数学（北京B卷）-学易金卷：2023年高考第一次模拟考试卷附解析.pdf

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1、2023年 高 考 数 学 第 一 次 模 拟 考 试 卷 高 三 数 学(考 试 时 间：120分 钟 试 卷 满 分：150分)注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 等 填 写 在 答 题 卡 和 试 卷 指 定 位 置 上。2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写 在 本 试 卷 上 无 效。3.考

2、试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 第 一 部 分(选 择 题 4 0分)一、选 择 题 共 10小 题，每 小 题 4 分，共 4 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项。1.已 知 集 合 4=X,2-4-5 4。,8=卜 卜，=则 A A 8=()A.x|l x-l C.xl x-l【答 案】C【分 析】解 不 等 式 求 出 A B,再 根 据 交 集 的 定 义 求 解 即 司：【详 解】X2-4X-50,W-1X5,x-1 2 0,解 得 x 2 1,/.A=x-l x 1,A c B=x114x

3、45.故 选:C.2.己 知 复 数 z=(-l+3 i)-i,则 在 复 平 面 内 z对 应 点 的 坐 标 为()A.(1,-3)B.(1,3)C.(-3,-1)D.(-1,-3)【答 案】C【分 析】求 出 复 数 z,即 可 判 断.【详 解】因 为 复 数 z=(l+3 i)-i=-3 i,所 以 在 复 平 面 内 z对 应 点 的 坐 标 为（-3,-1）.故 选：C3.设 a=ln2,&=c=3；，则 mh,。的 大 小 关 系 为（）A.c a b B.b a c C.a c b D.a b c【答 案】D【分 析】通 过 0 l n 2 l,所 以 判 断 出 0 从 而

4、 判 断 出 出 力，。的 大 小 关 系.【详 解】V 6 Z=In 2,W 0 ln 2 l,所 以 O v a v l；p 1 1 1 1乂、=22=86，c=33=96.令/（x）=x6，而 函 数 在（。,+8）上 递 增 bcab 0力 0）的 离 心 率 6=石，则 其 渐 近 线 的 方 程 为（）/o 1A.y=2x B.y=3x C.y=x D.y=-x3 2【答 案】A【分 析】利 用 双 曲 线 的 离 心 率 和 性 质 求 解 即 可.【详 解】因 为 双 曲 线-=1（0力 0）的 离 心 率 6=石,a b=Jg所 以 由 得 5/=2+从，c2=a2+b2所

5、以 2=2,即 渐 近 线 方 程 为 y=2，a故 选：A5.二 项 式（五-京 的 展 开 式 中 常 数 项 为（）A.40 B.-40 C.80 D.-80【答 案】D【分 析】求 出 展 开 式 的 通 项，再 令 的 指 数 等 于 0,即 可 得 出 答 案.【详 解】解:二 项 式 的 展 开 式 的 通 项 为+1c H=(-2)y 号，令 j 2=。，则 左=3,6所 以 常 数 项 为(-2)3(2；=-80.故 选：D.6.已 知 向 量=(1,2)3=(肛 2-机)，若 _1_乞，贝！|3|=()A.也 B.2石 C.2 G D.20【答 案】B【分 析】根 据 向

6、量 垂 直 的 坐 标 表 示 得 m=4,再 求 向 量 的 模；【详 解】解：由 3_1_否，得 m+4-2机=0,则 加=4,H P=(4,-2)所 以|引=j42+(_2)2=2 石.故 选：B7.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，4 8 是 直 线 x+y=z上 的 两 点，且|AB|=10.若 对 于 任 意 点 P(cos(9,sin6)(002n),存 在 A,2使 44依=90,成 立，则 加 的 最 大 值 为()A.372 B.4夜 C.572 D.6及【答 案】B【分 析】可 得 尸 是 圆 Y+y2=l上 任 意 一 点，且 需 存 在 A,8,使 点 P 又 在

7、以|A6|为 直 径 的 圆 上，故 只 需 满 足 圆 f+V=1上 点 到 直 线+丫=机 的 最 远 距 离 小 于 等 于 5 即 可 求 出.【详 解】设 P(x,y),则 x=cos&y=sin。，满 足 xZ+y=l,则 点 P 在 圆/+丁=1上,又 存 在 A,8 使 NAP8=90成 立，则 点 P 又 在 以|A却 为 直 径 的 圆 上,是 圆 x?+y2=l上 任 意 一 点，A,8 是 直 线 工+=加 上 的 两 点,则 应 满 足 圆 V+y2=1上 点 到 宜 线 的 最 远 距 离 小 于 等 于 5,原 点 到 直 线 的 距 离 为 则 只 需 满 足

