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1、 投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影 换换换换 面面面面 法法法法第二章第二章 点点 直线直线 平面的投影平面的投影要求：要求：掌握有关投影的概念；掌握点、直线、平面的投影特掌握有关投影的概念；掌握点、直线、平面的投影特性，并能够熟练作出其投影图；掌握换面法及其应用。要求性，并能够熟练作出其投影图；掌握换面法及其应用。要求概念清楚，作图准确。概念清楚，作图准确。重点：重点：各种几何元素的性质和投影规律；点和直线位于平面各种几何元素的性质和投影规律；点和直线位于平面上的几何条件和投影特性；换面法及其应用。上的几何条件和投影特性；换面

2、法及其应用。难点：难点：重影点；换面法。重影点；换面法。点点点点 的的的的 投投投投 影影影影 平面的投影平面的投影平面的投影平面的投影第一节第一节第一节第一节 投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识一、投影的形成和分类一、投影的形成和分类 PACBabc投射线投射线投影投影空间物体空间物体投影面投影面S S S S投射中心投射中心PACBabc中心投影中心投影PACBabcSPACBabcS正投影正投影斜投影斜投影平行投影平行投影中心投影中心投影平行投影平行投影正投影正投影斜投影斜投影第一节第一节第一节第一节 投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识一、投影

3、的形成和分类一、投影的形成和分类 按照投射线是否彼此平行，投影可分为按照投射线是否彼此平行，投影可分为中心投影法和平行投影法两大类：中心投影法和平行投影法两大类：第一节第一节第一节第一节 投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识二、投影法的特性二、投影法的特性 (1)(1)具备三个要素：形体、投射线和投影面。具备三个要素：形体、投射线和投影面。AaPA1A2(2)(2)在投影面和投射中心或投射方向确定之后，形体上每在投影面和投射中心或投射方向确定之后，形体上每一点必有其唯一的一个投影与之对应。一点必有其唯一的一个投影与之对应。(3)(3)形体上一点的一个投影不能唯一确定其空间位

4、置。形体上一点的一个投影不能唯一确定其空间位置。投影法的一般特性：投影法的一般特性：1)1)真实性：真实性：当平面几何图形平行于投影面时，投影反映其实形；当平面几何图形平行于投影面时，投影反映其实形；PPP真实性真实性积聚性积聚性类似性类似性第一节第一节第一节第一节 投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识投影的基本知识二、投影法的特性二、投影法的特性 工程中一般用多面正投影来图示三维形体。工程中一般用多面正投影来图示三维形体。正投影法的特性：正投影法的特性：2)2)积聚性：积聚性：当平面几何图形垂直于投影面时，投影积聚为点或直当平面几何图形垂直于投影面时，投影积聚为点或直 线；线；3)3)

5、类似性。类似性。当平面几何图形倾斜于投影面时，投影为原图形的类当平面几何图形倾斜于投影面时，投影为原图形的类 似形，即直线的投影为直线、似形，即直线的投影为直线、N N边形的投影为边形的投影为N N边形、边形、圆的投影为椭圆。圆的投影为椭圆。第二节第二节第二节第二节 点的投影点的投影点的投影点的投影一、三投影面体系的建立一、三投影面体系的建立 IIIIIIIVVVIVIIIVHXOWYZVHXOWYZ正立投影面正立投影面侧立投影面侧立投影面水平投影面水平投影面投影轴投影轴YHXYWZVHWXYZVWHOA Aaaa”aaa”实际上，三投影面体系可看作是三维直角坐标系。实际上，三投影面体系可看作

6、是三维直角坐标系。因因此此，点点的的位位置置可可由由它它的的三三面面投投影影确确定定，也也可可用用它它的的三三个个直角坐标来确定。直角坐标来确定。第二节第二节第二节第二节 点的投影点的投影点的投影点的投影二、点在三投影面体系中的投影二、点在三投影面体系中的投影 二、直线对投影面的相对位置实际上，三投影面体系可看作是三维直角坐标系。按照投射线是否彼此平行，投影可分为中心投影法和平行投影法两大类：与三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。二、直线对投影面的相对位置第三节 直线的投影二、点在三投影面体系中的投影当平面几何图形倾斜于投影面时，投影为原图形的类四、两直线的相对位置三、点与直线的相对位置

