2023年中考二次函数压轴题汇编.pdf

《2023年中考二次函数压轴题汇编.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考二次函数压轴题汇编.pdf（74页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023年中考二次函数压轴题汇编2.如图1,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴为I,I与x轴的交点为D.在直线I上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由.(3)如图2,连接BC,PB,P C,设aP B C的面积为S.求S关于t的函数表达式；求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.3.如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)(a 0)与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C

2、在x轴下方，且使OCAs/XOBC.(1)求线段o c的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是B M的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；(3)在1 2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由.4.如图，抛物线y=ax2+bx(a V 0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE (点A在点B的左边)，点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时，AD=4.(1)求抛物线的函数表达式.(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移

3、抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.5.如图，点P为抛物线y=Lx2上一动点.4(1)假设抛物线y=L2是由抛物线y=L(x+2)2-1通过图象平移得到的，请写4 4出平移的过程；(2)假设直线I经过y轴上一点N,且平行于x轴，点N的坐标为(0,-1),过点P作P M 1 I于M.问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立？假设存在，求出点F的坐标：假设不存在，请说明理由.问题解决：如图二，假设点Q的坐标为(1,5),求QP+PF的最小值.6.直 线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x?

4、+bx+c经过A、B两点，点M在线段0 A上，从0点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒我个单位的速度匀速运动，连接M N,设运动时间为t秒(1)求抛物线解析式；(2)当t为何值时，AMN为直角三角形；(3)过N作NHy轴交抛物线于H,连接M H,是否存在点H使MHA B,假设存在，求出点H的坐标，假设不存在，请说明理由.7.如图，抛物线经过原点。(0,0),点A(1,1),点 心，0).(1)求抛物线解析式；(2)连接O A,过点A作ACJ_OA交抛物线于C,连接O C,求AOC的面积；(3)点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接O M,过点M

5、作M NO M交x轴于点N.问：是否存在点M,使以点0,M,N为顶点的三角形与(2)中的AOC相似，假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，说明理由.8.如图，二次函数丫=2*2+1(aWO,a为实数)的图象过点A(-2,2),一次函数y=kx+b 1k#0,k,b为实数)的图象I经过点B 0,2).(1)求a值并写出二次函数表达式；求b值；(3)设直线I与二次函数图象交于M,N两点，过M作MC垂直x轴于点C,试证明：MB=MC；(4)在3)的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由.9.如图，抛物线y=ax2+0 x+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A,B两点2(B

6、点在A点右侧)与y轴交于C点.(1)求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；(2)假设点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，那么是否存在一点P,使4 P B C的面积最大.假设存在，请求出A P B C的最大面积；假设不存在，试说明理由；（3）假设M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线B C于点N,当M N=3时，求M点的坐标.10.：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0,6）,B（6,0）,C（-2,0）,点P是线段A B上方抛物线上的一个动点.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，4 P A B的面积有最大值？（3）过点P作x

7、轴的垂线，交线段A B于点D,再过点P做PEx轴交抛物线于点E,连结D E,请问是否存在点P使a P D E为等腰直角三角形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由.11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=&2-2x-4与x轴交于A,B两点3 3（点A在点B左侧），与y轴交于点C.（1）求点A,B,C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段A B上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段B C上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2

8、）的条件下，当aPBCi面积最大时，在B C下方的抛物线上是否存在点M,使a B M C的面积是 PBQ面积的1.6倍？假设存在，求点M的坐标；假设不存在，请说明理由.12.综合与探究如图，抛物线y=L x 2,x-4与x轴交于A,B两 点（点A在点B的左侧），与y3 3轴交于点C,连接AC,B C.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m,过点P作PM x轴，垂足为点M,P M交B C于点Q,过点P作PE AC交x轴于点E,交B C于点F.（1）求A,B,C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.假设存在，请直接