8、裳+1 4 5,解 得 忘,4&故 选：B.8.已 知 函 数 J)=sin(2x+o),若 x+m)的 图 像 关 于 坐 标 原 点 对 称，*x+)的 图 像 关 于 y 轴 对 称，则|同+|的 最 小 值 为()7 1 c 兀-3 cA.B.C.一 兀 D.冗 4 2 4【答 案】A【分 析】根 据 条 件 列 关 系 式 求 用，,结 合 绝 对 值 三 角 不 等 式 求 M+|的 最 小 值，可 得 结 论.【详 解】因 为/(x)=sin(2x+e),所 以/(x+n?)=sin(2x+2m+),/(x+)=sin(2x+2+),因 为/+间 的 图 像 关 于 坐 标 原

9、点 对 称，/+)的 图 像 关 于 y 轴 对 称，所 以 2加+3=%,2+夕=&兀+1,k、wZ,k?Z,所 以 片 姑;。,2-J,所 以|同+|2 加 一|=()J，k、e Z,&e Z,当 且 仅 当 m,异 号 或 mn=O时 等 号 成 立，所 以|同+同 2 5,当 且 仅 当 危=网，且 小，“异 号 或 m=0 时 等 号 成 立，所 以 同+|的 最 小 值 为:，故 选：A.9.在 无 穷 正 项 等 差 数 列%中，公 差 为 d,则“病 是 等 差 数 歹 是 存 在 A;e N*,使 得 d=g”的()A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充

10、分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】A【分 析】可 设 后=x+y(x,yeR),利 用 可 求 得 数 列。“的 通 项 公 式，结 合 数列 4 为 等 差 数 列 可 求 得 y=o，求 出 d 关 于 4 的 关 系 式，再 利 用 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 判 断 可 得 出 合 适 的 选 项.【详 解】若 四 是 等 差 数 列，设#m+），（x,y e R）,Sn=x2n2+2xyn+y1,当 九=1 时，q=f+2xy+y2,当 时，=S“-S,i=任 2+2盯”+力-，（一 l+2孙（-1）+丁=

11、2x2n+2 x y-x2,因 为 数 歹 U%为 等 差 数 歹 lj,则=丁+2孙+/满 足 q=2x2n+2 x y-x2,B|x2+2xy+y2=2x2+2 x y-x2,可 得 y=0,故 且 d=a,+i=2x2=2 q（eN*）,所 以，“d=2 q”n“存 在 壮 N*,使 得“=妫，但“d=2 q”市“存 在&w N*,使 得 d=姐”，因 此，“卮 是 等 差 数 歹 是 存 在 Z e N,使 得=姐”的 充 分 而 不 必 要 条 件.故 选：A.1 0.如 图，曲 线 C 为 函 数 y=sinx（0 4 x 4 学）的 图 象，甲 粒 子 沿 曲 线 C 从 A点

12、向 目 的 地 B点 运 动，乙 粒 子 沿 曲 线 C从 8 点 向 目 的 地 A点 运 动.两 个 粒 子 同 时 出 发，且 乙 的 水 平 速 率 为 甲 的 2倍，当 其 中 一 个 粒 子 先 到 达 目 的 地 时，另 一 个 粒 子 随 之 停 止 运 动.在 运 动 过 程 中，设 甲 粒 子 的 坐 标 为（见”），乙 粒 子 的 坐 标 为（“）,若 记-=/（，”），则 下 列 说 法 中 正 确 的 是（）TTA.A M 在 区 间（万,万）上 是 增 函 数 B./（?）恰 有 2 个 零 点 C./（，）的 最 小 值 为-2D./（，）的 图 象 关 于 点（

13、-,0）中 心 对 称【答 案】B【分 析】由 题 意 得 到/（M=2sin2 z+s i n 1逐 项 判 断.【详 解】解：由 题 意 得：=sin?#=sin=sin=cos2/7z,所 以 f(m)=n-v=snm-cos2/n=2sin2 in+sinm-1,令 l=sinm,则 y=2/+/-1,因 为 f=sinm 在 弓,万）卜.递 减，y=2/+f-1在（0,1）上 递 增,TT所 以，（汕 在 区 间 令,左）上 是 减 函 数，故 A 错 误；1 jr 5 44*/（w）=2sin2 w+sin/n-1=0,得 ski 2=q 或 sin=T,解 得 7=或 L2,故

