自由度系统的无阻尼自由振动、固有频率.ppt

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1、燕山大学Yanshan University第第2 2章章 单自由度线性系统的自由振动单自由度线性系统的自由振动振动：振动：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的往复性机械运动。往复性机械运动。自由振动：自由振动：系统仅受到初始条件系统仅受到初始条件(初始位移、初始速度初始位移、初始速度)的激励而引起的振动。的激励而引起的振动。强迫振动：强迫振动：系统在持续外力激励下的振动。系统在持续外力激励下的振动。燕山大学Yanshan University组成振动系统的理想元件：组成振动系统的理想元件：质量元件质量元件质块质块弹性元件弹性元件弹簧弹簧阻尼元件

2、阻尼元件阻尼器阻尼器 2.1 振动系统的理想元件振动系统的理想元件图示单自由度系统：图示单自由度系统：m表示质块表示质块c表示阻尼器表示阻尼器k表示弹簧表示弹簧燕山大学Yanshan University2.1.1 弹簧弹簧弹簧的性质：弹簧的性质：弹簧在外力作用下的响弹簧在外力作用下的响应为其端点产生一定的位移。应为其端点产生一定的位移。假设与说明：假设与说明：(1)(1)一般假设弹簧无质量一般假设弹簧无质量 实实际际物物理理系系统统中中的的弹弹簧簧是是有有质质量量的的。若若弹弹簧簧质质量量相相对对较较小小，则则可忽略不计可忽略不计;若弹簧质量相对较大，则需考虑弹簧质量若弹簧质量相对较大，则需

3、考虑弹簧质量;(2)(2)假设为线性弹簧假设为线性弹簧 工程实际中，多数振动系统的振幅不会超出弹簧的线性范围。工程实际中，多数振动系统的振幅不会超出弹簧的线性范围。(3)(3)假设弹簧不消耗能量，只以势能方式贮存能量假设弹簧不消耗能量，只以势能方式贮存能量 弹簧所受外力弹簧所受外力Fs是位移是位移x的函数：的函数：Fs=f(x)式中：式中：Fs弹簧的弹性恢复力，和外力方向相反。弹簧的弹性恢复力，和外力方向相反。线性弹簧：线性弹簧：Fs=kx，k为弹簧刚度系数，为弹簧刚度系数，N/m。燕山大学Yanshan University弹簧刚度系数：弹簧刚度系数：使弹簧产生单位变形所需要的力或力矩。使弹

4、簧产生单位变形所需要的力或力矩。同一弹性元件，根据所要研究振同一弹性元件，根据所要研究振动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。动方向不同，弹簧刚度系数亦不同。以以一一端端固固定定的的等等直直圆圆杆杆为为例例加加以以说明，如图所示。说明，如图所示。等效刚度系数等效刚度系数燕山大学Yanshan University 当当确确定定沿沿x方方向向的的刚刚度度时时，在在B处处沿沿x方方向向加加一一垂垂直力直力F。B点在点在x方向的刚度系数为方向的刚度系数为 根据材料力学知，根据材料力学知，B点在点在x方向方向的位移为的位移为燕山大学Yanshan University 当确定沿当确定沿y方向的刚度时，在方向

5、的刚度时，在B点沿点沿y方向加一横向力方向加一横向力P。杆作弯曲变形，根据材料力学知，杆作弯曲变形，根据材料力学知，B点沿点沿y方向的位移方向的位移B点沿点沿y方向的刚度系数为方向的刚度系数为燕山大学Yanshan University 杆件作转扭，产生扭角杆件作转扭，产生扭角，根据，根据材料力学知，材料力学知，B点沿点沿x轴的扭角为轴的扭角为 当当确确定定绕绕x轴轴的的转转动动方方向向的的刚刚度度，需需要要在在B端端绕绕x轴轴转动方向加一扭矩转动方向加一扭矩M。B点绕点绕x轴转动方向的刚度系数为轴转动方向的刚度系数为燕山大学Yanshan University弹簧串并联与等效弹簧弹簧串并联与

