数学经典易错题会诊与高考试题预测11.pdf

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1、经 典 易 错 题 会 诊 与 2012届 高 考 试 题 预 测(十 一)考 点 11空 间 向 量 求 异 面 直 线 所 成 的 角 昼 求 直 线 与 平 面 所 成 的 角 A求 二 面 角 的 大 小 哪 距 离 i I用 空 间 向 量 解 立 体 几 何 中 的 探 索 问 题 呼 1 用 空 间 向 量 求 角 和 距 离 经 典 易 错 题 会 诊 命 题 角 度 1求 异 面 直 线 所 成 的 角 1.(典 型 例 题 I)如 图 1 1-1,四 棱 锥 P ABCD的 底 面 为 直 角 梯 形，AB DC,ZDAB=90,PA_L底 面 A B C D,且 PA=A

2、D=DC=2AB=：L,M 是 PB 的 中 点。2(1)证 明：面 PADL 面 PCD；(2)求 AC与 PB所 成 的 角；(3)求 面 A M C与 面 BMC所 成 二 面 角 A-CM-B的 大 小。考 场 错 解 第(2)问。TPA_L底 面 A B C D,且 N D A B=9 0，AD、AB、A P两 两 互 相 垂 直，建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系，则 A(0,0,0),C(1,1,0),B(0,2,0),P(0,0,1),：.A C=(1,1,0),丽=(0,-2,1),竺 竺=_ a；.AC 与 PB 所 成 的 角 为 I AC II PB I 5arcc

3、os(-).专 家 把 脉 上 述 错 解 中 有 两 个 错 误：(1)丽 的 坐 标 应 用 B 的 坐 标 减 P的 坐 标，.而=(0,2,-1)；(2)异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 不 正 确，公 式 记 忆 不 准 确，实 际 上 异 面 直 线 所 成 的 角 的 范 围 不 正 确，公 式 记 忆 不 准 确，实 际 上 异 面 直 线 所 成 的 角 的 范 围 为(0,90),而 arccos(-为 钝 角，cos 0=5 ACPB 对 症 下 药(1).PA_L底 面 A B C D,.PAJ_C D,又 CD_LAD,.人 _!_平 面 P A D,又 CD

4、u 平 面 P C D,二 平 面 图 PADL 平 面 PCDo(2).PA_L底 面 ABCD,.,.PA_LCD,PA_LAB,又 AD_LAB,.,.可 以 建 立 如 图 所 示 空 间 坐 标 系,则 由 已 知 A(0,0,0)、C(1,1,0)、B(0,2,0)、P(0,0,1)/.AC=(1,1,0),丽=(0,2,-1),设 就 与 PB成 角 为 9,则 cos。J/竺 J 典,；.A C与 PB所 成 的 角 I AC 1 1 PB I 5为%arccosVio.(3)为 PB 的 中 点，A M(0,1,1),：.A M=(0,1,；),AC=(1,1,0)设 ni=

5、(x,y,z)为 平 面 AMC 的 法 向 量，则 n j l AM n J.n，：.y=；z=0,x+y=0 x=l,得 y=-l,z=2,n i=(l,-l,2)为 平 面 A M C的 一 个 法 向 量，同 理 可 求 得 上=(1,1,2)为 平 面 BMC的 一 个 法 向 量,，n i、1 的 夹 角 为 arccosg,而 从 图 中 可 看 H；A-MC-B为 钝 角，.二 面 角 A-CM-B的 大 小 为 r-arccos。32.(典 型 例 题)如 图 1 1-2,在 直 四 棱 术 ABC D-ABC iD i中,AB=AD=2,DC=2万,AA产 后,AD1DC,

6、A C 1 B D,垂 足 为 E。(1)求 证 BD_LAiC；(2)求 二 面 角 A BD-Ci的 大 小；(3)求 异 面 直 线 A D与 B Q所 成 角 的 大 小。考 场 错 解 1第(3)问，由 已 知 AD、DC、D Di两 两 互 相 垂 直，.建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，A A(2,0,0)、D(0,0,0)、B(2,2石，0)Q(0,2后，V3)；.AD(-2,0,0)Bq=(-2,0,M)(cos。=雪 吗=_1_=迈.ADBC 2x7 7；.A D与 B Q所 成 的 角 为 2百 arccos-.7 专 家 把 脉 B点 坐 标 计

