第三章量子力学中的力学量3优秀文档.ppt

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1、第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量第第4(4(5 5)节节 厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性则称两个函数则称两个函数正交性定义正交性定义（互相）正交性（互相）正交性以后说明这是通常矢量正交性的自然推广以后说明这是通常矢量正交性的自然推广定理定理1：厄米算符分属不同本征值的本征函数彼此正交。：厄米算符分属不同本征值的本征函数彼此正交。定理：厄米算符的本征值是实数定理：厄米算符的本征值是实数定理定理2：若厄米算符某个本征值存在：若厄米算符某个本征值存在k个不同个不同(线性无关线性无关)本征函数，则必可从本征函数，则必可从它们的线性组合中选择它们的线性组合中选择k个彼

2、此正交的（本征）函数。个彼此正交的（本征）函数。显然显然k维子空间维子空间V中一定存在中一定存在k个正交矢量（函数）且都是算符个正交矢量（函数）且都是算符F的本征函数的本征函数第第4(4(5 5)节节 厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性根据前面根据前面2个定理，我们总可适当选择厄米算符的本征函数，使它们满足正交归个定理，我们总可适当选择厄米算符的本征函数，使它们满足正交归一性！例如一性！例如一维无限深势阱一维无限深势阱动量算符本征函数动量算符本征函数角动量算符本征函数角动量算符本征函数一维线性谐振子一维线性谐振子氢原子氢原子波函数波函数第5(6)节 算符与力学量的关系空间反演不变

3、=宇称守恒（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。按动能算符的本征函数展开动能与势能不能同时准确决定6题)设t=0时，粒子处于状态2题 氢原子处于基态第5(6)节 算符与力学量的关系求原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，相应几率和这些量的平均值例题 任何状态下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。（3）由力学量完全集合所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。空间平移不变=动量守恒2)求动能的平均值。第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系前面提到，系统处于力学量算符前面提到，系统处于力学量算符(厄米算

4、符厄米算符)的本征函数描述的状态的本征函数描述的状态(本征态本征态)，该力学量有确定值，就是本征函数对应的本征值。例如，该力学量有确定值，就是本征函数对应的本征值。例如定态能量，动量本征态时的动量，角动量本征态时的角动量，等等。定态能量，动量本征态时的动量，角动量本征态时的角动量，等等。现在推广这个假定。先引入概念：现在推广这个假定。先引入概念：完全系完全系 若厄米算符的若厄米算符的(正交归一正交归一)本征函数本征函数集集则称该函数集构成则称该函数集构成完全系完全系或或完备集完备集满足满足方便起见，其实只需要函数无关即可方便起见，其实只需要函数无关即可展开系数展开系数称为称为几率幅几率幅注意展

5、开系数满足注意展开系数满足第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系测量测量F的结果是其本征值，一般不确定是那个本征值。因此，测量的平均值是的结果是其本征值，一般不确定是那个本征值。因此，测量的平均值是平均值公式平均值公式学量学量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值 的几的几率是率是量子力学基本假定量子力学基本假定：力学量：力学量F对应厄米算符对应厄米算符,算符算符其本征函数构成其本征函数构成展开系数展开系数称为称为几率幅几率幅测量测量F结果为结果为波函数塌缩为波函数塌缩为完全系。当系统由归一化波函数完全系。当系统由归一化波

6、函数描述时，测量力描述时，测量力归一化了归一化了例题例题 氢原子处于基态，求电子动量的几率分布氢原子处于基态，求电子动量的几率分布第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系第5(6)节 算符与力学量的关系其中归一化波函数满足(含时)薛定谔方程其中量子数的取值范围是两力学量算符对易两力学量同时有确定值的条件按动量算符的本征函数展开例如定态能量，动量本征态时的动量，角动量本征态时的角动量，等等。推广：(两个以上的算符)一组力学量同时具有确定值的充分必要条件是在这些力学量算符的共同本征态中。例题 设一维无限深势阱中运动粒子的波函数为 (0 xa)，定理 两个力学量算符满足对