6、等效弹簧 在机械结构中，弹性元件往往具在机械结构中，弹性元件往往具有比较复杂的组合形式。例如：并有比较复杂的组合形式。例如：并联弹簧、串联弹簧。联弹簧、串联弹簧。为简化分析，可以用一个为简化分析，可以用一个“等等效弹簧效弹簧”代替整个组合弹簧。代替整个组合弹簧。简化原则：简化原则：等效弹簧的刚度与组合弹簧的刚度相等，等效弹簧刚等效弹簧的刚度与组合弹簧的刚度相等，等效弹簧刚度记为度记为keq。等效弹簧：等效弹簧：对于复杂组合形式的弹对于复杂组合形式的弹性元件，用一个与其具有相同刚度性元件，用一个与其具有相同刚度的弹簧来代替，则该弹簧为等效弹的弹簧来代替，则该弹簧为等效弹簧。簧。燕山大学Yansh

7、an University并联弹簧的等效刚度并联弹簧的等效刚度设弹簧设弹簧k1、k2所受到的力分别为所受到的力分别为Fs1、Fs2，则有：，则有：Fs1=k1(x2-x1)Fs2=k2(x2-x1)总作用力总作用力Fs是是Fs1与与Fs2之和：之和：Fs=Fs1+Fs2=（k1+k2）(x2-x1)=keq(x2-x1)则：则：keq=k1+k2 对于对于n个刚度分别为个刚度分别为ki(il,2,n)的并联弹簧系统，等效刚度：的并联弹簧系统，等效刚度：结论：结论：并联弹簧的等效刚度是各弹簧刚度的总和。并联弹簧的等效刚度是各弹簧刚度的总和。并联弹簧比各组成弹簧都要硬。并联弹簧比各组成弹簧都要硬。

8、燕山大学Yanshan University串联弹簧的等效刚度串联弹簧的等效刚度串联弹簧上各点的作用力串联弹簧上各点的作用力Fs相等：相等：Fs=k1(x0-x1)Fs=k2(x2-x0)将以上两式联立，消去将以上两式联立，消去x0，得到：，得到：对于对于n个刚度分别为个刚度分别为ki(il,2,n)的串联弹簧系统，等效刚度：的串联弹簧系统，等效刚度：结论：结论：串联弹簧等效刚度的倒数等于各弹簧刚度的倒数之和。串联弹簧等效刚度的倒数等于各弹簧刚度的倒数之和。串联弹簧等效刚度比原来各弹簧的刚度都要小，即串联弹串联弹簧等效刚度比原来各弹簧的刚度都要小，即串联弹簧较其任何一个组成弹簧都要簧较其任何一

9、个组成弹簧都要“软软”燕山大学Yanshan University弹簧串并联等效刚度实例弹簧串并联等效刚度实例例例1 1 求图示系统的等效弹簧刚度。求图示系统的等效弹簧刚度。解：解：图中，弹簧刚度分别为图中，弹簧刚度分别为k1和和k2；质量质量m1、m2通过刚性杆相连，相当于一个质块。通过刚性杆相连，相当于一个质块。是并联弹簧，还是串联弹簧？是并联弹簧，还是串联弹簧？并联弹簧的特点：并联弹簧的特点：各弹簧变形相同，即共位移。各弹簧变形相同，即共位移。串联弹簧的特点：串联弹簧的特点：各弹簧受力相同，即共力。各弹簧受力相同，即共力。图中，弹簧图中，弹簧k1、k2是是“共位移共位移”的，为并联弹簧。

10、的，为并联弹簧。系统的等效刚度：系统的等效刚度：keq=k1+k2 是并联弹簧是并联弹簧？还是串联？还是串联弹簧？弹簧？燕山大学Yanshan University弹簧串并联等效刚度实例弹簧串并联等效刚度实例例例2 2 确定图示混联弹簧的等效刚度。确定图示混联弹簧的等效刚度。解：解：k1、k2为并联，再与为并联，再与k3串联：串联：燕山大学Yanshan University例例3 3 求图示振动系统的等效弹簧刚度。求图示振动系统的等效弹簧刚度。串联弹簧串联弹簧弹簧串并联等效刚度实例弹簧串并联等效刚度实例燕山大学Yanshan University例例4 4 求等效弹簧刚度。求等效弹簧刚度。弹