7、算 错 误，其 实 质 是 位 置 关 系 未 分 析 清 楚，错 误 地 认 为 AB_LAD,BC，CD,本 题 还 会 出 现 以 B D为 x 轴,DC为 y 轴,D D i为 z轴 的 建 立 坐 标 系 的 错 误.对 症 下 药(1)：ABCD A iB G D i为 直 四 棱 柱。；.AAi_L底 面 ABCD,；.A iC在 底 面 A B C D匕 的 射 影 为 A C,又 由 已 知 AC_L依 三 垂 线 定 理 可 得 B D A1C(2)如 图，以 D 为 坐 标 原 点，DA、DDi所 在 直 线 分 别 为 x 轴，y 轴，z轴，建 立 空 间 直 角 坐

8、标 系。菱 空 咕 连 接 A iE i、CiEi、AGjo 与(1)同 理 可 证，B D IA JEJ,B D lC jE j,/A】ECi-3为 二 面 角 Aj-BD-Cx的 平 面 角。而=(卜，扬，属=(-|,竽,扬,.西 居=H+3=0,.而 _ 1 _既 即 EAJEC1。.二 面 角 AJ-BD-CJ 的 大 小 为 9 0。(3)在 平 面 ABCD中，过 A 作 BF_LAD,交 D A的 延 长 线 于 F,山 AD=2,CD=2石，得 AC=4NDAE=60,.A E=l,在 RtaAEB中，AB=2,AE=1,ZBAE=60,在 RtAAFB 中 AB=2,ZBAF

9、=60,；.B F=7i,A F=1)DF=2+1=3,，B 的 坐 标 为(3,后，0)由 D(0,0,0)、A(2,0,0)、Cl(0,2 后 百)、B(3,后，0),得 AD=(-2,0,0),BQ=(-3,石，扬,.而 届=6.1 G 1=2,1 届 1=屈,：.cos(赤、届 纭-竺 理=$=叵，:.异 面 直 线 AD与 B Q所 成 角 的 大 小 为 arccos叵 I AD IIBCI 2V15 5 5本 题 还 可 以 E为 坐 标 原 点，EB、EC分 别 为 x 轴 和 y 轴，则 z 轴 与 AA1平 行，E(0,0,0)、Ai(0,-1,百)、品(0,3,百)B(百

10、，)0,0)、D(V 3 0,0)、A(0,-1,0),其 中 A i、D、A 的 坐 标 容 易 求 错。专 家 会 诊 利 用 空 间 向 量 求 异 面 直 线 所 成 的 角，公 式 为 cos。=也”,关 键 是 正 确 地 建 立 坐 标 系 进 而 写 I。I I。I出 各 有 关 点 的 坐 标，建 立 坐 标 会 出 现 用 三 条 两 两 不 垂 直 的 直 线 作 x 轴、y 轴、Z轴 的 错 误，还 会 出 现 用 三 条 两 两 互 相 垂 直 但 不 过 同 点 的 三 条 直 线 作 x 轴、y 轴、z轴 的 错 误。写 点 的 坐 标 也 容 易 出 现 错 误

11、，学 习 时 要 掌 握 一 些 特 殊 点 坐 标 的 特 点，如 x 轴 上 的 点 坐 标 为(a,0,0),xoz面 上 的 点 坐 标 为(a,0,b)等，其 次 还 应 学 会 把 某 个 平 面 单 独 分 化 出 来，利 用 平 面 几 何 的 知 识 求 解，如 本 节 的 例 2,求 B 的 坐 标。考 场 思 维 训 练 1.已 知 正 三 棱 柱 ABC A iB jC i的 底 面 边 长 为 2a,高 为 b,求 异 面 直 线 AC1和 A$所 成 的 角。答 案:如 图：.ABC-A1B1C1为 正 三 棱 柱，AA 平 面 空 间 直 角 坐 标 系.则 A(

12、0,0,0)、A,(0,0,b)、B(a,4 a,0)-Ci(2a,0,b),/.AC=(2a,O,b),/4|B-(a,-/3a-b)(MianCOS 0=%匚 丝 J=匕 竺，当 a 2更 A时，A C,与 A 1 B所 成 的 角 为 a rcI AC,11*1 4“2+3 22a2-b2*V2,co s-彳;当 a 方 时,4a2+b2 2AC1与 AjBa 所 成 的 角 为 Jt-arc co s-2 a.4a2+b22.如 图 1 1-4,在 棱 长 为 1 的 正 方 体 A B C D _ A$iG D i中，E、F 分 别 是 DJD,B D的 中 点，G在 C D 上，且

