微积分练习册[第七章]向量代数与空间解析几何习题7-1空间.pdf

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1、微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题77 空间直角坐标系1.填空题(1)下列各点所在象限分别是：a.(1,-2,3)在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；b.(2,3,-4)在；C.(2,-3,-4)在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；(1.(-2,-3,1)在。(2)点 P(-3,2,-l)关于平面X O Y 的对称点是,关于平面Y O Z的对称点是，关于平面ZOX的对称点是,关于X 轴的对称点是,关于 Y 轴的对称点是,关于Z 轴的对称点是.(3)点 A(-4,3,5)在 XO Y平 面 上 的 射 影 点 是,在 YOZ平面上

2、的射影点是,在 ZOX面上的射影点是,在 X 轴 上 的 射 影 点 是,在 Y轴上的射影点是,在 Z 轴上的射影点是。(4)已知空间直角坐标系下，立方体的4 个顶点为A(-a,-a,-a ),B(a,-a,-a),C(-a,a,-a)和 D(a,a,a),则其余顶点分别为,班级:姓名:学号:2.已知三角形的三个顶点 A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(-5,0,2),求过 A、B、C三点的中线的长度。3.已知平行四边形ABCD的两个顶点A(2,-3,-5),B(-1,3,2)及它的对角线的交点E(4,-1,7),求顶点C、D的坐标。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何4.已知

3、某直线线段AB被点C(2,0,2)及点D(5,-2,0)内分为3等分，求端点A、B的坐标。5.求点M(-4,3,-5)到各坐标轴的距离。班级：姓 名：学号:6.在YOZ面上，求与三个已知点A(3,1,2),B(4,-2,-2)和 C(0,5,1)等距离的点。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-2 向量及其线性运算i.填空题(1)已知某向量5与a平行，方向相反，且忖=2同，则5由不表示为。(2)已知梯形 O A B C,且 5 =1/2 万6 ,若万K =则AB=。(3)一向量的终点在点B(2,1,-7),它在X轴，Y轴和Z轴上的投影依次为4,-4和7,则这向量的起点A的坐标为。

4、JT(4)设向量的模是4,它与轴的夹角是 生，则 它 在 轴 上 的 投 影 为。3(5)已知 A(4,0,5),B (7,1,3),则 48=。2.一向量的起点为A (1,4,-2),终点为B (-1,5,0),求 在X轴、Y轴、Z轴上的投影，并 求A B。班级:姓 名：学号:3.已知 两 点(4,、历,1),“2(3,0,2),计算向量M i 2 的模，方向余弦和方向角。4.已知。=3,5,4石=-6,1,2=0,-3,-4 ,求 2。3 5+4C 及其单位向量。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何5.一向量与x轴，y轴的夹角相等，而与Z轴的夹有是前者的两倍，求该向量的方向角6.已

5、知向量日与三坐标轴成相等的锐角，求它的方向余弦，若 同=2,求向量的坐标班级:姓 名：学号:7.设G -31+5 j+Sk,b-2 i-4-j-7k,c-5/+j-4k,求T=4a+35 在x轴上的投影以及在y轴上的分向量8.已知两向量a=45,-1出=3,1,平行，求 入的值微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-3 数 量 积 向 量 和 混 合 积1.填空题(1)已知a.b.c为单位向量，且满足N +6 4-c =6 ,则5+5日=(2)若向量B与向量万=(2,1,2)共线，且 鼠B =1 8,则祝=.(3)已知同=3,同=5,问;1=时，2 +焉 与5-焉相互垂直。A(4)

6、已知同=2,忖=3,归-同=J 7 ,则(1,B)=.(5)已知2与小垂直，且 同=5,|同=1 2,则忸+可=,a-b =(6)向量2,瓦I两两垂直,且同=1,J.=2,同=3,则5 =2 +B +0的长度为一2.已知，试求：(1)日与5的夹角；(2)。在匕上的投影.班级:姓 名：学号:3.已知 同=3,忖=36,忸x同=72,求展往4.判 断 向 量 限 是 否 共 面：(1)5=3,2,5,B=1,1,2,c=9,7-16;(2)3=1,-2,3,b=3,3,1,?=1,7-5微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何5.已知 A(l,-1,2),B(5,-6,2),C(l,3,-1)