14、B 正 确；因 为 y=2广+,1=21/+-因 为 y=2+r-l=2；所 以/（附 的 最 小 值 为 一，故 C 错 误;-咚,1,关 于 f=-J 对 称，是 轴 对 称 图 形，8 2 4所 以/（不 可 能 关 于 点（今,0）中 心 对 称，故 D 错 误:故 选：B第 二 部 分（非 选 择 题 共 110分）二、填 空 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 25分.1 1.已 知 点 代?，）为 抛 物 线 C：V=4 x 上 的 点，且 点 P 到 抛 物 线 C 的 焦 点 厂 的 距 离 为 3,则【答 案】2【分 析】由 抛 物 线 的 方 程 求 出 抛 物

15、线 的 焦 点 和 准 线，然 后 利 用 抛 物 线 的 定 义 结 合 已 知 条 件 列 方 程 求 解 即 可.【详 解】抛 物 线 C：V=4 x 的 焦 点 为（1,0）,准 线 为 户-1,因 为 点 尸（加,）为 抛 物 线 C:/=4 x 上 的 点，且 点 P 到 抛 物 线 C 的 焦 点 F 的 距 离 为 3,所 以，+1=3,得 利=2,故 答 案 为：21 2.已 知 数 列 4 是 首 项 为 3,公 比 为 4 的 等 比 数 列，5“是 其 前 项 的 和，若 为 为+%=0,则 53=-【答 案】j7#2 11【分 析】根 据 题 意 求 出 公 比 夕，

16、利 用 等 比 数 列 前“项 和 公 式 即 可 求 解.【详 解】因 为 数 列 4 是 首 项 为 3,公 比 为 4 的 等 比 数 列，且 用 4+%=。，所 以 q/“3+“闻=0,因 为 4*0,所 以 3q+l=0,则 g=-g,/I 3 3 X（1 H-）由 等 比 数 列 的 前 项 和 公 式 可 得：&=口=-#-=；,1一 夕 4 337故 答 案 为：1 3.某 公 园 划 船 收 费 标 准 如 下:船 型 两 人 船（限 乘 2 人）四 人 船（限 乘 4 人）六 人 船（限 乘 6 人）每 船 租 金（元/小 时）90 100 130某 班 16名 同 学 一

17、 起 去 该 公 园 划 船，若 每 人 划 船 的 时 间 均 为 1小 时，每 只 租 船 必 须 坐 满，租 船 最 低 总 费 用 为 元，租 船 的 总 费 用 共 有 种 可 能.【答 案】360 10【解 析】由 题 意 直 接 列 举 出 所 有 可 能 即 可 得 解.【详 解】由 题 意，当 租 两 人 船 时，租 金 为 2 乂 9（）=72（）元，当 租 四 人 船 时，租 金 为 3 x 1 0 0=400元，4当 租 一 条 两 人 船、两 条 四 人 船、一 条 六 人 船 时，租 金 为 90+100 x 2+130=420元，当 租 两 条 两 人 船、三 条

18、 四 人 船 时，租 金 为 90 x 2+100 x3=4 8 0元，当 租 两 条 两 人 船、两 条 六 人 船 时，租 金 为 90 x 2+130 x2=440元，当 租 三 条 两 人 船、一 条 四 人 船、一 条 六 人 船 时，租 金 为 90 x3+100+130=500元，当 租 四 条 两 人 船、两 条 四 人 船 时，租 金 为 90 x 4+100 x 2=560元，当 租 五 条 两 人 船、一 条 六 人 船 时，租 金 为 90 x5+130=580元，当 租 六 条 两 人 船、一 条 四 人 船 时，租 金 为 90 x6+100=640元,当 租 一

19、条 四 人 船、两 条 六 人 船 时，租 金 为 100+130 x2=360元.所 以 租 船 最 低 总 费 用 为 360元，租 船 的 总 费 用 共 有 10种 可 能.故 答 案 为：360；10.14.如 图，在 正 方 体 ABC。一 中，E 为 棱 8 c 的 中 点.动 点 P 沿 着 棱。C 从 点。向 点 C 移 动,对 于 下 列 四 个 结 论：存 在 点 P,使 得=存 在 点 P,使 得 平 面，平 面 B D D M；尸 A E 的 面 积 越 来 越 小；四 面 体 A P A E 的 体 积 不 变.所 有 正 确 的 结 论 的 序 号 是.【答 案】