7、易关系2题 氢原子处于基态则称该函数集构成完全系或完备集7题)一维运动粒子的状态是（3）由力学量完全集合所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。是 和 两态的叠加，能量的可能测量值为动能与势能不能同时准确决定第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系例题例题(p101 3.6题题)设设t=0时，粒子处于状时，粒子处于状态态求此时粒子的平均动量和平均动能求此时粒子的平均动量和平均动能按动能算符的本征函数展开按动能算符的本征函数展开按动量算符的本征函数展开按动量算符的本征函数展开平均动能平均动能平均动量平均动量平均动能平均动能第第

8、5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系例题例题(p101 3.7题题)一维运动粒子的状态是一维运动粒子的状态是1)归一化常数归一化常数A=?2)若粒子的能量为若粒子的能量为E,求系统的势能。求系统的势能。3)动量的几率分布函数动量的几率分布函数4)平均动量平均动量动量的几率分布函数动量的几率分布函数平均动量平均动量实际上，平均动量一看就知道为零实际上，平均动量一看就知道为零积分是实数！积分是实数！第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系平均能量平均能量实际上，平均能量可以非常方便地计算出实际上，平均能量可以非常方便地计算出例题例题(p101 3.8题题

9、)一维无限深势阱（阱宽为一维无限深势阱（阱宽为a）中运动，若粒子的状态波函数是）中运动，若粒子的状态波函数是求粒子能量的几率分布和能量平均值。求粒子能量的几率分布和能量平均值。能量本征函数和能量本征值是能量本征函数和能量本征值是能量的几率分布能量的几率分布(阱内阱内)例题例题 一维无限深势阱（一维无限深势阱（）中的粒子处于状态中的粒子处于状态求求(1)(1)粒子处于粒子处于 内的概率内的概率;(2)求此时测粒子能量得到的可能值、相应求此时测粒子能量得到的可能值、相应的概率及能量的平均值。的概率及能量的平均值。解：解：(1)(1)首先对波函数归一化得所以此系统得归一化波函数为：是定态波函数所以，

10、粒子处在 的概率 ：其中 因为：(2)(2)能量的平均值为：概率为：概率为：能量的可能值为：例题例题 设一维无限深势阱中运动粒子的波函数为设一维无限深势阱中运动粒子的波函数为 (0 x宇称守恒7题)一维运动粒子的状态是按动能算符的本征函数展开(2)能量的平均值为：第3节 氢原子习题其中量子数的取值范围是第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系注意线性谐振子束缚态必定有确定宇称（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。表示贝塞尔函数的第n个零点，即推广：(两个以上的算符)一组力学量同时具有确定值的充分必要条件是在这些力学量算符的共同本征态中。位置与（相应

11、的）动量不能够同时准确决定Heisenburg测不准关系第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系其中，其中，为无限深势阱中粒子能量的本征函数。因此，为无限深势阱中粒子能量的本征函数。因此，是是 和和 两态的叠加，能量的可能测量值为两态的叠加，能量的可能测量值为或或测量值为测量值为 和和 的几率各为的几率各为 。第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系例题例题(p102 3.9题题)若氢原子处于状态若氢原子处于状态求原子能量、角动量平方及角动量求原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，相应几率和这些量的平均值分量的可能值，相应几率和这些量的平

12、均值是能量、角动量平方及角动量是能量、角动量平方及角动量z分量算符的共同本征函数分量算符的共同本征函数氢原子定态波函数氢原子定态波函数角动量角动量z z分量分量角动量平方角动量平方能量能量可能值可能值几率几率平均值平均值例题例题(定理定理)任何状态下，厄密算符的平均值都是实数。任何状态下，厄密算符的平均值都是实数。例题例题 任何状态下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。任何状态下，厄密算符平方的平均值一定大于等于零。例题例题 设原子处于设原子处于的状态上，求其能量、角动量平方及角动量的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值概率，分量的可能取值与相应的取值概率，进而求

