(5.2.1)--10.2正项级数及其审敛法.ppt

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1、高等数学(2)(2)1 10.2 正正项级数及其数及其审敛法法正项级数收敛的充要条件正项级数审敛法2一、正项级数一、正项级数若若正项级数正项级数收敛收敛部分和数列部分和数列有界有界.则称则称为为正项级数正项级数.定理定理 1（正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件）定义定义:设设单调递增单调递增存在存在收敛收敛注注:要判定正项级数的敛散性要判定正项级数的敛散性,只需考察只需考察是否有界是否有界.定理定理2 2(比较审敛法比较审敛法)设设则则则则收敛收敛,也收敛也收敛;发散发散,也发散也发散.均是正项级数，均是正项级数，且且(1)若若且且(2)若若注注:若若“大大”的级数的级数收敛收敛,则

2、则“小小”的级数也的级数也收敛收敛.若若“小小”的级数的级数发散发散,则则“大大”的级数也的级数也发散发散.二、正项二、正项级数审敛法级数审敛法(2)(2)利用部分和数列有上界可证明利用部分和数列有上界可证明例例1 1.讨论讨论 p p 级数级数(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性.解解:(1)若若因为对一切因为对一切而调和级数而调和级数由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数发散发散.发散发散,收敛收敛.综合可知综合可知,收敛收敛,发散发散,p-级数级数判定级数判定级数收敛性收敛性.解解:而级数而级数发散，发散，由比较审敛法可知由比较审敛法可知,所给级数发散所给级数发散.例例2 注注:

3、要证要证收敛收敛,应放大应放大要证要证发散发散,应缩小应缩小“预测预测”发散发散定理定理3 3 (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)则则(2)当当 l=0 时时,且且 收敛收敛,(3)当当 l=+时时,设正项级数设正项级数且满足且满足(1)当当 0 l+时时,收敛收敛.且且 发散发散,发散发散.则则注注:当当 l=1,且且则则与与有有相同的敛散性相同的敛散性.则则有相同的敛散性有相同的敛散性.的收敛性的收敛性.例例3 3 判定级数判定级数的收敛性的收敛性.解解:而而例例4 判定级数判定级数解解:发散发散,而而收敛收敛,定理定理4 (4 (比值审敛法比值审敛法)设设 为正项级数为正项级数

4、,则则(1)当当时时,(2)当当或或时时,当当 时时,例如例如,级数级数但但级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散.(3)且且方法失效方法失效级数级数 收敛收敛;级数级数 发散发散;例例5 5 讨论级数讨论级数的收敛性的收敛性.解解:根据比值审敛法可知根据比值审敛法可知,级数收敛级数收敛;级数发散级数发散;注注:发散发散.若通项若通项 中含中含 n!或或 an 时时,则用比值法较方便则用比值法较方便.总结总结:判定判定正项级数正项级数 敛散性的方法与步骤敛散性的方法与步骤发散发散=比值法比值法 收敛收敛不定不定 比较法不等式形式比较法不等式形式其它方法判定其它方法判定用定义求部分和的用定义求部分和的极限极限？比较法极限形式比较法极限形式发散发散内容小结内容小结Thanks!