13、 CG=，CD,H 为 C iG的 中 4点。(1)求 证：EF1B1C；答 案：建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，由 已 知 有 E(0,0,1),F(1,0),C(0,2 2 21,0)、B,(1,1,1)、G(0,-0)4(1)丽=(g,；,-g丽=(-1,0,-1).万 标=0,得 EF_LBC(2)求 E F与 C iG所 成 角 的 余 弦；答 案:而=(0,3,0)-(0,1,1)=(0,-L-1),4 4 177 1_ r7T*i_ I CG 1=,1 EF I=2,EF CG=-4 2(H2HK)(3)求 F H的 长。答 案：由 中 点 坐 标 公 式

14、，得 H 的 坐 标 为。2 1)又 F(1,1,。)，.77；/1 3 1、ru-i ru*iFH=(-万，晨 5)刑=1=-.3.如 图 1 1-5 四 棱 锥 P ABCD的 底 面 ABCD是 矩 形，PA_L底 面 ABCD,PA=AB=1,BC=2。(1)求 证：平 面 PAD_L平 面 PCD；答 案：由 已 知 PA_L平 面 A B C D,又 ABCD为 矩 形，A C D IA D,；.CD_L平 面 PAD,.面 PAD_L面 PCD.(2)若 E 是 P D的 中 点，求 异 面 直 线 A E与 P C所 成 角 的 余 弦 值：答 案：A(0,0,0)、P(0,0

15、,1)、D(0,2,0),E 为 PD 中 点，(X 3 M)2-/.E(0,1,-)C(1,2,0),AE=(0,1,-),PC=(1,2,-1),/.cosZPC.AE=-、22 在 旦 2V301 0：.AE与 PC所 成 角 的 余 弦 值 为 叵 10(3)在 BC边 上 是 否 存 在 一 点 G,使 得 D 点 在 平 面 PAG的 距 离 为 1,如 果 存 在，求 出 BG的 值；如 果 不 存 在，请 说 明 理 由。答 案：假 设 BC边 上 存 在 一 点 G满 足 D到 PAG的 距 离 为 1,设 G(l,y,0),则 力=(0,0,1)AG=(1,y,0),设 n

16、=(a、b、c)为 平 面 PAG 的 一 个 法 向 量，由 n_L AP,得 c=0,由 n_L AG,得 a+by=0,令 a=l,得 b=-L，n=(l,)，0)为 平 面 PAG的 一 个 法 向 量，.如 一=1,解 得 y y I n Iy=百，.BC上 存 在 一 点 G,BG=VJ,使 得 D到 平 面 PAG的 距 离 为 1.命 题 角 度 2求 直 线 与 平 面 所 成 的 角 1.(典 型 例 题)如 图 在 三 棱 锥 P A B C中，AB1BC,AB=BC=KPA,点 0、D 分 别 是 AC、PC的 中 点，OP_L底 面 ABC。(1)当 1=工 时，求

17、直 线 P A与 平 面 PBC所 成 角 的 大 小：2(2)当 k 取 何 值 时，0 在 平 面 PBC内 的 射 影 恰 好 为 PBC的 重 心？S31 1-6 考 场 错 解(1)VPO O C,P 0 1 0 B,又 AB=BC,。为 AC 的 中 点，,BO_LOC,.以。为 坐 标 原 点，OB、OC、OP所 在 直 线 x、y、z轴 建 立 穿 间 直 角 坐 标 系,则 0(0,0,0)、C(0,a,0)其 中 设 AC=2a,A(0,-a,0)P。,伍)、B(a,0,0)/.PA=(0,-a,-V7 a),PB=(a,0,-V7 a)PC=(0,a,-V7 a),n=(

18、x,y,z)为 平 面 PBC 的 一 个 法 向 量,由 n J.痴，得 ax-V7 az=0,由 n_L 而,得 ay-V7 az=0,令 x=l,得 z=-y-,y=l,/.n=(l,l,旦)为 平 面 PBC的 一 个 法 向 量，设 PA与 平 面 PBC所 成 的 角 为 0，则 cos 0=上 I=叵.7 I P/41.I n I 30 专 家 把 脉 公 式 记 忆 错 误，其 实 质 是 未 能 把 直 线 与 平 面 所 成 的 角 与 向 量 的 夹 角 联 系 匕 空 应 为 直 I PA I I n I线 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.对 症 下 药 由 错