20、【分 析】设 正 方 体 棱 长 为 1,D P=x,求 出 PA：,PE2,山 PA；=PE2解 得 x(04x41),确 定 正 确，由 正 方 体 性 得 出 A G _ L 平 面 B 8 Q O,从 而 由 A G 与 平 面 A P E 的 位 置 关 系 判 断，考 虑 到 P 到 平 面 的 距 离 为 变，从 而 易 判 断，以 D4QC,。为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 正 方 体 棱 长 为 2,设 P(0,?,0),(04加 4 2),由 空 间 向 量 法 求 得 尸 到 的 距 离，由 距 离 的 变 化 规 律 判 断.【详 解】设 正

21、方 体 棱 长 为 1,DP=x,由 _L平 面 ABC。，A P u 平 面 ABC。得 M，A P,同 理 P C E C,、所 以 储 2=4t2+AQ2+Q 尸 2=2+/,P2=P C2+CCI2+CIE2=1+(1-X)2+-=|+(1-X)2,由 2+八%(1)2 得 存 在 使 得 P E,正 确,正 方 体 中，由 8片，平 面 AB Q,4&P=(l,2-w,2),电=(-1,2,0),|宿 卜 石，,，,T、_(1,2 7n,2)(1,2,0)3 2mcos=/=-p_ I=,75 7 m-4 m+9 75 7/n-4m+9设 尸 到 直 线 的 距 离 为 d,则 J=

22、|pg|sin 2-4W+9-11(厂 2m 存=.一 一 能 运 二 也 一?亘,1 1V B d m j m+9 V5 V5由 二 次 函 数 性 质 知 0 加+20递 减，所 以 d 递 减，又 4 6=君 不 变，所 以！A P E 的 面 积 为(同 目 递 减，正 确，故 答 案 为：.【点 睛】方 法 点 睛：建 立 空 间 直 角 坐 标 系，用 空 间 向 量 法 确 定 空 间 的 距 离 和 角，用 空 间 向 量 法 研 究 空 间 图 形 的 位 置 关 系.15.已 知 函 数/*)=矍;：0,故 令 g(x)=log4(x+2)-2:+3,x-l,通 过 导 数

23、 的 知 识 分 析 g(x)的 单 调 性 即 可 得 到 答 案【详 解】当 x V 加 时，/(x)=log4(x+2),是 增 函 数；当 时，x)=23,也 是 增 函 数，所 以 当 点(加,bg4(m+2)在 点(狐 2-3)上 方 时，存 在 实 数 b,使 直 线 y=b 与 曲 线 y=x)有 两 个 交 点，即 存 在 实 数。，使 得 关 于 的 方 程/(x)=b 有 两 个 不 同 的 实 数 根，所 以 bg(加+2)2 3 即 log4(?+2)T+30,令 g(x)=log4(x+2)-2+3,xN-l,所 以,(加 马 2吟因 为 当 x N-l,函 数 y

24、=(x+2)in 4单 调 递 减 函 数 y=2、单 调 递 增，所 以 当 xN-1时，g(x)=+；向-21n 2单 调 递 减，又 g，(_l)=_一 ln2=H ln 2 X o(2)=-1-4 1 n 2 0,g(x)单 调 递 增;当 g x)0,g=嚏 44-4+3=0,所 以 当 x T,2)时,g(x)0,故，的 取 值 范 围 是 T,2),故 答 案 为：-1,2)三、解 答 题 共 6 小 题，共 85分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.1 6.(本 小 题 13分)2兀 已 知 在&4BC 中，b3=a2b+bc2-ac2,C

25、=y.(1)求 A的 大 小；(2)在 下 列 四 个 条 件 中 选 择 一 个 作 为 已 知，使“LfiC存 在 且 唯 一 确 定，并 求 出 BC边 上 的 中 线 的 长 度.LBC周 长 为 2+6;。=1;面 积 为 主 目；c=伍 4【答 案】(1)A=E6(2)答 案 见 解 析【分 析】(1)原 式 可 化 为(户+必)0-4)=,2(8-4),可 得 方=。或+而=。2,通 过 分 析 即 可 解 得 人 71A=6；(2)由(1)知，A=B=I C=.根 据 正 弦 定 理，可 推 得 a:6:c=l:l:技 6 3若 选 5 c周 长 为 2+石，则 a=b=l,c