7、,求：(1)同 时 与 族 及 就 垂 直 的 单 位 向 量；(2)ABC的面积；(3)从顶点A到边BC的高的长度班级：姓 名：学号:6.一个四面体的顶点为 A(0,0,0),B(3,4,-1),C(2,3,5)和 D(6,0,3),求它的体积。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-4平面与直线(一)1.填空题(1)过 点(3,0,-1)且与平面3x 7 y+5 z=0平 行 的 平 面 方 程 为.(2)过 两 点(4,0,-2)和(5,1,7)且平行于a x轴的平面方程为.(3)若平面A X+B y+G z +Z)|=0与平面4 2+8 2?+。2 1 +。2 =0互相垂直

8、，则充要条件是 若上两平面互相平行，则充要条件是.(4)设平面万：x+6 2 z 9 =0,若 乃 过 点，则女=;又若乃与平面2 x+4 y+3z-3=0垂直，则左=.(5)一平面过点(6,-1 0,1),它在a x轴上的截距为，在 轴上的截距为2,则该平面方程是(6 )一 平 面 与 巧：2 x+y +z=0及万2 ：%一=1都 垂 直，则该平面法向量为2.求 过 点(2,9,-6)且与连接坐标原点及点Mo的线段0 M o垂直的平面方程.班级：姓 名：学号:3.分别按下列条件求平面方程：(1)平行于X O Z平面且通过点(2,-5,3)；(2)平行于无轴且经过点(4,0,-2),(5,1,

9、7)；(3)过 点(-3,1,-2)和 Z轴.微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何4.求过点(1,1,1)和 点(0,1,-1)且与平面x+y +z=0 相垂直的平面方程。5.求通过点A(3,0,0)和 B(0,0,1)且与xoy平面成乃/3 的平面方程。班级:姓 名：学号:6.求点(1,-4,5)到平面x 2 y+4 z 1 =0的距离。7.已知平面FI :x-2 y+2 z+2 1 =0与平面FI2 ：7 x+2 4 z-5 =0 ,求平分口1和口2夹角的平面方程。微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-4平面与直线（二）1 .填空题（1）过 点（4,3）且平行于直线=

10、上=），=幺 的直线方程为2 -5（2）过 两 点（3,-2,1）和（-L 0,2）的直线方程为（3）过 点（2,0,-3）与直线 垂直的平面方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3x+5 y-2 x=-l（4）直 线L.2 =1和 平 面 乃：2 x+3y+3z 8 =0的 交 点 是I V I 3 7 (5)直线1 /与平面x y z +l =0的夹角为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _x-y-z=02.写出直线L：1 x -）+z =l的对称式方程及参数方程2 x +y +z =4班级：姓 名：学号:3.求满足下列条件的直线方程：（1）过

11、点（4,-1,3）且平行于直线=2 1 5（2）过 点（0,2,4）且同时平行于平面x +2 z =1和y-3 z =2.（3）过点且垂直于平面2 x +3 y +z +l =0.微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何2 x y +z 4 04.求点（3,-1,2）到直线4 的距离.x+y-z+l=04x y +3 z -15.求直线 在平面2 x-y +5 z-3 =0上的投影方程.x+5 y-z+2=0班级:姓 名：学号:x +y z 1 =06.已知两直线 L2:x=y=z-12%+z 3 =0（1）求过右且平行于&的平面方程；（2）求 乙与%间的最短距离7.求两直线光 +2 y

12、+5 =02y_”4=0y =0 x +2 z +4=0的公垂线的方程.微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何习题7-5 曲面及其方程1.填空题：(1)以 点(1,2,3)为球心，且 过 点(0,0,1)的球面方程是(2)将x o z坐标面上的抛物线产=5 x绕o x轴旋转而成的曲面方程是(3)将x o y坐标面上的圆工2 -=2绕o y轴旋转一周所生成的球面方程是,且球心坐标是,半径为2 2 2(4)方程上+匕-二=0表示旋转曲面。，它的旋转轴是2 2 3(5)方 程/=z在 平 面 解 析 几 何 中 表 示,在空间解析几何中表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ O2.画出下列