19、 解 和 错 因 知，设 PA与 平 面 PBC所 成 的 角 为 6，则 cos 9PAn V210,=-I PA I In I 30,n.72K)H=arcsin-.30,P A 与 平 面 PBC所 成 的 角 为 a rc s.等(2)设 P(O,O,b),则 PB=(a,0,-b),PC=(0,a,-b),设 G 为 P B C的 重 心，则 由 穗 主 坐 标 公 式 得 G(),由 已 知 OG _L 平 面 PBC,OG 1PC,OG 1 P B a=b,即 P O=a,在 RtAPOA 中，PA=V?a,又 AB=-Jl a,：.R=l,.当 k=l时 0 在 平 面 PBC

20、内 的 射 影 为 A P B C的 重 心。2.(典 型 例 题 II)如 图 1 1-7,四 棱 锥 P ABCD中，底 面 ABCD为 矩 形，PD_L底 面 ABCD,AD=PD,E、F分 别 为 CD、P B的 中 点。(1)求 证 EF_L平 面 PAB；(2)设 A B=7 5 BC,求 A C与 平 面 AEF所 成 的 角 的 大 小。考 场 错 解 第(2)问，由 已 知 PDJ_CD,P D 1A D,C D 1 A D,建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，设 B C=a,贝 ljA B=7 a,可 得 D(0,0,0)、C(拉 a,0,0)、A(0,

21、a,0)、B(a,及 a,0),以 后 算 出 就 的 坐 标，平 面 AEF的 一 个 法 向 量 的 坐 标，利 用 公 式 sin 0=粤 型-IA C I.in i得 出 结 果。专 家 把 脉 B 的 坐 标 写 错，由 于 本 题 中 所 建 坐 标 系 与 通 常 所 建 坐 标 系 在 直 观 上 有 所 不 同，其 实 质 还 是 求 点 的 坐 标 不 熟 练 所 致。对 症 下 药)(1)连 接 PE、BE、CF、FDo 在 RtZXPED 中，PE=IED2+PD2,在 Rtz2sBCE 中，BE=7B C2+C2,又 由 已 知 AD=BC=PD,CD=ED,；.P

22、E=B E,又 F 为 PB 中 点，/.E F 1 P B,又 在 Rt/XPBC 中，C F=-P B,在 RtZPDB 中,2D F=ip B,；.CF=DF,/.E F 1 C D,2又 AB CD,；.EF_LAB,.EFJ-平 面 PAB；(2)由 已 知 PDJ_CD,P D 1 A D,又 A D _ L C D,所 以 建 立 如 图 1 1-8所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，设 B C=a,贝 I A B=V I B C=7 a,得 D(0,0,0)、C(亚 a,0,0)、A(0,a,0)B(V2 a,a,0)、P(0,0,a),由 中 点 坐 标 公 式 得 E(

23、a,0,0),2就=(技 z,-“,O),ZF=(0,-,-),4=(a,-,0)设 n=(x,y,z)鄢 面 AEF 的 个 法 向 量，由 n_L m，2 2 2得-y+-Z=0,由 1 获.得 走 ax-ay=0,令 工=I,得 y=也,z=-立,.5=(1,也,-也)为 平 面 A E F的 一 2 2 2 2 2 2 2个 法 向 量，设 AC与 平 面 AEF所 成 的 角 为。，则 sin 0=坐 1=3.A A C与 平 面 AEF所 成 的 角 为 arcsin立.I AC I I n I 6 6 专 家 会 诊)求 直 线 与 平 面 所 成 角 的 公 式 为：sin 0

24、=此 文,其 中 a 为 直 线 上 某 线 段 所 确 定 的 一 个 向 量，nI a I I I为 平 面 的 一 个 法 向 量，这 个 公 式 很 容 易 记 错，关 键 是 理 解，有 些 学 生 从 数 形 结 合 来 看，认 为 n 应 过 直 线 上 某 个 点，如 例 4 中 n 应 过 C点，这 是 错 误 的，这 里 n 是 平 面 的 任 意 一 个 法 向 量，再 说 一 个 向 量 过 某 一 个 具 体 的 点 这 种 说 法 也 是 错 误 的。考 场 思 维 训 练 1 如 图 1 1-9,在 直 三 棱 柱 ABC A#1cl中,ZACB=90 AC=2,

25、BC=6,D 为 A】B i的 中 点，异 面 直 线 CD与 AXB垂 直。(1)求 直 三 棱 术 A B C-A iB 的 高;答 案：以 CA、CB、CC1所 在 的 直 线 分 别 为 x 轴、y 轴、z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 由 已 知 有 A l(2,0,x)、B(0,6,0)、D(L 3,x),C(0,0,0),其 中 x 为 直 三 棱 柱，B=(-25,6,-x),CD=(1,3,x),又 A1BLCD,.,.瀛 丽=0,得(-2)X l+6 X 3-x M),解 得 x=4 或 x=-4(舍 去)直 三 棱 柱 的 高 为 4.(2)求 直 线 A

