2023年中考数学压轴题培优教案11四点共圆模型（含答案解析）.pdf

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1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题11四点共圆模型解题策略_ _7模 型 1:定点定长共圆模型若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆.如图,若OA=OB=OC=OD,则A,B,C,D四点在以点。为圆心、以为半径的圆上.模型2：对角互补共圆模型2,若一个四边形的一组对角互补,则这个四边形的四个顶点共圆.如图，在四边形四力中，若N 4+N O=1 80 （或N8+N片 1 80 ）则 4&G。四点在同一个圆上.拓展：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆.如图,在四边形ABCD中,N颂 1 为外角,若N B=/C D E,则A,B,C 2 四点在

2、同一个圆上.模 型 3：定弦定角共圆模型若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线段的两个端点共圆如图,点A,。在线段况的同侧,若N A=N D,则A,B,C 四点在同一个圆上.经典例题【例1】.（20 21全国九年级课时练习）在边长为1 2c m的正方形A B C D中，点E从点D出发，沿边DC以l c m/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以l c m/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、D F交于点P,设点E.F运动时间为t秒.回答下列问题：（1）如 图1,当t为多少时,E F的长等于4 c m?如图

3、2,在点E、F运动过程中，求证：点A、B、F、P在同一个圆（。0）上；是否存在这样的t值，使得问题中的。O与正方形A B C D的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；请直接写出问题中，圆心O的 运 动 的 路 径 长 为.D =1 80。,则NA OB+NCOD=；（直接写出结果）（2）连接4。、B C,若4。、B O、C O,。分别是四边形AB C D的四个内角的平分线.如图,如果乙4 O B =1 1 0。,那么N C。的度数为；（直接写出结果）如图，若4 4。=4 B O C/B与C D平行吗？为什么？【例3】（20 20四川眉山 一模）问题背景：如 图1,等腰4 B C中

4、,4 8=4 C,N B AC =1 20。,作4。1 B C于点D则D为B C的中点/B AD =B A C=6 0。,于是警=畏=百；2 AB AB迁移应用：如图2,力点和力D E都 是 等 腰 三 角 形=AD AE=1 20。,。,瓦C三点在同一条直线上，连接BD.求证：4 D B三4 E C；请直接写出线段4 2 B D,C D之间的等量关系式；拓展延伸：如图3,在菱形4 B C。中/AB C =1 20。,在N 4 B C内作射线8M,作点C关于8 M的对称点E,连接4 E并延长交B M于点尸，连接C E,C F.证明 C E F是等边三角形；若力E =5.C E =2,求B尸的长

5、.【例4】（20 22全国九年级课时练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角.已知四边形AB C D是圆美四边形.（1）求美角乙4的度数;（2）如 图1,若。的半径为5,求8。的长;(3)如图 2,若&4平分N B C D,求证：BC +C D =AC.培优训练一、解答题1.（20 22辽宁葫芦岛一模）射线A B与直线C 交于点E,N AE Z）=6 0。,点F在直线C O上运动，连接AF,线段A F绕点A顺时针旋转6 0。得到AG,连接F G,G,过点G作G H 1 4 B于点H.(1)如 图1,点F和点G都在射线A 8的同侧时,EG与G H的 数

6、量 关 系 是；(2)如图2,点尸和点G在射线A B的两侧时，线 段 之 间 有 怎 么 样 的 数 量 关 系？并证明你的结论；(3)若点尸和点G都 在 射 线 的 同 侧,4E =1,E F=2,请直接写出H G的长.2.(2022 上海宝山 九年级期末)如图，已知正方形ABC。,将 绕 点A逆时针方向旋转汨(0 n 90)到AP的位置，分别过点C、。作CE _LBP,0F18P,垂足分别为点E、F.求 证:C E =E F；联结CF,如果笑=求乙4BP的正切值;C F 3(3)联结AF,如果4F=曰4&求 的值.3.(2022.重庆市育才中学九年级期末)在等边A ABC中,D是边4 c上

7、一动点，连接BD,将BD绕点。顺时针旋转120。,得到DE,连接CE.（1）如 图1,当B、4、E三点共线时，连接AE,若4 B =2,求C E的长;（2）如图2,取C E的中点凡连接D F,猜想4。与。尸存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3,在（2）的条件下，连接B E、4 F交于G点.若G F =D F,请直接写出笔里的值.4.（20 22黑龙江 哈尔滨工业大学附属中学校九年级期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=3 a f-10 a x+c分别交x轴于点4、8（4左8右）、交y轴于点C,且0 B=0 C=6.（1）如 图1,求抛物线的解析式；（2）如图2,点P在第一象限对称轴右侧抛