26、=百，然 后 根 据 余 弦 定 理 即 可 求 得 中 线 的 长；若 选。=1,可 推 得。=1,c=G，然 后 根 据 余 弦 定 理 即 可 求 得 中 线 的 长;若 选 E B C 面 积 为 当 叵，根 据 面 积 公 式 可 推 得 a=6=G，。=3,然 后 根 据 余 弦 定 理 即 可 求 得 中 4线 的 长；若 选 c=0，由(1)可 推 得 c=小，与 条 件,=缶 矛 盾，即 不 存 在 这 样 的 三 角 形.【详 解】(1)由 方 3=%+南 一/可 得，b3-a2b=be2-ac2,即 跳 后-a2)=c2(b-a),所 以+ab(b-a)=c2(b-a),

27、所 以-。=0或/+就=b2+ab，这 与 人+O/?=C2矛 盾,舍 去.所 以，A=96由 正 弦 定 理 可 得 a:：c=sin A:sin B:sinC=1:1:5/3,又 AABC周 长 为 2+J L 所 以。=匕=1,c=g,则 AABC存 在 且 唯 确 定.设 8 C 中 点 为 O,则 C=8C=（,2 227r 1在 AACD 中，有 C=,AC=1,CD=,由 余 弦 定 理 可 得，A D2=AC2+CD2-2A C-CDcosC=I2+-2xlxlx-l|=2,所 以，AD=.2若 选，即。=1,由（1）知，4=8=3，C=.则 8=1,根 据 正 弦 定 理 二

28、 可 得。=竺 烂=-=6,sin A sin C sin A _2则“U3C存 在 且 唯 一 确 定.设 B C 中 点 为 O,则 CO=(8 C=(,2 22兀 1在 AACD U|4,有 C=,AC 1,CD=,由 余 弦 定 理 可 得，A D2=AC2+CD2-2 A C-C D COSC=12+-2xlxix-1=L所 以，AD=立；.2若 选，即“S C 面 积 为 延.由(1)知，A=B=y,C=4，则 a=b.4 6 3S XBC=ab sin C=a2 x,所 以/=3,则=君，所 以 b=2 2 2 4根 据 正 弦 定 理 三 sin A sinC可 得 C=竺 贬

29、=3,sin A2则 AABC存 在 且 唯 一 确 定.设 B C 中 点 为 O,则 CD=BC=,2 2在 AACD中，有 C=4，AC=3,CD=,3 2由 余 弦 定 理 可 得，A D2=AC2+CD2-2A C-CDcosC=-2x 3 x-x221T所 以，入。=叵 2若 选 c=&a.jr 2 T T山(1)知，A=B=f C=-6 3根 据 正 弦 定 理 sin A sin C,可 得。=竺 贬=屋=限 sin A2与=也”矛 盾，所 以，不 存 在 这 样 的 EBC.17.（本 小 题 14分）如 图，在 多 面 体 ABCOE尸 中，梯 形 ADE尸 与 平 行 四

30、 边 形 A B C O 所 在 平 面 互 相 垂 直,AF/DE,DE A.AD,AD 1 BE,AF=A D-D E=l,AB=五.2 求 证：BF 平 面 CDE；(2)求 二 面 角 3-的 余 弦 值；(3)判 断 线 段 B E 上 是 否 存 在 点。，使 得 平 面 CQ_L平 面 8 E F?若 存 在，求 出 卷 的 值，若 不 存 在，BE说 明 理 由.【答 案】(1)详 见 解 析 迈 3(3)存 在 点 Q；瞿=:BE 7【分 析】(1)根 据 线 面 平 行 的 判 断 定 理，作 辅 助 线，转 化 为 证 明 线 线 平 行；(2)证 得 D4,DB,O E

31、 两 两 垂 直，从 而 建 立 以。点 为 原 点 的 空 间 直 角 坐 标 系，求 得 平 面 DE尸 和 平 面 8 E F 的 一 个 法 向 量，根 据 法 向 量 的 夹 角 求 得 二 面 角 的 余 弦 值；(3)设 丽=2 屁=(0,-人 2勾(/140,1),求 得 平 面 S 2 的 法 向 量 为 心 若 平 面 CCQ，平 面 的，则 玩 3=0,从 而 解 得 2 的 值，找 到 Q 点 的 位 置.【详 解】(1)取 O E 的 中 点“，连 结 MF,MC,因 为 A尸=所 以 AF=D W,且 AF=ZW,所 以 四 边 形 是 平 行 四 边 形，所 以

32、M 尸 A。，且 M V=A。，又 因 为 AO 8O.且 A=8C,所 以 M F/BC.M F=BC*所 以 四 边 形 8 c M E 是 平 行 四 边 形，所 以 8尸 CM,因 为 8尸 二 平 面 C)C M u 平 面 CDE,所 以 8尸 平 面 C D E；E(2)因 为 平 面 45FJL平 面 4 8 8,平 面 4)尸 0 平 面 4 3 8=4),D E L A D，所 以 D E 2 平 面 ABC。，D 8 u 平 面 A 8 C D,则 工 故 D A，DB,O E 两 两 垂 直，所 以 以 ZM,DB,O E 所 在 的 直 线 分 别 为 x 轴、y 轴

