(05)第5章--抽样与参数估计统计学课件.ppt

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1、5-1第第 5 章章 抽样与参数估计抽样与参数估计统计学5-2第第 5 章章 抽样与参数估计抽样与参数估计5.1 抽样与抽样分布抽样与抽样分布5.2 参数估计的基本方法参数估计的基本方法 5.3 总体均值总体均值的区间估计的区间估计5.4 总体比例的总体比例的区间估计区间估计5.5 样本容量的确定样本容量的确定5-3学习目标学习目标1.理解抽样方法与抽样分布理解抽样方法与抽样分布2.估计量与估计值的概念估计量与估计值的概念3.点估计与区间估计的区别点估计与区间估计的区别4.总体均值的区间估计方法总体均值的区间估计方法5.总体比例的区间估计方法总体比例的区间估计方法6.样本容量的确定方法样本容量

2、的确定方法5-4参数估计在统计方法中的地位参数估计在统计方法中的地位5-55-6统计推断的过程统计推断的过程样样本本总体总体样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量例如：样本均例如：样本均例如：样本均值、比例、方值、比例、方值、比例、方差差差总体均值、比总体均值、比总体均值、比总体均值、比例、方差等例、方差等例、方差等例、方差等5-7抽样方法抽样方法5-8抽样方法抽样方法5-95-10简单随机抽样简单随机抽样(simple random sampling)1.从从总总体体N N个个单单位位中中随随机机地地抽抽取取n n个个单单位位作作为为样样本本，每个单位入抽样本的概率是相

3、等的每个单位入抽样本的概率是相等的2.最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础3.特点特点n n简简单单、直直观观，在在抽抽样样框框完完整整时时，可可直直接接从从中中抽抽取取样样本本n n用样本统计量对目标量进行估计比较方便用样本统计量对目标量进行估计比较方便4.局限性局限性n n当当N N很大时，不易构造抽样框很大时，不易构造抽样框n n抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难n n没有利用其它辅助信息以提高估计的效率没有利用其它辅助信息以提高估计的效率5-11分层抽样分层抽样(stratified sampling)1

4、.将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本2.优点n n保保证证样样本本的的结结构构与与总总体体的的结结构构比比较较相相近近，从从而提高估计的精度而提高估计的精度n n组织实施调查方便组织实施调查方便n n既既可可以以对对总总体体参参数数进进行行估估计计，也也可可以以对对各各层层的目标量进行估计的目标量进行估计5-125-13系统抽样系统抽样(systematic sampling)1.将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其它样本单位n n先先从从数数字字1 1到到k k

5、之之间间随随机机抽抽取取一一个个数数字字r r作作为为初始单位，以后依次取初始单位，以后依次取r+kr+k，r+2kr+2k等单位等单位2.优点：操作简便，可提高估计的精度3.缺点：对估计量方差的估计比较困难5-145-151.在重复选取容量为在重复选取容量为n n的样本时，由每一个样本算的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布 2.是一种理论分布是一种理论分布3.随机变量是随机变量是 样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量n n样本均值样本均值,样本比例，样本方差等样本比例，样本方差等4.结果来自结果来自容量相同容量相同的的所

6、有所有可能样本可能样本5.提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据要依据 抽样分布抽样分布 (sampling distribution)5-16抽样分布抽样分布 (sampling distribution)总总体体计算样本统计计算样本统计计算样本统计计算样本统计计算样本统计计算样本统计量量量量量量例如：样本均例如：样本均例如：样本均值、比例、方值、比例、方值、比例、方差差差样样本本5-175-181.容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布2.一种理论概率分布3.

7、进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布5-19样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(例题分析例题分析)【例例例例】设设一一个个总总体体，含含有有4 4个个元元素素(个个体体)，即即总总体体单单位位数数N N=4 4。4 4 个个个个体体分分别别为为x x1 1=1=1、x x2 2=2=2、x x3 3=3=3 、x x4 4=4=4 。总总体的均值、方差及分布如下体的均值、方差及分布如下总体分布总体分布总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2 2.3.3均值和方差均值和方差均值和方差均值和方差5-20样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 (例题分析例

8、题分析)现现从从总总体体中中抽抽取取n n2 2的的简简单单随随机机样样本本，在在重重复复抽抽样条件下，共有样条件下，共有4 42 2=16=16个样本。所有样本的结果为个样本。所有样本的结果为3,43,43,33,33,23,23,13,13 32,42,42,32,32,22,22,12,12 24,44,44,34,34,24,24,14,14 41,41,44 41,31,33 32 21 11,21,21,11,11 1第二个观察值第二个观察值第二个观察值第二个观察值第一个第一个第一个第一个观察值观察值观察值观察值所有可能的所有可能的所有可能的所有可能的n n=2 =2 的样本（共的

