《第六章平面向量及其应用》知识梳理、考点和单元检测试卷.pdf

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1、 第六章平面向量及其应用知识梳理【体 系 构 建】向 量 的 大 小 叫 做 向 量 的 长 度（或 称 模）概 Y-2)a b=(xix:,yi-yi)xa=(An,“】)I a|=ri+.r?.坐标运算向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设i),B(X2,y z),则 建”一J1),AB|=5/(nxi)24-2H)2平面向量 _ .T.已知两个非零向量a和b,如图所示，作1=a,OB=b则4108=8（0吆比180。）叫做向量a与b的夹角，记 作 ，b共线的坐标表示设a=(xi，.n),b=(X2,2),其中则2“UOXJQ卬1 =0正余弦定理/=+/2bcc

2、os.4._ 6+Lrcos A=-2bc余弦定理/=/+/2CQCO 8(r-arbrcos 5=-lea，Vc2=a2+22odcos CO：+2c2cos C=-(lab正弦定理 一 =，一=，一=2R（K为AUSC外接园的半径）sin N sin B 4n CSZ V,日不共线,我们把&,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.五、平面向量的数量积及坐标表示设 a=(x i,y i),b=(x2,y2),则a+b=(x i+x2,y i+y s),a-b=(x i-x2,y i-y 2),A a=(X x i,A y),:a|力君+资,a b=|a【.|b【c o s=x i X

3、z+y i y z .六、余弦定理及其推论1 .余弦定理三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 a2=b+c2-2 b c c o s A,b -a2+c2-2 a c c o s B,c =a+b-2 a b e o s C.2 .推论七、正弦定理及其常见变形1 .正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等，即 三 号+3=2 R(R 为a A B C 外接sm4 sinB smC圆半径).2 .常见变形a=2 R s i n A,b=2 R s i n B,c=2 R s i n C,s i n A ,s i n B ,s i n C

4、 ,2R 2R 2Ra ：b ：c=s i n A :s i n B :s i n C,a+b+csin/l+sinB+sinC 第六章平面向量及其应用考点专项训练考 点 一 向 量的基本概念解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a与涓的关系：令 是a方向上的单位向量.a a一.选择题1 .给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能

5、比较大小，但它们的模能比较大小=6(4为实数)，则2必为零4,为实数，若 痴=,则方与5共线其中正确的命题个数为A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】对于，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，错误;对于，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，但它们的模能比较大小，.正确；对于，=0时(2为实数)，2 =0或1 =0,.错误；对于，若4=M=0 时，A,a=/.i b =0 ,此时G与5不一定共线，.错误；综上，其中正确的命题为，共1个.故选A.2.下列说法中正确的是A.平行向量不一定是共线向量B.单位向量都相等C.若不，6满足|d|b|且a与5同向，则D.对于任意向量G,b

6、,必有|4 +方I,+【答案】D【解析】平行向量是共线向量，故A不正确;单位向量的模相等，方向不一定相同，故3不正确；若a,6满足|4|方|且1与5同向，则 显 然 不 正 确，向量不能比较大小，故c错误；向量的加法的平行四边形法则，可知对于任意向量乙，5 ,必有|4 +方I,|d|+|b|,故O正确；故选D.3.有下列命题：两个相等向量，若它们的起点相同，终点也相同；若|=出|,则 一=九若|而|=|觉|,则四边形A BC D是平行四边形；若m-n,n =k,则比=后；若口/区，b l 1c ,则万/E；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中，假命题的个数是A.2 B.3 C.4 D.5【

7、答案】C【解析】对于，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，正确：对于，若|&|=|6|,则1、6不一定相同，错误；对于，若|A月而、不一定相等，四边形A 3 C。不一定是平行四边形，错误；对于，若加=万，n =k ,则比=E,正确：对于，若/5 ,b i le,当B=0时，不一定成立，错误；对于，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，错误：综上，假命题是，共4个.故选C.4.（共线向量的概念）下列命题中，正确的是A.若M/b,则与B方向相同或相反B.若一/5 ,b !I c i 则一一C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D.若且=6 ,b=c ,则 M =5【答案】D

