第--章-回溯法优秀文档.ppt

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1、第第5章章 回溯法回溯法1回溯法回溯法有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往往要使用回溯法。回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。2问题的解空间问题的解空间问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x1,x2,xn)

2、的形式。显约束：对分量xi的取值限定。隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间3生成问题状态的基本方法生成问题状态的基本方法扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称做活结点死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把

3、C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法4回溯法的基本思想回溯法的基本思想(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。常用剪枝函数：用约束

4、函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；用限界函数剪去得不到最优解的子树。用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n)。而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n)或O(h(n)!)内存空间。5递归回溯递归回溯回溯法对解空间作深度优先搜索，因此，在一般情况下用递归方法实现回溯法。void backtrack(int t)if(tn)output(x);else for(int i=f(n,t);i0)if(f(n,t)=g(n,t)

5、for(int i=f(n,t);in)output(x);else for(int i=0;in)output(x);else for(int i=t;i n)/到达叶结点 更新最优解bestx,bestw;return;r-=wi;if(cw+wi bestw)xi=0;/搜索右子树 backtrack(i+1);r+=wi;10批处理作业调度批处理作业调度给定n个作业的集合J1,J2,Jn。每个作业必须先由机器1处理，然后由机器2处理。作业Ji需要机器j的处理时间为tji。对于一个确定的作业调度，设Fji是作业i在机器j上完成处理的时间。所有作业在机器2上完成处理的时间和称为该作业调度的

6、完成时间和。批处理作业调度问题要求对于给定的n个作业，制定最佳作业调度方案，使其完成时间和达到最小。tji机器1机器2作业121作业231作业323这3个作业的6种可能的调度方案是1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1；它们所相应的完成时间和分别是19，18，20，21，19，19。易见，最佳调度方案是1,3,2，其完成时间和为18。11批处理作业调度批处理作业调度解空间：排列树private static void backtrack(int i)if(i n)for(int j=1;j=n;j+)bestxj=xj;bestf=f;else for(int

7、j=i;j f1)?f2i-1:f1)+mxj2;f+=f2i;if(f n)compute();(bestc=Float.bestf=f;MyMath.backtrack(i+1);给定n个作业的集合J1,J2,Jn。用限界函数剪去得不到最优解的子树。符号三角形问题符号三角形问题+-+-+-+-+-+-+-+下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形。2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号。符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“-”的个数相同。13符号三角形问题符号三角形问题解向量：用n元

8、组x1:n表示符号三角形的第一行。可行性约束函数：当前符号三角形所包含的“+”个数与“-”个数均不超过n*(n+1)/4 无解的判断：n*(n+1)/2为奇数 private static void backtrack(int t)if(counthalf)|(t*(t-1)/2-counthalf)return;if(tn)sum+;else for(int i=0;i2;i+)p1t=i;count+=i;for(int j=2;j=t;j+)pjt-j+1=pj-1t-j+1pj-1t-j+2;count+=pjt-j+1;backtrack(t+1);for(int j=2;j=t;j

9、+)count-=pjt-j+1;count-=i;+-+-+-+-+-+-+-+复杂度分析复杂度分析计算可行性约束需要O(n)时间，在最坏情况下有 O(2n)个结点需要计算可行性约束，故解符号三角形问题的回溯算法所需的计算时间为 O(n2n)。14n后问题后问题在nn格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于在nn格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。1 2 3 4 5 6 7 812345678QQQQQQQQ15解向量：(x1,x2,xn)显约束：xi=1,2,n隐约束：1

10、)不同列：xi xj 2)不处于同一正、反对角线：|i-j|xi-xj|n后问题后问题 private static boolean place(int k)for(int j=1;jn)sum+;else for(int i=1;i=n;i+)xt=i;if(place(t)backtrack(t+1);160-1背包问题背包问题解空间：子集树可行性约束函数：上界函数：private static double bound(int i)/计算上界 double cleft=c-cw;/剩余容量 double bound=cp;/以物品单位重量价值递减序装入物品 while(i=n&wi=cl

11、eft)cleft-=wi;bound+=pi;i+;/装满背包 if(i n)/到达叶结点 for(int j=1;j=n;j+)bestxj=xj;bestn=cn;return;/检查顶点 i 与当前团的连接 boolean ok=true;for(int j=1;j bestn)/进入右子树 xi=0;backtrack(i+1);复杂度分析复杂度分析最大团问题的回溯算法backtrack所需的计算时间显然为O(n2n)。1245319进一步改进算法的建议进一步改进算法的建议选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上相

12、当于给回溯法加入了启发性。定义Si=vi,vi+1,.,vn，依次求出Sn,Sn-1,.,S1的解。从而得到一个更精确的上界函数，若cn+Sin)sum+;else for(int i=1;i=m;i+)xt=i;if(ok(t)backtrack(t+1);private static boolean ok(int k)/检查颜色可用性 for(int j=1;j=n;j+)if(akj&(xj=xk)return false;return true;复杂度分析复杂度分析图m可着色问题的解空间树中内结点个数是对于每一个内结点，在最坏情况下，用ok检查当前扩展结点的每一个儿子所相应的颜色可用性