8、物线上，其横坐标为f,连接B C,过点P作B C的垂线交x轴于点D,连 接 8,设 B CD的面积为5,求S与f的函数关系式（不要求写出，的取值范围）；（3）如图3,在（2）的条件下，线段C。的垂直平分线交第二象限抛物线于点E,连接E。、E C、E C,且NE O C=4 5。,点N在第一象限内，连接。乂。“卢（：,点6在。6上,连接N G点M在D N上,N M=E G,在N G上截取N H=N M,连接M H并延长交C D于点F,过点，作H K _ L F M交E D于点K,连接FK、若N F K G=N H K D,G K=2 M N,求点G的坐标.5.（2 0 2 1广东珠海市紫荆中学九

9、年级期中）如图,a A B C中,N B A C=9（T,A B=A C=4,直角 A O E的边A E在线段A C上,A E=A O=2,将A A O E绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度a,连接C D、8E,直线CD,BE交于点F,连接A F,过B C中点G作GM CD,GN AF.(1)求证：B E=C D；(2)求证：旋转过程中总有N 8/=NMGN；(仅对0。&B E,/8E C=120。,求证：A DB E是等边三角形；【拓展创新】如图3,E尸=6,点 C 为 E F的中点，边长为3 的等边aA B C绕着点C 在平面内旋转一周，直线AE、8尸交于点P,M为 PG 的中点,EFLFG

10、 于 F,FG=4百，请直接写出MC的最小值.7.(2022全国九年级课时练习)如图1,在正方形4BCD中点尸在边BC上，过点尸作EF 1 BC,且FE=FC(CE CB),连接CE、AE,点G是4E 的中点，连接尸G.图1图2(1)用等式表示线段8F与F G的数量关系：；(2)将 图1中的A CE F绕点C按逆时针旋转，使A CE F的顶点F恰好在正方形2 B CD的对角线A C上，点G仍是4 E的中点，连接F G、D F.在图2中,依据题意补全图形；用等式表示线段DF与尸G的数量关系并证明.8.(2 0 2 1.四川成都实外九年级阶段练习)“数学建模是中学数学的核心素养,平时学习过程中能归

11、纳一些几何模型,解决几何问题就能起到事半功倍的作用.(1)如图 1,正方形4 B CD中/E A F =4 5。,且DE =B F,求证：E G =AG；(2)如图2,正方形力B CD中/E 4 F =4 5。,延长E F交4 B的延长线于点G,(1)中的结论还成立吗？请说明理由：(3)如图3在(2)的条件下，作G Q 1 4 E,垂足为点Q,交4 F于点N,连结D N,求证：乙ND C =45.9.(2 0 2 1.上海徐汇.九年级期中)如图，已知心 ABC和R S C D E AC B=4C D E=9 0。,4 c AB=C E D,AC =8,BC=6,点。在边AB上，射线C E交射线

12、B4于点F.AD、BAB(1)如图，当点尸在边4 B 上时，联结4 E.求证：AE|B C；若E F =。凡 求 的 长；(2)设直线A E 与直线C D 交于点,若4 P C E 为等腰三角形，求B F 的长.1 0.(2 0 2 2 全国九年级专题练习)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.(1)如 图 1,N E 是 4 8 C 中NA 的遥望角.若N A=4 0。,直接写出/E的度数是求/E与/A 的数量关系,并说明理由.(2)如图2,四边形ABC 中,N A B C=N A O C=9 0。,点E在 B D的延长线上，

13、连 C E,若N B E C 是 ABC 中NB A C 的遥望角,求证：D A=D E.I I.(2 0 2 2 全国九年级课时练习)在正方形4 B C D 中,M是BC 边上一点，点P 在射线4M上,将线段4 P 绕点4 顺时针旋转9 0。得到线段4 Q,连接B P Q Q.(1)如 图 1,求证：BP =D Q；备用图(2)(3)如图2,若点P,B,D 三点共线,求证：A,Q,P,D 四点共圆;若点P,Q,C 三点共线，且AD =3,求B P 的长.1 2.(2 0 2 1 江苏 泗阳县实验初级中学九年级阶段练习)如图1,在正方形A B C O 中，点 E、尸分别是B C、C D上的两个