8、【解析】由于零向量的方向是任意的，取1=0,则对于任意向量5 ,都有彳/6,知A错；取5 =6,则对于任意向量M 5都有力/5,h I !c 9但得不到万/忑，知8错；两个单位向量互相平行，方向可能相反，知。错；由两向量相等的概念知。正确.故选D.5.已知向量。，不共线，c =3 5 +,d =m a+(m +2)h,若 5/，则?=A.-1 2 B.-9 C.-6 D.-3【答案】D【解析】,向量d,。不共线，c =3a+h f d =m c i +(j n +2)b ,c!I d3d +6 =A m d+2(/n +2)b ,J 3 =A m 1 =4(m +2)解得 4 =1,m =3

9、.故选D.6.已知向量入 5不共线，且5 =(3 k+2)万+B,d =a+kb,若1与2方向相反，则实数上的值为A.-1 B.-C.1 或 2 D.-1 或423【答案】A【解析】由5 =(3 k +2)d+b,d =a+k b 且 0 与方向相反，所以%(3%+2)-1 =0,即 3 X+2/-l =O,解得/=一1或%=3,3当 A =-l 时，c =-a+h,d =a-h ,1与反向，当=,时，c =3a+b ,d =a+-b ,C 与 I 同向，3 3所以实数4的值为T.故选A.二.填空题7.给出下列六个命题：两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|3=出|,则6=5；若=则A

10、,B,C,。四点构成平行四边形；在平行四边形A BC 中，一定有4月=。；若m =n n =p,则用=户；若向 a/6,b i le,M a!I e .其中错误的命题有.（填序号）【答案】【解析】在中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故错误:在中，若1利=出1，则1与5大小相等，方向不一定相同，故错误；在中，若A月=3,则A,B,C,。四点不一定构成平行四边形，故错误；在中，在平行四边形A BC Z）中，由向量相等的定义得一定有A月=，故正确；在中，若玩=五，n =p,则向量相等的定义得而=，故正确；在中，若向G/b,b i l e,当5 =0时，彳与5不一定平行，故不正确.

11、故答案为：.8 .下列说法中：两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；若|d|=|6|,则|&=6；若非零向量,石共线，则2 =5；向 量 则 向 量 4,3共线；由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；其中正确的序号为.【答案】【解析】对于，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；对于，当旧|=出|时，4与B 不一定相等，命题错误；对于，若 非 零 向 量 共 线，则=5不一定成立，命题错误；对于，向量=6 时，向量4,5 共线，命题正确；对于，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题错误；综上，正确的命题序号是.故答案为：.三.解答题

12、9.已知向量a =(3,2),1 =(-1,2),c =(4,l).(I )若 C =m a+n b ,求 w ,的值；(I I)若向量I满足(3-3/(1 +6),|2-即=2 退，求2的坐标.【答案】【解析】(I )向量 =(3,2),6=(-1,2),(4,1),由 1 =+”5,所以(4,1)=m(3,2)+M(-1,2)=(3 m-，2m +I n),4 =3m n1 =2m +2n解得(I I )设 7=(x,y),贝 ij 2 1 =一 4,一 1),a-b=(2,4),由(2 -)/(。+5),J L|J -c|=25，r2(y-l)=4(x-4)所以4 I-r ，V(x-4)

13、2+(y-l)2=2 x/5s/r fx =2 x =6解得 c 或 ，y =-3 y=5所以 2 =(2,-3)或 2 =(6,5).i o.设两个非零向量a与不 共线.(I)若方=(1,2),6 =(-1,1),且%+5与d-2 b 平行，求实数上 的值；(I D AB=a+b ,B C =2(a-b),C D =a+5 b ,求证：A,B,。三点共线.【解答】(I )解：由 1 =(1,2),6 =(-1,1),所 以 +5 =伏-2%+1),”4=(3,0),因 为%+5与 d-2 b 平行，所以有3(2 k +l)=O,解得左=.2(I I)证明：因 为 前=+人 W =2(a-b)