9、样本（共的样本（共的样本（共1616个）个）个）个）5-21样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布 (例题分析例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.53.03.02.52.52.02.03 33.03.02.52.52.02.01.51.52 24.04.03.53.53.03.02.52.54 42.52.54 42.02.03 32 21 11.51.51.01.01 1第二个观察值第二个观察值第二个观察值第二个观察值第一个第一个第一个第一个观察值观察值观察值观察值1616个样本的均值（个样本的均值（个样本的均值（个样本的均值（x x）X X样本均值的抽样分

10、布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布1.01.00 0.1.1.2.2.3.3P P(X X)1.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.55-22样本均值的分布与总体分布的比较样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析例题分析)=2.5 2=1.25总体分布总体分布总体分布总体分布1 14 42 23 30 0.1.1.2.2.3.3抽样分布抽样分布抽样分布抽样分布P P(X X)1.01.00 0.1.1.2.2.3.31.51.53.03.04.04.03.53.52.02.02.52.5X X5-235-24中心极限定理中心极限定理(cen

11、tral limit theorem)当样本容量足够当样本容量足够大时大时(n n 30)30)，样本均值的抽样样本均值的抽样分布逐渐趋于正分布逐渐趋于正态分布态分布中中中中心心心心极极极极限限限限定定定定理理理理：设设从从均均值值为为，方方差差为为 2 2的的一一个个任任意意总总体体中中抽抽取取容容量量为为n n的的样样本本，当当n n充充分分大大时时，样样本本均均值值的的抽抽样分布近似服从均值为样分布近似服从均值为、方差为、方差为 2 2/n n的正态分布的正态分布一个任意分一个任意分布的总体布的总体X X5-25抽样分布与总体分布的关系抽样分布与总体分布的关系总体分布总体分布总体分布总体

12、分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布大样本大样本小样本小样本正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布5-261.样本均值的数学期望2.样本均值的方差n n重复抽样重复抽样n n不重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布(数学期望与方差数学期望与方差)5-275-28样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布5-291.总体总体(或样本或样本)中具有某种属性的单位与全部单中具有某种属性的单位与全部单位总数之比位总数之比n n不同性别的人与全部人数之比不同性别的人与全部人数之比n n合格品合格品(或不合格品或不合格品)与全部产品总数之比与全部产品总数之比2.总体比例可表示为

13、总体比例可表示为3.样本比例可表示为样本比例可表示为4.比例比例(proportion)5-305-311.样本比例的数学期望2.样本比例的方差n n重复抽样重复抽样n n不重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布(数学期望与方差数学期望与方差)5-325.2 参数估计的基本方法参数估计的基本方法一一.估计量与估计值估计量与估计值二二.点估计与区间估计点估计与区间估计5-33估计量与估计值估计量与估计值5-341.估计量：用于估计总体参数的随机变量n n如样本均值，样本比例、样本方差等如样本均值，样本比例、样本方差等n n例如例如:样本均值就是总体均值样本均值就是总体均值 的一个

14、估计量的一个估计量2.参数用 表示，估计量用 表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值n n如果样本均值如果样本均值 x x =80=80，则则8080就是就是 的估计值的估计值估计量与估计值估计量与估计值(estimator&estimated value)5-35点估计与区间估计点估计与区间估计5-36参数估计的方法参数估计的方法矩估计法矩估计法矩估计法矩估计法最小二乘法最小二乘法最小二乘法最小二乘法最大似然法最大似然法最大似然法最大似然法顺序统计量法顺序统计量法顺序统计量法顺序统计量法估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计5-37点估计点估计 (point es

15、timate)1.用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接例如：用样本均值直接作为作为总体均值的估计总体均值的估计例例如如：用用两两个个样样本本均均值值之之差差直直接接作作为为总总体体均均值之差的估计值之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息3.点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等5-38区间估计区间估计 (interval estimate)1.1.在在点点估估计计的的基基础础上上，给给出出总总体体参参数数估估计计的的一一个个区区间间范范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的2.2.根根据据样

16、样本本统统计计量量的的抽抽样样分分布布能能够够对对样样本本统统计计量量与与总总体体参数的接近程度给出一个概率度量参数的接近程度给出一个概率度量n n比如，某班级平均分数在比如，某班级平均分数在75758585之间，置信水平是之间，置信水平是95%95%样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量 (点估计点估计点估计点估计)置信区间置信区间置信区间置信区间置信下限置信下限置信下限置信下限置信上限置信上限置信上限置信上限5-39区间估计的图示区间估计的图示 X95%95%的样本的样本的样本的样本 -1.96-1.96 x x +1.96+1.96 x x99%99%的样本的样本的样本的样本 -2.5