13、各图(1)y o z坐标面上z?=y绕。y轴旋转而成的曲面班级:姓 名：学号:（2）由x+z =l,Y +F=1和=0所围立体的表面.2 2 二+J4 9微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何3.作出下列不等式所确定的空间区域：(1)x2+y2 l,z 0;一 +4y2 2z,z 2;班级:姓 名：学号:(3)2/+y-+3 z2 0,y 0,z 0;(4)_，_ y 2 +4Z2 4,|z|/)截上述曲面所得截痕是2 2(3)二次曲面z =0 +勺 与 平 面y =/?相截，其截妆是空间中的a b(4)曲面x2-y2=z在xo z坐标面上的截痕是(5)双 曲 抛 物 面/=2 z与xo

14、 y坐标面的交线是(6)由曲面z =+V与2 R?一 x?-V所围成的有界区域用不等式组可表示为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2.指出下列方程所表示的曲线f x2+4/+9 z?=3 6(1)5 ；y2+Z2-4 x +8=0y=4班级：姓 名：学号:3.画出下列曲线在第一卦限的图形：卜 斤 x-y=O x+z=az尤2,2 I 2 _ n4.将曲线（7 化为参数方程 y =%微积分练习册 第七章 向量代数与空间解析几何5.求球面/+y2+2 =9与平面x+z=1的交线在 W 面上的投影曲线方程6.求旋转抛物面z=x2+y2(0 z0 Y(3)limK f 0y-0l-cos(

15、x2+y2)(x2+y2)x2y2微积分练习册 第八章多元函数微分学3证明lim孙了+/04证明:r2v极 限lim；）,=0不存在（X,y）T（O,O）+y-班级：姓 名：学号:X s in-,(x,y)H (0,0)5.函数/(x,y)=/+y 2 在 点(0,0)处是否连续？为什么？0,(x,y)=(0,0)微积分练习册 第八章多元函数微分学习 题 8-2偏导数及其在经济分析中的应用1 .填空题(1)设 z =I n t a n，贝ij 包=_ _ _ _ _ _ _ _;y d x d yQ z Q z(2)设2 =(1+了)，则 上=_ _ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _

16、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；o x d y,、江 y d u d u d u(3)设 =%上，贝i j =_ _ _ _ _ _ _ _,=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,=_ _ _ _ _ _ _ _;z d x d y d z/八2,)皿 晨 d2z d2z(4)设 z =a x e t a n ，贝U -=_ _ _ _ _ _ _ _ _,-7,-=_ _ _ _ _ _ _ _ _x d x2 d y2 d xd y(5)设 =(V)z,则四=_ _ _ _ _ _ _ _ _；y d xd y(6)设/(x,y)在点(/)处的偏导数存在，则.f(

17、a+用。)一 f(a-x,b)l i m-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _x-O x2.求卜.列函数的偏导数 z =(l +x y),班级：姓 名：学号:(2)=a r c s i n(x-3.设z =y 求函数在（1,1）点的二阶偏导数微积分练习册 第八章多元函数微分学4.设z=jd n（盯），求-和dx2dy dxdy25.Z 3试化简嗯+总班级:姓名:学号:f（X V）=)J,具有二阶连续偏导数，求 一班级:姓名:学号:7.设/与g有二阶连续导数，且z=/(x +af)+g(x-a f),证明:d2z 2 先涓=而微积分练习册 第八章多元函数微分学习题8-5 隐函数的求导公式1.

18、填空题：(1)设 I n y1x2+y2=a r c t a n ,则 虫=_ _ _ _ _ _ _ _ _x d x(2)设x +2 y +z 27=0,则m=_ _ _ _ _ _ _ _d x d y小(3)设一 =i l nz一,m i贝l idj一z =_ _ _ _ _ _ _ _,一&=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _z y d x d y(4)设 Z*=V，则3=_ _ _ _ _ _ _ _，3=_ _ _ _ _ _ _ _ _d x d y2.设/xyz 求d xd y班级:姓名:学号:3.设-3盯Z =/，求 Zdxdy4.设2sin(x+2y-3z)=x+

19、2y-3z,求-1-dx dy微积分练习册 第八章多元函数微分学5.设2 2z=x+y _ .d y d z，求,x2+2y2+3z2=20 dx dx6.设y=/(x j),而 是由方程尸(x,y/)=O所 确 定 的 的 函 数，求 也dx班级：姓 名：学号:7.设由方程/。+三,+三）=0确定=2口/），F具有一阶连续偏导数，证明:y x&d zx-F y =zxydx dy8.设x=x(y,z),y-y(z,x),z =(x,y)，都是由方程&(x,y,z)=0所确定的有连续偏导数的函数，证明：电.包=-1dy d z dx微积分练习册 第八章多元函数微分学习题8-6多元函数的极值及其

