苏教版高三数学复习课件5.4数列的求和.ppt

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1、掌握数列求和的几种常掌握数列求和的几种常见见方法方法【命题预测】【命题预测】数数列列的的求求和和在在近近几几年年高高考考中中，填填空空题题与与解解答答题题都都有有出出现现，重重点点以以容容易易题题和和中中档档题题为为主主，基基本本知知识识以以客客观观题题出出现现，综综合合知知识识则则多多以以解解答答题题体体现现，主主要要是是探探索索型型和和综综合合型型题题目目复复习习时时，要要具具有有针针对对性性地地训训练练，并并以以“注注重重数数学学思思想想方方法法、强强化化运运算算能力、重点知能力、重点知识识重点重点训练训练”的角度做好充分准的角度做好充分准备备第第4 4课时课时 数列的求和数列的求和【应

2、试对策】【应试对策】1等差等差(比比)数列的求和公式是解决其他数列的求和问题的基础，在数列求数列的求和公式是解决其他数列的求和问题的基础，在数列求和时往往转化为等差和时往往转化为等差(比比)数列的求和数列求和的常用方法：数列的求和数列求和的常用方法：(1)基本公式法基本公式法：等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；1222n2 n(n1)(2n1)；132333n3 n(n1)2.(2)分组求和法分组求和法：将原来的数列分拆成两个或两个以上的数列，将原来的数列分拆成两个或两个以上的数列，然后利用公式法求和然后利用公式法求和(3)裂项法裂项法

3、：将将数列的各数列的各项项均分拆成两均分拆成两项项的差，然后和式子中的一些的差，然后和式子中的一些项项相互抵消，相互抵消，以达到求和的目的如以达到求和的目的如an ，an an 一般地，若一般地，若an是公差是公差为为d的等差数列，的等差数列，则则(4)倒序相加法倒序相加法：类类似于等差数列前似于等差数列前n项项和公式的推和公式的推导导方法，根据有些数列的方法，根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的(5)错位相减法错位相减法：Sna1a2an两两边边同乘以一个适当的数或式，然后把同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式

4、相减，所得的等式和原等式相减，对应项对应项相互抵消，最后得出前相互抵消，最后得出前n项项和和Sn，一般适，一般适用于数列用于数列anbn的前的前n项项求和，其中求和，其中an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列是等比数列【知识拓展】【知识拓展】定定义义“等等和和数数列列”：在在一一个个数数列列中中，如如果果每每一一项项与与它它们们后后一一项项的的和和为为同同一一个个常常数数，那那么么这这个个数数列列叫叫做做等等和和数数列列，这这个个常常数数叫叫该该数数列列的的公公和和已已知知数数列列an是是等等和和数数列列，且且a12，公公和和为为5，则则a18_.这这个个数数列列前前n项项和和Sn的的计计

5、算算公公式式为为_解析：解析：由题意知，该数列为由题意知，该数列为2,3,2,3,2,3，则则a183.当当n为偶数时，为偶数时，Sn ；当；当n为奇数时，为奇数时，Sn Sn 答案：答案：3Sn 1当已知数列当已知数列an，满满足足an1anf(n)，且，且f(1)f(2)f(n)可求可求 则则可用可用 求数列的通求数列的通项项an.2当已知数列当已知数列an中，中，满满足足f f(an1,an)f(n)，且，且f(1)f(2)f(n)可求可求 则则可用可用 求数列的通求数列的通项项an.3等差数列前等差数列前n项项和和Sn ，推推导导方法：倒序相加法；方法：倒序相加法；累差法累差法累积法累

6、积法等比数列前等比数列前n项项和和Sn 推推导导方法：方法：错错位相减位相减4常常见见数列的前数列的前n项项和：和：(1)123n ；(2)135(2n1)；(3)122232n2 n25(1)分分组组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列(2)拆拆项项相消：有相消：有时时把一个数列的通把一个数列的通项项公式分成二公式分成二项项差的形式，差的形式，相加相加过过程消去中程消去中间项间项，再求和，再求和(3)错错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项对应项相乘相乘构成的数列求和构成的数列求和(4)倒序相加

