材料力学第四章-平面弯曲2课件.ppt

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1、材材 料料 力力 学学Thursday,May 25,2023第四章第四章平平 面面 弯弯 曲曲1第四章第四章 平面弯曲平面弯曲本章内容本章内容:1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念2 梁的简化梁的简化3 平面弯曲时梁的内力平面弯曲时梁的内力4 剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图剪力方程、弯矩方程、剪力图、弯矩图5 弯矩、剪力和载荷集度间的关系弯矩、剪力和载荷集度间的关系26 平面弯曲时梁横截面的正应力平面弯曲时梁横截面的正应力7 截面的惯性矩及抗弯截面模量截面的惯性矩及抗弯截面模量8 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件9 提高梁的弯曲强度的措施提高梁的弯曲强度的措施34.1 平面弯曲平面弯曲的

2、概念的概念工程问题中，有很多杆件是受弯曲的。工程问题中，有很多杆件是受弯曲的。F1F1F2F244.2梁的简化梁的简化1 支座的几种基本形式支座的几种基本形式u 固定铰支座固定铰支座桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。61 支座的几种基本形式支座的几种基本形式u 固定铰支座固定铰支座u 可动铰支座可动铰支座1个约束，2个 自 由 度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等7u 固定端约束固定端约束FAxFAy2 载荷的简化载荷的简化u 集中力集中力u 集中力偶集中力偶u 分布载荷分布载荷游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。83 静定梁的基本形式静定梁的基本形式主要研究主要研究等直梁等直梁。u 简支梁

3、简支梁u 外伸梁外伸梁u 悬臂梁悬臂梁104.3 平面弯曲时梁的内力平面弯曲时梁的内力下面求解梁弯曲时的内力。下面求解梁弯曲时的内力。u 例子例子已知已知：q=20 kN/m,尺寸尺寸如图。如图。求求：D截面处的内力。截面处的内力。x求内力的方法求内力的方法截面法。截面法。解解：建立建立x坐标如图。坐标如图。(1)求支座反力求支座反力RAyRAxRC取整体，受力如图。取整体，受力如图。11(2)求求D截面内力截面内力从从D处截开，取左段。处截开，取左段。横截面上的内力如图。横截面上的内力如图。xRAQDMDNRAx13l 剪力剪力和和弯矩弯矩的正负号规定的正负号规定QQu 剪力剪力使其作用的一

4、使其作用的一段梁产生顺时段梁产生顺时针转动的剪力针转动的剪力为正。为正。u 弯矩弯矩使梁产生上凹使梁产生上凹(下凸下凸)变形的变形的弯矩为正。弯矩为正。15ACDB试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩ACCDBBD16例例 2已知已知：简支梁如图。：简支梁如图。解解：求求：剪力方程，弯矩：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和方程，并作剪力图和弯矩图。弯矩图。(1)求支反力求支反力需分段求解。需分段求解。(2)求求剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程分为两段：分为两段：AC和和CB段。段。u AC段段 取取x截面，左段受力如图。截面，左段受力如图。18需分段求解。需分段求解。(2)求求剪力方程和弯矩方

5、程剪力方程和弯矩方程分为两段：分为两段：AC和和CB段。段。u AC段段取取x截面，左段受力如图。截面，左段受力如图。QM由平衡方程，可得由平衡方程，可得:u CB段段x取取x截面，截面，19由平衡方程，可得由平衡方程，可得:u CB段段x取取x截面，截面，xQM左段受力如图。左段受力如图。(3)画画剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图20(3)画画剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图21例例 3已知已知：悬臂梁如图。：悬臂梁如图。解解：求求：剪力方程，弯：剪力方程，弯矩方程，并作剪力矩方程，并作剪力图和弯矩图。图和弯矩图。(1)求支反力求支反力为使计算简单，为使计算简单，(2)求求剪力方程和弯矩方程剪力方程

6、和弯矩方程取取x截面，右段受力如图。截面，右段受力如图。22(3)画画剪力图和剪力图和弯矩图弯矩图24l 作剪力图和弯矩图的作剪力图和弯矩图的步骤步骤(1)求支座反力；求支座反力；(2)建立坐标系建立坐标系(一般以梁的左端点为原点一般以梁的左端点为原点)；(3)分段分段 在在载荷变化处载荷变化处分段；分段；(4)列出每一段的剪力方程和弯矩方程；列出每一段的剪力方程和弯矩方程；(5)根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图。弯矩图。25例例 4 已知已知：外伸梁如图。：外伸梁如图。解解：求求：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图和弯矩图：剪力方程，弯矩方程，并作剪力图