20、应用1.填空题：(1)z =x?+2%-4+82驻点为(2)f(x,y)=4(x -y)-x2-y2 的极_ _ _ _值为(3)f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极_ _ _ _ _值为(4)z=xy在适合附加条件x +y =1下的极大值为(5 )u=/(x,y)=x-x2-y2 在。=卜,y|x2+y2 0）,求使产鱼总量最大的放养数班级：姓 名：学号：5.设生产某种产品需要投入两种要素，和分别为两要素的投入量，Q 为产出量：若生产函数为0 =2这 只，其 中 为 正 常 数，且 a+夕=1,假设两种要素的价格分别为P 1和2,试问：当产出量为12时;两要素各投入多少可以使得投入总费

21、用最小？微积分练习册 第九章 二重积分习题9-1二重积分的概念与性质1 .填空题(1)当函数/(x,y)在闭区域D上 时，则其在D上的二重积分必定存在(2)二重 积 分 的 几 何 意 义 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _D(3)若/(x,y)在有界闭区域D上可积，且当/(x,y)N O时，则J J 7(x，y)d b y)d b；D D2当/(x,y)0时，则 J J/(x,y)d b J J/(x,y)d b(4)j j s i n(x2+y2W 6，其中 5 是圆

22、域4 2 的面积，D5 =1 6万(注：填比较大小符号)2.比较下列积分的大小：(1)6=J J(x+y)2 d b与，2 =0(x+y)3 d b其中积分区域D是由X轴，y轴与直D D线x +y =l所围成班级：姓 名：学号:(2)人=J J l n(x +y)d S与 =J J l n(x +y)2 d b,其中D DD-(x,y)|3 x 5,0 y 13.估计下列积分的值(1)1-j j x y(x +y +)d 8,其中 D=(x,y)|0 x 1,0 y 2 D微积分练习册 第九章 二重积分(2)/=4)，+9)1 5,其中 0 =(x,y)X+V 4 4 D4 .求二重积分 J

23、J yll-x2-y2d3x2+y2 l班级：姓 名：学号:5.利用二重积分定义证明W（x，y）d b =07（x，y）d S （其中为上 常数）D D微积分练习册 第九章 二重积分习题9-2 利用直角坐标计算二重积分1 .填空题(1)j j(x3+3x2y+y3)d 3=其中 D：0 x 1,0 y 0)所围成的闭区域，化为先X后y的积分，应为2(2x-x2(5)将二次积分1改换积分次序，应为J中 ein Xd x f x f(x,y)d y改换积分次序，应用_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _0 J-sin2(7)将二次积分，dy f(

24、x,y)d x+J：改换积分次序，应为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(8)将二次积分dyf/(x,y M x，改换积分次序，应为班级：姓 名：学号:2.计算下列二重积分：(I)xyex+y d S 淇中 D-(x,y)a x b,c y：-l x 4 l,0 W y 23 .计算二次积分J dyC e;dx班级:姓 名：学号:4 .交换积分次序，证明：d y e m 3 x)/(x)d x=(a x)e i(x)d x5.求由曲面Z =，+2），及Z =6 -2 y 2所围成的立体的体积.微积分练习册 第九章 二重积分习题9-3 利用

25、极坐标计算二重积分1.填空题（1）把下列二重积分表示为极坐标形式的二次积分 j j f(x2+y2,a r c ta n )d xd yx2+y22x 。=(x,y)Wx2+y2 j r j,J J e +d xd yD（2）化下列二次积分为极坐标系下的二次积分 J o d X 广 r /(/+y 2,(a A 0)d x,+y 2)d y =-；J U J u_ r 2 r j3x V d x/(a r c ta n=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;JO Jx l L dx f(x,y)d y=.J 0 *0班级：姓 名：学号:2.计算下列二重积分