9、写出此时点Q的坐标；假设不存在，请说明理由；(3)请用含m的代数式表示线段Q F的长，并求出m为何值时QF有最大值.1 3.抛物线 y=ax?+bx+c 过点 A(0,2).(1)假设点(-M，0)也在该抛物线上，求a,b满足的关系式；(2)假设该抛物线上任意不同两点M(Xi，y i),N(X2,y z)都满足：当XVX2 0；当 0 xiX 2 时，(xi-X2)(yi-yz)0.以原点。为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且AABC有一个内角为 60.求抛物线的解析式；假设点P与点O关于点A对称，且0,M,N三点共线，求证：PA平分NMPN.1 4.如图，抛物线y=ax?+b

10、x与x轴分别交于原点。和点F(10,0),与对称轴I交于点E(5,5).矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且A B=1,边AD,BC与抛物线分别交于点M,N.当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M,N位于对称轴I的同侧时，连接M N,此时，四边形ABNM的面积记为S；点M,N位于对称轴I的两侧时，连接EM,E N,此时五边形ABNEM的面积记为S.将点A与点O重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t OWtW 5).(1)求出这条抛物线的表达式；当t=0时,求SAOBN的值；(3)当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t(O V tW 5)的函数表达式，并求出

11、t为何值时，S有最大值，最大值是多少？1 5.如图，抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线I交抛物线于点Q,交直线BD于点M.(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)点F(0,1),当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF2是平行四边形？(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与B O D相似？假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由.16.如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点，其中A(

12、-3,0),C 0,4),点B在x轴上，AC=BC,过点B作BD_Lx轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点，且C M=BN,连接MN,AM,AN.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)当A C M N是直角三角形时，求点M的坐标；试 求 出AM+AN的最小值.17.如图，在平面直角坐标系xO y中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0)、B 3,0)两点，且与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)如图，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两 点(点P在点Q的左侧)，连接P Q,在线段PQ上方抛物线

13、上有一动点D,连接DP、DQ.(1)假设点P的横坐标为-工，求DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标;2i n)直尺在平移过程中，D P Q面积是否有最大值？假设有，求出面积的最大值；假设没有，请说明理由.18.在平面直角坐标系xO y中，抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图，直线y=L x与抛物线交于A、B两点，直线I为y=-l.4(1)求抛物线的解析式；(2)在I上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值？假设存在，求出点P的坐标;假设不存在，请说明理由.(3)知F(xo,y o)为平面内一定点，M(m,n)为抛物线上一动点，且 点M到直线I的距离与点M到点F的距离总是相等

14、，求定点F的坐标.19.在平面直角坐标系中，点0(0,0),点A(1,0).抛物线y=x2+mx-2m(m是常数)，顶点为P.(I )当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；(I I)假设点P在x轴下方，当NAOP=45。时，求抛物线的解析式；1 H I)无论m取何值，该抛物线都经过定点H.当/AHP=45。时，求抛物线的解析式.20.如下图，将二次函数y=x2+2x+l的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位,再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+l的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B,和x轴的交点为点C,D(点D位于点C的左侧)

15、.求 函 数y=ax2+bx+c的解析式；(2)从点A,C,D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；(3)假设点M是线段BC上的动点，点N是AABC三边上的动点，是否存在以A M为斜边的R t A M N,使A M N的面积为AABC面积的工？假设存在，求tan3N M A N的值；假设不存在，请说明理由.2 1.如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a W O)经过点 A(3,0),B(-1,0),C(0,-3).(1)求该抛物线的解析式；(2)假设以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标；(3)假设点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B,C,

16、Q,P为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明理由.2 2.顶点为A抛物线尸a(x凸 产-2经过点B(E，2)，点C金，2)-(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,直线A B与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,假设N O P M=N M A F,求POE的面积；(3)如图2,点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，直线Q N与直线EN相交于点N,连接Q E,将QEN沿QE翻折得到QENi，假设点N i落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.2 3.抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2),且抛物线上任

17、意不同两点M(x i，y j,N(X2,y z)都满足：当 XiX2 0；当 0 V x iX2时，(X1-X2)(y i-y2)y2，解决以下问题：求证：BC平分NM BN；求A M B C外心的纵坐标的取值范围.2 4.如图，二次函数的图象过点。(0,0).A 8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.(1)求该二次函数的解析式；(2)假设M是OB上的一点，作MNAB交OA于N,当ANM面积最大时，求M的坐标；(3)P是x轴上的点，过P作P Q L x轴与抛物线交于Q.过A作AC_Lx轴于C,当以0,P,Q为顶点的三角形与以0,A,C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标.2 5.如