7、和弯矩图.(1)求支反力求支反力26u CA段段取取x截面，截面，左左段段受力如图。受力如图。由平衡方程，由平衡方程，可得可得:xu AD段段取取x截面，截面，左段左段受力如图。受力如图。由平衡方程，可得由平衡方程，可得:28xu AD段段取取x截面，截面，左段左段受力如图。受力如图。由平衡方程，可得由平衡方程，可得:u DB段段取取x截面，右段受力如图。截面，右段受力如图。29(3)画画剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图END314.5 弯矩、剪力和载荷集度间的关系弯矩、剪力和载荷集度间的关系对图示的直梁对图示的直梁,考察考察dx 微段的微段的受力与平衡。受力与平衡。32考察考察dx微段的受力与微

8、段的受力与平衡平衡C33C略去高阶微量略去高阶微量还可有：还可有：34l q(x)、Q(x)和和M(x)间的间的微分关系微分关系上次例上次例 3l 由由微分关系微分关系可得以下可得以下结论结论35l 由由微分关系微分关系可得以下可得以下结论结论(1)若若q(x)=0上次例上次例 2(书例书例4.2)Q(x)=常数，常数，剪力图为剪力图为水平线水平线；M(x)为一次函数，为一次函数，弯矩图为弯矩图为斜直线斜直线。(2)若若q(x)=常数常数Q(x)为一次函数，为一次函数，剪力图为剪力图为斜直线斜直线；M(x)为二次函数，为二次函数，弯矩图为弯矩图为抛物线抛物线。36上次例上次例 3(2)若若q(

9、x)=常数常数Q(x)为一次函数，为一次函数，剪力图为剪力图为斜直线斜直线；M(x)为二次函数，为二次函数，弯矩图为弯矩图为抛物线抛物线。当当q(x)0(向上向上)时时,抛物线抛物线是是下凸下凸的；的；当当q(x)5 的梁称为的梁称为细长梁细长梁。69l 最大正应力最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的。横力弯曲时，弯矩是变化的。引入符号：引入符号：则有：则有：抗弯截面系数抗弯截面系数l 比较比较 拉压拉压:扭转扭转:70l 两种常用截面的抗弯截面系数两种常用截面的抗弯截面系数u 矩形截面矩形截面u 圆形截面圆形截面71长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm

10、、l2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。（压）72试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。200100竖放横放73拉压正应力拉压正应力扭转切应力扭转切应力弯曲正应力弯曲正应力应力的计算通常用要到构件应力的计算通常用要到构件 截面的几何参数截面的几何参数，例如：，例如：4.7 截面的几何性质截面的几何性质741 形心位置形心位置2 2 惯性矩和平行移轴公式惯性矩和平行移轴公式4.7 截面的几何性质截面的几何性质75对称图形形心的位置对称图形形心的位置有一个对称轴：有一个对称轴：形心形心C位于该轴上位于该轴上yCz76 有两个对称轴：有两个对称轴：两个对

11、称轴的交点就两个对称轴的交点就是形心是形心C的位置的位置zyC77Czy对某点对称（中心对称）对某点对称（中心对称）形心形心C位于对称中心位于对称中心78一一、形心：、形心：(等厚均质板的质心与形心重合。)dAxyyx等厚均质质心：累加式形心：79用组合法求物体的形心用组合法求物体的形心组合物体由简单几何图形的物体组合而成，而这些物体组合物体由简单几何图形的物体组合而成，而这些物体的形心是已知的，利用形心坐标公式即可求出组合形物体的的形心是已知的，利用形心坐标公式即可求出组合形物体的形心。形心。若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的形心，可若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的形心，可应用

12、分割法，只是切去部分的面积（或体积）应取负值。应用分割法，只是切去部分的面积（或体积）应取负值。（1 1）分割法）分割法（2）负面积法（负体积法）负面积法（负体积法）80图示为图示为Z形钢的截面形钢的截面,图中尺寸单位为图中尺寸单位为cm。求。求Z形截面的形截面的形形心位置。心位置。将将图图形截面分割为三部分，形截面分割为三部分，每部分都是矩形。设坐标每部分都是矩形。设坐标Oxy，它们的面积和坐标分别为：它们的面积和坐标分别为：解解解解:A1=1030=300（cm2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010