11、簧串并联等效刚度实例弹簧串并联等效刚度实例燕山大学Yanshan University例例5 5 求图示振动系统的等效弹簧刚度。求图示振动系统的等效弹簧刚度。弹簧串并联等效刚度实例弹簧串并联等效刚度实例燕山大学Yanshan University2.1.2 阻尼器阻尼器阻尼器的性质：阻尼器的性质：阻尼器在外力作用下的阻尼器在外力作用下的响应为其端点产生一定的运动速度。响应为其端点产生一定的运动速度。假设与说明：假设与说明：(1)(1)假设阻尼器的质量忽略不计。假设阻尼器的质量忽略不计。(2)(2)阻尼器消耗能量，以热能、声能等方式耗散系统的机械能。阻尼器消耗能量，以热能、声能等方式耗散系统的机

12、械能。阻尼器所产生的阻尼力阻尼器所产生的阻尼力Fd是速度的函数：是速度的函数：阻尼力的方向和速度方向相反。阻尼力的方向和速度方向相反。线线性性阻阻尼尼器器（粘粘性性阻阻尼尼）：阻阻尼尼力力Fd是是振振动动速速度度线线性性函函数数的的阻阻尼尼器器。即：即：，c为阻尼系数，为阻尼系数，Nsm。燕山大学Yanshan University非线性阻尼器：非线性阻尼器：除线性阻尼以外的各种阻尼除线性阻尼以外的各种阻尼(1)(1)库仑阻尼库仑阻尼,亦称干摩擦阻尼亦称干摩擦阻尼 在在振振动动过过程程中中，质质块块与与平平面面之之间间产产生生库库仑仑摩摩擦擦力力F Fc c。库库仑仑摩摩擦擦力力为为常常数数，

13、方方向向与与质质块运动速度方向相反。块运动速度方向相反。(2)(2)流流体体阻阻尼尼：当当物物体体以以较较大大速速度度在在粘粘性性较较小小的的流流体体中中运运动动时时，由流体介质所产生的阻尼。由流体介质所产生的阻尼。流体阻尼力流体阻尼力FL与速度平方成正比，方向与运动速度方向相反。与速度平方成正比，方向与运动速度方向相反。燕山大学Yanshan University(3)(3)结构阻尼结构阻尼材料阻尼：材料阻尼：由材料内部摩擦所产生的阻尼。由材料内部摩擦所产生的阻尼。滑移阻尼：滑移阻尼：结构各部件连接面之间相对滑动而产生的阻尼。结构各部件连接面之间相对滑动而产生的阻尼。结构阻尼：结构阻尼：材料

14、阻尼与滑移阻尼统称为结构阻尼。材料阻尼与滑移阻尼统称为结构阻尼。试试验验表表明明，对对材材料料反反复复加加载载和和卸卸载载，其其应应力力应应变变曲曲线线成成一一个个滞后曲线。滞后曲线。曲曲线线所所围围图图形形面面积积的的物物理理意意义义：一一个个循循环环中中，单单位位体体积积材材料料所所消消耗耗的的能能量量。这这部部分分能能量量以以热热能能形形式式耗耗散散掉掉，从从而而对对结结构构振振动动产生阻尼。产生阻尼。试试验验表表明明，多多数数金金属属结结构构的的材材料料阻阻力力在在一一个个周周期期内内所所稍稍耗耗的的能能量量Es与与振振幅幅的的平平方成正比：方成正比：燕山大学Yanshan Unive

15、rsity2.1.3 质块质块质块的性质：质块的性质：质块在外力作用下的响应质块在外力作用下的响应为其端点产生一定的加速度。为其端点产生一定的加速度。假设：假设：质块为刚体，不消耗能量质块为刚体，不消耗能量。根据牛顿定理，力根据牛顿定理，力F m与加速度成正比：与加速度成正比：燕山大学Yanshan University 如图所示的单自由度弹簧如图所示的单自由度弹簧质量振动系统，质块质量振动系统，质块m受到外界激受到外界激励力励力F(t)的作用。的作用。2.2 单自由度线性振动系统的运动微分方程单自由度线性振动系统的运动微分方程取质块取质块m取脱离体，质块取脱离体，质块m受力如图受力如图所示。