14、动点，且BE =C F,AE 和 8 尸相交于点P.(1)探究A E、B F 的关系，并说明理由;(2)求证：4、D、F、P在同一个圆上;(3)如图2,若正方形4 B C O 的边4 B 在 y 轴上，点 4、8的坐标分别为(0,-1 +a)、(0,-1 a),点 E、尸分别是B C、CO上的两个点，且BE =C F,AE 和 B F 相交于点尸,点 M的坐标为(4,一 4),当点P落在以M为圆心1为半径的圆上.求a的取值范围.图2图11 3.(2 0 2 1 重庆一中九年级阶段练习)如图,在等腰R t ABC ,Z.BAC=9 0。,4。1 BC,垂足为D,点E 为AC 边上一点，连接E C

15、 并延长至F,使E D =F D,以E F 为底边作等腰R t E G F.(1)如图 1,若N 4 0 E =30 ,AE=4,求C E 的长;(2)如图2,连接BE D G,点M为B F 的中点，连接D M,过。作。H 1 4 C,垂足为“，连接4 G 交。H于点N,求证:D M =N G；(3)如图3,点K为平面内不与点。重合的任意一点，连接K D,将K D 绕点D 顺时针旋转9 0。得到K D,连接K 4 K B.直线KS与直线K B 交于点P,。为直线BC 上一动点，连接力。并在A。的右侧作C 。1 4 Z T 且C 。=4 D ,连接AC ,Q 为8 c 边上一点,C D =3C

16、Q,AB=1 2 V l 当Q C +C P 取到最小值时，直线C P 与直线BC 交于点S,请直接写出 BP S 的面积.1 4.（2 0 2 1福建省福州外国语学校三模）在中/4 C B=9 0 o,/l C =3,BC =4.将R t 4 BC绕点B顺时针旋转a（0。a ,点E为线段B C上的一点，连接Q E,以线段Q E为直角边构造等腰R d O E E E F交线段A B于点G,连接A F、D G.（1）如 图1,若4 8=1 2&,跖=5,则。E的长为多少?（2）如图2,若点H,K分别为线段B G Q E的中点，连接H K,求证：AG=2HK-（3）如图3,在（2）的条件下，若B

17、E=2,B G=2鱼，以点G为圆心/G为半径作。G,点 为（D G上一点，连接M K,取MK的中点尸,连接A P,请直接写出线段A P的取值范围.1 7.（20 21江苏苏州二模）如 图（1）,已 知 矩 形 中S B =6加，8 C=2bcn r点 后为对角线4 c上的动点.连接B E,过E作E B的垂线交CD于点F.（1）探索B E与E F的数量关系,并说明理由.（2）如 图（2），过尸作4 c垂线交A C于点G,交E B于点H,连接C H.若点E从A出发沿A C方向以z V m/s的速度向终点C运动，设E的运动时间为t s.是否存在f,使得H与8重合？若存在，求出f的值；若不存在，说明理

18、由；f为何值时,CFH是等腰三角形；当CG =G H时，求 CG H的面积.1 8.(20 22江苏扬州模拟预测)如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中ND 4 B=4 5 o,NC4 B=3 0。,点O为斜边A B的中点，连接C D交A B于点E.设A B=1.(1)求证：A、B、C、。四个点在以点。为圆心的同一个圆上；(2)分别求A 8 C和4 8。的面积；(3)过点。作 FB C交A B于点F,求。E：O F的比值.1 9.(20 21江苏南京二模)如图,4是。外一点,A B与。相切于点8,4。的延长线交。于点C,过点B作B D 4 C,交。于点D,连接D O,

19、并延长。交。于点E,连接A E.已知B D =2,。的半径为3.图 图(1)求证：A E是。的切线；(2)求4)的长;(3)如图，若点M是。上一点，且B M =3,过4作4 N/B M,交弧M E于点N,连接M E,交4 N于点G,连接0 G厕0 G的长度是.20.(20 20浙江温州九年级期中)如图，在团A B CO中,4 B =5,t an 4 =，过点8作B E 1 4 D于点E,过B,D,E三点的圆分别交边4 B,B C,CC于点连结B E,CE,连结B N交CE于点P.（1）求证：/=MTV.（2）当ABPE是等腰三角形时，求40的长.（3）连结BDMN,当BC平分乙4DC时，求 B