26、iB与 平 面 CCJAJC所 成 的 角。答 案：由 知 命=(-2,6,-4),又 BC L平 面 ACCA.靛 为 平 面 CCAC的 一 个 法 向 量，又 立(0,-6,0)，sin 0=36I 屈 6374.,.直 线 AXB与 平 面 CQAiC所 成 的 角 为 arc s in.142 如 图，已 知 正 四 棱 柱 ABC D-AiBiJD i中，底 面 边 长 A B=2,侧 棱 BB1的 长 为 4,过 点 B 作 B iC的 垂 线 交 侧 棱 CCi于 点 E,交 BiC于 点 F。(1)求 证：AiC_L平 面 BED；答 案：以 DA、DC、DD1分 别 为 x

27、 轴、y 轴、z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 D(0,0,0)、A(2,0,0)、Al(2,0,4)、B(2,2,0),设 E(0,2,x)则 靛=(-2,0,x),*=(-2,0,-4),-=7-ACAB 6.80=arc si.n-而-.6；.AiB与 平 面 BDE所 成 的 角 为 arc sin叵.63 已 知 四 棱 锥 P-ABCD(如 图)，底 面 是 边 长 为 2 的 正 方 形，侧 棱 PAJ_底 面 ABCD,M、N 别 为 AD、BC的 中 点，M Q L P D 于 Q,直 线 PC与 平 面 PBA所 成 角 的 正 弦 值 为 立 3(1)求 证

28、：平 面 PMN_L平 面 PAD；答 案：以 A 为 坐 标 原 点，分 别 以 AB、AD、AP所 在 的 直 线 为 x 轴、y 轴 和 z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系(图 略).设 PA=a,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,a),M(0,1,0),N(2,1,0).M N-(2,0,0),芯=(0,0,a),诟=(0,2,0),MN AP=0.、八-I vry 77-A r v_ _，岷 _1_平 面 PAD.MN AD=O,/MN u 平 面 P M N,平 面 PMN J_ 平 面 PAD.(2)求 PA的 长；答

29、 案：正=(2,2,-a),平 面 PBA的 一 个 法 向 量 为 n=(0,1,0)直 线 PC与 平 面 PBA成 角 的 正 弦 值 为 当 cos|=由 已 知 靛 _L 疏.,.靛 而=0,得 x=l,/.E(0,2,1),(-2,0,1),访=(-2,-2,0),布=(-2,2,-4),由 布 靛=0 知 AJ_BE,BD=0 知 A _ L B D,平 面 BED(2)求 AiB与 平 面 BDE所 成 的 角 是 正 弦 值。答 案：由 知 港=(-2,2,-4)为 平 面 BED的 一 个 法 向 量，4B=(0,2,-4),Asin 0_ I V3O即 I222+22+(

30、-tz)2 Vo2+12+02A a=2,即 PA=2.(3)求 二 面 角 P-MN-Q的 余 弦 值。答 案：由(I),楸 1_平 面 P A D,知 M Q_LM N,MP_LM N,/.ZPMQ即 为 二 面 角 P M N Q的 平 面 角.而 PM=氐 M Q=g 皿=也，2 2cosPMQ=更 二 面 角 P-MN-Q的 余 弦 值 为 强.10命 题 角 度 3求 二 面 角 的 大 小 1.(典 型 例 题)在 四 棱 锥 V-ABCD中，底 面 ABCD是 正 方 形，侧 面 VAD是 正 三 角 形，平 面 VAD，底 面 A B C D,如 图 11-12。(1)证 明

31、：ABJ_平 面 VAD；(2)求 二 面 角 A-VD-B的 大 小。考 场 错 解)(2)过 V 作 VO_LAD于。,由 已 知 平 面 VADJ_底 面 ABCD,.VOJ底 面 ABCD,.以 OA、0 V 分 别 为 x、z轴 建 立 空 间 坐 标 系，则 分 别 算 出 VAD 与 VBD 的 法 向 量 n i=(0,1,0),n2=(l,-1,*),，cos(ni g X 平。二 二 面 角 A-VD-B的 大 小 为 乃-arccos立 L7 专 家 把 脉 认 为 两 平 面 的 法 微 量 是 的 夹 角 等 于 二 面 角 的 大 小，这 是 错 误 的，实 际 上