7、：例如，等差数列前倒序相加：例如，等差数列前n项项和公式的推和公式的推导导方法方法6常常见见的拆的拆项项公式有：公式有：(1)(2)(3)思考：思考：用裂项相消法求数列前用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？项和的前提是什么？提示：提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提1 数列数列0.9,0.99,0.999，的前的前n项项和和为为_解析：解析：数列的通项公式为数列的通项公式为an10.1n，其前，其前n项和项和Sn(10.1)(10.12)(10.1n)n(0.10.120.1n)答案：答案：2 数列数

8、列an的通的通项项公式公式为为an(1)n1(4n3)，则则S100_.解析：解析：S100(15)(913)(4993)(41003)(4)50200.答案：答案：2003 数列数列，的前的前n项项和和Sn的的值值等等 于于_解析：解析：Sn(1352n1)答案：答案：4 数列数列9,99,999，的前的前n项项和和为为_解析：解析：数列通项数列通项an10n1，分组求和得分组求和得Sn 答案：答案：5 (2010南京市第九中学调研测试南京市第九中学调研测试)已知数列已知数列an满满足：足：an 则则数列数列an的前的前100项项的和是的和是_解析：解析：ana1a2a100 答案：答案：数

9、列求和数列求和应应从通从通项项入手，若无通入手，若无通项项，则则先求通先求通项项，然后通，然后通过对过对通通项变项变形，形，转转化化为为等差或等比或可求数列前等差或等比或可求数列前n项项和的数列来求之和的数列来求之 已知数列已知数列an的通的通项项公式公式an3n2n1，求数列，求数列an的前的前n项项和和Sn.思路点拨：思路点拨：从数列的通项公式可看出，数列从数列的通项公式可看出，数列an是由一个等差数列是由一个等差数列3n1和一个等比数列和一个等比数列2n构成的，均可应用求和公式构成的，均可应用求和公式解：解：Sna1a2an(253n1)(2222n)【例【例1】求下面数列的前求下面数列

10、的前n项项和：和：，.解：解：前前n项项和和为为Sn 147(3n2)，设设T1 当当a1时时，T1n；当；当a1时时，T1 T2147(3n2)变式变式1：当当a1时时，SnT1T2 当当a1时时，SnT1T2 1利用裂利用裂项项相消法求和相消法求和时时，应应注意抵消后并不一定只剩下第一注意抵消后并不一定只剩下第一项项和最和最后一后一项项，也有可能前面剩两，也有可能前面剩两项项，后面也剩两，后面也剩两项项或前后剩的或前后剩的项项更多，更多，再就是将通再就是将通项项公式裂公式裂项项后，有后，有时时候需要候需要调调整前面的系数，使裂开整前面的系数，使裂开的两的两项项之差和系数之之差和系数之积积与

11、原通与原通项项公式相等公式相等则则 此外根式在分母上此外根式在分母上时时可考可考虑虑利用有理化因式相消求和利用有理化因式相消求和2一般情况如下，若一般情况如下，若an是等差数列，是等差数列，【例【例2】设正数数列设正数数列an的前的前n项和项和Sn，满足满足 (1)求出数列求出数列an的通项公式的通项公式；(2)设设bn ，记数列记数列bn的前的前n项和为项和为Tn，求求Tn.思路点拨：思路点拨：由由anSnSn1(n2)可求得可求得an；采用裂项求和采用裂项求和解：解：(1)当当n2时时，anSnSn1 (an1)2(an11)2整理得整理得(anan1)(anan12)0，anan10，a

