面AC ED所成的角(锐角

17、)的大小.【答案】(I)详见解析；(H)60试题解析：(I)证法一：连接OG,C。，设C D nG F=。，连接。”，在三棱台D E F-A B C中,A3=2OE,G为A C的中点可得 OF/GC,OF=GC所以四边形。FCG为平行四边形则。为C。的中点又 为8C的中点所以OH/BD,求平面FGH与试卷第12页，总2 9页又。“u平面FGH,B D u平面F G H,所以8 0/平 面/G”.证法二：在三棱台。E/一 ABC中，由B C =2 E F,H为8 c的中点可得 B H/E F,B H =E F,所 以 四 边 形 为 平 行 四 边 形可 得B E I/H F在A48C中，G为A

18、C的中点，”为8 C的中点，所 以G H /AB又G H C H F =H ,所 以 平 面F G /平 面A B E D因 为3u平 面A B E D所 以B D/平面F G H(I I)解法一：设AB=2,则在三棱台OEb一 ABC中，G为4 C的中点由=A C=G C ,2可得四边形O G C b为平行四边形，因此。G/CE又平面ABC所以。G,平面48c在 中，由 AB _L 8C,NR 4C=45,G 是 AC 中点,所以 A8=BC,GB，GC因 止 匕G3,GC,GQ两两垂直，以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz所以 G（0,0,0）,8（衣 0,0）,C（0,

19、Q,0）,0（0,0,1）可得H亭冬0）,尸（0,）故 曲=与，与,0,G F=（0,V2,l）设G=（x,y,z）是平面F G 的一个法向量，则n-GH=0,|x+y =0由 _ _ _ _ _ 可 得n-GFQ,|V2y +z =0可得平面f G H的一个法向量3=（1,-1,8）因 为 荏 是平面4 CF O的一个法向量，GB =（7 2,0,0）K i r”GB n V2 1所 以 c o s v GB、n=7=|GJB|-|?|2V2 2所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为6 0解法二：作 M_LAC于点M,作MNLG F 于点N,连接N”t lj FC l 平面 4 8 C ,得

20、 以M J.F C又尸cnAc=c所以_ L平面A C E D因此G E LNH所以/M N H即为所求的角试卷第14页，总29页FD在 ABGC中,M H /B G,M H =-1 B G =J?-由 AGNM可得”SAGCFG MF C G F从而N=YS6由M H 平面A C F D,M N u平面A C F D得 M H L M N,因此 tan N M N H =M N所以 N M N H =6 0、所 以 平 面 与 平 面 ACFO所 成 角（锐角）的大小为60.【湖北】1 1.（本小题满分12分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直

21、角三角形的四面体称之为鳖晴.如图，在阳马P-ABCO中，侧棱网），底面4B C O,且 PO=C O,过棱尸。的中点E,作 EF _L PB交尸8 于点尸，连接DE,DF,BD,BE.（I）证明：尸 8，平面。尸.试判断四面体O8EF是否为鳖膈，若是，写出其每个面的 直 角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（I I）若面DEF与面A8CO所成二面角的大小为巴，求 生 的 值.3 BC【答案】(I)详见解析；(I I).2【解析】(解法1)(1 )因为PC_L 底面A B C O,所以POJ.8C,由底面A8CC为长方形，有 8 C J.C O,而尸。nCO=O,所以8c _L 平面尸C D.

22、而。E u 平面尸C D,所以BCJ.DE.又因为尸。=C ,点E 是 尸。的中点，所以OEJ.PC.而 PCC|BC=C,所以。E_L 平面P B C.而 P B u平面P 8 C,所以P8L O E.又 PBLEF,DEHEF=E,所以 P8J.平面 OEF.山。平面PBC,/8_1_平面。后尸，可知四面体8DEF的四个面都是直角三角形，即四面体以叱尸是一个鳖腌，其四个面的直角分别为NOEB,NDEF,NEFB,NDFB.(II)如 图 1,在面PBC内，延长BC与尸石交于点G,则DG是平面D E F与平面ABCD的 交 线.由(I)知，P8J平面DE尸，所以P B O G.又因为P_L

23、底面A 8 C O,所以P O O G.而 尸。口P8=，所以O G L 平面PBZ).故NB。尸是面DEF与面4BCO所成二面角的平面角，设 PD-DC=1,BC=7,有 BD-J1+,7 T在 R tZ!PDB 中，由J _ P 8,得 NDPF=NFDB=,3则 tan-=tanZDPF=71+zl2=V3,解得见=啦.3PD所 以 生=包BC A 2故当面OE尸与面ABC。所成二面角的大小为4 时，变=变.3 BC 2(解法2)(I)如图2,以。为原点，射线D4,OC,O尸分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设 PO=OC=1,BC=A,则。(0,0,0),尸(0,0,1)