13、=300（cm2）；x3=15（cm），y3=5（cm）81A1=1030=300（cm2）；x1=-15（cm），y1=45（cm）A2=4010=400（cm2）；x2=5（cm），y2=30（cm）A3=3010=300（cm2）；x3=15（cm），y3=5（cm）82图形对图形对图形对图形对 y y 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩图形对图形对图形对图形对 z z轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩z zy yO Od dA Ay yz zr rA A为计算弯曲正应力与弯曲变形，必须知道为计算弯曲正应力与弯曲变形，必须知道截面的惯性矩截面的惯性矩2 惯性矩和平行移轴公式惯

14、性矩和平行移轴公式83一、简单截面的惯性矩一、简单截面的惯性矩1 矩形截面的惯性矩Iz b/2b/2 b/2b/2C Cy ydydyz zy yh/2h/2根据惯性矩定义有：842 圆形截面的惯性矩Iz dzyyzc同理，空心圆截面对中性轴的惯性矩为式中D为空心圆截面的外径，为内、外径的比值85二、二、组合公式组合公式 将组合截面A划分为n个简单图形，设每个简单图形面积分别为A1、A2、An。根据惯性矩定义及积分的概念，组合截面A对某一轴的惯性矩等于每个简单图形对同一轴的惯性矩之和，即：惯性矩的组合公式 86 以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyC三、平行轴

15、定理三、平行轴定理87图所示为图所示为T T字形截面，求截面对形心轴字形截面，求截面对形心轴zCzC的惯性矩的惯性矩IzIz。20204060COyyCZZC解：（解：（1 1）确定界面形心）确定界面形心C C的位置的位置建建 立立 坐坐 标标 系系 Oyz,Oyz,将将 截截 面面 分分 为为 两两 个个 矩矩 形形、，其面积及各自的形心纵坐标分别为：其面积及各自的形心纵坐标分别为：A A1 1602060201200mm1200mm2 2y yC1C120/220/21010mmmmA A2 2=4020=4020800 mm800 mm2 2y yC2C240/240/2202040mm

16、40mm由形心计算公式，组合截面形心由形心计算公式，组合截面形心C C的纵坐标为的纵坐标为8820204060COyyCZZC（2 2）求截面对形心轴）求截面对形心轴z zC C的惯性矩的惯性矩I Iz z根据组合根据组合公式有：公式有：由平移由平移轴轴公式有：公式有：故有：故有：891.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑3.变截面梁要综合考虑 与4.8 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件MIZ90长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度=215MPa。kN

17、kNm查表N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm391已知已知：T形截面形截面铸铸铁铁梁梁，t=30 MPa，c=160 MPa。Iz=763cm4,且且|y1|=52mm。解解：求求：校核梁的强度。校核梁的强度。(1)求弯矩图求弯矩图u 支反力支反力u 作出弯矩图作出弯矩图92(1)求弯矩图求弯矩图u 支反力支反力u 作出弯矩图作出弯矩图最大正弯矩为最大正弯矩为:最大负弯矩为最大负弯矩为:(2)确定危确定危险截面险截面u B截面截面u C截面截面93(2)确定危确定危险截面险截面u B截面截面u C截面截面最大正弯矩为最大正弯矩为:最大负弯矩为最大负弯矩为:(3)强度校核强度校核u B截面

18、截面M94(3)强度校核强度校核u B截面截面Mu C截面截面显然，显然，2c 1cMl 结论结论 满足强度要求。满足强度要求。95梁的梁的强度条件强度条件l 强度条件强度条件弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为：弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为：正应力最大处，切应力为零，是正应力最大处，切应力为零，是单向拉压单向拉压状态；状态；切应力最大处，正应力为零，是切应力最大处，正应力为零，是纯剪切纯剪切状态。状态。96弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力强度为：弯曲正应力强度为：1 减小最大弯矩减小最大弯矩从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大从

19、上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩弯矩Mmax和提高抗弯截面系数和提高抗弯截面系数W。(1)合理布置支座的位置合理布置支座的位置4.9 提高梁的弯曲强度的措施提高梁的弯曲强度的措施97中国古代建筑的斗拱结构（沈阳故宫）中国古代建筑的斗拱结构（沈阳故宫）问题1：从中国古建筑的斗拱结构，你悟出了哪些力学原理？6.5 梁的合理强度设计梁的合理强度设计98问题问题2：在成都：在成都132厂厂11K车间里，技术员和工车间里，技术员和工人正面临着一个问题，如人正面临着一个问题，如何用现有的起吊重量只有何用现有的起吊重量只有5T的吊车吊起的吊车吊起10T的重物的重物？经过大家的认真思考和？经过大家