13、出它们的平均值。进而求出它们的平均值。其中量子数的取值范围是其中量子数的取值范围是利用归一化条件求出归一化常数为利用归一化条件求出归一化常数为氢原子的能量只与主量子数氢原子的能量只与主量子数n有关，依题意可知，有关，依题意可知，n的可能取值有两个，即的可能取值有两个，即n=2，3，于是，于是解解 选选 为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为角动量量子数角动量量子数 的可能取值只有一个，即的可能取值只有一个，即 故有故有角动量磁量子数角动量磁量子数 的可能取值有两个，即的可能取值有两个，即 于是于是第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力

14、学量的关系2个有用的定理个有用的定理H-F定理定理 系统处于束缚定态，则系统处于束缚定态，则维里定理维里定理 系统处于束缚定态，若势能是系统处于束缚定态，若势能是次齐次函数次齐次函数则则由前面的定理由前面的定理第第5(5(6 6)节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系由维里定理得由维里定理得 动量几率分布动量几率分布例题例题 一维谐振子处于能量本征态一维谐振子处于能量本征态1)求势能的平均值。求势能的平均值。2)求动能的平均值。求动能的平均值。3)求动量几率分布求动量几率分布例题例题 p100的的3.2题题 氢原子处于基态氢原子处于基态1)求求r的平均值。的平均值。2)求势能的平均值。求势

15、能的平均值。3）最可几半径）最可几半径(前面已讲，略前面已讲，略)。4)求动能的平均值。求动能的平均值。5)求动量几率分布求动量几率分布(前面已讲，略前面已讲，略)。由维里定理得由维里定理得 第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系两个算符乘积一般与次序有关两个算符乘积一般与次序有关 定义定义对易式对易式 坐标算符与动量算符的对易式坐标算符与动量算符的对易式 基本对易关系基本对易关系 同理得到坐标算符与动量算符的其它对易关系同理得到坐标算符与动量算符的其它对易关系 其它其它(有经典对应的有经典对应的)物理

16、量的对易关系可从基本对易关系导出物理量的对易关系可从基本对易关系导出例如角动量算符的对易式例如角动量算符的对易式 对易式的公式对易式的公式习题习题对易对易 两力学量算符对易两力学量算符对易两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件不对易不对易 定理定理 两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关

17、系测不准关系定理定理 两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集若系统处于两个力学量算符的共同本征函数描述的状态若系统处于两个力学量算符的共同本征函数描述的状态则这两个力学量同时有确定值则这两个力学量同时有确定值两力学量算符对易两力学量算符对易两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件两个力学量不对易两个力学量不对易=没有共同没有共同构成完全系构成完全系的本征函数集。但它们可能有共同的本征函数集。但它们可能有共同本征函数！本征函数！例如，例如，注意注意：即使两个算符不对易即使两个算符不对易,也不排除它们存在个别的共同本征函数也不排除它们存

18、在个别的共同本征函数,在这样在这样的函数描述的状态下的函数描述的状态下,两个力学量同时有确定值。氢原子的基态就属于这种两个力学量同时有确定值。氢原子的基态就属于这种情况。情况。注意注意：即使两个算符对易即使两个算符对易,但若体系所处的状态不是它们的共同本征函数，但若体系所处的状态不是它们的共同本征函数，则它们都没有确定值。则它们都没有确定值。推广：推广：(两个以上的算符两个以上的算符)一组一组力学量同时具有确定值的充分必要条件是在力学量同时具有确定值的充分必要条件是在这些力学量算符的共同本征态中。这些力学量算符的共同本征态中。例例 1 1：例例 2：定理：定理：一组力学量算符一组力学量算符具有