32、 法 向 量 的 夹 角 与 二 面 角 的 平 面 角 相 等 或 互 补。本 题 中 A-VD-B为 一 锐 二 面 角。对 症 下 药(1):平 面 VADJ_平 面 ABCD,AB_LAD,，根 据 两 面 垂 直 的 性 质 和 AB_L平 面 VAD。(2)过 V 作 VO_LAD于 0,由 平 面 V A D L平 面 A B C D,得 VO_L底 面 ABCD,可 以 建 立 如 衅 11-13所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，设 正 方 形 的 边 长 为 1,则 A1 1 1 1(-,0,0)、B(-,1,0)、C 1,0)、D 0,0)、V(0 A)2 2 2 2

33、 2由 知 港=(0,1,0)为 平 面 V A D的 一 个 法 向 量，而=d,l,-且)，丽=(-1,-1,0),设 n=(x,y,z)为 平 面 VDB的 一 个 法 向 量，由 n_L函 得 g x+y-g z=0,由，丽 得，x+y=0,令 x=l,于 y=-l,z=_ V 3 V 2 T-o cos=.-=-.3 M B I.I n I 7又 由 图 形 知 二 面 角 A-VD-B为 锐 二 面 角，.二 面 角 A-VB-B的 大 小 为 arccos巨.72.(典 型 例 题)如 图 1 1-1 4,已 知 三 棱 锥 P-ABC中,E、F分 别 是 AC、A B的 中 点

34、,AABC PEF都 是 正 三 角 形，PF_LABo(1)证 明：P C I,平 面 PAB；(2)求 二 面 角 P-AB-C的 平 面 角 的 余 弦 值；(3)若 点 P、A、B、C 在 一 个 表 面 积 为 12 n 的 球 面 上，求 A B C的 边 长。考 场 错 解 以 EB、EC、E P分 别 为 x 轴、y 轴、z 轴 建 立 空 间 坐 标 系。专 家 把 脉 坐 标 系 建 立 错 误，实 际 上 BEJ_EC,P E L E C都 可 以 证 得，但 P E与 E B不 垂 直，本 题 用 穿 间 向 量 来 解 没 有 用 传 统 方 法 来 解 方 便，建

35、立 坐 标 系 错 误 或 不 知 息 样 建 立 坐 标 系 的 穿 间 向 量 中 的 常 见 错 误。对 症 下 药 V F 为 A B 中 点，PF_LAB,；.P A=P B,又 4 P E F 为 正 三 角 形，；.P E=P F,在 4PAE与 4P A F 中，PE=PF,A E=A F,，ZXPAE丝 P A F,二 N PEA=/PEF=90,又 E 为 AC 中 点，PA=PC,；.PA=PB=PC,；.P 在 底 面 A B C上 的 射 影 为 正 A B C 的 中 心，建 立 如 图 11-14所 示 的 空 间 坐 标 系，设 底 面 4 A B C 的 边

36、长 为 2 a,则 PA=PB=PC=Via,.2 0=净,：.P(0,0,a),C(a.O,0),A(-a-a O),C(a,0,0),B(a,a,0)o3 3 3 3 3(1)=(-a,O,-a),P A=(与 a,-a,-a)E h H=O f IP C _ L P A,同 理 PC_LBP,/.PC，平 面 PAB。(2)由(1)知 正=(-迈 a,0,-巫 a)为 平 面 PAB的 一 个 法 向 量，O P=(0,0,男 a)为 3 3 3平 面 A B C的 一 个 法 向 量，CO S 正 日=竺=.又 由 图 形 知 P-AB-C的 平 面 角 的 余 弦 PCOP 3值 为

37、 近。3(3)由 已 知 球 半 径 为 百,又 PA、PB、P C两 两 互 相 垂 直，PA2+Bp2+PC2=(2 石)2,得 PA=2,AB=2也，即 正 三 角 形 的 边 长 为 2亚 专 家 会 诊 利 用 空 间 向 量 求 二 面 角，先 求 两 平 面 的 法 向 量，利 用 向 量 的 夹 角 公 式 求 出 两 法 现 量 的 夹 角，二 面 角 的 平 面 角 与 法 向 量 的 夹 角 相 等 或 互 补，具 体 是 哪 一 种，一 般 有 两 种 判 断 方 法：(1)根 据 图 形 判 断 二 面 角 是 锐 角 还 是 钝 角；(2)根 据 两 法 向 量 的