7、第三节 直线的投影结论：直线的投影可由直线上任意两点的投影来决定。二、点在三投影面体系中的投影点的投影特性：YHXYWZVHWXYZVWHOA Aaaa”aaa”1)1)点的投影连线垂直于投影轴。点的投影连线垂直于投影轴。2)2)点点的的投投影影到到投投影影轴轴的的距距离离，等等于于该该点点到到对对应应的的相相邻邻投投影影面面的距离，也等于点的坐标。的距离，也等于点的坐标。第二节第二节第二节第二节 点的投影点的投影点的投影点的投影二、点在三投影面体系中的投影二、点在三投影面体系中的投影 YHXYWZVHW已知A、B两点的两个投影，试补画它们的第三投影。ba例：例：aabb结结 论论已知一点的任

8、意两个投影，可求出已知一点的任意两个投影，可求出该点的第三个投影。该点的第三个投影。第二节第二节第二节第二节 点的投影点的投影点的投影点的投影二、点在三投影面体系中的投影二、点在三投影面体系中的投影 例：例：已知点在空间直角坐标系中的坐标为已知点在空间直角坐标系中的坐标为A A（2020，1515，2525），），画出该点的三面投影。画出该点的三面投影。aaaX=20Z=25Y=15Y=15o第二节第二节第二节第二节 点的投影点的投影点的投影点的投影二、点在三投影面体系中的投影二、点在三投影面体系中的投影 YHXYWZVHWXYZVWHOA Aaaa”aaa”Bbb”bbb”b1 1）投投影影

9、面面上上的的点点有有一一个个坐坐标标为为零零，在在该该投投影影面面上上的的投投影影与与空空间间点点重合，在另两个投影面上的投影分别在相应的投影轴上。重合，在另两个投影面上的投影分别在相应的投影轴上。C cc”ccc”c2 2）投投影影轴轴上上的的点点有有两两个个坐坐标标为为零零，在在包包含含该该轴轴的的两两个个投投影影面面上上的的投影与空间点重合，在另一投影面上的投影与原点重合。投影与空间点重合，在另一投影面上的投影与原点重合。第二节第二节第二节第二节 点的投影点的投影点的投影点的投影二、点在三投影面体系中的投影二、点在三投影面体系中的投影 3)3)位位于于原原点点上上的的点点，其其三三个个坐

10、坐标标值值为为零零，且且它它在在三三个个投投影影面面上上的的投投影都与原点重合。影都与原点重合。OAaYWVHOXWYZXZYHaaBbbbaaabbb结论结论：水平投影：水平投影前后，左右；前后，左右；正面投影正面投影上下，左右；上下，左右；侧面投影侧面投影前后，上下。前后，上下。由由立立体体图图知知A A、B B两两点点的的空空间间位位置置关关系系：A A点点在在B B点点的的左左前前上上方方；或或：B B点点在在A A点点的的右右后后下方。下方。第二节第二节第二节第二节 点的投影点的投影点的投影点的投影二、点在三投影面体系中的投影二、点在三投影面体系中的投影 空空间间两两个个点点，若若它

11、它们们在在某某个个投投影影面面上上的的投投影影重重合合，则则称称这这两个点为该投影面的两个点为该投影面的重影点重影点。OYWXZYHaaab（b）bAaVHOXWYZaaBbbb第二节第二节第二节第二节 点的投影点的投影点的投影点的投影二、点在三投影面体系中的投影二、点在三投影面体系中的投影 通常把不可见点的投影符号加上括号。通常把不可见点的投影符号加上括号。问题：已知，问题：已知，A A、B B两点的三面投影，求直线两点的三面投影，求直线ABAB的三面投影。的三面投影。第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影一、直线的投影及其投影特性一、直线的投影及其投影特性 OY