24、,8(4,1,0),C(0,1,0),而=),点E 是尸。的中点，所以 E(O,g,；),D=(0,p I),于是/B-DE=0,即P B_LDE.试卷第16页，总29页又已知而Z)EnEF=E,所以尸8 J.平面OEF.因 正=(0,1,-1),DE-PC=0 t 则。E _ L P C,所以 QEJ_ 平面PBC.由。E_L平面PBC,P B j,DEF,可知四面体BO EF的四个面都是直角三角形,即四面体8O E F是一个鳖膈，其四个面的直角分别为NOEB,NDEF,NEFB,NDFB.第19题解答图1第19题解答图2(I I)由POJ平面A 8 C O,所 以 而=(0,0,1)是平面

25、A8CZ)的一个法向量;由(I)知，尸8_1,平面。：/，所以而=(_ 彳,-1,1)是平面O E F的一个法向量.若 面.与 面 树。所成二面角的大小为三,则 COS 2 =3B P D P面”而I1 _ _J矛+2 2解得4=垃.所 以 生=也.BC A 2故当面。E尸与面A8CO所成二面角的大小为2时，空=正.3 BC 2【福建】1 2.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，A B,平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(I)求证：G F平面AO E；(II)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.2【答案】(I )详见解析；(I

26、 I)3【解析】解法一：(I )如图，取A E的中点，连接“G,H D,又 G是 B E 的中点,所 以G H|A B,且G H=A B，2又 F是 C D 中点，所 以 D F=，CD,由四边形AB C D 是矩形得，AB/C D,A B=C D ,2所以GH/DF,月 一 GH=DF.从而四边形HGbO是平行四边形，所以GF/DH,又DHu平 面AD E,GFu平 面A DE，所以G F/平面AD E.(H)如图，在平面B E C 内，过点B作B Q|E C，因为B E _ L C E,所 以B Q 1 B E.又因为AB J _ 平面B E C,所以AB J _ B E,AB B Q以

27、B为原点，分别 以 南，而，丽的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2),B (0,0,0),E (2,0,0),F (2,2,1).因为 AB 八平面 B E C,所以B A=(0,0,2)为平面B E C 的法向量，设7 =(x,y,z)为平面AE F 的法向量.又通=(2,0,-2卜而=(2,2,-1)AE =0,由，_ _ _ _ _ _w-AF =0,得取 z =2 得 5=(2,-1,2).从 女尸日急心232所以平面AE F 与平面B E C 所成锐二面角的余弦值为一.3解法二：(I )如图，取 A 8中点用，连接M G,MF,又 G 是 BE的中

28、点，可知GM/AE,又 A Eu 面 A O E,GM S 面 A OE,所以GM/平面 A O E.在矩形AB C D 中，由M,F分别是A B,C D的中点得M F/A O .又A Q u 面A O E,F(2面4。石，所以加/面 A Q E.又因为GM PI MP=M，6/匚面6 加/，加/(0,1,0),%(0,0,1),B,(1,0,1),D,(0,1,1).而 E 点为 B R的中点，所以E点的坐标为(0.5,0.5,1).设面4。后的法向量点=)而 该 面 上 向 量 羸=(0 5 0.5,0),丽=(0,1,-1),由及丽 得4/山应满足的方程组1 1,1一 ，(一1,i,i)

29、为其一组年一0解，所以可取1=(-1,1,1).设 面A 4 C O的法向量a=(公”冉)，而该面上向量4瓦=(i,o,o),而=(o,i,-1),由此同理可得%=(o,i,i).所以结合图形知二面角七一4。一8的余弦值为 小，吧=：心.V3XA/2 3【四川】1 4.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 的 中 点 为M,G H 的中点、为N(1)请将字母 G,标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)(2)证明：直线M N/平面8 0(3)求二面角A-EGM的余弦值.【答案】(1)点F、G、H的位置如图所示.试卷第20页，总29页(2)详见解析.(3)3【