33、 和 z轴，如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 D(0,0,0),A(l,0,0),8(0,1,0),C(1,1,0),E(0,0,2),尸(1,0,1),所 以 丽=(0,-1,2),EF=(l,0,-l),反=(0,1,0)为 平 面 O E E 的 一 个 法 向 量.设 平 面 B E F 的 一 个 法 向 量 为 m=(x,y,z),由 比 丽=0_,-y+2z=0扬 丽=0,得 八 x-z=0令 z=l,f J m=(1,2,1)如 图 可 得 二 面 角 B E F D 为 锐 用,所 以 二 面 角 8-肝-。的 余 弦 值 为 它.3(3)结 论：线 段 8E上

34、 存 在 点 Q,使 得 平 面 CD。L 平 面 BEF.证 明 如 下:设 丽=4 砺=(0,_42为(2 且 0,1),所 以 丽 二 丽+殴 二（0,1-4 2 2）.设 平 面 CDG的 法 向 量 为 荏=（a力,C）,又 因 为 就=（一 1,1,0）,所 以 力。=0u-DC=Q,即(l-A)/?+2 2 c=0一。+Z?=0若 平 面 COQ1平 面 3 F,则 历 刀=0,即 a+2 Z?+c=0,解 得 2=g e 0,1.所 以 线 段 BE上 存 在 点。，使 得 平 面 S Q L 平 面 B E F,R.JIW=.BE 71 8.（本 小 题 13分）开 展 中

35、小 学 生 课 后 服 务，是 促 进 学 生 健 康 成 长、帮 助 家 长 解 决 接 送 学 生 困 难 的 重 要 举 措，是 进 一 步 增 强 教 育 服 务 能 力、使 人 民 群 众 具 有 更 多 获 得 感 和 幸 福 感 的 民 生 工 程.某 校 为 确 保 学 生 课 后 服 务 工 作 顺 利 开 展，制 定 了 两 套 工 作 方 案，为 了 解 学 生 对 这 两 个 方 案 的 支 持 情 况，现 随 机 抽 取 100个 学 生 进 行 调 查，获 得 数 据 如 下 表：男 女 支 持 方 案 一 24 16支 持 方 案 二 25 35假 设 用 频 率

36、 估 计 概 率，且 所 有 学 生 对 活 动 方 案 是 否 支 持 相 互 独 立.（1）从 样 本 中 抽 1人，求 已 知 抽 到 的 学 生 支 持 方 案 二 的 条 件 下，该 学 生 是 女 生 的 概 率；（2）从 该 校 支 持 方 案 一 和 支 持 方 案 二 的 学 生 中 各 随 机 抽 取 1人，设 X 为 抽 出 两 人 中 女 生 的 个 数，求 X的 分 布 列 与 数 学 期 望；在（2）中，y 表 示 抽 出 两 人 中 男 生 的 个 数，试 判 断 方 差。（X）与 0）的 大 小.（直 接 写 结 果）【答 案】2759（2）分 布 列 见 解

37、析,（*）=今 oU（3）D（y）=D（X）【分 析】（1）利 用 古 典 概 型 的 概 率 公 式 计 算 即 可 求 解;(2)根 据 题 意 可 得 X 的 可 能 取 值 为 0,2,求 出 所 对 应 的 概 率，即 可 列 出 分 布 列，利 用 随 机 变 量 的 期 望 公 式 即 可 求 解；(3)根 据 已 知 条 件 得 出 y=2-X,再 利 用 方 差 的 性 质 即 可 求 解.【详 解】(1)依 题 意 支 持 方 案 二 的 学 生 中，男 生 有 25人、女 生 35人，所 以 抽 到 的 是 女 生 的 概 率 n35 725+35 12,(2)记 从 方

38、 案 一 中 抽 取 到 女 生 为 事 件 A,从 方 案 二 中 抽 取 到 女 生 为 事 件 3,贝 磊 V 尸 吐 7n则 X 的 可 能 取 值 为 0、1、2,所 以 P（X=0）=（l_1 2 7 14P（X=2）=x=,7 5 12 603160X所 以 X 的 分 布 列 为:X 0 1 2P431601460所 以 El(八 X八)=八 1 13 1 c l 4 590 x+lx-F2X一=一.I)4 60 60 60(3)依 题 意 可 得 y=2 x,所 以。(y)=o(2-x)=(-i)2o(x)=o(x),即)=)(X).19.(本 小 题 15分)已 知 椭 圆