12、WXZYHbaaabb结论：结论：直线的投影可由直线上任意两点的投影来决定。直线的投影可由直线上任意两点的投影来决定。1.1.直线的投影直线的投影 ABCDEFabcde(f)垂直于投影面的直线，在该投影面上的投影积聚为一点。垂直于投影面的直线，在该投影面上的投影积聚为一点。平行于投影面的直线，在该投影面上的投影反映线段实长。平行于投影面的直线，在该投影面上的投影反映线段实长。不垂直于投影面的直线，其投影仍为直线，长度小于线段实长。不垂直于投影面的直线，其投影仍为直线，长度小于线段实长。第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影一、直线的投影及其投影特性一、直线的投影及

13、其投影特性 2.2.直线的投影特性直线的投影特性 二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置 一般位置直线 正平线 /V面投影面平行线 水平线 /H面 侧平线 /W面 正垂线 V面 （/H面、/W面）投影面垂直线 铅垂线 H面 （/V面、/W面）侧垂线 W面 （/H面、/V面）直线与其水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，称为直线与其水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，称为该直线对该直线对H H面、面、V V面、面、W W面的倾角，分别用面的倾角，分别用、表示。表示。第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影与三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。与三个投影

14、面都倾斜的直线，称为一般位置直线。VHWBAbaabab XZYHYWa abbba投影特性：投影特性：直线的三面投影都倾斜于投影轴、且投影的长度小于直线的三面投影都倾斜于投影轴、且投影的长度小于直线的实长；直线的投影与投影轴的夹角均不反映直线对投影面直线的实长；直线的投影与投影轴的夹角均不反映直线对投影面的倾角。的倾角。二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影XZYHYW(1)正平线VHWBAabbaabba abba正面投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映正面投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映和和。其

15、余两投影平行于相应的其余两投影平行于相应的投影轴。投影轴。二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影(2)水平线XZYHYWVHWBAabbaaba bbaba水平投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映水平投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映和和。其余两投影平行于相应的其余两投影平行于相应的投影轴。投影轴。二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影(3)侧平线XZYHYWVHWBAabbaabbbabaa侧面投影反映直线实长，投影与投

16、影轴的夹角反映侧面投影反映直线实长，投影与投影轴的夹角反映和和 。其余两投影平行于相应的投影轴。其余两投影平行于相应的投影轴。二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影(1)正垂线正面投影积聚为一点，正面投影积聚为一点，其余两投影垂直于相应的其余两投影垂直于相应的投影轴，并投影轴，并反映直线的实长。反映直线的实长。VHWBAXZYHYWaba（b）abbabaa（b）二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影(2)铅垂线水平投影积聚为一点，

17、水平投影积聚为一点，其余两投影垂直于相应的其余两投影垂直于相应的投影轴，并投影轴，并反映直线的实长。反映直线的实长。VHWBAXZYHYWa（b）a babaaba（b）b二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影(3)侧垂线侧面投影积聚为一点，侧面投影积聚为一点，其余两投影垂直于相应的其余两投影垂直于相应的投影轴，并投影轴，并反映直线的实长。反映直线的实长。VHWBAXZYHYWaa(b）a（b）aababbb二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的

18、投影直线的投影从属性：从属性：位于直线上的点，其投影一定在它所在直线的同面投影位于直线上的点，其投影一定在它所在直线的同面投影上上，反之亦然。，反之亦然。定比性：定比性：位于直线上的点，其分割直线段长度之比在投影后保持位于直线上的点，其分割直线段长度之比在投影后保持不变不变。ABCabccabHVXOXOabcacb三、点与直线的相对位置三、点与直线的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影XOabkakb例：例：已知直线已知直线ABAB及点及点K K的投影，试判断点的投影，试判断点K K是否属于是否属于ABAB。本题有两种解题方法（本题有两种解题方法（1

19、1 从属性从属性 2 2 定比性）。定比性）。abkak akbk bk三、点与直线的相对位置三、点与直线的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影空间两个点，若它们在某个投影面上的投影重合，则称这两个点为该投影面的重影点。平行于投影面的直线，在该投影面上的投影反映线段实长。结论：水平投影前后，左右；第三节 直线的投影(1)具备三个要素：形体、投射线和投影面。三、点与直线的相对位置问题：已知，A、B两点的三面投影，求直线AB的三面投影。二、直线对投影面的相对位置四、两直线的相对位置投影面垂直线 铅垂线 H面 （/V面、/W面）按照投射线是否彼此平行，投影可分