26、(1)1 1(1 +/+/川 3,其中口是由圆周 2+/=1及坐标轴所围成的在第一象限D内的闭区域.d xd y，其中D 是由曲线y=Y 与直线y=%所围成的闭区域.微积分练习册 第九章 二重积分(3)JJJR2 f /d s,其中D 是由圆周/+y2=Rx所围成的闭区域D(4)(2)即2+2一斗此其中 D:x2+y2 3.D班级：姓 名：学号:3.计算二重积分Jj（y-x f d 8,其中D 由不等式y V R+X,/+y?2 0 确定D（注意选用适当的坐标）4.计算以X。)，面上的圆周x2+y2=axa 0)围成的区域为底，而以曲面z =/+/为顶的曲顶柱体的体积微积分练习册 第十章 微分

27、方程与差分方程习题10-1微分方程的基本概念1.填空题(1)方程，()，)4 3y +y l nx=0称为 阶微分方程(2)设y =y(x,q,Q,)是方程+2 y的通解，则任意常数的个数n=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(3)设曲线y =y(x)上任一点(x,y)的切线垂直于此点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程(4)设 峨y =y(x)上任 点(x,y)的切线在坐标轴间的线段长度等于常数a,则曲线所满足的微分方程(5)某人以本金p0元进行一项投资，投资的年利率为了,若以连续复利计，t年后资金的总额为p(f)=(6)方程y=x+可化为形如 微分方程2.已知Q=c ekl满足微分

28、方程丝=-0.03g，问C和K的取值应如何？d t班级：姓 名：学号3.、若可导函数/(x)满足方程/(x)=2=力+1.，将 式两边J 0求导，得/(x)=2#(x).(2)易知/(x)=ce/(c为 任 意 常 数)是(2)的通解，从而/(x)=ce/为(1)的解，对吗？4.证明：y=c）x+c2xln|x|是微分方程/y _ 盯，+y=0 的通解.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-2 一阶微分方程（一）1.求下列微分方程的通解:（1）y/+3*(2)y+=0y(3)3e*tan ydx+(2-ex)sec2 ydy=0班级：姓 名：学号:2.求下列微分方程满足所给初始条件

29、的特解:(1)sin y cos xdy=cos y sin xdx,y t=0714 击 小/；力=。，及。=13 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比，有资料表明，镭 经 过 1600年后，只余原始量尺的一半，试求镭的量R 与时间t的函数关系微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-2 一阶微分方程(二)1.填空题(1)设 y*是 必+p(x)，=Q(x)的一个解，Y 是对应的齐次方程的通解，则该方程d x的通解为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _X 1(2)y*=ex是 方 程 孙 +y=x/的 一 个 特 解，则 其 通 解 为(3)微分方程xy+y-y2nx=0作变换

30、可化为一阶线性微分方程(4)(x+y)y+(x y)=0 的通解为X X Y(5)(1+2/)dx+2ey(l-)dy=0的通解为y2.求下列微分方程的通解：(1)xy+y-x2+班级：姓 名：学号:(x-2 x y-y2)y+y203.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:+ycotx=5eCOSA,ydxx=2微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程4.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解:半=(x+y)2ax(2)xy+y=y(ln x+In y)班级:姓名:学号:5.已知曲线过原点，且它在点(x,y)处切线的斜率等于2x+y,求该曲线的方程6.设/(x)可微且满

31、足关系式，：2/(。-1 力=/(彳)1,求/(%)微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-3 一阶微分方程在经济学中的应用1.已知某商品的需求价格弹性为强=P(lnP+l),且当P=1时，需求量Q=1EP(1)求商品对价格的需求函数(2)当尸+8时，需求量是否趋于稳定？2 .已知某商品的需求量Q对价格P 的弹性 =3 P2,而市场对该商品的最大需求量为1 万件，求需求函数班级：姓 名：学号：3 .已知某商品的需求量Q与供给量S 都是价格P 的函数：Q =*,S=勿?其中。0 力0为常数，价格P 是时间，的函数，且满足%k Q(p)S(p)(女为正常数)假设当，=0时，价格为1,试求

32、：(1)需求量等于供给量的均衡价格与(2)价格函数p(f)(3)li m p(r)/-+oo微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程4.在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为N,在f=0时 刻 已 掌 握 新 技 术 的 人 数 为 在 任 意 时 刻f已掌握新技术人数为x(f),其变化率与己掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k 0求 x(f)班级：姓 名：学号：5.某银行帐户，以连续复利方式计息，年利率为5%,希望连续20年以每年12000元人民币的速度用这一帐户支付职工工资。若f 以年为单位，写出余额8=/）所满足的微分方程，且问当初始

