均值不等式 高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册.pptx

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1、第二章不等式2.2.4 均值不等式情景与问题2002年国际数学家大会会标ADBCEFGHbaACE(FGH)ab情景与问题即：2+2 2即：2+2=2新 知 探 索思考：思考：你能给出对任意实数a,b，不等式都成立的证明吗？证明：证明：（作差法）一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立.重要不等式：2+2 2当 时当=时所以2+2 2.算数平均值几何平均值问题：问题：1.算数平均值是两点的中点，那么几何平均值有什么几何意义？2.算数平均值与几何平均值存不存在特殊的大小关系呢？情景与问题情景与问题1.设一个矩形的长和宽分别为a和b：求与该矩形周长相等的正方形的边长？求与该矩形

2、面积相等的正方形的边长？a1246810b1468101211情景与问题2.填写下表观察表中几组算数平均值与几何平均值的大小关系？算数平均值等于几何平均值或算数平均值大于几何平均值新 知 探 索猜想：猜想：两个正实数的算术平均值总是大于或等于其几何平均值.新 知 探 索试一试：试一试：证明均值不等式.新 知 探 索思考：思考：能否通过重要不等式证明均值不等式？新 知 探 索均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a,b还可以为0）.思考：思考：均值不等式的几何意义？几何意义一：所有周长一定的矩形当中，正方形的面积最大.新 知 探 索ABCEabODOD是半径，DC是半弦几何意义二：半径长不小

3、于半弦长试找出图中哪条线段表示a,b的算数平均值？哪条线段表示a,b的几何平均值？它们分别有什么几何意义？典 例 精 析典 例 精 析典 例 精 析分析：分析：在（1）中，矩形的长与宽的积是常数在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数3.（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少 时，矩形的面积最大？最大面积是多少？典 例 精 析当堂固双基达标3.（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？本课结束