利用施密特正交化方法.ppt

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1、线性代数课题组知识点知识点7-7-用正交矩阵使对称矩阵对角化用正交矩阵使对称矩阵对角化用正交矩阵使实对称矩阵对角化的步骤用正交矩阵使实对称矩阵对角化的步骤2.2.施密特正交化方法施密特正交化方法1.1.线性代数课题组一、施密特正交化方法一、施密特正交化方法设设是线性无关向量组，如何将该向量组是线性无关向量组，如何将该向量组单位正交化？单位正交化？1 1）正交化）正交化令令则则两两正交，且与两两正交，且与等价等价.线性代数课题组上述方法称为施密特上述方法称为施密特（SchmidtSchmidtSchmidtSchmidt）正交化法正交化法.2 2）单位化）单位化令令则可得到与则可得到与 等价的单

2、位正交组等价的单位正交组 这个过程称为单位正交化过程，上述两个步骤次序这个过程称为单位正交化过程，上述两个步骤次序不可交换不可交换.线性代数课题组例例1 1 已知向量组已知向量组线性无关，试将其化为标准正交组线性无关，试将其化为标准正交组.解解 第一步，根据施密特正交化方法将向量组正交化第一步，根据施密特正交化方法将向量组正交化取取 线性代数课题组所得的所得的 即是与即是与 等价的正交向量组等价的正交向量组.第二步，再单位化第二步，再单位化 由于由于 ，所以令，所以令 则则 为所求单位正交组为所求单位正交组.线性代数课题组二、用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤二、用正交矩阵将实对称矩阵对角化的

3、步骤（1 1）求出特征方程）求出特征方程 的全部的全部实特征值实特征值；（2 2）对每一个）对每一个 重的特征值重的特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 ，得到，得到 个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量；（3 3）利用施密特正交化方法，把属于）利用施密特正交化方法，把属于 的的 个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量正交化，再单位化正交化，再单位化；线性代数课题组阵阵的的列向量列向量，则，则 为所求正交矩阵；为所求正交矩阵；（5 5）为对角矩阵，其主对角线上的元素为为对角矩阵，其主对角线上的元素为A 的全部特征值，它的排列顺序与的全部特征值，它的排列顺序与 中正交单位中正交单位

4、向量的向量的排列顺序相对应排列顺序相对应.（4 4）将总共得到的）将总共得到的 个单位正交特征向量作为矩个单位正交特征向量作为矩线性代数课题组例例2 2 用正交矩阵将用正交矩阵将 对角化对角化.解解 矩阵矩阵 的的特征值特征值为为 对应的对应的特征向量特征向量为为如何求如何求A的的特征值与特征值与特征向量特征向量线性代数课题组利用施密特正交化方法将利用施密特正交化方法将 与与 正交化正交化，得，得 再将再将 单位化单位化 的模各是多少？的模各是多少？线性代数课题组再再单位化单位化，得，得将将 单位化，得单位化，得线性代数课题组以单位正交向量以单位正交向量 为列得为列得正交矩阵正交矩阵 使得使得特征值与特征向特征值与特征向量应对应量应对应对角阵对角阵线性代数课题组小 结施密特正交化方法用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤求特征值求特征向量正交化、单位化构造正交阵Q构造对角阵