18、图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3),D是抛物线的顶点，E是线段A B的中点.(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；(2)F(x,y)是抛物线上的动点：当x l,y 0时，求4B D F的面积的最大值；当NAEF=NDBE时，求点F的坐标.26.如图1,在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两 点(点B在左，点C在右)，交y轴于点A,且OA=OC,B -1,0).(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2,点D为抛物线的顶点，连接C D,点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE丫轴交线段

19、CD于点E,设点P的横坐标为3线段PE长为d,写出d与t的关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；(3)如图3,在(2)的条件下，连接B D,在BD上有一动点Q,且DQ=CE,连接E Q,当NBQE+NDEQ=90。时,求此时点P的坐标.27.抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O,且与x轴另一交点为(-返,30).(1)求抛物线F的解析式；(2)如图1,直线I：y=Yx+m m 0)与抛物线F相交于点A(X1,yj和点3B(X2,y2)(点A在第二象限)，求y 2-y i的值(用含m的式子表示)；(3)在(2)中，假设m=&,设点A，是点A关于原点。的对称点，如图2.3判断 A A

20、 B的形状，并说明理由；平面内是否存在点P，使得以点A、B、A P为顶点的四边形是菱形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由.28.：如图，一次函数丫=1 0),与y轴交于点B.点C在线段AB上，且BC=2AC,过点C作x轴的垂线，垂足为点D.假设AC=CD.(1)求这个一次函数的表达式；(2)一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A,它的顶点为P,假设过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q(-士反，0),求这条抛物线的函5数表达式.29.如图，抛物线y=ax?+bx(aW O)过点A(遮，-3)和点B(3 ,0.过点A作直线ACx轴，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；

21、(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线A C的垂线，垂足为D.连接O A,使得以A,D,P为顶点的三角形与AOC相似，求出对应点P的坐标；(3)抛物线上是否存在点Q,使得SMOC=LSAAOQ?假设存在，求出点Q的坐标;3假设不存在，请说明理由.30.如图1,抛物线Ci：y=ax2-2ax+c(a 0)个单位，得到抛物线C 2,设C2与x轴的交点为A，、B 顶点为G,当AEG，是等边三角形时，求k的值：(3)在(2)的条件下，如图3,设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线Ci、C2于P、Q两点，试探究在直线y=-l上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等，

22、假设存在，直接写出点M,N的坐标：假设不存在，请说明理由.3 1.在平面直角坐标系中，二次函数丫=2*2+”*+。的图象经过点C(0.2)和点D3(4,-2).点E是直线y=-L x+2与二次函数图象在第一象限内的交点.3(1)求二次函数的解析式及点E的坐标.(2)如图，假设点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC,OE,M E.求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标.(3)如图，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F,求点F的坐标.3 2.如图，顶点为C(0,-3)的抛物线丫=2*2+|3(aW O)与x轴交于A,B两点，直线y=x+m过顶点C和点B.(1)求m的值；(2)求

23、函数y=ax?+b(a W O)的解析式；(3)抛物线上是否存在点M,使得NMCB=15。？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由.33.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B3,0)两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M,使BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？假设存在,请求出符合条件的点P的坐标;假设不存在,请说明理由.34.抛物线y=a(x-1)2过 点(3,1),D为抛物线

24、的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)假设点B、C均在抛物线上，其中点B(0,1),且NBDC=90。，求点C的4坐标；(3)如图，直线y=kx+4-k与抛物线交于P、Q两点.求证：NPDQ=90；求PDQ面积的最小值.35.抛物线y=-2.X2+1X-1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴3 3交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线I：y=t(tV至)上方的局部沿直线I24向下翻折，抛物线剩余局部与翻折后所得图形组成一个 M 形的新图象.(1)点A,B,D的坐标分别为，；12)如图，抛物线翻折后，点D落在点E处.当 点E在aABC内(含边界)时，求t的取值范围；(3)如图，当t=0