16、所示。x(t)质块位移，静平衡位置为位移起点；质块位移，静平衡位置为位移起点；Fs(t)作用在质块上的弹簧力；作用在质块上的弹簧力；Fd(t)作用在质块上的阻尼力。作用在质块上的阻尼力。根据牛顿第二定律，得：根据牛顿第二定律，得：单自由度线性系统运动微分方程：单自由度线性系统运动微分方程：燕山大学Yanshan University运动微分方程的特点及所解决的问题运动微分方程的特点及所解决的问题运动微分方程的特点：运动微分方程的特点：(1)(1)是二阶常系数、非齐次线性常微分方程；是二阶常系数、非齐次线性常微分方程；(2)(2)方程左边完全由系统参数方程左边完全由系统参数m、c与与k所决定，反

17、映了振动系统本所决定，反映了振动系统本身的固有特性；身的固有特性；(3)(3)方程右边是振动系统的驱动力方程右边是振动系统的驱动力F(t)，即系统的激励。，即系统的激励。由运动微分方程所要解决的问题：由运动微分方程所要解决的问题：(1)(1)由由m、c、k所决定系统的固有特性；所决定系统的固有特性；(2)(2)在激励在激励F(t)作用下，系统会具有什么样的响应，即作用下，系统会具有什么样的响应，即x(t)=？燕山大学Yanshan University 当弹簧与阻尼器水平放置时，无重力影响。当弹簧与阻尼器水平放置时，无重力影响。系统静平衡位置与弹簧未伸长时的位置一致。系统静平衡位置与弹簧未伸长

18、时的位置一致。静位移对静位移对系统运动微分方程的影响系统运动微分方程的影响弹簧和阻尼器垂直放置弹簧和阻尼器垂直放置 如图。如图。运动微分方程：运动微分方程：弹簧末变形时质块的位置与静弹簧末变形时质块的位置与静平衡时质块的位置不同平衡时质块的位置不同弹簧静变形量：弹簧静变形量：st=mg/k 取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标取静平衡位置为坐标原点，向下为坐标正方向，正方向，运动微分方程为：运动微分方程为：st=mg/k结论：结论：在线性系统的振动分析中，可以忽略在线性系统的振动分析中，可以忽略作用于系统上的恒力及其引起的静态位移。作用于系统上的恒力及其引起的静态位移。燕山大学Yanshan U

19、niversity自由振动：自由振动：当当F(t)=0时，系统所产生的振动。时，系统所产生的振动。无阻尼自由振动：无阻尼自由振动：当当F(t)0、c 0时，系统所产生的振动。时，系统所产生的振动。2.3 单自由度线性系统的无阻尼自由振动单自由度线性系统的无阻尼自由振动单自由度系统的运动微分方程：单自由度系统的运动微分方程：无阻尼自由振动微分方程：无阻尼自由振动微分方程：设：设：运动微分方程的通解：运动微分方程的通解：式中，式中，A1、A2待定系数；待定系数；A、待定系数待定系数；A、待定系数待定系数。由初始条件确定！由初始条件确定！燕山大学Yanshan University无阻尼自由振动：无

20、阻尼自由振动：x(t)振动的角振动的角频率为频率为n。1 1、固有角频率、固有角频率无阻尼自由振动的固无阻尼自由振动的固有角频率，有角频率，rad/s。2 2、固角频率与振动周期、固角频率与振动周期固有频率固有频率fn：系统每秒钟振动的次数，：系统每秒钟振动的次数，Hz或或1s。振动周期振动周期T：系统振动一次所需的时间，：系统振动一次所需的时间，s。燕山大学Yanshan University3、振幅与初相角、振幅与初相角运动微分方程：运动微分方程：初始条件：初始条件：燕山大学Yanshan University(1)(1)无阻尼线性系统的自由振动为等幅简谐振动。无阻尼线性系统的自由振动为等

21、幅简谐振动。(2)(2)无无阻阻尼尼线线性性系系统统自自由由振振动动的的固固有有角角频频率率、固固有有频频率率、振振动动周周期期仅仅由由系系统统本本身身参参数数所所确确定定，与与激激励励、初初始始条条件件无关。无关。(3)(3)自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。自由振动的振幅和初相角由初始条件所确定。结论：结论：燕山大学Yanshan University燕山大学Yanshan University简谐振动简谐振动 矢矢量量A与与垂垂直直轴轴x的的夹夹角角为为 nt-，A在在x轴轴上上的的投投影影就就表表示示解解x(t)=Acos(nt-)。当当 nt-角角随随时时间间增增大大时时，意意