33、存入的数额B 为多少时，才能使20年后帐户中的余额精确地减至0.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-4可降阶的二阶微分方程1.填空题(1)微 分 方 程=的通解为.(2)微分方程y=1 +(y)2的通解为(3)微分方程y=y +x的通解为.(4)微分方程 W +(y)2 =)/的通解为.(5)微分方程y+()，)2 =0的通解为(6)设 月=/与%=/l nx 是 方 程/(一 3 盯 +4 y=0的特解，则其方程的通解为.2 .求下列微分方程满足所给初始条件的特解班级:姓名:学号:3 .求下列微分方程满足初始条件的特解:y砂 =o,y|j=o=O,y,|t=o-1 y=e ,九

34、|=九 尸。微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程X4.试求y=x 的经过点M(O,1)且在此点与直线 =+1 相切的积分曲线5.验证月=e,及%=%6/都是方程了一4盯+（4/-2 万=0 的解，并写出该方程的通解.班级：姓 名：学号:6.设函数凶（%）,乃（）,乃（）均是非齐次线性方程4=+“（X）+仇）;=/（X）的dx dx特解，其中a（x）,6（x）,/（x）为已知函数，而 且丫2。）一 （I）*常数,求证，3（乃 一口（%）y(x)=(l-c,-c2)yl(x)+cly2(x)+c2y3(x)(C1,q为任意常数)是该方程的通解.7.证 明 函 数y Clex+c2e2x+e5x

35、（c,c2是 任 意 常 数）是 方 程y 3 y +2y =e 5*的通解.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-5二阶常系数线性微分方程（一）1 .填空题（1）微分方程y -4 y =0的通解为.（2）微分方程y +4 y +4 y =0的通解为.（3）微分方程y+2y+5y=0的通解为.（4）微分方程y +2y +a），=0（。为常数）的通解为(5)设2i为 方 程y +py +q y=O的 特 征 方 程 的 两 根，则 其 通 解 为(6)设二阶常系数齐次线性微分方程的二个特征根为八=2=4,则该二阶常系数齐次线性微分方程为.班级：姓 名：学号:2.求下列微分方程满足所给

36、初始条件的特解：y -4 y +3 y =0,此=6,y *=o=1（2）4 y +4）/+y =0,4=（）=2,凡=（）=0微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程(3)y 4 y +l3 y =0,y|.v=o=O,y ，=o=33 .求以=x e，为特解的二阶常系数齐次线性微分方程班级:姓名:学号4 .方程4），+9y =0 的一条积分曲线经过点（肛-1）且在该点和直线y +1=x -7相切，求这条曲线方程5.求，了一（）2=0的 过（I,0）点，且在此点与y =x-l相切的积分曲线.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-5常系数线性微分方程（二）1 .填空题：（1）微分方

37、程y+2y+y=xex的特解可设为型如），*=.（2）微分方程y”-7y+6 y=s in x的特解可设为型如y*=.（3）微方程/-2y+5y=/s in 2 x的特解可设为型如y*=（4）微分方程y +y =x +c o s x的特解可设为型如），*=.(5)微分方程y -y=xsin2 x 的特解可设为型如y*=(2)yn+y=ex+cosx2.求下列微分方程的通解：(1)y+3y+2y=3xex班级：姓 名：学号:3.求微分方程满足所给初始条件的特解:yK-y =4xex,几 片。,4=0=L微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程4.设函数y=y(x)满足微分方程y y-2 y=3e

38、-r,它的图形在x=0处与直线y=x相切，求该函数5.设函数e(x)连续，月一满足夕(x)=e*+，S(f)力一力，求夕(x).班级：姓 名：学号：6.设函数y(x)(x 0)二阶可 导,且y(x)0,y(0)=1,过曲线y =y(x)上任意一点p(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为历，区间 0,x 上 以y =y(x)为曲边的曲边梯形的面积记为S 2,恒 有2S|S 2=1，求曲线y =y(x)的方程.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题1 0-6差分与差分方程的概念常系数线性差分方程解的结构1.填空题 设”=e*,则=(2)设 匕=Y，则