12、nan12.当当n1时时，a1S1 (a11)2，解得解得a11.数列数列an是以是以a11为首项，以为首项，以d2为公差的等差数列为公差的等差数列an2n1.(2)变式变式2：(2010东北师大附中模拟东北师大附中模拟)已知数列已知数列an：，求它的前求它的前n项和项和 解：解：前前n项项和和Sn 1一般地，如果数列一般地，如果数列an是等差数列，是等差数列，bn是等比数列，求数列是等比数列，求数列anbn的前的前n项项和和时时，可采用，可采用错错位相减法位相减法2用用错错位相减法求和位相减法求和时时，应应注意：注意：要善于要善于识别题识别题目目类类型，特型，特别别是等比数是等比数列公比列公

13、比为负为负数的情形更数的情形更值值得注意得注意在写出在写出“Sn”与与“qSn”的表达式的表达式时应时应特特别别注意将两式注意将两式“错项对齐错项对齐”，以便于下一步准确写出，以便于下一步准确写出“SnqSn”的表达的表达式式应应用等比数列求和公式必用等比数列求和公式必须须注意公比注意公比q1这这一前提条件，如果不能一前提条件，如果不能确定公比确定公比q是否是否为为1，应应分两种情况分两种情况讨论讨论，这这在近几年高考中在近几年高考中经经常考常考查查 【例【例3】已知数列已知数列an满足满足a1，a2a1，a3a2，anan1，是首项是首项 为为1，公比为公比为2的等比数列的等比数列 (1)求

14、求an；(2)如果如果bn(2n1)an，求数列求数列bn的前的前n项和项和Sn.思路点拨：思路点拨：(1)根据题意得到表达式，再用累加法求通项；根据题意得到表达式，再用累加法求通项；(2)利用错位相减法求和利用错位相减法求和解：解：(1)由由a11，当当n2时时，anan12n1，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)12222n1 2n1.(2)bn(2n1)an(2n1)(2n1)(2n1)2n(2n1)，Snb1b2bn2322523(2n1)2n135(2n1)令令Tn2322523(2n1)2n则则2Tn22323524(2n3)2n(2n1)2n1得得Tn22222232

15、2n(2n1)2n122(22232n)(2n1)2n122 (2n1)2n122n28(2n1)2n16(32n)2n1，Tn(2n3)2n16，Sn(2n3)2n16(2n3)2n1n26.变式变式3：求数列求数列ann2n的前的前n项和项和 解：解：ann2n，Sna1a2an2222n2n，2Sn22223(n1)2nn2n1.得：得：Sn222232nn2n12(2n1)n2n1，Sn(n1)2n12.1数列求和，如果是等差、等比数列的求和，可直接用求和公式求解，公数列求和，如果是等差、等比数列的求和，可直接用求和公式求解，公式要做到灵活运用式要做到灵活运用2非等差、等比数列的一般数

16、列求和，主要有两种思路：非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；往往通过通项分解或错位相消来完成；不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法，倒序相加法等来求和，要将例题中的几类一般数列的求和方法记牢法，倒序相加法等来求和，要将例题中的几类一般数列的求和方法记牢【规律方法总结规律方法总结】3数列求和的方法技能：数列求和的方法技能：倒序相加：用于等差数列

17、、与二项式系数相关联的数列求和倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列求和错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和分组求和：用于若干个等差或等比数列的和数列的求和分组求和：用于若干个等差或等比数列的和数列的求和折项相消：常用的拆项公式有：折项相消：常用的拆项公式有：【例【例4】已知数列已知数列an是首项为是首项为a1 ，公比公比q 的等比数列，的等比数列，设设bn2 an(nN*)，数列数列cn满足满足cnanbn.(1)求数列求数列bn的通项公式；的通项公式；(2)求数列求数列cn的前的前n项和项和Sn.解本解本题题易出易出现现的第