39、 C 中 心 在 原 点。，焦 点 在 坐 标 轴 上，其 离 心 率 为 等，一 个 焦 点 为 尸(0,1).(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；(2)过 点 F 且 不 与 坐 标 轴 垂 直 的 直 线/与 椭 圆 相 交 于 A 8 两 点，直 线 O A O 3 分 别 与 直 线 y=2相 交 于 M,N 两 点，若 N M O N 为 锐 角，求 直 线/斜 率 k 的 取 值 范 围.【答 案】(1)/+t=12 y,-1)U(-一，一)U(1 收)2 2【分 析】（1）根 据 椭 圆 的 离 心 率 和 焦 点 坐 标 可 求 出 a，c的 值，再 利 用 公 加 c

40、的 关 系 即 可 求 解 出 方 程;（2）设 直 线/的 方 程 为 y=+l,4*J）,3（,当），根 据 题 意 求 出 点 的 坐 标,由 N M O N 为 锐 角,可 得 丽.丽 0且 不 平 行，将 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 方 程 组，由 韦 达 定 理 可 得 的 取 值 范 围.【详 解】（1）由 题 意 知：椭 圆 C 的 离 心 率 e=也，a 2因 为 个 焦 点 为 尸（。,1）,所 以 c=l,则=&，由 a*2=b2 4-c2,4J 得：b=l,_ 2+公 j 2-2k k x-+kx-+12+k2 2+k22所 以 椭 圆 C 的 标 准

41、方 程 为 d+21=1.2（2）设 直 线/的 方 程 为 丁=履+1,4（不 必）,802，72），y=kx+联 立 方 程 组 匚,整 理 可 得:(2+/)12+2 入 一 1=0,则 有 玉+占=2-2k三 铲 卬 五 出，由 条 件 可 知：直 线 0 4 所 在 直 线 方 程 为：因 为 直 线 0 4 与 直 线 y=2相 交 于 用 9 r 2x所 以 M（2）,同 理 可 得：N 1,2）,y%则 丽=（生,2）,两 二（生%为 若 N M Q N 为 锐 角，则 有 两.两 0，所 以 丽 丽=皿+4=+4=-+4（3+1）（2+1）内 占/+%（玉+工 2）+14 X

42、 L.+4=竺 二 工，则 竺 二 0,解 得：公:或 2 1,k-k-1 2所 以 一 亚 k 也 或 1或 Ar T,2 2故 直 线 I斜 率 k 的 取 值 范 围 为（-oo,-l）U（-）U（l,+）.20.（本 小 题 15分）已 知 x=l 是 函 数/(耳=毒-lnx+ln(or+2)的 一 个 极 值 点.求。值；(2)判 断 了(另 的 单 调 性；(3)是 否 存 在 实 数 机，使 得 关 于 龙 的 不 等 式 的 解 集 为(0,+s)?直 接 写 出 机 的 取 值 范 围.【答 案】(1)4=2(2)函 数 在(0,1)上 单 调 递 增，在(l,w)上 单

43、调 递 减.(3)存 在，zne(-,ln2【分 析】(1)求 导 得 到 导 函 数，根 据(1)=0计 算 得 到 答 案.(2)求 导 得 到 尸(力=泮*，根 据 导 数 的 正 负 得 到 单 调 区 间.(1+x)2(3)先 证 明 ln(l+x)x,ln(l+x)ln2,S.f(x)0,函 数 单 调 递 增:当 X 1,T8)时，/(x)0,函 数 单 调 递 增;当 XE(1,4W)时，/(X)O,函 数 单 调 递 减.,八/、Inr/、x ln(x+l)-lnx+ln(x+l)(3)/(x)=-lux+ln(x+l)+ln2=-j-Fin 2，当 X(0,+oo),易 知

44、 ln(x+l)-lnx0,ln(x+l)0,故/(x)ln2.故 Win2,满 足 条 件.当 X(0,+oo)时，设 g(x)=ln(l+x)-x,故 gx)=-1=-0,故 g(x)g(O)=。,即 ln(l+x)，函 数 单 调 递 增；当 xe(3,+oo)时，(x)=(/：；：0,函 数 单 调 递 减；故/2(x)4/?(3)=ln4-20,故 ln(l+x)Jl+x.jcln 1+j+ln(x+l)x+J x+1 f(x=-+ln2-+ln24)其 中 2,，N Z,且。/即.若 数 列 矣 4,品,，%满 足 4=%，编=题 当 i=2,3,，N-1 时，勾=*+1 或 4=