38、 方 向 判 断。实 际 上 很 多 求 二 面 角 的 题 目，还 是 传 统 方 法(如 三 垂 线 定 理 作 出 二 面 角 的 平 面 角)简 单，或 传 统 方 法 与 空 间 向 量 相 结 合 来 解。考 场 思 维 训 练 1 如 图，在 三 棱 锥 P-O AC中，OP、OA、0 C 两 两 互 相 垂 直，且 OP=OA=1,0C=2,B 为 OC的 中 点。(1)求 异 面 直 线 P C 与 A B所 成 角 的 余 弦 值；答 案：解：以 0A、OC、0 P,所 在 直 线 为，x 轴、y 轴|、z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系.则 0(0,0,0)、P(

39、0,0,1)、C(0,2,0)、B(0,1,0).(l)P C=(0,2,-1),1,0),cosP C,族 P A=,P C 与 A B 所 成 角 的 I PC!I AB 5余 弦 值 为 期.(2)求 点 C到 平 面 PAB的 距 离；答 案：H=(l,0,-1),布=(T,1,0),设 m=(x,y,z)为 平 面 PAB的 一 个 法 向 量，贝 Ux-z=0,x-y=0,令 x=l得 m=(l,1,1)为 平 面 PAB的 一 个 法 向 量.百=(0,T,0),；.d=叵=4=亘 I I J3 3.C到 平 面 PAB的 距 离 为 也.3(3)求 二 面 角 C-PA-B的

40、大 小(用 反 余 弦 表 示)。答 案：AC=(-1,2,0),PA=(1,0,-1),设 m=(x,y,z)为 平 面 PAC 的 一 个 法 向 量，由 2y-x=0,x-z=0,令 x=l,得 n2=(l,L 1)为 平 面 P A C 的 一 个 法 向 量.c o s/n i,口 2 二 士 叵，2 9又 由 图 形 知 C-PA-B为 锐 二 面 角.；.C-PA-B的 大 小 为 士 叵.92 如 图 所 示，四 棱 锥 P-ABCD的 底 面 是 正 方 形，PA_L底 面 ABCD,PA=AD=2,点 M、N 分 别 在 棱 PD、PC上，且 PC_L平 面 AMN。(1)

41、求 证：AM 1PD；答 案：解 析：由 已 知 PCJ_平 面 AMN,得 PCJ_AM,又 可 得 CD_L平 面 PAD,.CDJ_AM,.AMA，平 面 PCD,A A M IP D./节(2)求 二 面 角 P-AM-N的 大 小；答 案：以 AB、AD、AP为 x 轴、y 轴、z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 由 已 知 A(0,0,0),P(0,0,2)C(2,2,0),可 以 算 得 N 分 证 的 比 为 工，.N(-,M(0,1,1)、PC=(2,2 3 3 32,-2)为 平 面 AMN的 一 个 法 向 量，标=(2,0,0)为 平 面 PAM的 一 个

42、法 向 量，且 c o s/标，AP-AM-N 的 大 小 为 arc cos(3)求 直 线 CD与 平 面 AM N所 成 角 的 大 小。答 案：CD=(-2,0,0),s i n k 雪 也 I CD I I PC I 3CD与 平 面 AM N所 成 角 为 arcsin.33 如 图 所 示，已 知 正 四 棱 柱 ABCD-AiBiQDi的 底 面 边 长 为 4,AA】=6,Q 为 BB1的 中 点，PFDDP M G A iB i，N G C iD i，AM=1,D1N=3。(1)当 P为 DDi的 中 点 忖，求 二 面 角 M-PN=Di的 大 小；以 A D为 x 轴，

43、D C为 y 轴，DDi,为 z 轴，以 为 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 则 工(0,0,0)、Ai(4,0,0)、P(0,0,3)、M(4,1,0)、N(0,3,0).,.市=(4,0,0),丽=(0,3,-3),而=(4,1,-3)显 然 而 是 面 PDiN的 法 向 量.设 面 PMN的 法 向 量 为 n=(x,y,z)nPM=0则 由 Q D=(-4,-4,-3),函 MN=(-4,-4,-3)(-4,2,0)=8WO；.QDi与 加 不 垂 直.不 存 在 点 P使 QDi_L面 PMN.(3)若 P为 DDi中 点，求 三 棱 锥 Q=PMN的 体 积。答 案：

44、P(0,0,3)、M(4,1,0)、N(0,3,0)、丽=(4,1,-3),PN=(0 3-3)PM1=42+12+(-3)2=726 I PA？1=J O2+32+(-3)2=V iicosN丽，丽=要 2=上 I PM I I P/V I V26x3V2 V13sinNMPN=S A P M N 丽!I 丽 I sin NMPN x 痴 x 炳 x/=9.2 2 V13而=(4,4,0)由(1)取 平 面 PMN的 法 向 量 n=(l,2,2)贝 IJQ至 I J 平 面 PNM的 总 巨 离 h=l=J4+8I=4lnl Vl+22+22*.VQ.pMN=lx S A pM N-h=i