17、8-2.58 x x +2.58+2.58x x90%90%的样本的样本的样本的样本 -1.65-1.65 x x +1.65+1.65 x x5-401.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 2.表示为(1-n n 为是总体参数为是总体参数未在未在区间内的比例区间内的比例 3.常用的置信水平值有 99%,95%,90%n n相应的相应的相应的相应的 为为0.010.01，0.050.05，0.100.10置信水平置信水平 5-411.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间为置信区间2.统计学家

18、在某种程度上确信这个区间会包含真统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间正的总体参数，所以给它取名为置信区间 3.用用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值否包含总体参数的真值n n我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个含参数真值的区间中的一个置信区间置信区间(confi

19、dence interval)5-42置信区间与置信水平置信区间与置信水平 均值的抽样分布均值的抽样分布均值的抽样分布均值的抽样分布(1-(1-)%)%区间包含了区间包含了区间包含了区间包含了%的区间未包含的区间未包含的区间未包含的区间未包含 1-1-/2 2 /2 25-43影响区间宽度的因素影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，用来测度2.样本容量，3.3.置信水平(1-)，影响 z 的大小5-445.3 总体均值的区间估计总体均值的区间估计一一.正态总体且方差已知，或正态总体且方差已知，或 正态总体，方正态总体，方差未知、大样本差未知、大样本二二.正态总体，方差未知、小样本正态总体，

20、方差未知、小样本5-45一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数总体参数总体参数总体参数符号表示符号表示符号表示符号表示样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量均均值值比例比例方差方差5-46总体均值的区间估计总体均值的区间估计 (正态总体、正态总体、已知，或非正态总体、大样本已知，或非正态总体、大样本)5-47总体均值的区间估计总体均值的区间估计(大样本大样本)1.假定条件n n总体服从正态分布总体服从正态分布,且方差且方差()未知未知n n如果不是正态分布，可由正态分布来近似如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n n 30)30)2.总体均值 在1-置信水平下的置信区间为重

21、复抽样重复抽样重复抽样重复抽样不重复抽样不重复抽样不重复抽样不重复抽样5-48总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)【例例例例】某某种种零零件件的的长长度度服服从从正正态态分分布布，从从某某天天生生产产一一批批零零件件中中按按重重复复抽抽样样方方法法随随机机抽抽取取9 9个个，测测得得其其平平均均长长度度为为21.4cm21.4cm。已已知知总总体体标标准准差差为为=0.15=0.15cmcm。试试估估计计该该批批零零件件平平均均长长度度的的置信区间，置信水平为置信区间，置信水平为95%95%解：解：解：解：已知：已知：=0.150.15cmcm，n=9n=9，x x=21.

22、4=21.4，1-1-=95%=95%即：即：21.421.4 0.098=0.098=（21.30221.302，21.49821.498），该批零件平），该批零件平均长度的置信区间为均长度的置信区间为21.302cm21.498cm21.302cm21.498cm之间之间 5-49总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)解解解解：已已知知 N N(，10102 2)，n n=25,=25,1-1-=95%95%，z z/2/2=1.96=1.96。根据样本数据计算得：根据样本数据计算得：总体均值总体均值 在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为该食品平均重量

23、的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44101.44克克109.28109.28克之克之5-50修改至此修改至此5-51总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)【例例例例】一一家家保保险险公公司司收收集集到到由由3636个个投投保保个个人人组组成成的的随随机机样样本本，得得到到每每个个投投保保人人的的年年龄龄(周周岁岁)数数据据如如下下表。试建立投保人年龄表。试建立投保人年龄90%90%的置信区间的置信区间 3636个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 2323353539392727363644443636424246464343

24、313133334242535345455454474724243434282839393636444440403939494938383434484850503434393945454848454532325-52总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)解解解解：已已知知n n=36,=36,1-1-=90%90%，z z/2/2=1.645=1.645。根根据据样样本本数数据计算得：据计算得：，总体均值总体均值 在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.3737.37岁岁41.6341.63岁岁5-53

25、总体均值的区间估计总体均值的区间估计 (正态总体、正态总体、未知、小样本未知、小样本)5-54总体均值的区间估计总体均值的区间估计 (小样本小样本)1.假定条件n n总体服从正态分布总体服从正态分布,且方差且方差()未知未知n n小样本小样本(n n 30)30)2.使用 t 分布统计量3.总体均值 在1-置信水平下的置信区间为5-55t 分布分布 t t分分布布是是类类似似正正态态分分布布的的一一种种对对称称分分布布，它它通通常常要要比比正正态态分分布布平平坦坦和和分分散散。一一个个特特定定的的t t分分布布依依赖赖于于称称之之为为自自由由度度的的参参数数。随随着着自自由由度度的的增增大大，