14、,C D =a+5 b ,所以8万=面右+。方=2(汗 一 6)+(1+5 6)=3 4 +3 区=3(6+5),即8方=3 A 8，所以A 月与双5 共线，因此A,B,。三点共线.考点二平面向量的线性运算平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合平行四边形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.选择题1.已知等边三角形ABC的边长为6,点尸满足3胡+2月 分+尸6 =。，则|而|=A.-B.C.币 D.9 6 3【答案】C【解析】：3PA+2PB+PC=0,.-.3A

15、P=2PB+PC,:.6AP=2（AP+PB）+（AP+PC）=2AB+AC,LAP=-A B +-AC,3 6故AP=（-AB+-AC）2=-A B +-A B-+AC=-x 3 6 +-x6x6xcos60+x37=7.3 6 9 9 36 9 9 36故|屈|=,故选C.2.在平行四边形ABCD中，设对角线AC与BD相交于点。，则 南+丽=A.2B0 B.2DO C.BD D.AC【答案】B【解析】在平行四边形/W CD中，设对角线AC与皮）相交于点O,贝lj AB+CB=AB+DA=DB=2DO.故选B.B C3.已知点G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则苏

16、+方+定+所等于A.4PGB.3PGC.2PGD.PG【答案】A【解析】如图，PA=PG+GA,PC=PG+GC,PB=PG+GB,PD=PG+GD,PA+PB+PC+PD=4PG+(GA+GC)+(GB+Gb)=4PG.故选A.4.己知向量可=(/n,3),b-(3,-n),若 一 +2石=(7,1),则?=A.1 B.0 C.-1 D.2【答案】Atn+6=7/口【解析】v a-2b=(7,1),又 Bb=3Dd,/.BD=-BC=-(h-c)4 4,AD=AB+BD=c+-(b-c)=-b +-c；4 4 4故选c.8.如图，在 A4BC中,点。是 BC边上靠近8 的三等分点，则 而B.

17、【答案】C3 31 .2 -AB+-AC3 32.1 .C.-AB+-AC3 31 .?D.-AB AC3 3_ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ 1 _ _ _ 2 _.1 _ _【余 华析】AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-A C.3 3 3 3故选C.二.填空题9.在直角坐标系中，O为原点，xOA+yOB=2AB,则x+y=【答案】0【解析】+yOB=2AB,xOA+yOB=2(OB-OA),二.(x+2)OA+(y-2)OB=0,x=-2,y=2,x+y=O,故答案为：0.10.在AABC中，己知。是 AS边上一点，若 A方=22,前=以+2

18、3，贝 U 4=3【答案】-3【解析】AASC 中，。是 AB边上一点，AD=2DB,CD=-CA+A.CB,3如图所示，Cb=CA+A b=CA+2DB,CD=CB+BD,2CD=2CB+7.BD=2CB-2DB ；+得，3CD=CA+2CB,：.CD=-CA+-C B i3 3故答案为：三.解答题11.如图，己知AAfiC中，。为BC的中点，AE=-E C,AD,3E交于点尸，设 恁=d,2AD=b.(1)用 人5分 别 表 示 向 量 而，EB;(2)若AR=，A Z5,求实数/的值.3 2【解析】(1)由题意，。为5 c的中点，且 荏=3A B +A C =2A D,A B =2b-a

19、,.-14-E B=A B A E =2b c i c i c i+2 Z?；3 3(2)v A F =tA D=tb,F B=A B-A F =-a+(2-t)b ,v E B =-a+2 b,方，方 共线，3-1 _2-t丁 丁31t=.21 2.如图所示，在 A A B O 中，O D =-O B,4)与 3c相交于点M ,设 函=d ,4 2O B =b .(1)试用向量M,b表示0 M；(2)过点M 作直线E F,分别交线段A C,BD 下点、E,F.记 O g =/l c i,O F =j L t b ,求证：为定值.2 1a 1 3【答案】OM=-a +-b；(2)-+-=7.7

20、 7 X 【解析】(1)由A,M ,。三点共线，可设0 而=加。4 +(1-机)0 方=加+上5 5,由 3,M ,C 三点共线，可设OM =O(j +(l-)0 豆=巳1 +(1-)5,因为。，5不共线,所以m-n41 -m解得m=74n=，72u 1 3-O M =-a +-b .7 7(2)因为E,M,F 三点共线,设 OM=kOE+(1-k)OF=kXa+(1-k)jub,i 3由(1)知 版=亍，(1-幻=亍，i 3即_l=7女，-=7-7/:,A i 3所以+二 7,故L=7.2 考点三平面向量数量积的运算向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即