25、时，假设Q是M 形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由.36.如图，抛物线 y=ax2+4x+c(aW O)经过点 A(-1,0),点 E(4,5),与 y轴交于点B,连接AB.(1)求该抛物线的解析式；12)将aAB。绕点0旋转，点B的对应点为点F.当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和4ABF的面积；当点F到直线AE的距离为料时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标.37.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=(x-a)(x-3)(0 a 3)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于

26、点D,过其顶点C作直线CP，x轴，垂足为点P,连接AD、BC.(1)求点A、B、D的坐标；(2)假设aAOD与aBPC相似，求a的值；(3)点D、0、C、B能否在同一个圆上？假设能，求出a的值；假设不能，请说明理由.38.如图，抛物线y=ax?+bx+c(a#0)与x轴交于原点及点A,且经过点B(4,8),对称轴为直线x=-2.(1)求抛物线的解析式；(2)设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1,X2(xi 0)上，点C在双曲线y=L(x 0)上，假X X设ACy轴，BCx轴，且AC=BC,那么AB等 于()A.如 B.2 M C.4 D.3A/2【解答】解：点C在双曲线y=L上，

27、ACy轴，BCx轴，X设 C(a,1),那么 B(3a,1),A(a,芭)，a a aVAC=BC,-=3a-a,a a解得a=l,(负值已舍去)AC(1,1),B(3,1),A(1,3),，AC=BC=2,A RtAABC,A B=2,应选：B.二.解 答 题(共3 9小题)2.如图1,抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴为I,I与x轴的交点为D.在直线I上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，

28、请说明理由.(3)如图2,连接BC,PB,P C,设aP B C的面积为S.求S关于t的函数表达式；求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.【解答】解：(1)将 A(-1,0)、B(3,0)代入 y=-x2+bx+c,(T f+c=0 ,解得 b=2,I-9+3b+c=0 I c=3二抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.1 2)在图1中，连接P C,交抛物线对称轴I于点E,抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点，.抛物线的对称轴为直线x=l.当t=2时，点C、P关于直线I对称，此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形.抛物线的表达式为

29、y=-x2+2x+3,.点C的坐标为(0,3),点P的坐标为(2,3),二点M的坐标为(1,6)；当t#2时，不存在，理由如下：假设四边形CDPM是平行四边形，那么CE=PE,点C的横坐标为0,点E的横坐标为0,.点P的横坐标t=lX 2 -0=2.又；tW 2,不存在.(3)在图2中，过点P作PFy轴，交BC于点F.设直线BC的解析式为y=mx+n(mWO),将 B(3,0)、C(0,3)代入 y=mx+n,3/n=0,解 得:fnP-1,n=3 I n=3直线BC的解析式为y=-x+3.,点 P 的坐标为(t,-t2+2t+3),.点F的坐标为(t,-t+3,/.PF=-t2+2t+3-(

30、-t+3)=-t2+3t,，S-PFOB=-a t2+2 t=-上(t-3)2+”2 2 2 2 2 8；-W v o,2.当t=a时，s取最大值，最大值为0.2 8点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),线段 BC=-Q g 2 Q 2=3-22LX2.P点到直线BC的距离的最大值为方，1=皿2,此时点P的坐标为(1,1 1).3.如图，抛物线y=a(x-1)(x-3)(a 0)与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使OCAS/OBC.(1)求线段o c的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M,点C是B M的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直

31、线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由.【解答】解：(1)由题可知当y=0时，a(x-1)(x-3)=0,解得：X1=1,X2=3,即 A(1,0),B(3,0),/.OA=1,OB=3VAOCAAOBC,A OC：OB=OA：OC,A OC2=OA*OB=3,那么O C=；(2)是 BM的中点，即OC为斜边BM的中线,AOC=BC,.点C 的横坐标为芭，2又。，点C 在x 轴下方，AC(2,-叵，2 2设直线BM的解析式为y=kx+b,把点B(3,0),C(X -1)代入得：，2 2解得：b=-M，k=返，33k+b=