19、完备的共同本征函数具有完备的共同本征函数系的系的充要条件充要条件是这组算符两两对易。是这组算符两两对易。力学量完全集合（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例例1：三维空间中自由粒子，完全确定其三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：状态需要三个两两对易的力学量：例例 2：氢原子，完全确定其状态也需要三氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：个两两对易的力学量：例例 3：一维谐振子，只需要一个力学量就一维谐振子，只

20、需要一个力学量就可完全确定其状态：可完全确定其状态：（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3）由力学量完全集合所确定的本征函数系，构成该体系态空）由力学量完全集合所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量

21、同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系测不准关系测不准关系 不对易情况不对易情况 若若2个厄米算符个厄米算符F,G满足对易关系满足对易关系定义定义2个新厄米算符个新厄米算符定理定理 两个力学量算符满足对易关系两个力学量算符满足对易关系则它们满足则它们满足测不准关系测不准关系引入非负积分引入非负积分厄米算符厄米算符：第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系定理定理 两个力学量算符满足对易关系两个力学量算符满足对易关系则它们满足则它们满足测不准关系测不准关系习题习题：证明：证明力学量算符力学量算符 满足满足

22、是该算符的本征态是该算符的本征态Heisenburg(也称为基本也称为基本)测不准关系测不准关系厄米算符厄米算符位置与（相应的）动量不能够同时准确决定位置与（相应的）动量不能够同时准确决定动能与势能不能同时准确决定动能与势能不能同时准确决定总能量总能量=动能动能+势能势能 不再成立不再成立应该是应该是这也解释了势垒现象中似乎动能为负值的疑问这也解释了势垒现象中似乎动能为负值的疑问例题：例题：第第6(6(7 7)节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系注意线性谐振子束缚态必定有确定宇称注意线性谐振子束缚态必定有确定宇称例题：例

23、题：Heisenburg测不准关系可以说明线性谐振子零点能的存在测不准关系可以说明线性谐振子零点能的存在所以所以Heisenburg测不准关系测不准关系第第7(7(8 8)节节 力学量平均值随时间的演化力学量平均值随时间的演化 守恒定律守恒定律力学量平均值力学量平均值其中归一化波函数满足其中归一化波函数满足(含时含时)薛定谔方程薛定谔方程若力学量算符不显含时间若力学量算符不显含时间则则如果力学量算符不显含时间如果力学量算符不显含时间守恒量守恒量又满足又满足第第7(7(8 8)节节 力学量平均值随时间的演化力学量平均值随时间的演化 守恒定律守恒定律空间平移不变空间平移不变=动量守恒动量守恒空间平

24、移不变空间平移不变=转动不变转动不变=角动量守恒角动量守恒时间平移不变时间平移不变=能量守恒能量守恒时间平移不变时间平移不变=系统转动不变系统转动不变=空间反演不变空间反演不变=宇称守恒宇称守恒第第3 3节节 氢原子氢原子习题习题习题习题 书中第三章书中第三章3.13.9 前面都已讲过！前面都已讲过！习题习题 书中第三章书中第三章3.10题题球形腔中的运动，求能级与能量本征函数球形腔中的运动，求能级与能量本征函数定态薛定谔方程变为定态薛定谔方程变为球贝塞尔方程球贝塞尔方程球贝塞尔函数球贝塞尔函数球贝塞尔函数与贝塞尔函数的联系球贝塞尔函数与贝塞尔函数的联系定态能量满足方程定态能量满足方程记记表示贝塞尔函数的第表示贝塞尔函数的第n个零点，即个零点，即则定态能量为则定态能量为定态波函数定态波函数第第3 3节节 氢原子氢原子习题习题球坐标结果球坐标结果柱坐标结果柱坐标结果习题习题 书中第三章书中第三章3.11题（不明确，有问题）题（不明确，有问题）1）定轴转动）定轴转动2）定点转动）定点转动习题习题