21、ab=|a|6|c o s a,6.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(为，),6=(小 3，则 a”=汨必+必角.一.选择题1.已知|创=1,|5|=2,且彳与5 的夹角为三，贝 ij|G石 5|=6A.J7 B.2V2 C.Vio D.V19【答案】A【解析】，.恒|=1,b=2,且 1 与6 的夹角为巴，:.a-y/3b=a2-2 y5-a-b +3b2=1-2/3xy/3+3x22=1,故 伍-何|=,故选A.2.已知向量。石满足|也|=1,|=2,=，则|-5|=3A.3 B.7 C.V7 D.x/3【答案】D 解析由|d|=1,16 1=2,=巴,3所以万石=|万

22、|c o s-=lx2x=1.故|-5 1=yl（a-b）2=a2-2 a b+b2=V l-2 x l+22=.故选I）.3.已知向量G=（百,1）,6 是单位向量，若|1+B|=石，则万与万的夹角为A.-B.-C.D.6 3 3 6【答案】C【解析】根据题意，设0 与B 的夹角为。，向量a=（J L 1）,则|刖=2,若|a +5|=5 贝 1 修+6|2=/+庐+2力6=5+4 3 6 =3,变形可得cos6=,2又由砥8%，则夕=女，3故选C.4.若非零向量万，石满足|4|=3|b|,（2a+3b）A.b,则万与5 的夹角为A.-B.-C.D.6 3 3 6【答案】C【解析】根据题意，

23、设，与5 的夹角为6,出|=/,则|d|=3|b|=3 r,若（2万+3b）_ Lb,则（25+35）1=2无5+352=6 3 0 6 +3/=0,即 cos=-,2又由晨船乃，则二，3故选c.5.已知向量方=(1,血)，出|=2,a-b=y/l3,则2与5的夹角为A.-B.-C.D.6 3 3 6【答案】D【解析】根据题意，设1与6的夹角为，因为|d-b|=相，所以0-6)2=1 3,即/一2无5+户=1 3,向量d =(l,a),则|刈=G,h则有3 2 6X2XCOS8+4=1 3,解得cos。=灯，2又 由 噫 万，则包，6故方与5的夹角为区；6故选D.6.向量M=(2,l),5=(

24、-3,4),c=(3/7 1-1,l-2 m),若m+2 5)_L1,则实数加等57A.1 B.?-C.?-D.244【答案】B【解析】根据题意,b=(-3,4),c=(3/n-1,1 -2 m),则 t +=(3加一7,9-2，若(3 +2b)-La,则(-+2。)q=2 x(3加一7)+(9-2m)=4m-5=0,解可得：m =y4故选B7.已知向量。,力，满足|初=1,|=/5,且-方|=2,则=A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由|d-方|=2得 -方 =筋+户 一2a=4,即 1 +5 2 M 6=4,解得 a b .故选C.8 .已知|2|=2,屹|=1,S.a-b

25、=-l,m(2a-b)-(a+b)=A.6 B.8 C.3 D.-3【答案】A【解析】(,2a-b)-(a+b)=2d2-b2+a-b=2X22-1-1=6.故选A.9 .已知向量寸=(2,3),b (k,5),S.a-b=3,则|2 +5|=A.4 x/3 B.3&C.55/5 D.6 0【答案】C【解析】v a=(2,3),b =(k,5),a-b =2k +5 =?,解得/=-6,.=(-6,5),2 G +5=(-2,l l),|2 67 +f e|=V4 +1 2 1 =5x/5.故选C.填空题i o.设非零向量a而 满 足 花5),且出|=2|a|,则向量4与B的夹角为【答案】-3