45、x 9 X 4=1 2,命 题 角 度 4求 距 离 1.(典 型 例 题)如 图 1 1-1 8,直 二 面 角 D-AB-E中，四 边 形 A BCD是 边 长 为 2 的 正 方 形，AE=EB,F 为 C E 上 的 点 且 BF_L平 面 ACE。(1)求 证：AEJ_平 面 BCE；(2)求 二 面 角 B-AC-E的 大 小；(3)求 点 D 到 平 面 A C E的 距 离。考 场 错 解 第(3)问，以 A 为 坐 标 原 点，AB、A D分 别 为 y 轴，z 轴 建 立 空 间 坐 标 系，由(1)知/AEB=90；./E A B=4 5，可 得 E(1,1,0),在 R

46、t/XBCE 中，F 分 无 的 比 为 2,),3 3 3而=(|为 平 面 B C E的 一 个 法 向 量，DB=(0,2,-2),；.D 到 平 面 A C E的 距 离 2-/2IDBI 3 专 家 把 脉 点 到 面 的 公 式 用 错，求 A 到 平 面 a 的 距 离 的 公 式 为 d=5 1,其 中 a 为 A 且 与 aI n I相 交 的 线 段 所 确 定 的 向 量，n 为 平 面 的 任 一 非 零 法 向 量。本 题 若 用 D 到 面 A C E的 距 离 等 于 B到 面 A C E的 距 离，而 后 者 即 为 B F,将 会 更 简 单。对 症 下 药(

47、1)V B F l512 ACE,A B F I A E,又 D-AB-E 为 直 二 面 角,C B 1 A B,A C B l5?面 AEB,A C B 1 A E,；.A EJ_平 面 BCEo(2)以 A 为 坐 标 原 点，AB、A D分 别 为 y 轴、z 轴 建 立 如 衅 11-18所 示 的 空 间 坐 标 系，则 由/A EB=90,A E=E B,得 NEAB=45,AE=拉，得 E(1,1,0),在 R taBCE 中，F 分 行 的 比 为 2,；.F 而=(g,-g,g 为 平 面 A C E的 一 个 法 向 量，平 面 A B C的 一 人 法 向 量 E图 I

48、I-18为 x 轴，取 n=（l,O,O）,，cos（n,而）=4,又 由 图 知 B-A C-E为 锐 二 面 角。，B-A C-E的 大 小 为 百 arccos.3 而=（0,2,-2）,；.D 到 平 面 A C E的 距 离 dJ DB/F 1=逑.BF 32.（典 型 例 题）如 图 1 1-1 9,在 三 棱 锥 S-A BC中，4 A B C是 边 长 为 4 的 正 三 角 形，平 面 SAC_L平 面 ABC,SA=SC=26，M、N 分 别 为 AB、S B的 中 点（1）证 明：A C S B；（2）求 二 面 角 N-CM-B的 大 小。（3）求 点 B 到 平 面

49、CM N的 距 离。考 场 错 解 因 为 平 面 SACJ_平 面 ABC,；.S C J平 面 ABC,；.C 为 坐 标 原 点，CB、C S为 y 轴、z 轴 建 立 空 间 坐 标 系。专 家 把 脉 坐 标 系 建 立 错 误，实 质 是 对 二 面 垂 直 的 性 质 不 熟 悉 所 致，S C与 平 面 A B C不 垂 直。对 症 下 药 取 AC 中 点 0,连 续 OS、OB,VSA=SC,AB=BC,A AC I S O,A C 1 O B,又 平 面 SAC_L平 面 ABC,S 0 1 A C,；.SO _L平 面 ABC,A S O l B O o 以。A、OB、

50、O C分 别 为 x 轴、y 轴、z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 下 图。（1）A（2,0,0）、B（0,2石，0）、C（-2,0,0）、S（0,0,2收）、M（1,后，0）、N（0,石，V I）：.A C=（-4,0,0）,SB=（0,2百，-2 拒）:ACSB=0,/.A C S B,（2）由（1）得 加=（3,技 0）,砺=（-1,0,扬，设 n=（x,y,z）为 平 面 C M N的 一 个 法 向 量，贝 U空=3x+岛=0 可 得 忤（正 向）为 平 面 C M N的 一 个 法 向 量，又 说=（0,0,2后）MN n=-x+6 z=0,为 平 面 A B C的