22、味味着着矢矢量量A以以角角速速度度 n按按逆逆时时针针方方向向转转动动，其其投投影影呈呈谐谐波变化波变化。燕山大学Yanshan University2.4 无阻尼自由振动固有频率的求解方法无阻尼自由振动固有频率的求解方法求无阻尼自由振动固有频率的方法：求无阻尼自由振动固有频率的方法：(1)运动微分方程方法运动微分方程方法;(2)静变形方法静变形方法;(3)能量法。能量法。燕山大学Yanshan University微幅振动时，微幅振动时，sin，上式简化为：上式简化为：解：取解：取 为广义坐标，运动微分方程为：为广义坐标，运动微分方程为：例例1 1 绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤绕水平轴

23、转动的细长杆，下端附有重锤(直杆重量和锤的体积直杆重量和锤的体积忽略不计忽略不计)，组成单摆。杆长为，组成单摆。杆长为l，摆锤质量，摆锤质量m，求摆振动的固有频，求摆振动的固有频率。率。固有频率：固有频率：根据运动微分方程求固有频率根据运动微分方程求固有频率运动微分方程：运动微分方程：固有频率：固有频率：燕山大学Yanshan University解：取解：取 为广义坐标。为广义坐标。例例2 2 质量为质量为M、半径为、半径为r的均质圆柱体在半径为的均质圆柱体在半径为R R的圆柱面内作无滑的圆柱面内作无滑动滚动，如图所示。动滚动，如图所示。(1)取取为广义坐标，应用为广义坐标，应用Lagran

24、ge方程建立系统运动微分方程；方程建立系统运动微分方程；(2)若系统做微幅振动，将运动微分方程线性化，并求固有频率。若系统做微幅振动，将运动微分方程线性化，并求固有频率。(1)(1)系统动能系统动能因：因：(2)(2)系统势能系统势能取圆柱体在铅垂线位置时质心所在位取圆柱体在铅垂线位置时质心所在位置为势能零点。置为势能零点。燕山大学Yanshan University(3)Lagrange函数函数(4)运动微分方程运动微分方程 (5)微幅振动微分方程微幅振动微分方程 固有频率固有频率:燕山大学Yanshan University 根据弹簧静变形计算固有频率根据弹簧静变形计算固有频率燕山大学Ya

25、nshan University例例3 均匀悬臂梁长为均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为，弯曲刚度为EJ，重量不计，自由，重量不计，自由端附有重为端附有重为P=mg的物体，的物体，如图所示。试写出物体的振动如图所示。试写出物体的振动微分方程，并求出频率。微分方程，并求出频率。解：由材料力学知，在解：由材料力学知，在物体重力作用下，梁自物体重力作用下，梁自由端静挠度为由端静挠度为:固有频率为固有频率为:燕山大学Yanshan University对于能量无耗散的振动系统，自由振动时系统的机械能守恒。对于能量无耗散的振动系统，自由振动时系统的机械能守恒。对时间求导，得对时间求导，得两个特殊位置：两个特殊

26、位置：静平衡位置、最大位移位置。静平衡位置、最大位移位置。静平衡位置：静平衡位置：系统势能等于零，动能达到最大值系统势能等于零，动能达到最大值Tmax。最大位移位置：最大位移位置：系统动能等于零，势能达到最大值系统动能等于零，势能达到最大值Vmax。求系统运动求系统运动微分方程微分方程求固有频率求固有频率 应用能量法计算固有频率应用能量法计算固有频率无阻尼自由振动对初始条件的响应：无阻尼自由振动对初始条件的响应：最大位移（振幅）与最大速度最大位移（振幅）与最大速度：最大动能与最大势能最大动能与最大势能：固有频率固有频率：燕山大学Yanshan University例例4 4 质质量量为为m，半