20、的认真思考和努力，改进了装置，结果努力，改进了装置，结果就吊起了就吊起了10T的重物。的重物。请请同学们想想他们是如何解同学们想想他们是如何解决问题的。决问题的。99问题问题3：汽车与火车钢板弹簧设计中的力学问题。：汽车与火车钢板弹簧设计中的力学问题。100引言：梁合理强度设计的理论依据与设计思路合理强度设计基本思路合理强度设计基本思路增大Wz、Iz与降低M101让材料远离中性轴：工字梁、让材料远离中性轴：工字梁、T形梁、槽形梁、箱形梁等形梁、槽形梁、箱形梁等一、梁的合理截面形状增大增大W、Iz措施：措施：为防止切应力破坏，腹板也不能太薄为防止切应力破坏，腹板也不能太薄102在截面积在截面积A

21、相同的条件下，提高抗弯截面系数。相同的条件下，提高抗弯截面系数。u 矩形截面梁的放置矩形截面梁的放置103u 几种常用截面的比较几种常用截面的比较可看出：材料远离中性轴的截面可看出：材料远离中性轴的截面(环形、槽形、环形、槽形、工字形等工字形等)比较经济合理。比较经济合理。104u 根据根据材料特性材料特性选择合理截面选择合理截面F 抗拉和抗压强度抗拉和抗压强度相等相等的材料的材料可采用关于中性轴上下对称的截面，如：可采用关于中性轴上下对称的截面，如：矩形、工字形、圆形等。矩形、工字形、圆形等。F 抗拉和抗压强度抗拉和抗压强度不相等不相等的材料的材料可采用中性轴偏于受拉一侧的截面，如：可采用中

22、性轴偏于受拉一侧的截面，如：105答答:位置位置1 1合理。合理。应用例：应用例：从拉压强度考虑从拉压强度考虑,图示铸铁工字梁截面图示铸铁工字梁截面,跨跨中腹板钻一个孔中腹板钻一个孔,哪一个是哪一个是合理位置合理位置?问题分析：问题分析：因为铸铁抗压不抗因为铸铁抗压不抗拉，合理的位置是使最大拉应拉，合理的位置是使最大拉应力减小，最大压应力可增加。力减小，最大压应力可增加。106由由Iz与与Wz的区别看强度与刚度设计的区别看强度与刚度设计的不同的不同去掉阴影部分可提高强去掉阴影部分可提高强度，不能提高刚度度，不能提高刚度107二、变截面梁与等强度梁（与载荷分布匹配的合理截面形状）（与载荷分布匹配

23、的合理截面形状）弯曲等强条件弯曲等强条件等强度梁等强度梁各截面具有同样强度的梁各截面具有同样强度的梁剪切等强条件剪切等强条件108讨论钢板弹簧设计中讨论钢板弹簧设计中的力学问题。的力学问题。变宽度等强梁不方变宽度等强梁不方便工程应用，切成便工程应用，切成条后沿高度叠放条后沿高度叠放钢板弹簧受力的力学钢板弹簧受力的力学模型：模型：109叠板弹簧叠板弹簧110三、梁的合理受力三、梁的合理受力（降低弯矩（降低弯矩M）a=?F 最大最大.QQ 合理安排约束合理安排约束111u 工程例子工程例子112QQ 合理安排加载方式合理安排加载方式尽量分散载荷尽量分散载荷113在成都在成都132132厂厂11K1

24、1K车间里，技术员和工人正面临着一个问题，车间里，技术员和工人正面临着一个问题，如何用现有的起吊重量只有如何用现有的起吊重量只有5T5T的吊车吊起的吊车吊起10T10T的重物？经过的重物？经过大家的认真思考和努力，改进了装置，结果就吊起了大家的认真思考和努力，改进了装置，结果就吊起了10T10T的的重物。重物。请同学们想想他们是如何解决问题的。请同学们想想他们是如何解决问题的。114例例2 2：中中国国古古建建筑筑的的斗斗拱拱结结构构分分析析115中中国国古古建建筑筑的的斗斗拱拱结结构构分分析析116QQ 加配重加配重趣味小问题：趣味小问题：两人带了一块长度超两人带了一块长度超过沟宽的板，但一人在过沟宽的板，但一人在沟中点时的弯矩稍微超沟中点时的弯矩稍微超过板强度，这两人能想过板强度，这两人能想出办法过沟吗？出办法过沟吗？办法：一人作配重办法：一人作配重117 配重降低最大弯矩作用分析配重降低最大弯矩作用分析laaFPPMFl/4+MFl/4-PaPaPa+-laFaMPaPa-118