13、需耗时O(mn)。因此，回溯法总的时间耗费是思考：图的思考：图的m着色问题与图的最着色问题与图的最大团问题有何关系，你能否利用大团问题有何关系，你能否利用这个关系改进最大团问题的上界这个关系改进最大团问题的上界？22旅行售货员问题旅行售货员问题解空间：排列树private static void backtrack(int i)if(i=n)if(axn-1xn Float.MAX_VALUE&axn1 Float.MAX_VALUE&(bestc=Float.MAX_VALUE|cc+axn-1xn+axn1bestc)for(int j=1;j=n;j+)bestxj=xj;bestc=c

14、c+axn-1xn+axn1;else for(int j=i;j=n;j+)/是否可进入xj子树?if(axi-1xj Float.MAX_VALUE&(bestc=Float.MAX_VALUE|cc+axi-1xjbestc)/搜索子树 MyMath.swap(x,i,j);cc+=axi-1xi;backtrack(i+1);cc-=axi-1xi;MyMath.swap(x,i,j);复杂度分析复杂度分析算法backtrack在最坏情况下可能需要更新当前最优解O(n-1)!)次，每次更新bestx需计算时间O(n)，从而整个算法的计算时间复杂性为O(n!)。23(1)首先将第一艘轮船

15、尽可能装满；更新最优解bestx,bestw;return;宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。if(constraint(t)&bound(t)backtrack(t+1);具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法static int n,/作业数因此，回溯法总的时间耗费是while(yrmaxint)r+;MAX_VALUE&axn1 n)if(xj=1&!aij)/i与j不相连for(int i=f(n,t);i n)/到达叶结点圆排列问题圆排列问题给定

16、n个大小不等的圆c1,c2,cn，现要将这n个圆排进一个矩形框中，且要求各圆与矩形框的底边相切。圆排列问题要求从n个圆的所有排列中找出有最小长度的圆排列。例如，当n=3，且所给的3个圆的半径分别为1，1，2时，这3个圆的最小长度的圆排列如图所示。其最小长度为24圆排列问题圆排列问题private static float center(int t)/计算当前所选择圆的圆心横坐标 float temp=0;for(int j=1;jtemp)temp=valuex;return temp;private static void compute()/计算当前圆排列的长度 float low=0,h

17、igh=0;for(int i=1;i=n;i+)if(xi-rihigh)high=xi+ri;if(high-lown)compute();else for(int j=t;j=n;j+)MyMath.swap(r,t,j);float centerx=center(t);if(centerx+rt+r1 n)/到达叶结点if(yj+kyj+xi-1*k)yj+xi-1*k=yj+k;如果UV且对任意u，vU有(u，v)E，则称U是G的空子图。可行性约束函数：当前符号三角形所包含的“+”个数与“-”个数均不超过n*(n+1)/4回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利

18、用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。给定n个作业的集合J1,J2,Jn。xt=centerx;因此，回溯法总的时间耗费是backtrack(i+1);void backtrack(int t)-+-sqrt(rt*rj);连续邮资问题连续邮资问题解向量：用n元组x1:n表示n种不同的邮票面值，并约定它们从小到大排列。x1=1是惟一的选择。可行性约束函数：已选定x1:i-1，最大连续邮资区间是1:r，接下来xi的可取值范围是xi-1+1:r+1。如何确定r的值？计算X1:i的最大连续邮资区间在本算法中被频繁使用到，因此势必

19、要找到一个高效的方法。考虑到直接递归的求解复杂度太高，我们不妨尝试计算用不超过m张面值为x1:i的邮票贴出邮资k所需的最少邮票数yk。通过yk可以很快推出r的值。事实上，yk可以通过递推在O(n)时间内解决：for(int j=0;j=xi-2*(m-1);j+)if(yjm)for(int k=1;k=m-yj;k+)if(yj+kyj+xi-1*k)yj+xi-1*k=yj+k;while(yrmaxint)r+;27回溯法效率分析回溯法效率分析通过前面具体实例的讨论容易看出，回溯算法的效率在很大程度上依赖于以下因素：(1)产生xk的时间；(2)满足显约束的xk值的个数；(3)计算约束函数

20、constraint的时间；(4)计算上界函数bound的时间；(5)满足约束函数和上界函数约束的所有xk的个数。好的约束函数能显著地减少所生成的结点数。但这样的约束函数往往计算量较大。因此，在选择约束函数时通常存在生成结点数与约束函数计算量之间的折衷。28重排原理重排原理对于许多问题而言，在搜索试探时选取xi的值顺序是任意的。在其他条件相当的前提下，让可取值最少的在其他条件相当的前提下，让可取值最少的xi优先优先。从图中关于同一问题的2棵不同解空间树，可以体会到这种策略的潜力。图(a)中，从第1层剪去1棵子树，则从所有应当考虑的3元组中一次消去12个3元组。对于图(b)，虽然同样从第1层剪去1棵子树，却只从应当考虑的3元组中消去8个3元组。前者的效果明显比后者好。(a)(b)29