26、【解析】根据题意，设|M|=r,则|0|=2 f,向量土与B的夹角为6,若 M ，则4一万)=/-/?=/一2*cos。=0 ,解可得cosO=L,2又 由 啮 吩兀,则。=工，3故答案为：31 1 .已知单位向量5,5的夹角为王，贝 万 一 折|=.【答案】1【解析】因为回|2 =-2后 石+3 52=1-3 +3 =1,所 以|&-屏|=1.故答案为1.三.解答题1 2.已知|利=4,历|=3,(5-3*)-(2 5+3 6)=-3 1.(1)求1与6的夹角夕；(2)求|万+5|的值.【答案】(1)0=-.(2)V1 3.3【解析】(1)|利=4,|b|=3,53 B)-(2 d +3 b

27、j =-3 1.所以 2 _9 52-3无5=-3 1 ,即 3 2-8 1 -3 a石=一3 1 ,所以无5=-6,-a,h 6 1cos=-=-=，e 0 ,TT,ab 4 x3 2可得，=生，3(2)a+b=la2+b2+2a-b =1 6+9-1 2 =V1 3 .1 3.在平面直角坐标系中，a=(1,/n),b =(3,1).(1)若加=2,求|2 4+5|的值;(2)若向量J _5,求机的值.【答案】(1)55/2 ；(2)m=-3.【解析】(1)根据题意，若=2,即1=(1,2),贝IJ 2 d+6=(5,5),2a+b=V2 5+2 5=57 2 ,(2)若向量则1-5=3 +

28、%=0,解可得利=-3 故，7 7 =3 .考点四平面向量数量积的性质应用平面向量数量积求解问题的三个策略a b(1)求两向量的夹角：cos e=-r，要 注 意 J 0,n.a,b两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a_L 抉=a6=0=ab=a+求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：厅=aa=a-或|a|=ya a.Ia 引=yj(a疗=y1a2a b+b若 a=(x,y),则|a I =yjx+y.一.选择题1.在 A4BC 中，C=90。，点。在 AB 上，AD=3DBf CB=4f C B C D =A.8 B.10 C.12 D.16【答案】C【解析】因为AABC

29、中，C=90。，点。在 4?上，AD=3DB,|C B|=4,_ _ _ _ _ Q _ Q _ _ 1 _ _（.CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-（AC+CB）=-CA+-C B,4 4 4 4所以 c从 c/5=C方（）至+3 围）=1（S cQ+3 c才=2,4 4 4 4故选C.2.若 M BC 的 外 心 为。，且 NA=60,AB=2,AC=3,则。4&（+。初。4+0/4 不等于A.5 B.8 C.10 D.13【答案】C【解析】取AB的中点。，BC的中点E,AC的中点/，连接O）,OE,OF,OA,O为A48C的外心,故 O_L AB,bA BA=(dD+DA)BA=-

30、AB,同理可得：OBCB=-CB,OCAC=-AC2,2 2/ZA=60,AB=2,AC=3,BC2=22+32-2 x 2 x 3 x l=7,2.,.则 OABA+OBCB+OCAC=(22+32+7)=10,故选C.3.已知。X,O B,反均为单位向量，且满足d+2万+2反=0,则 丽 恁 的值为3 5 7 19A.-B.-C.-D.8 8 8 8【答案】B【解析】OA,OB,。3均为单位向量，且满足。4+20月+203=0,故A,B,。围成AABC,设BC的中点为。，连接。4,OB,OC,OD,因为 OX+2O3+20=6,04+400=0,故A,O,。三点共线，且AO=4 8,:OA

31、=OB=OC=,故ABOC为等腰三角形,故有O D _L3C,即 AD_L 3C,ELOD=,4AD=1H =一,4 4BD=yjOB-OD1=J l2-(I)2=-=DC,AB AC=(AD+DB)(D+DC)=AD2+(DB+DC)AD+DB DC=(1)2+O-()2=|.故选B.4.在 AABC中，AB=4,AC=2,点M 是 BC的中点，则必 的值为A.-6 B.6 C.-8 D.8【答案】A【解析】.在AA8C中，A B=4,AC=2,点 M 是 BC的中点，-.-1 -2 -*2 1 oBC AM=(A C-A B y-(A C +AB)=-(A C -A B )=-x(22-4