39、Z x =(3)设 yx=c o s 2x,贝 i j A y (=(4)差分的运算法则：A(c”)=(X+z,)=-2.已知yx-e*是方程居+a yx-2ex的一个解，求a班级：姓 名：学号:3.求下列函数的二阶差分(1)y =e3x(2)y 2/-x(3)y=lo axg(。0,。工1)微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程4.给 定一阶差分方程y*+i+p yx=A ax,验证：A(1)当p+QWO时，”.=-/是方程的解.p +a(2)当p+。=0时，yx=Axaxl是方程的解班级：姓 名：学号:习题10 7 一阶常系数线性差分方程（一）1 .填空题（1）一 阶 常 系 数 齐 次

40、 线 性 差 分 方 程 八 十 电，=0（4 H 0）的 通 解 为2.求下列一阶常系数齐次线差分方程的通解：（D 2八+1-3八=0 y*+=力+i-久=。微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-7 一阶常系数线性差分方程(二)1 .填空题(1)若/(x)=p“(x),则一阶常系数非齐次线性差分方程+-a x =/(x)具有形如y；=的特解.当 1 不是特征方程的根时，k=;当1是特征方程的根时，k=.2.求下列一阶差分方程在给定初始条件下的特解（1）2y x+|+5工=0且 汽=3班级：姓名:学号:(2)*=(),且 0=23.求下列一阶差分方程的通解 A y*-4汽=3(2)

41、y*+i+4 y x =2厂+x +1微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程 K+i=2，（4）y川+%=八2班级：姓 名：4.求下列一阶差分方程在给定的初始条件下的特解 y.x+i+4 x =2/+X-2 且 y。=1学号:（2）打+i+/=2 =且%=2微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程习题10-9差分方程的经济应用1.（存款模型）设S,为f年末存款总额，r为年利率，有关系式S*=S,+4,且初始存款为S o,求f年末的本利和.班级：姓 名：学号：2.设某产品在时期，的价格，总供给与总需求分别为,S,与。,，对于 =0,1,2,有 =2 +1关系式：D,=-4+4S,=D,（1）求

42、证：由 关 系 式 可 推 出 差 分 方 程+2 =2;（2）与己知时，求该方程的解.微积分练习册 第十章 微分方程与差分方程3.设为t期国民收入，c,为，期消费，I为 投 资（各期相同），三者有关系式y,=c,+l,c,=ay,_+0,其中 0 a 0已知，=0时，y,=y0,试求和q班级：姓 名：学号：4.设某商品在，时期的供给量s,与需求量d,都是这一时期该商品价格化 的线性函数,已知s,=3p,2,dt=4-5/7,且在/时期的价格p,由PT及供给量与需求量之差s,_1-4 T按关系式P，=凡-|一 白(s-4T)确定16试求商品的价格随时间变化的规律.微积分练习册 第十一章 无穷级

43、数习题11T 常数项级数的概念和性质1.填空题(1)Y un 收敛，则 一 8-u+3)=.00(2)Z%收敛，且S“=%+%+%，则lim(S“+S“T-25,)=“T8n=l(3 +9+(5 +*)+(最+5)+的和是-8 8(4)若的和是3,则Z“的和是n=fi=3(5)的和是2,则匚的和是_n=l n=l 2(6)当 国1时，的和是n=l2.根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性念(2 -1)(2 +1)班级：姓 名：学号:8 _ _(2)J +2 2 J +1 +y n)n=I3.判断下列级数的敛散性(1)(-1严n=l微积分练习册 第十一章 无穷级数名 41）飞）n=l 5(

44、4)”0.0 0 1n=班级：姓 名：学号:8(5)E2 +36(6)L 1 +L2+/+.5 25 5微积分练习册 第十一章 无穷级数习题1 1-2正项级数及其审敛法1.用比较审敛法或比较审敛法的极限形式判别下列级数的敛散性:1(1)=1nyjn+l（2）S6i 1 +n-c o s2M1+-2n00 _Z.7tsin57n=乙班级：姓 名：学号:2.用比值审敛法或根值审敛法判别下列级数的敛散性:00勺”（1）V 几a 2”加 汇 丁n=微积分练习册 第十一章 无穷级数习题1 1-3任意项级数的绝对收敛与条件收敛1.判别下列级数的敛散性:00Z;|=1n2+32 e 3+（1）”H =l 乙