20、 M N与 CDE面积的比值.21.（2020.湖南郴州市第九中学九年级阶段练习）如图,边长为3夜的正方形4BCD中,P是对角线AC上的一个 动 点（点P与A、C不重合），连接8P,将BP绕点B顺时针旋转90。得到BQ,连接QRQP与BC交于点E,其延长线与4D（或AD延长线）交于点F.图2（备用图）（1）连接CQ,证明：CQ=4P；（2）设4P=x,C E=y,试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；（3）试问当P点运动到何处时,PB+PE的值最小，并求出此时CE的 长.（画出图形,直接写出答案即可）22.（2021 全国九年级课时练习）如图,四边形ABCD内接于。0,对角线4

21、c 1 BD,垂足为E,CF d.AB于点F,直线CF与直线BC于点G.D图 2图 1(1)若点G在。内，如 图 1,求证：G和。关于直线4C对称；(2)连接4G,若4G=BC,且4G与。相切，如图2,求/ABC的度数.23.(2020北京市三帆中学九年级期中)己知：过。上一点4作两条弦48、AC,且44=45。，(48、4c都不经过0)过4作4 c的垂线4F,交。于。，直线8 c s e 交于点E,直线E C,AD交于点F.(1)请在图1中，按要求补全图形；(2)在图2 中探索线段BE 和BF的数量关系，并证明你的结论；(3)探索线段4B、AE.AF的 数 量 关 系,并 直 接 写 出 你

22、 的 结 论.24.(2020 湖北 武汉二中广雅中学二模)如图，等腰RtAABC中,NACB=9(r,D 为 BC边上一点，连接AD.(1)如 图 1,作 BE1AD 延长线于E,连接CE,求证：NAE C=45。；(2)如图2,P为 A D 上一点，且/BPD=45。,连接CP.若AP=2,求4A PC 的面积；若AP=2BP,直接写出sinZACP的值为.经典例题【例 1】（2021全国九年级课时练习）在边长为12cm的正方形ABCD中，点 E 从点D 出发，沿边D C 以lcm/s的速度向点C 运动，同时，点 F 从点C 出发，沿边C B 以 Icm/s的速度向点B 运动，当点E 达到

23、点C 时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P,设点E.F 运动时间为t 秒.回答下列问题：如 图 1,当 t 为多少时,E F的长等于4V5cm?如图2,在点E、F 运动过程中，求证：点 A、B、F、P 在同一个圆（。0）上；是否存在这样的t 值，使得问题中的O O 与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t 值：若不存在，请说明理由；请直接写出问题中，圆心O 的 运 动 的 路 径 长 为.【分析】（1）由题意易得DE=CF=t，则有EC=12-t,然后利用勾股定理求解即可：（2）由题意易证ADEgZDCF,则有ZCDF=NDAE,然后根据平行线的性质可得NAPF=90。,进而可得/B

24、+NAPF=180。,则问题得证；由题意可知当。O 与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD相切时,一是当圆与边DC相切时；由动点E、F 在特殊位置时得出圆心O 的运动轨迹，进而求解即可.【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t,四边形ABCD是正方形，AB=CD=BC=AD=12cm,ZC=ZB=ZADC=Z DAB=90,EC=12-t,E F的长等于475cm,.在 RtACEF 中,“2=E C2+CF2,即（心2=_t）2+t2解得 L=4,t2=8；（2）由（1）nJW AB=CD=BC=AD=12cm,ZC=ZB=ZADC=ZDAB=90,D

25、E=CF=t,.-.ADEADCF,.-.ZCDF=ZDAE,vZCDF+ZPDA=90,NDAE+NPDA=90。，.-.ZADP=ZAPF=90,.-.ZAPF+ZB=180,由四边形APFB内角和为360。可得：ZPAB+ZPFB=180,点A、B、F、P 在同一个圆（。0）上；由题意易得：当。O 与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；a、当。O 与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：由题意可得AB为O O 的直径，At=12；b、当。O 与正方形ABCD的边DC相切于点G 时，连接OG并延长交A B于点M,过点O 作 OHLBC交 BC于 点 H,连接OF,如图所示：.OG