32、031 X,眄yk+b=./.y=Ex-如,3 _又.点 C(3，-1)在抛物线上，代入抛物线解析式,2 2解得：a=2后，3 _ _.抛物线解析式为y=2氏 2 ,g 叵 x+2；3 3点 P存在，设点P坐标为(x,冬叵x2-双短+2/)，过点P作 P Q x轴交直线BM于点Q,3 3那么Q (x,_ 3 _P*叵x-73-C-x2-愿 乂+2乃 =-X2+3A/3X-3 M，3 3 3 3当4BCP 面积最大时，四边形ABP C的面积最大，SABCP=UQ(3-x)+1P Q (x-W)=0P Q=-返X2+2V3 -2叵2 2 2 4 2 4 4当*=-旦=2时，S CP有最大值，四边形

33、ABP C的面积最大，此时点P的坐标为2a 42-旦4 84.如图，抛物线y=ax2+bx（a 0）过点E（10,0）,矩形ABCD的边AB在线段OE （点A 在点B 的左边），点C,D 在抛物线上.设A（t,0）,当t=2时，AD=4.（1）求抛物线的函数表达式.（2）当t 为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x-1 0）,当 t=2 时，AD=4,.点D 的坐标为（2,4）,二将点D 坐

34、标代入解析式得-16a=4,解得：a=-l,4抛物线的函数表达式为y=-l x2+|x；由抛物线的对称性得BE=OA=t,.AB=10-2t,当 x=t 时，AD=-A-t2+t,4 2，矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=2（10-2t）+（-+3 t）4 2=-l.t2+t+202=-（t-1）2+里 _,2 2；-l 0,2.当t=l时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为更；2如图,当 t=2 时，点 A、B、C、D 的坐标分别为（2,0）、（8,0）、（8,4）、（2,4）,矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5,2）,当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4,4）,此时GH不能

35、将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为16,0）,此时GH也不能将矩形面积平分；.当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分,当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P,必平分矩形ABCD的面积，VABCD,线段OD平移后得到的线段GH,.线段O D的中点Q平移后的对应点是P,在OBD中，PQ是中位线，.,.PQ=1OB=4,2所以抛物线向右平移的距离是4个单位.5.如图，点P为抛物线y=Lx2上一动点.4（1）假设抛物线y=L2是由抛物线y=J_（x+2）2-1通过图象平移得到的，请写4 4出平移的过程；（2）假设直线I经过y轴上一点N,

36、且平行于x轴，点N的坐标为（0,-1）,过点P作P M I于M.问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立？假设存在，求出点F的坐标：假设不存在，请说明理由.问题解决：如图二，假设点Q的坐标为（1,5）,求QP+PF的最小值.【解答】解：.抛物线yj （x+2）2-1的顶点为（-2,-1）4抛物线y=L（x+2）2-1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物4线y=L ZDOA=45,.AOD为等腰直角三角形，V OA1AC,.,.OD=V2OA=2,AD 0,2),易得直线A D的解析式为y=-x+2,y=-x+2 z(_c解方程组 2 2 7得I*或|x-5

37、,那么c(5,-3),y=-x +y x y=l ly=-3SAAOC=SACOD-SAAODX 2 X 5 -1 X 2 X 12 2=4；(3)存在.如图 2,作 MH_Lx 轴于 H,AC=y(5 _)2+3 _)2=4&,OA=近,设 M(x,-2 x 2+工x)(x 0),5 5VZOHM=ZOAC,.,.当 班 迪 时，AO H M AO AC,0A AC即 言 解方程-2x?+工x=4x得X1=O（舍去），X2=-（舍去）,5 5 2解方程-2x?+工x=-4 x得Xi=0（舍去），X 2=2 L此时M点坐标为 2 L -54）；5 5 2 2当旦旦=典时，o H M s C A

38、 O,即 5-5 _,AC 0A 472 V2解方程-2x2+Z x=L(得xi=0(舍去)，X2=2 3,此时M点的坐标为(2 3,235 5 4 8 8 32解方程-2X2+1X=-l x得 刈=0(舍去)，X2=-段,此 时M点坐标为(3 3,-3 3)；5 5 4 8 8 32V M N 1O M,A ZOMN=90,/.ZMON=ZHOIVI,/.O M H A O N M,.当M点的坐标为(2 7,-54)或(23,2 3)或(3 3,-3 3)时，以点0,2 8 32 8 32M,N为顶点的三角形与(2)中的AOC相似.8.如图，二次函数丫=2*2+1(aWO,a为实数)的图象过