32、2)=-6.2 2 2故选A.5.点尸是边长为2 的正A 4BC的边BC上一点，且 屈=!而，则 而(而+/)=3A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】点尸是边长为2 的正AABC的 边 上 一 点，且 万 围，3_ _ _ _ _ _ _ 2 _ _ _ _ 2 _,_,1_ _ 2 _./.AP=AB+BP=AB+-B C =AB+-(A C-A B)=-A B +-A C,3 3 3 3-1.2 .1 .2 .2 -2 4 I 8AP(AB+AC)=(.-AB+-A C)(AB+AC)=-A B +AB AC+-A C =-+2 x 2 x-+-=6)3 3 3 3 3 2 3

33、故选C.6.在 A48C 中，AB=?后,CB=,AC=2,点 M,N 分别为 CA,CB 的中点,则 丽.砺B.?|C.一?|D-7i【答案】B【解析】在 AA8C 中，AB=?右,CB=,A C =2,可知 CB?+AC?=4 3。,所以三角形是直角三角形，如图：建立如图所示的坐标系，则 8(0,1),A(2,0),点，N 分别为C4,C3的中点，所以 M(l,0),N(0,；),所 以 丽=(-2,!)，M力=(T,D，2所 以 丽.碗=(-2,1)=2+-=-.2 2 27.已知。为AABC的外心，AB=6,AC=4,则无5 反=A.10 B.5 C.-10 D.-5【答案】C【解析】

34、过点O分别作OE_LAB于 E,OF_LAC于尸，则、尸分别是四、AC 的可得 RtAAEO 中，cos NOAE=!=.处AO 21Aoi,AB A O ABx AOCOSZ B A O=g I A囱2=18,同理可 得 冠 荷=g|正 =8,AO-BC=AO-(AC-AB)=AO-AC-AO AB=8-18=-10,故选C.8.四边形 A B C D 中,A B =2 D C ,A B B C =O,|函=2,则 彷 反A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】B【解析】由题意知|觉=1,DC BC=O,所以ADDC=(AB+BC+CD)DC=ABDC+CDDC=2xxcosO+lxxco

35、s7r=2-l=故选B.二.填空题9.已知矩形中，AB=2,A D=,设AC与交于点O,则 标 必0 =.【答案】-34【解析】Ad-BO=-AC-BD =-(AB+AD)AD-AB)2 2 41 -2 -2=-(AD-AB)=-(l2-22)=-,4 4故答案为：-3.41 0.在A4BC中，O为中线AW上的中点，若AM=2,贝lj砺(而+元)等于.【答案】-2【解析】由题意画出草图：由于点M为A48c中边8 c的中点，OB+OC=2OM,OA(OB+OC)=2OA OM=-2OA OM.,O为中线4 0上的中点，即A、O、M三点共线，AM=2,OA(OB+OC)=-2OA-OM=-2x1x

36、1=-2.故答案为：2.11.(1)已知平面向量1、b ,其中4 =(底-2).若|石|=3夜，且G/6,求向量5的坐标表示；(2)已知平面向量4、5满足|团=2,出|=1,4与5的 夹 角 为 空，且 3+拓)J_(2 d-b),3求2的值.【答案】(1)=(府,-2夜)或(-屈,2虚)；(2)2 =3.【解析】(析.&=(技-2),allb ,.设方=几(右,一2),且一|=3亚,3|昨30,解 得 谷0,二.=(而,-2右)或(-痴,2&)；,、2 7 r(2)v|=2,|Z?|=1 ,=，3a b =-1 X(+A b)(2d -b),/.(J4-A fe)-(2 a-fe)=2 J2

37、-A P+(2 2-l)6 r-&=8-A-2 A 4-l =0,解得4 =3.12.在 A 4 8 C 中，A B =d,A C =b,B D=-W.3(1)用汗，5表 示 而，B D；(2)若 4 3 =2,A C =3,Z B A C =,求 A fj-B方的值.3_ o _ _ 1 O 7?【答案】(1)B D=-(b-a),A D=-a+-h；(2).3 3 3 9【解析】（1）如图，v A B =a,A C =b ,D_ _ 2_.2 _._.2 _._._ _ 2 i 7BD=-BC=-(A C-AB)=-(b-d),AD=BD-BA=-b-a)+a=-a +b:(2).,AB=

38、2,AC=3,ZBAC=,3_ _ _ 2 _ _ _ i _ 2 _,.ADBD=-(A C-A B)(-A B +-AC)4-2 2 2 2 -=-AC AB AB AC9 9 9o 2 1=4-x2 x3 x-9 9 222=.9考 点 五 平面向量基本定理及应用应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的.选择题1.正方形ABCD中，点 E,产分别是DC,BC的中点，那 么 前=1 ,1 ,1 ,1 ,1 .1 .1 _.1 .