20、为中心投影法和平行投影法两大类：与三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。正面投影上下，左右；空间两个点，若它们在某个投影面上的投影重合，则称这两个点为该投影面的重影点。正面投影上下，左右；第三节 直线的投影例：例：已知直线已知直线CDCD的投影，点的投影，点E E在在CDCD上，上，CEED=mnCEED=mn，试求点，试求点E E的投影。的投影。mnXOcdcdmnee三、点与直线的相对位置三、点与直线的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影 空间两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况空间两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。其。其中，平行

21、和相交属于同面直线，而交叉属于异面直线。中，平行和相交属于同面直线，而交叉属于异面直线。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影B DACADCBKABCDEFabcddcabbdcake(f)平行两直线平行两直线 相交两直线相交两直线 交叉两直线交叉两直线 平行两直线的投影特性为：空间相互平行的两直线，其同面平行两直线的投影特性为：空间相互平行的两直线，其同面投影必相互平行；反之，若两直线的同面投影分别平行，则这投影必相互平行；反之，若两直线的同面投影分别平行，则这两条直线在空间也彼此平行。两条直线在空间也彼此平行。四、两直

22、线的相对位置四、两直线的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影 例例 已知已知ABCDABCD，试补全，试补全ABAB、CDCD的两面投影。的两面投影。daabcbdcXO正面投影上下，左右；第三节 直线的投影正垂线 V面 （/H面、/W面）投影特性：直线的三面投影都倾斜于投影轴、且投影的长度小于直线的实长；二、点在三投影面体系中的投影三、点与直线的相对位置二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置侧面投影积聚为一点，其余两投影垂直于相应的投影轴，并反映直线的实长。第二节 点的投影平行于投影面的直线，在该投影面上的投影反映线段实长。已知点在空间直

23、角坐标系中的坐标为A（20，15，25），画出该点的三面投影。二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置本题有两种解题方法（1 从属性 2 定比性）。第二节 点的投影相交两直线的交点是两直线的共有点。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影 例例 判断两条侧平线判断两条侧平线ABAB、CDCD是否平行。是否平行。daabcbdcXOYwYHZabdc答：答：ABAB与与CDCD不平行不平行 相交两直线的交点是两直线的共有点。相交两直线的交点是两直线的共有点。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 第三节第三节第三节

24、第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影 相交两直线的投影特性为：相交两直线的同面投影均相交，相交两直线的投影特性为：相交两直线的同面投影均相交，且交点的投影符合点的投影性质。反之亦然。且交点的投影符合点的投影性质。反之亦然。acZWVHYXOabdcBKbdkkbcadkCDAdaabcbdcXOkkYwYHZcadbk 例例 试过试过E E点作直线，使该直线与点作直线，使该直线与ABAB、CDCD都相交。都相交。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影daabcbcdXOeek2k1k1k2 例例 判断直线判断直线

25、ABAB与与CDCD是否相交。是否相交。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影daabcbdcXZOYwYHXOdabcbcadbcda解法一解法一解法二解法二答：答：ABAB与与CDCD不相交不相交 如果两直线既不平行又不相交，即为交叉两直线。交叉两直如果两直线既不平行又不相交，即为交叉两直线。交叉两直线的投影特性为：既不满足相交两直线的投影特性，也不满足线的投影特性为：既不满足相交两直线的投影特性，也不满足平行两直线的投影特性。平行两直线的投影特性。四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 第三节第三节第三节第三节 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影daabcbdcXOXOacdbdbac注意：交叉两直线在某一投影面上的投影出现的交点，是分别注意：交叉两直线在某一投影面上的投影出现的交点，是分别位于两直线上的两个点对于该投影面的重影点。位于两直线上的两个点对于该投影面的重影点。1(2)1(2)1 12 22 21 11(2)1(2)33443(4)3(4)