30、解析】(1)点F、G、H的位置如图所示.(2)连结BD,设0为BD的中点.因为M、N分别是BC、GH的中点，所以 OM/C D,且。2NH/CD,且 NHCD,2所以 0M/NH,0M=NH,所以MN。是平行四边形，从而M N/。”，又MN 2平面6 0 ,0 u平面80”，所以M N/平面B D H .(3)连结AC,过M作M P,4 c于P.在正方形A B C D-E F G H 中，A C IIE G,所以 MP _L EG.过P作PK1.EG于K,连结K M,所以七6_1_平 面 尸 侬，从而K M L E G.所以N P K M是二面角A-E G-M的平面角.设 40=2,则 CM=

31、1,PK=2,/y在 A/CMP 中，P M=CMsin45=2在 Rf KMP中，K M=介 片+尸 2 =12所以cos N P K M=冬旦K M 3即二面角A-E G-M的余弦值为 逆.3【湖南】15.如图，已知四棱介A6CO 4月G 2上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A4,=6,且A4 J_底面ABC。，点P,。分别在棱。厂B C .试卷第22页，总29页(1)若P是。的中点，证明：AB P Q；3(2)若P。/平面,二面角P Q O A的余弦值为,，求四面体A O P。的体积.【答案】(1)详见解析；(2)24.试题解析：解 法 一 由 题 设 知，AAAB,A。两两垂直，以

32、A为坐标原点，AB,A D ,A 4所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(O QO),5,(3,0,6),0(0,6,0),0,(0,3,6),。(6,加,0),其中m =8Q,0 m 6,(1)若 尸 是 的 中 点，则 P(0,1,3),AB=(3,0,6),于是 A B/P 0 =1 8-1 8=0,J.A B.I P Q,即(2)由题设知，丽=(6,m 6,0),西=(0,3,6)是平面P。内的两个不共线向量.6x +(m-6)y =0-3 y+6z =0设*=(x,y,z)是平面P Q。的一个法向量，贝.丝 二 ，即=/=-/,r f

33、o 角I /I .I 2 1 J(6m)+6 +3 J(6机)+4 5P。A的余弦值为士3 ，因 此,3 二3士,解得机=4,或者机=8(舍7 J(6_ Z)2+4 5 7去)，此时。(6,4,0),设 丽=4西(0 于点 E,则 A ADiE 为 矩 形，；.DE =AA =6,AE=A R=3,因 此 E D =A D-A E =3,于 是 也=型=9=2,：.M D E D 3P M =2 M D =2t,再 由 得 且 土 乙=叵，解得=2,因此PM=4,故四面3 3体 AOPQ 的体积V=；S A%.=：X；X6X6X4=24.【江西】1 6.（本小题满分12分）如图，四棱锥P AB

34、CD中，A8CD为矩形，平面PA。_L平面A8CO.求证：A B 1 PD;p试卷第26页，总29页若N B P C =90,PB=后,P C =2,问A B为何值时，四棱锥P A B C。的体积最大？并求此时平面P B C与平面D P C夹角的余弦值.【答案】（1）详见解析，（2）4 6 =逅 时，四棱锥的体积P-ABC D 最 大.平 面 BPC 与平3面 D PC 夹 角 的 余 弦 值 为 巫5试题解析：（1）证明：ABC D 为 矩 形,故 AB_ LAD,又平面PAD _ U*3*5T 面 ABC D平面PAD 0平面ABC D=AD所以ABL 平面PAD,因为P D u 平面PA

35、D,故 AB_ LPD（2）解：过 P 作 AD 的垂线，垂足为0,过 0 作 BC 的垂线，垂足为G,连接PG.故 P0 _ L 平面 ABC D,BC _ L 平面 PO G,BC PG在直角三角形BPC 中，P G =,GC=,B G=,3 3 3设 A B =m,则 D P =yJPG2-O G2=X-/n2,故四棱锥 P-ABC D 的体积为V V6-m-.m2 y8 6 m2.因为 m a-6 m 2=J 6（*-|）2+|故 当 机=逅 时，即=时，四棱锥的体积P-ABC D 最大.3 3建立如图所示的空 间直角 坐标系。（0,0,0）净（乎,一 半,0）,。（孚,孚0）,。（0,平,0）,（0,0,半）故 定=（当，乎,_q）,前=（0,46,0）,CD=（一9,0,0）设平面B P C的 法 向 量 叫=（范乂1）,-V-6 x H-y-V-6-=_ 0n=o、凶 _4=0取*=（1,1,1）,n2-CD-0 J x2=0a 而=o 1%一 马=0取 元=（0,1,1）,从而 COS 0=|COS ,%|=2_V3xV2V6试卷第28页，总29页即平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为