27、半径径为为r的的实实心心圆圆柱柱体体，在在半半径径为为R的的圆圆柱柱形形面面上上无无滑动地滚动。求圆柱体绕平衡位置作微小振动时的固有频率滑动地滚动。求圆柱体绕平衡位置作微小振动时的固有频率 n。解：取解：取 为广义为广义坐标。坐标。最大动能最大动能:简谐振动时简谐振动时最大势能最大势能:由由TmaxUmax得得:燕山大学Yanshan University例例5 5 如如图图，摆摆轮轮2 2上上铰铰接接摇摇杆杆1 1，不不计计摇摇杆杆质质量量。摇摇杆杆1 1的的另另一一端端装装有有质质量量m，在在摇摇杆杆上上联联结结刚刚度度为为k的的两两个个弹弹簧簧以以保保持持摆摆在在垂垂直直方方向向的的稳稳

28、定定位位置置。系系统统对对0点点的的转转动动惯惯量量为为Ie，其其余余参参数数如如图图，用用能能量量法法确确定系统固有频率。定系统固有频率。最大动能最大动能:最大势能最大势能:由由TmaxUmax:解：取解：取 为广义为广义坐标。设坐标。设A A为振幅、为振幅、n为固有频率：为固有频率：燕山大学Yanshan University 在在前前面面的的讨讨论论中中，都都忽忽略略了了弹弹簧簧的的质质量量。当当弹弹簧簧本本身身的的质质量量占占系系统统总总质质量量较较小小时时，这这样样的的简简化化，一一般般能能够够满足工程实际问题的需要。满足工程实际问题的需要。在在工工程程实实际际问问题题中中，若若弹弹

29、簧簧本本身身质质量量占占系系统统总总质质量量的比例较大，则有必要考虑弹簧质量。的比例较大，则有必要考虑弹簧质量。忽忽略略弹弹簧簧的的质质量量，将将会会导导致致计计算算出出来来的的固固有有频频率率偏偏高。高。如如何何考考虑虑弹弹簧簧本本身身的的质质量量，以以确确定定其其对对振振动动频频率率的的影响，瑞利影响，瑞利(Rayleigh)提出的一种近似方法。提出的一种近似方法。考虑弹性元件质量对考虑弹性元件质量对固有频率的因影响固有频率的因影响燕山大学Yanshan University例例6 6 如如图图所所示示系系统统，弹弹簧簧刚刚度度为为k，弹弹簧簧长长度度为为L、弹弹簧簧线线密密度度为为，弹弹

30、簧簧质质量量m，且且mL；质质块块质质量量为为m。求求系系统统自自由由振振动动的的固固有有频率。频率。解：假设：解：假设：(1)弹簧各截面位移与其距固定端处的原始弹簧各截面位移与其距固定端处的原始距离成正比，即距固定端距离成正比，即距固定端l处的弹簧位移为处的弹簧位移为xl/L。(2)弹簧在弹簧在l处微段处微段dl的运动速度为的运动速度为l/L 。(3)系统为简谐振动，即有：系统为简谐振动，即有：燕山大学Yanshan University(2)(2)最大动能最大动能系系统统最最大大动动能能包包括括质质块块m的的最最大大动动能能T1max和弹簧的最大功能和弹簧的最大功能T2max：(1)最大势

31、能最大势能由由TmaxUmax:(3)固有频率固有频率结结论论：质质量量为为m 的的均均质质线线性性弹弹簧簧质质量量振振动动系系统统，系系统统的的等等效效质质量量为为m+m/3，即即弹簧质量弹簧质量m的的1/31/3进入等效质量。进入等效质量。燕山大学Yanshan University例例7 7 设设一一均均质质等等截截面面简简支支梁梁，如如图图所所示示。在在中中间间有有一一集集中中质质量量m，梁梁的的线线密密度度,如如把把梁梁本本身身质质量量考考虑虑在在内内，试试计计算算此此系系统统的的固固有有频率和梁的等效质量。频率和梁的等效质量。解解：假假定定梁梁在在自自由由振振动动时时动动挠挠度度曲曲线线和和简简支支梁梁中中间间有有集集中中静静载载荷荷mg作用下的静挠度曲线一样。作用下的静挠度曲线一样。燕山大学Yanshan University梁的动能为梁的动能为梁中点梁中点挠度。挠度。燕山大学Yanshan University系统为简谐振动，即有：系统为简谐振动，即有：系统最大势能：系统最大势能：由由TmaxUmax:固有频率固有频率