26、t t分分布布也也逐逐渐渐趋于正态分布趋于正态分布 X X Xt t 分布与标准正态分布的比较分布与标准正态分布的比较t t 分布分布标准正态分布标准正态分布t t不同自由度的不同自由度的t t分布分布标准正态分布标准正态分布t t(dfdf=13)=13)t t(dfdf=5)=5)Z Z5-56总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)【例例例例】已已知知某某种种灯灯泡泡的的寿寿命命服服从从正正态态分分布布，现现从从一一批批灯灯泡泡中中随随机机抽抽取取1616只只，测测得得其其使使用用寿寿命命(小小时时)如如下。建立该批灯泡平均使用寿命下。建立该批灯泡平均使用寿命95%95%

27、的置信区间的置信区间1616灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 151015101520152014801480150015001450145014801480151015101520152014801480149014901530153015101510146014601460146014701470147014705-57总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)解解解解：已已 知知 N N(，2 2)，n n=16,=16,1-1-=95%95%，t t/2/2=2.131=2.131。根据样本数据计算得：。根据样本数据计算得：，总体均

28、值总体均值 在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为该该种种灯灯泡泡平平均均使使用用寿寿命命的的置置信信区区间间为为1476.81476.8小小时时1503.21503.2小时小时5-585.4 总体比例的区间估计总体比例的区间估计一一.大样本重复抽样时的估计方法大样本重复抽样时的估计方法二二.大样本不重复抽样时的估计方法大样本不重复抽样时的估计方法5-59总体比例的区间估计总体比例的区间估计5-60总体比例的区间估计总体比例的区间估计1.1.假定条件假定条件n n总体服从二项分布总体服从二项分布n n可以由正态分布来近似可以由正态分布来近似2.2.使用正态分布统计量使用正态分

29、布统计量3.3.3.总体比例总体比例总体比例 在在在1-1-1-置信水平下置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为的置信区间为5-61总体比例的区间估计总体比例的区间估计(例题分析例题分析)【例例例例】某某城城市市想想要要估估计计下下岗岗职职工工中中女女性性所所占占的的比比例例，随随机机抽抽取取了了100100个个下下岗岗职职工工，其其中中6565人人为为女女性性职职工工。试试以以95%95%的的置置信信水水平平估估计计该该城城市市下下岗岗职职工工中中女女性性比比例例的的置置信区间信区间解解解解：已已知知 n n=100=100，p p65%65%,1 1-=95%95%，z z/2/2=

30、1.96=1.96该该城城市市下下岗岗职职工工中中女女性性比比例例的的置置信信区间为区间为55.65%74.35%55.65%74.35%5-625.5 样本容量的确定样本容量的确定一一.估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定二二.估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定三三.估计两个总体均值之差时样本容量的确定估计两个总体均值之差时样本容量的确定四四.估计两个总体比例之差时样本容量的确定估计两个总体比例之差时样本容量的确定5-63估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定5-641.估计总体均值时样本容量n为2.样本容量n与总体方差2、边际误差

31、E、可靠性系数Z或t之间的关系为 与总体方差成正比与总体方差成正比 与边际误差成反比与边际误差成反比 与可靠性系数成正比与可靠性系数成正比估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 其中：其中：5-65估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析例题分析)【例例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？5-66估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析例题分析)解解解解:已知已知 =500=500，E E=200,=200,1-1

32、-=95%=95%，z z/2/2=1.96=1.96 1 12 2/2 22 2置信度为置信度为90%90%的置信区间为的置信区间为即应抽取即应抽取9797人作为样本人作为样本 5-67估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定5-681.根据比例区间估计公式可得样本容量n为估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定 2.E的取值一般小于0.13.未知时，可取最大值0.5其中：其中：其中：5-69估计总体比例时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定 (例题分析例题分析)【例例例例】根根据据以以往往的的生生产产统统计计，某某种种产产品品的的合合格格率率约约为为9

33、0%90%，现现要要求求 边边 际际 误误 差差 为为5%5%，在在 求求 95%95%的的置置信信区区间间时时，应应抽抽取取多多少少个个产产品作为样本？品作为样本？解解解解:已已 知知=90%=90%，=0.05=0.05，Z Z/2/2=1.96=1.96，E E=5%=5%应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为 应抽取应抽取139139个产品作为样本个产品作为样本5-70本章小结本章小结1.抽样与抽样分布抽样与抽样分布2.参数估计的基本问题参数估计的基本问题3.一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计4.两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计5.样本容量的确定样本容量的确定结结 束束