26、1 DC,GM 1 AB,HF=HB,四边形OMBH、GOHC是矩形,在 RtAFOH 中,OF2=0H2+/，即9+以“.-.OH=BM=GC,OG=HC,.AB=BC=12cm,.OH=6,vCF=t,BF=12-t,.HF=6-C H =OG=OF=t+6-=6+=62+（6-|）2,解得：t=3；综上所述：当t=3或 t=12时,。O 与正方形ABCD的边相切：由（I）（2）可得：当点E 与点D 重合及点F 与点C 重合时，圆心在正方形的中心上；当点E 与点C 重合及点F 与点B 重合时，圆心在A B的中点上,故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：.OP即为圆心的运动轨迹，即 OP=6

27、cm.故答案为6cm.【点睛】本题主要考查圆的综合,熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题.【例 2】（2022吉林白山八年级期末）（1）如图,02B、OCD的顶点O 重合，且乙4+NB+NC+4。=180。厕 N A O B+N C O D=；（直接写出结果）（2）连接4。、BC,若4。、BO、C O,。分别是四边形4BCD的四个内角的平分线.如图，如果NA0B=110。,那么NC0D的度数为；（直接写出结果）如图，若4。=NBOC/B与CD平行吗？为什么？DD【答案】(D 180；(2)70。；4BCD,理由见解析.【分析】(1)结合三角形三角和为180,利用题

28、目已知条件，计算结果,即可.(2)利用第一问的结果，计算，即可.利用四边形四角和为180。,计算得出WAO+的度数，结合角平分线定理，得到+乙4DC的和，利用平行直线的判定，证明，即可得出.【详解】(1)+NB+NC+4。+AAOB+乙DOC=360,可得。8+ZDOC=180；(2)结合乙4OB+乙DOC=180,乙4。8=110。,可得=7 0 ；AB/CD,理由是：因为SO,8 0、CO、D。分别是四边形28CQ的四个内角的平分线，所以Z6M 8 NZMB,Z.OBA=-/.C B A,乙OCD=&BCD,Z.ODC=-/.ADC.2 2 2 2所以4。48+/.OBA+ZOCD+/.O

29、DC=(/.DAB+/.CBA+乙BCD+/.ADC)在四边形 4BCD 中，皿 IB+Z.CBA+乙 BCD+Z.ADC=360.所以NOAB+OBA+ZOCD+乙ODC=1x 360=180在 O AB,W AB+AOBA=1800-4AOB.在 OCDxOCD+/.ODC=180-/.COD.所以 180-/.AOB+180-乙COD=180.所以乙40B+。=180所以NAD。+/BOD=360-(4AOB+乙COD)=360-180=180.因为=乙BOC,所以=A BOC=90在乙4。中“4。+AADO=180-Z.AOD=180-90=90.因 为 皿 1。=D A B,Z.AD

30、O=2OC,所 以*4B+2 =90.所以 S 4 B +/.AD C=180.所以4 8cn【点睛】考查三角形内角和及平行线的判定，得到4n4B和N4DC的关系是解题的关键.【例3】（2020四川眉山一模）问题背景:如图1,等腰4BC中,4 8=4&乙84。=120。,作4。1 8。于点。,则D为BC的中点“AD=2AC =60。,于是普=答=百；2 AB AB迁移应用：如图244DE都是等腰三角形/8 4 C =Z.D AE=120。,瓦（：三点在同一条直线上，连接BD.求证：A D B =A E C；请直接写出线段4D,BD,CD之间的等量关系式；拓展延伸：如图3,在菱形4BCD中，乙4

31、BC=120。,在乙4BC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接4E并延长交BM于点F,连接CE,CF.证明ACE F是等边三角形；若4E =5,CE =2,求8尸 的长.【答案】迁移应用：详见解析；结论：CDWA D+B D;拓展延伸：详见解析；38【分析】迁移应用：如图2中，只要证明W AB=AC AE,即可根据S4S解决问题；结论：C D =V 3AD +B D.由4ZMB m 4E4C,可知8C=CE,在R4DH中,DH=4C-cos3（r =（A D,由AD =AE,AH 1 D E,推出CH=H E,由CD=D E +E C =2D H+BD =6 AD +BD,即可解决问题