39、A.-A B+-AD B.AB AD C.-A B AD D.AB+-AD2 2 2 2 2 2 2 2【答案】C【解析】：E,F 分别是QC,的中点，EF=-DB=-(A B-A b)=-A B-A D,2 2 2 2故选C.,BA2.在 AABC中，E 为AB边的中点，D 为AC边上的点，BD,C E交于点F.若?A F =-A B +-A C ,则 的 值 为7 7 A DA.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】设入。=/14万，_ _ Q _ _ 1 _ _因为？/=2 而+/,7 7_ _?_ _ 1 _ _所 以 标=己 而+丸 而，7 7因为3,F,。三点在同一条直线上,

40、所以3+=所以4=4,7 7所 以 生=4.AD故选C.3.在 AA3C所在平面中，点。满足。4 月+。3 =0,则2-1.2 1.1.2 4 2 A.-B A +-A C B.-B A AC C.-BA+-A C D.-B A +-A C3 3 3 3 3 3 3 3【答案】A【解析】由a 4+o g+o C=0,BO=OA+OC=OB+BA+OB+BC,即 3BO=BA+BC=BA+(BA+AC)=2BA+AC,_ _ 2 _ i _ _贝|3。=一所+A。.3 3故选A.4.A A B C中，点M为A C上的点，且加砒，若 丽=几 丽+反,则;I 的值是1 1 2A.1 B.-C.-D.

41、-2 3 3【答案】C【解析】A M=-M C ,2所以A M，=，恁，3所 以 =画+府=函+4 6 =朋+(5 3 函)=一 函+8 3,3 3 3 3若 丽=2月 不+品,则 4 =2,/=,A -/=.3 3 3故选C.5 .在五边形A B C D E中，E B =a,A D =b t M ,N分别为A E,B D的中点，则 丽 =A.a+b2 2【答案】CB.-a+-b3 3C.-a+-b2 2D.“54 4【解析】因 为 欧=dA D=b,M ,N分别为A K,3。的中点,所 以 丽=砒+而+丽=，通+而+!丽2 2=-(A b+l5 E)+E b +-(b E+E B)2 2=-

42、A D+-E B=-a+-h.2 2 2 2故选C.6 .己知等边A 4 6 c内接于。，。为线段0A的靠近点A的三等分点，则 丽=2 1.2 1-7 1 7 1-A.-B A +-B C B.-B A +-B C C.-B A +-B C D.-B A +-B C3 6 3 9 9 6 9 9【答案】D【解析】如图所示：设3 c中点为E,则 B D=B A +A D=B A +-A d3=B A +-x-A E3 32 -=BA+-(A B +BE).2 2 1 .=BA BA+-X-B C9 9 2=2丽+1配.9 9故选D.7.在 Z V LB C 中，点。在线段 B C 上，且 3 =

43、3 O C,若？A C J=m A 8 +Z e,则？二=mA.?1 B.?1 C.2 D.33 2【答案】D【解析】因为BE=3DC,所以8方=3。，所 以 而 一,月=3(AC-AD),故4 5 =3 n+工 岫，4 4若?A方=rnAB+nAC,则加=L n=,4 4所以？”=3.m故选D.8.如 图，在A A B C中，N为 线 段A C上 靠 近A的三等分点，点P在B N上且_ 9 _ _ 2 _而=(?+_)通+一 比，则实数机的值为11 11AB【答案】D_ 2 _ 2_.9 _.7 _._ _,2_.【解析】AP=(m+-)A B +BC=(m+)AB+(AC-AB)=mAB+

