(2.2.1)--7.2.1空间曲面及其方程.ppt

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1、高等数学(2)(2)1 7.2 曲面及其方程曲面及其方程曲面方程的概念二次曲面2平面及其方程3定义定义1 1如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系有下述关系:(1)则把方程则把方程 F(x,y,z)=0(2)在曲面在曲面 S 上任意点的坐标上任意点的坐标不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标上的点的坐标都不满足此方程都不满足此方程都满足此方程都满足此方程定义定义2 绕该平面内一条绕该平面内一条定直线定直线旋转旋转 一周一周例如例如:一条一条平面曲线平面曲线例例1 设设yOz 面上曲线面上曲线C：解：解：则有则有所以所以所求旋转曲面的方程为所求旋转曲面的方程为求曲线求曲

2、线 C 绕绕 z 轴轴旋转一周所得到的旋转曲面方程旋转一周所得到的旋转曲面方程.设旋转曲面上任一点设旋转曲面上任一点定义定义3 3直线直线 l 沿定曲线沿定曲线 C 平行移动形成的轨迹平行移动形成的轨迹叫做叫做柱面柱面.C 叫做叫做准线准线,l 叫做叫做母线母线.例例2求以曲线求以曲线C为为准线准线,母线平行于母线平行于z 轴的轴的柱面柱面方程方程.解：解：设设为柱面上任意一点为柱面上任意一点,在在xOy面上的投影点面上的投影点必在曲线必在曲线 C 上上,设设xOy面内的一曲线面内的一曲线为为准线准线,母线平行于母线平行于z 轴的轴的柱面方程柱面方程为为所以以曲线所以以曲线一般地一般地,在空间

3、坐标系下在空间坐标系下平行于平行于 x 轴轴;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴;xOy 面上的曲线面上的曲线 l1:yOz 面上的曲线面上的曲线 l2:xOz 面上的曲线面上的曲线 l3:关于关于x,y,z的的 三元二次方程三元二次方程 如如:注注:三元一次方程三元一次方程 表示的曲面表示的曲面,定义定义4椭球面、球面、抛物面、双曲面、锥面等椭球面、球面、抛物面、双曲面、锥面等.1.椭球面椭球面椭圆抛物面椭圆抛物面2.抛物面抛物面旋转抛物面旋转抛物面3.椭圆锥面椭圆锥面4.双曲面双曲面双叶双曲面双叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面椭圆柱面椭圆柱面抛物柱面抛物柱面双曲柱面双曲柱面5.几种

4、柱面几种柱面圆柱面圆柱面空间空间曲面曲面三元方程三元方程v 球面球面v 旋转曲面旋转曲面如曲线如曲线绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:v 柱面柱面如曲面如曲面表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.准线：准线：xOy 面上的曲线面上的曲线l1:Thanks!高等数学(2)(2)教 师：曹海军1 7.2 曲面及其方程曲面及其方程曲面方程的概念二次曲面2平面及其方程3与已知平面垂直的与已知平面垂直的非零向量非零向量 法向量不唯一法向量不唯一 法向量彼此平行法向量彼此平行 法向量垂直于平面内的任一向量法向量垂直于平面内的任一向量n.平面的法线向量平面的法线向量:设平面过定点设平面过定点法线

5、向量法线向量则则所以所以平面的点法式方程平面的点法式方程在平面上任取在平面上任取即即建立平面建立平面 的方程的方程.三个点的平面方程三个点的平面方程.解解:例例1 求过求过所以取法线向量所以取法线向量则平面方程为则平面方程为即即两式相减两式相减,得得 任取一组满足上述方程的数任取一组满足上述方程的数则则该方程表示过点该方程表示过点且以且以为法向量的平面为法向量的平面.为平面的一般方程为平面的一般方程.任一三元一次方程任一三元一次方程特例特例:平面过原点平面过原点平面平行于平面平行于轴轴平面过平面过 x 轴轴平面平行于平面平行于 xOy 面面类似地类似地,平面平行于平面平行于轴轴平面过平面过 y

6、 轴轴平面平行于平面平行于 yOz 面面例例2 求平行于求平行于 y 轴轴,且过点且过点和和的平面方程的平面方程.解解:设平面方程为设平面方程为因为因为 P、Q 在平面上在平面上,所以所以所以平面方程为所以平面方程为设平面设平面1的法向量为的法向量为 平面平面2的法向量为的法向量为即即两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角(锐角锐角)称为两平面的夹角称为两平面的夹角.或或重合重合 例例3 3 判断下列平面的位置关系：判断下列平面的位置关系：所以两平面斜交，所以两平面斜交，解解:两平面的法向量为两平面的法向量为且夹角为且夹角为由于由于1 1 平面的方程平面的方程:一般式一般式点法式点法式截距式截距式2 平平面面与平面与平面之间的关系之间的关系重合重合 Thanks!