39、点A(-2,2),一次函数丫=1+6 kWO,k,b为实数)的图象I经过点B(0,2).(1)求a值并写出二次函数表达式；(2)求b值；(3)设直线I与二次函数图象交于M,N两点，过M作M C垂直x轴于点C,试证明：MB=MC；(4)在(3)的条件下，请判断以线段M N为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由.【解答】解：(1)二次函数y=ax?+l(aWO,a为实数)的图象过点A(-2,2),2=4 a+l,解 得:a=,4.二次函数表达式为丫=2*2+1.4(2).一次函数y=kx+b(kWO,k,b为实数)的图象I经过点B(0,2),.,.2=kX0+b,.*b=2.(3)证明：过点M作M

40、E_Ly轴于点E,如图1所示.设点M的坐标为(x,卜2+1),那么MC=L4 2二点C的坐标为 0,4).设直线BC的解析式为y=kx+b(kWO).将 B(8,OR C(0,4)代入 y=kx+b,(1偿+b=0,解得：k=,1 b=4 b=4直线BC的解析式为y=-lx+4.2假设存在，设点P的坐标为(x,-1X2+2X+4),过点P作PDy轴，交直线BC4 2于点D,那么点D的坐标为(x,-l x+4),如下图.2PD=-JLx2+x+4-(-x+4)=-AJ(2+2X,4 2 2 4.,.SAPBC=PDOB=1X8(-l x2+2x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.2 2 4；

41、-l 0,.当x=4时，PBC的面积最大，最大面积是16.V 0 x 8,二存在点P,使aP B C的面积最大，最大面积是16.(3)设点M的坐标为Im,-L r)2+m m+4),那么点N的坐标为Im,-L n+4),4 2 2/.MN=|-Lm2+m+4-(-L n+4)|=|-lm2+2m|.4 2 2 4又：MN=3,/.|-Lm2+2m|=3.4当 0 V m V 8 时，有-Ln2+2m-3=0,4解得：mi=2,m2=6,.点P的坐标为(2,6)或(6,4)；当 m 8 时，有-L r)2+2m+3=0,4解得：m3=4-2A/Y，rri4=4+2证，点P的坐标为(4-2 W，斤

42、1或(4+2”历，综上所述：M点的坐标为(4-2听，听-1)、(2,6)、(6,4)或(4+2 6，-6-1).10.：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P是线段A B上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，4P A B的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P做PEx轴交抛物线于点E,连结D E,请问是否存在点P使4P D E为等腰直角三角形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由.【解答】解：(1).抛物线过点B 6,0)、C(-2,0),设抛物线解析式为y

43、=a(x-6)(x+2),将点A(0,6)代入，得：-12a=6,解得：a=-2所以抛物线解析式为y=-L (x-6)(x+2)=-l x2+2x+6；2 2 如图1,过点P作PM1.OB与点M,交AB于点N,作AG_LPM于点G,设直线AB解析式为丫=1+13,将点A(0,6)、B(6,0)代入，得：b=6,l6k+b=0,解得：I b=6那么直线AB解析式为y=-x+6,设 P(t,-l.t2+2 t+6)其中 0 V tV 6,2那么 N(t-t+6),；.PN=PM-MN=-l t2+2t+6-(-t+6)=-l t2+2t+6+t-6=-A t2+3t,2 2 2 SAPAB=SAP

44、AN+SZPBN=1PNAG+1PN*BM2 2=1PN(AG+BM)2=1PN*OB2=1 X (-l t2+3t)X62 2=-3.t2+9t2=-(t-3)2+,2 2，当t=3时，4P A B的面积有最大值；如 图2,VP H 10B 于 H,A ZDHB=ZAOB=90,，DHAO,V 0A=0B=6,/.ZBDH=ZBAO=45,OPEx 轴、PD_Lx 轴,/.ZDPE=90,假设APDE为等腰直角三角形，那么PD=PE,设点P的横坐标为a,PD=-a2+2a+6-(-a+6)=-a2+3a,PE=2 2-a,2 2-l a2+3a=212-a|,2解得：a=4 或 a=5-J