44、AC,11 11 11 11 11N 为线段AC上靠近A的三等分点，所 以 丽=加 而+色 而，因为点尸在3N 上，即尸，B,N 三点共线，11所 以 巾+幺=1,解得机=w.11 11故选D.二.填空题9.平行四边形A B C D 中，M 为 CO的中点，点 N 满足8 M =2 近，若 4 月=则4+的 值 为.【答案】-2【解析】平行四边形A B C D 中，M为CD的中点、，点、N满足BN=2N(j,_ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ 2_.所以从百=；1府+函=4(4 万+5 4 分)+4(4 月+3 4 方)，2 1 .=(A +-/)A Z)4-0，2所以X，eg所以

45、三角形A4BC为等边三角形，即 3 c =8.故选A.7.在 A46c 中,a,b,c分别为内角A,B,。的对边，且-=2+c o s Ac ccos(A+C)则8的大小为21TD.5T T6【答案】B【解析】V-C2+bcosA _ bcosA-=2-,ccos(A+C)ccosBsin A _ sin BcosA=2,sinC sin Ceos B即 sin Acos B=2sin Ceos B-sin Bcos A,W sin Acos B+cos Asin B=2sin Ceos B,即 sin(A+B)=2sin Ceos B,得 sin C=2sin Ceos B,则 cos B=

46、L,2由0 v 8 v 乃，得内角8=2，3故选B.8.AABC中，角 A,B,。所对的边分别为a，b,c,满足a=2 x/i,B=45.C=7 5 ,则6=A.2 B.A/6 C.22 D.3&【答案】C【解析】由题意可知，4=180。一 45-75=60,由正弦定理可知一乙=_,sin A sin B所以匕=sin B x=2&sin A 2 yJ32故选C.二.填空题9.在 AA8c中，内角A,B,C 对应的边分别是a,b,c,若Vcsin AcosB=asin C,则 NB的大小为.【答案】-4【解析】在AABC中，由正弦定理可得csin A=asinC,所以cos 8=asinC _

47、&5/2csin A 2又O v B v i,所以8=巳.4故答案为：.4210.在 AABC 中，AB=1.sinB=5sinC,cosA=-,则 8C=【答案】V22【解析】因为sin3=5sinC,所以 AC=5AB=5，贝 I BC=J l2+52-2 x lx 5 x|=厄.故答案为：V22.三.解答题11.己知 AA8C 的内角 A,B,C 的对边分别为“，6,c,且6=3,cos28=cos(A+C),asin A+csin C=6sinB.(1)求 3;(2)求A45C的周长.【答案】B=-;(2)9.3【解析】(1)因为cos23=cos(A+C),所以 2cos2 B-l=

48、-cosB,解得，8 5 3 =或 8 5 3 =1 (舍)，2由8 为三角形内角得5=工，3(2)因为asinA+csinC=6sin3,由正弦定理得，/+。2 =66=18,故 ac=9,所以(a+c)2=/+d +2农=18+18=36,故 a+c=6,所以AABC的周长a+6+c=9.12.在锐角 AABC中，角 4,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2tt8sA-bcosC =ccosB.(I)求角A 的大小；(I I)若 4=2,求b+c 的取值范围.【答案】(1)A=-；(2)(273,4.3【解析】(I)因为26?cosA Z?cosC=ccos3,所以由正弦定理可得2si

49、n Acos A sinbcosC=sinCcosB，即2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ceos B=sin(3+C)=sin A,又因为sinAwO,所以 cos A=-,2因为A 为锐角，所以43(II)b+c=(sin B+sin C)sin 4=-4sin B+s in(-B)y/3 3T_ 4 百，.“6 0,1 .m=-(sin B+cos 8+sin 8)3 2 2_4x/3 3.R,上 小=(/sin B+2 cos B)=4sin(B+令，因为B e ,马，可得3+金(工,生),6 2 6 3 3所以sin(8+C)e(虫，1,即人+c=4sin(8+&

50、)e(2 6 ,4.6 2 6考点七正弦定理和余弦定理的应用1 .求距离问题的两个注意点(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.2.求解高度问题应注意(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.解决测量角度问题的三个注意点(1)明确方位角的含义.(2)分