32、；拓展延伸：如图3中，作BH J.AE 1于，连接B E.由BC=BE =BD=8 4 FE =FC,推出4、D、E、C四点共圆，推出1DC=Z.AE C=120,推出4FE C=60,推出AE FC是等边三角形；_ I J C由4E =5,E C=E F=2,推出4 =HE =2.5,F H=4.5,在RMBH/中，由48FH=30,可得B菰F=cos30,由此即可解决问题.【详解】迁移应用：证明：如图29Z.BAC=Z.DAE=120,：.z.DAB=乙 CAE,在ZMB和*中，DA=EA/.DAB=Z.EAC,AB=AC DAB=EAC,解：结论：CD=b/W +B).理由：如图2-1中

33、，作4 H le。于H.：ADAB=AEAC,：.BD=CE,在RtA4cH中,DH=AD-cos30=AD,29：AD=AE,AH 1 DE,：.DH=HE,A CD=DE-V EC=2DH+80=V3AD+BD;拓展延伸：证明：如图3 中，连接8瓦 四边形力BCD是菱形，乙4BC=120,ABDA BDC是等边三角形,：.BA=BD=BC,、。关 于 对 称，：.BC=BE=BD=BA.FE=FC,:.A、D、E、C 四点共圆，：.Z-ADC=2.AEC=120,：2FEC=60。,.E FC是等边三角形；解：作1 AE于 H/：AE=5,EC=FF=2,：.AH=HE=2.5,FH=4.

34、5,在R BHF中累乙BFH=30,.一HF=cos3O0n o,BF.-.BF=3 V 3【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等 腰 三 角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题,学会添加辅助圆解决问题,属于中考压轴题.【例4】(2022全国九年级课时练习)定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角.已知四边形4BCD是圆美四边形.(2)如 图1,若。的半径为5,求BD的长；(3)如图 2,若C4平分NBC。,求 证:BC+CD=AC.【答案】(1)60；(2)5V3;(3)见解析【分析】(1

35、)根 据 美 角 的 定 义 可 得 然 后 根 据 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 即 可 求 出 结 论;(2)连接DO并延长，交。与点E,连接BE,根据同弧所对的圆周角相等可得NE=NA=60。,然后根据直径所对的圆周角是直角可得NDBE=90。,最后利用锐角三角函数即可求出结论；(3)延长C B 至 F,使 BF=DC,连接AF、BD,先证出4A B D 为等边三角形，然后利用SAS证出A BFAADC,从而得出AF=AC,/F=NDCA=60。,再证出4A C F 为等边三角形，利用等边三角形的性质和等量代换即可得出结论.【详解】解：(1)根据题意可得：而N A+/C=180。N

36、A=60(2)连接DO并延长，交。与点E,连接BENE=NA=60V D E为。的直径,。的半径为5,.ZDBE=90,DE=10在 RtADBE 中,BD=DE-sinNE=10 x星 5百；2(3)延长C B 至 F,使 BF=DC,连接AF、BD由(1)可知：ZBAD=60,ZBCD=2ZBAD=120TCA 平分/BCD,NBCA=NDCA=2CD=60:.ZABD=ZDCA=60:.ZADB=180-ZABD-ZBAD=60.ABD为等边三角形 AB二 AD根据圆内接四边形的性质可得NABF=NADC在4A B F和4A D C 中BF=DC乙 ABF=Z.ADCAB=AD/.ABF

37、AADCJ AF=AC,Z F=ZDCA=60Z.ZFAC=180-NF-ZACF=60AA ACF为等边三角形ACF=ACBC+BF=AC/.BC+CD=AC【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质,掌握新定义、圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、锐角三角函数、等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键.ZX培优训练X_ _ Z一、解答题1.(2022辽宁葫芦岛一模)射线AB与直线C 交于点E,NAE=60。,点 F 在直线C 上运动，连接4尸,线段 AF绕点A 顺时针旋转60。

38、得到AG,连接FG,EG,过点G 作GH 1 4B于点H.图1图2(1)如 图 1,点 F 和点G 都在射线AB的同侧时,EG与 GH的数量关系是(2)如图2,点尸和点G在射线A B的两侧时，线段E%E,G H之间有怎么样的数量关系？并证明你的结论；(3)若点尸和点G都在射线A B的 同 侧=1,E F=2,请直接写出H G的长.【答案】HG =E G;2(2)G H=0 1后一),证明见解析；立或这2 2【分析】(D先证明A G A F是等边三角形得乙4=6 0。,再证明点A、E、G、下四点共圆，得NG E F =G AF=6 0。,从而计算得至UNG E H=1 8 0-AE D -Z.G