45、T 7，所以 P(4,6)或 P(5-V17-3717-5).1 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=Zx2-Zx-4与x轴交于A,B两点3 3(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A,B,C的坐标；(2)点P从A点出发，在线段A B上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动.设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；(3)在(2)的条件下，当aP BCi面积最大时，在 BC下方的抛物线上是否存在点 M,使aBM C的面积是P BQ 面积

46、的1.6倍？假设存在，求点M 的坐标；假设不存在，请说明理由.【解答】解：(1)当 x=0 时，y=-i.x2-X-4=-4,3 3.点C 的坐标为(0,-4)；当 y=0 时，有2x2-2x-4=0,3 3解得：xi=-2,X2=3,二点A 的坐标为(-2,0),点 B 的坐标为(3,0).设直线BC的解析式为y=kx+b(kWO),将 B(3,0)、C(0,-4)代入 y=kx+b,俨+b=0,解得 k卷，J|b-4/.直线BC的解析式为y=lx-4.3过点Q 作 Q Ey 轴，交x 轴于点E,如图1 所示，当运动时间为t 秒时，点 P的坐标为(2 t-2,0),点 Q 的坐标为(3-W

47、t,-刍)，5 5/.P B=3-2)=5-2t,Q E=&t,5SAP BQ=P B*Q E=-At2+2t=-A (t-)2+.2 5 5 4 4；-l 0,5.当t=时，P BCi的面积取最大值，最大值为苴.4 4(3)当P BQ 面积最大时，t=A,4此时点P的坐标为(1,0),点Q 的坐标为(X -1).2 4假设存在，设点M 的坐标为(m,2m2-2 m-4),那么点F 的坐标为(m,Im3 3 3-4),MF=Am-4-(Am2-m-4=-Am2+2m,3 3 3 3SABMC=MF OB=-m2+3m.2V A B M C的面积是PBQ面积的1.6倍，-m2+3m=X 1.6,

48、即 m2-3m+2=0,4解得：m i=l,rr）2=2.V 0 m 3,.在BC下方的抛物线上存在点M,使A B M C的面积是PBQ面积的1.6倍，点M的坐标为（1,-4）或（2,-旦）.31 2.综合与探究如图，抛物线y=L x2x-4与x轴交于A,B两 点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,连接AC,B C.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m,过点P作PM_Lx轴，垂足为点M,P M交BC于点Q,过点P作PEAC交x轴于点E,交BC于点F.（1）求A,B,C三点的坐标；12）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.假

49、设存在，请直接写出此时点Q的坐标；假设不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段Q F的长，并求出m为何值时QF有最大值.【解答】解：（1）当 y=o,lx2 j.x-4=0,解得 x i=-3,X2=4,3 X 3AA（-3,0）,B 4,0）,当 x=0,y=.X x-4=-4,3*3AC（0,-4）；（2）AC=J32+42=5,易得直线BC的解析式为y=x-4,设 Q（m,m-4）（0 m 4）,当 CQ=CA 时，m2+（m-4+4）2=52,解得 m i=&叵，m2=-殳 叵（舍去），此时 Q2 2点坐标为1返9-4）；2 2当 AQ=AC 时，（m+3）2+（m-4）2=

50、52,解得 m1=l,m2=0（舍去），此时 Q 点坐标 为（1,-3）；当 QA=QC 时，(m+3)2+(m-4)2=52,解得 舍去)，2综上所述，满足条件的Q点坐标为 迫,4)或(1,-3)；2 2(3)解：过点F作FG_LPQ于点G,如图，那么FGx轴.由B(4,0),C(0,-4)得OBC为等腰直角三角形/.ZOBC=ZQFG=45.FQG为等腰直角三角形，FG=QG=FQ,2.PEAC,PG/CO,/.ZFPG=ZACO,VZFGP=ZAOC=90,.FGP AOC.FG_PG 即 FG_PG0A CO 3 4.PG=9FG=1 返 FQ=3/1FQ,3 3 2 3 _PQ=PG