18、一个的第一个错误错误就是求就是求错错数列的通数列的通项项公式；第二个公式；第二个错错误误是在用是在用“错错位相减位相减”求和求和时对时对相减后的相减后的项处项处理不当，理不当，导导致漏掉致漏掉项项或添加或添加项项，这这是是这类这类求和求和问题问题最容易出最容易出现错误现错误的地方的地方【错因分析错因分析】解：解：(1)由题意由题意，知知an (nN*)，又又bn 2，故，故bn3n2(nN*)(2)由由(1)，知，知an ，bn3n2(nN*)，cn(3n2)(nN*)，Sn +(3n2)，【答题模板答题模板】于是于是 两式相减，得两式相减，得错位相减求和法错位相减求和法错位相减求和法的适用环

19、境：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘错位相减求和法的适用环境：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前积所组成的，求其前n项和，基本方法是设这个和式为项和，基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式两端同时，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前以求一个等比数列的前n项和或前项和或前n1项和为主的求和问题这里最容易出现问项和为主的求和问题这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理，如本例中相减后的和式要分三个部分：题的就

20、是错位相减后对剩余项的处理，如本例中相减后的和式要分三个部分：(1)这个是原来数列的第一项；这个是原来数列的第一项；【状元笔记状元笔记】(2)，这是一个等比数列的前，这是一个等比数列的前(n1)项的和；项的和；(3)，这是原来数列的第，这是原来数列的第n项乘以公比项乘以公比 后在作差时出现的在用后在作差时出现的在用错位相减法求数列的和时一定要处理好这三个部分，否则就会出错错位相减法求数列的和时一定要处理好这三个部分，否则就会出错.1 已知等差数列已知等差数列an的前的前n项项和和为为Snpn22nq(p，qR)，nN*.(1)求求q的的值值；(2)若若a1与与a5的等差中的等差中项为项为18，

21、bn满满足足an21og2bn，求数列的，求数列的bn前前n项项和和分析：分析：已知数列前已知数列前n项和的表达式，求通项公式时，可以根据项和的表达式，求通项公式时，可以根据anSnSn1 消消去去Sn和和Sn1，求求得得an.注注意意要要验验证证当当n1时时是是否否适适合合，若若适适合合，即即可可合合并并成成一一个个式子，如果不适合，要写成分段的形式式子，如果不适合，要写成分段的形式解：解：(1)解法一：解法一：当当n1时时，a1S1p2q.当当n2时时，anSnSn1pn22nqp(n1)22(n1)q2pnp2.an是等差数列，是等差数列，p2q2pp2，q0.解法二：解法二：当当n1时

22、时，a1S1p2q.当当n2时时，anSnSn1pn22nqp(n1)22(n1)q2pnp2.当当n3时时，anan12pnp22p(n1)p22p.a2p2q2p3p2q.又又a22p2p23p2，所以，所以3p2q3p2，得，得q0.(2)a3，a318.又又a36pp2，6pp218，p4，an8n6.又又an2log2bn，得，得bn24n3.b12，2416，即即bn是公比是公比为为16的等比数列的等比数列所以数列所以数列bn的前的前n项项和和Tn 2 设设数列数列an的前的前n项项和和为为Sn，点，点 (nN*)均均在在函函数数y3x2的的图图象象上上(1)求数列求数列an的通的

23、通项项公式；公式；(2)设设bn ，Tn是数列是数列bn的前的前n项项和，和，求使得求使得Tn 对对所有所有nN*都成立的最小正整数都成立的最小正整数m.解：解：(1)依题意得依题意得 3n2，即即Sn3n22n.当当n2时时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5；当当n1时时，a1S1312211615，所以所以an6n5(nN*)分析：分析：把点把点 代入代入y3x2，可以得到一个，可以得到一个Sn的表达式，根据这个的表达式，根据这个表达式，可以求得通项公式，根据求得的表达式，可以求得通项公式，根据求得的an代入代入bn ，通过，通过拆项求和表示出拆项求和表示出Tn.(2)由由(1)得得bn 故故Tn 因此，使得因此，使得 (nN*)成立的成立的m必必须满须满足足 ，即即m10，故故满满足要求的最小正整数足要求的最小正整数m为为10.