45、4+1，则 称 Q4&,即 为 数 列 A 的“紧 数 列”例 如，数 列 A：2,4,6,8 的 所 有“紧 数 歹 为 2,3,5,8；2,3,7,8；2,5,5,8；2,5,7,8.(1)直 接 写 出 数 列 4 1,3,6,7,8 的 所 有“紧 数 歹 A；(2)已 知 数 列 A 满 足：q=l,a-若 数 列 A 的 所 有“紧 数 列，均 为 递 增 数 列，求 证：所 有 符 合 条 件 的 数 列 A 的 个 数 为 N+1；已 知 数 列 A 满 足：4=0,%=2,对 于 数 列 A 的 一 个“紧 数 列”A，定 义 集 合 S（A）=,-W=2,3-、N-1,如

46、果 对 任 意 x e S（A）,都 有-x e S（A）,那 么 称 4 为 数 列 A 的“强 紧 数 列 若 数 列 A 存 在“强 紧 数 列”，求 对 的 最 小 值.（用 关 于 N 的 代 数 式 表 示）【答 案】（1）答 案 见 解 析（2）证 明 见 解 析 2N-3【分 析】（D 根 据“紧 数 列 的 定 义 写 出 即 可；（2）先 证 明 数 列 A 从 第 2 项 开 始 到 第（N-1）项 是 连 续 正 整 数，再 把 问 题 转 化 成 求 满 足 要 求 的 的 的 个 数 为（N+1）即 可；（3）根 据“强 紧 数 列 的 定 义 求 解 即 可.【详

47、 解】（1）解：根 据 紧 数 歹 的 定 义 得 A：1,2,4,7,8；1,2,6,7,8；4:1,5,4,7,8；A）:1,5,6,7,8.（2）解：对 任 意 i=2,3N-2,有 4=q_1+1 或 位=4+-1,即=q+1 或 二+i=%2-1，数 列 A 的 所 有“紧 数 列”A 均 为 递 增 数 列，+1 4+1；aj+t 1 a,?-1；%+1+2-1；4+i-1 4+1.数 列 A 为 递 增 数 列，.,.显 然 成 立，：.也 成 立，对，a,+1=2,“M T=2+(V 1 2)x l=A-3+0 2,1=2 N 1,a2 N+2,:.2a2N+2,；满 足 条

48、件 的 的 有 N+l 个，即 所 有 符 合 条 件 的 数 列 A 的 个 数 为 N+1.(3)解：记 年=an-an_,依 题 意，包 e N，(=2,3,N),对 Vi=2,3,N-1,有 q-4=-1 或-%+1,.0/S(可，/.一 4/o,若 4-4=4 一 I/O,则 4 W 1,即 若 ai 4=-瓦+i+i*o,则%产 1,即 4+2,瓦+瓦+N 3,2-1=-%+1 不 能 成 立，记 7；=,_&=4 7,i=2,3N-l,(=卜-g=-bM+1,i=2,3 N 1 1,则 7；n%=0 且(=4=2,3 N-l,若 存 在/e 5 且 2 w j w N-2,即 勺

49、-%=-叽|+1,则/+l e 4,否 则，若/+1%，则。加 一 句+|=忆|一 1=一(一.+1)=-(勺 一 句)，不 符 合 题 意,因 此，集 合 4 4 有 下 列 三 种 情 形，0 7；=2,3.A 0+(/V-2)x 2+l=2A-3,当 且 仅 当=么 1T=2凤=1取 等 号；工=2 3 q,7#+1,4+2N-1,其 中 女=2,3N-2,对 V ie 7；,有 4 2,对 V/e 4，有 与+2,=4+(8+&)+tk+l+(d+2+b y+,%)0+(/:-l)-2+l+(A f-A:-1)-2=2 A r-3;(=2,3.N _ 1,7；=0,对 Viw2,3N-1,有 如 亍 2,aN=4+2+(4+包+一 九 _|+公)0+2+(“2 2=2 2 2 3,综 上，砺 的 最 小 值 为 2 N-3.【点 睛】本 题 注 意“夹 逼 思 想 在 数 列 问 题 中 的 运 用；第 3 问 中 求 乐 的 最 小 值 用 到 了“累 加 法”，解 题 关 键 是 对 集 合 工、力 分 类 讨 论.