39、 E F=6 0。,最后在直角三角形G E H中,求出整=E Gt a nz.G E H=t a n 6 0 =立即可得到答案；2(2)在射线ED上截取E N=4 E,连接4 V,如图3,先证 A E N是等边三角形，得4 E =AND E AN=6 0。,再证 G AE =从而得到4 G AE d F 4 N,进而得s i n 6 0。=詈=今从而求得结论；(3)分两种情况讨论求解GH的长,当点F和点G都在射线A B的右侧时,在射线E D上取一点M,使得E M=E G,连接MG,如图4；当点尸和点G都在射线A B的左侧时,在线段G E上取一点N,使得NE=E F,如图5,通过构造三角形全等，

40、利用三角函数求解即可.(1)解：.线段A F绕点A顺时针旋转6 0。得到A G,LG AF=6 0。,4 G =AF,A G A F是等边三角形，/-AG F =AF G=60 ,AG =AF =G F,：Z AE D=60,:.Z.AG F =Z.AE D,二点A、E、G、尸四点共圆，Z.G E F =Z.G AF=6 0 ,乙 G E H=1 8 0 -Z.AE D -乙 G E F=6 0 ,v G H 1 AB,=t a n 乙 G E H=t a n 6 0 =晅,E G 2 HG =2E G,故答案为：HG若EG;ADB图1图2(2)解：在射线ED上截取EN=AE,连接AN,如图3

41、,.Z.AED=60,.ZEN是等边三角形，：.AE=ANDEAN=60AF=AG,/.FAG=60,J./.GAE=/.FAN：.GAE 三4 FAN,：.Z.GEA=乙 FNA=60,GE=FNAE-EF=FN=GE,：GH LABsin60=T：.GH=GE,2:.GH=与(AE-EF);A(3)当 点 尸和点G都在射线AB的右侧时,在射线ED上取一点M使得EM=EG,连接MG,如图4,线段AF绕点A顺时针旋转60。得到4G,/.GAF=60。,4G=,GAF是等边三角形，2LAGF=Z.AFG=乙FAG=60,4G=AF=GF,AED=60,Z.AGF=Z.AED,点A、E、G、尸四点

42、共圆，乙GEH=LGVA=60,ZGFF=LGAF=60,EM=EG,GEM是等边三角形，:.EM=GM=EG/EGM=60,A ZEGM=Z-EGA+MGA=60=乙EGM=乙MGF+乙MGA,乙EGA=ZMGF,：EGA=MGF,.MF=AE=1,GE=EM=EF-MF=2-1=1,v GH 1 AB,，HG=siM GM E G=sin600 EG=3当点尸和点G都在射线AB的左侧时,在线段GE上取一点N,使得NE=ER如图5,Z.AGF=Z-AED=60,点 A、E、G、尸四点共圆，乙4EF=18O0 1ED=120。乙 NGF=LEADGEF=Z.GAF=60AEG=Z.AFG=60

43、。，：NE=EF,ANEF是等边三角形,NE=EF=NF二 L乙 ENF=60,乙 GNF=180-乙 ENF=120,Z.GNF=4/EF,GNF=AEF,GN=AE=2,A GE=GN+NE=2+1=3,GH 1 ABAEG=60。，GH=GE-sin60=-V3,综上所述,GH 的长为立或延.2 2图5图4【点睛】本题主要考查/特殊角的三角函数、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定及性质以及旋转图形的性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键.2.(2022 上海宝山九年级期末)如图，已知正方形ABC2将 AO绕点A逆时针方向旋转汨(0 n CG(AAS),/.CE=CG,四边形FE

44、CG为正方形,；.CE=EF；(2)解：如图所示，连接CF,由(1)知,CE=E F,CE _LE F,则 为 等 腰 直 角 三 角 形,由旋转的性质得：ZPAD=n,AP=AD,：.ZPAB=90+n,ZAPD=(18O-ZB4D)=90-),：APAB,：.ZAPB=-(180-ZB4B)=45-n,2 2 /FPD=NAPD/APB=45。,:DF1.AB,：.NO尸 尸 二 90。，：./D F P 也为等腰直角三角形,:DFPsCEF,.D P _ 1.PF _ DP _ 1 FE 一 CF 一 3设 P F=x,则 FE=CE=3x,d J(1)知四边形CEFG为正方形，:FG=