45、0）（-r,（o）“=i n+l班级：姓 名：学号:2.判别下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛?(1)V(-1)(1-c o s-),(0)/：=in （-1）/=2 Inn3.已 知 级 数和 宜 比 都收敛，试 证 明 级 数 绝 对 收 敛.“=1 n=l =1微积分练习册 第十一章 无穷级数习题11-4泰勒级数与得级数（一）1 .填空题（1）若基级数“（七 口）在x=0处收敛，则在x=5处_（收敛、发n=l 2散）.若l i m 四=2 ,则嘉级数%针的收敛半径为（3）（-3）”的收敛域.=|几（4）3+（”】的收敛域n=0 38 2 n+l（5）Z（-1）J 的收敛域n=

46、l ，2s 1 4-n（6）2）的收敛域.M i+犷2.求下列塞级数的收敛域：0 0Z=12“n2+1班级:姓名:学号:2T l 1 3”n=乙s 1（3）微积分练习册 第十一章 无穷级数3.若 藉 级 数 的 收 敛 域 是 卜9,9 ,写出工。/2 的收敛域=1n=l4.利用逐项求导或逐项积分，求下列级数在收敛区间内的和函数00(1)(-1 0)(2)a (a 0且 w 1)s i n2 x班级：姓 名：学号:(4)(1 +x)l n(l +x)2.将函数/(幻=?在/=1处展开成幕级数.微积分练习册 第十一章 无穷级数3.将函数/(x)=1 展开成(x-2)的幕级数.3+x2x+14.将

47、函数/(x)=-.展开成(x-2)的基级数.x+x 2班级：姓名:学号:5.将函数/(x)=e3,在x=1处展开成器级数716.设/“=J：s i n x c o s xd x,n-0,1,2 ，求Z，”,n=0微 积 分（下）练习册模拟试卷一微 积 分（下）模拟试卷一一、填 空 题（3 X 5 =1 5）d z1.设由方程x +y +z=确定是尤,y的函数，则=OX2.设/(x,y,z)=()：,则力1(1,1,1)=X3.JJ yjl-x2-y2dxdy-.x2+y2 2 =1 围成，则二重积分/=j j/(7 x2+/W=(DA.4 J；dy 尸 f x2+y2)dx BA J j dd

48、 力Q W3.若之端收敛，则()n=l =1n)A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定班级：姓 名：学号:4.方程y=x+j；ydx可化为形如A.y-y-l B.y2ex-l)的微分方程y -y =i f y-y =iy(o)=o y =15.差分方程的特解可设为()Abx BJ)ox3 Cbx1+bx+b2 D.x(box2+/?,+/?2)三、计 算 题(6 X 8 =48 )1.设z =l n t an,求 包，包.y dx dy2.交换积分次序，求/=。力eyxdx.3.求/=胪+/-怛,其中。：f+y 244.D4.判定级数M=12n-3的敛散性.5.求微分方程今+y

49、co t x =5 e 8 s x满足y（1）=4的特解.微 积 分（下）练习册模拟试卷一6.设z =/（x,盯），其 中/具 有二阶连续偏导数，求上三oxoy7 .求级数 /的收敛域及和函数.n=l8 .求微分方程了-y =4 x 的通解.四、应 用 题(8 X 2 =1 6 )L 假设某产品的销售量x(f)是时间/的可导函数，如果商品的销售量对时间的增长速率空dx与销售量无(。及销售量接近于饱和水平的程度N-xQ)之积成正比(N 为饱和水平,dt比例常数k 0),当 f =0 时、X=LN.10求销售量X。).班级：姓 名：学号：2.设生产某种产品需用原料A和 B,它们的单位价格分别是10

50、元 和 15 元，用 X单位原 料 A和 y单位原料B可生产20盯-彳2-8)?单位的该产品，现要以最低成本产生112单位的该产品，问需要多少原料A和 B?五、证 明 题（6 ）a b a 设33（=1,2-；4 0,0）,证明：若Zb,收敛，则X 4收敛an n=l=l微 积 分（下）练习册模拟试卷二微 积 分（下）模拟试卷二一、单项选择题（每小题3 分，共 5小 题 15 分）1.二元函数1=/（乂）在点（%,%）的偏导数存在，是在该点可微的（)A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件2.设D是圆域是D在 第 一 象 限 部 分 区 域，则j|(x +y +l)Jcr =()