45、FE=3x,：.DG=FG-DF=2x,?2BCEmADCG,：.BE=DG=2x,op O V 7在 R M E C 中,tan4BCE=矢=?=gNABP+NEBC=9。,NEBC+NBCE=90。,：.ZABP=ZBCE,2tanZJlBP=tanZ-BCE=-；.如图所示，连接AF和对角线AC,由(2)可知,/EFC=45,NEFD=90,ZCFD=45,：AC为正方形A B O 的对角线，ZCAD=45,AC=/2AB,：.NCAD=NCFD,.点 A、C、尸四点共圆，/AFC=/AC=90。，：AF-AB,2：.AFAC,则在 R t AF C 中,sinzl/CF=1,/A C

46、F为锐角，ZACF=30o,ZMC=90-30o=60,:Z C AD=45,：.ZMD=60-45=15,:AP=AD,AF=AF,P F=D F,：./AF P /AF D,：.Z F AD=Z F AP=50,，ZMD=30,=30.【点睛】本题考查正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及旋转的性质和解直角三角形等，掌握图形的基本性质和判定方法，具有较强的综合分析能力是解题关键.3.（2022重庆市育才中学九年级期末）在等边 ABC中,。是边4C上一动点，连接BD,将BD绕点。顺时针旋转120。,得到。E,连接CE.（1）如 图1,当8、4、E三点共线时，连接4E,若4B=2,求

47、CE的长；（2）如图2,取CE的中点F,连接。凡猜想4。与CF存在的数量关系，并证明你的猜想;（3）如图3,在（2）的条件下，连接B E、4 F交于G点.若G F=D F,请直接写出上箸的值.BE【答案】（1）夕；（2）AD =2 D F；证明见解析；（3）在3【分析】（1）过点C作C _ L 4 B于点比根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理求得C 4=臼，进而求得B D =痣，在R t E HC中,HE =AH+AE =2,C H=8,勾股定理即可求解；（2）延长。尸至K,使得F K =。尸,连接E K,K C,过点。作C P/。,交A B于点P,根据平行四边形的性质可得/E DA=

48、4 K C A,证明 4 P D是等边三角形，进而证明 4 8 D三X 4 C K,即可证明4 AK D是等边三角形，进而根据三线合一以及含3 0度角的直角三角形的性质，可得4。=2D F；（3）过点。作C M 1 BE于点M,过点。作O N 1 AB,连接M F,交4 c于点儿过点。作O N 1 AB,交B E T点R,过点、R作RQ 1 BD于点Q,先证明4 E M F =4 5。,结合中位线定理可得t E BC =4 5。,进而可得NNB。=4 5。,设AN =D F=1,分别勾股定理求得4 F,ND,BD,M B,进而根据C D+AB=C D +AC =C D +C D +AD =2C

49、 D+2 DF求得C D+4 8,即 可 求 得 的 值DL【详解】（1）过点C作C H J.AB于点H,如图 将BD绕点。顺时针旋转1 2 0。,得到DE,BD =D E/BD E =1 2 0 乙D BE =4D E B=3 0 ABC是等边三角形 /.ABC=60。,AB=AC,AH=AB=1C H =V 3 乙CBD=/.ABC 一 乙48。=30 BD 1 AC,AD=DC=AB 1 BD-V3v Z.BAC=60A/-EAD=120 ADE=180-EAD-Z.AED=30，Z-AED=LADE:.AE=AD=1在At EHC中出E=AH+AE=2,CH=V3EC=HE2+HC2=

50、J 22+(V3)2=V7(2)如图，延长DF至K,使得FK=DF,连接EK,KC,过点。作D P/。,交AB于点P,E 点F是CE的中点 FE=FC又FK=DF二四边形CDFK是平行四边形ED=KC,EDnKC：.LEDA=4KCA 将8。绕点。顺时针旋转120。,得到DE,BD=D E/B D E =120.BD=KC 4BC是等边三角形.AB=ACv PDBC:.Z.APD=LABC=6 Y/C B D =乙PDB,4P。是等边三角形 .AD=AP AB=AC.DC=PB设 ZTB。=a,则 O B =a,乙ABD=/.APD-乙PDB=60-a.Z-ADB=60+aZ-ADE=乙BDE