概率论与数理统计学习指导及习题解析第3章-多维随机变量及其分布课件.ppt

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1、第 3 章多维随机变量及其分布第 3 章多维随机变量及其分布第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析第二节重点解析第三节典型例题第三节典型例题第四节习题全解第四节习题全解第 3 章多维随机变量及其分布第一节第一节 知知 识识 梳梳 理理第 3 章多维随机变量及其分布 第二节第二节 重重 点点 解解 析析1.二维随机变量二维随机变量1)二维随机变量及其分布函数定义1：设E是一个随机试验，它的样本空间是S=e，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X，Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量。第 3 章多维随机变量及其分布定义2：设(X，Y)是二维随机变量，对于任

2、意实数x、y，称二元函数F(x，y)=PXx，Yy为二维随机变量(X，Y)的分布函数，或联合分布函数。2)二维随机变量的分布函数的性质（1）0F(x，y)1；（2）F(x，y)关于x、y均单调非降，右连续；（3）F(，y)=F(x，)=F(，)=0，F(+，+)=1；（4）Px1Xx2，y1Yy2=F(x2，y2)F(x1，y2)F(x2，y1)+F(x1，y1)。第 3 章多维随机变量及其分布第 3 章多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的联合分布律表示如下：第 3 章多维随机变量及其分布4)二维连续型随机变量的概率分布定义：设(X，Y)是二维随机变量，如果存在一个非负函数f(x，y)，使

3、得对于任意实数x、y，都有则称(X，Y)是二维连续型随机变量，函数f(x，y)称为二维连续型随机变量(X，Y)的密度函数，或联合密度函数。第 3 章多维随机变量及其分布2.边缘分布1)离散型随机变量的情形记，则关于X的边缘分布律为，第 3 章多维随机变量及其分布第 3 章多维随机变量及其分布3.随机变量的独立性定义：设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x，y)，又X和Y的边缘分布函数为FX(x)和FY(y)。若对于任意的实数x与y，有PXx，Yy=PXxPYy，即F(x，y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的。第 3 章多维随机变量及其分布定理1：对于二维离散型随机

4、变量(X，Y)，其联合分布律为PijX=xi，Y=yjpij（i=1，2，；j=1，2，）且X、Y的边缘分布律分别为PX=xi=pi （i=1，2，），PY=yj=pj （j=1，2，）则对任意i、j，有pij=pipj的充分必要条件为X与Y相互独立。第 3 章多维随机变量及其分布第 3 章多维随机变量及其分布定理3：对于二维正态随机变量(X，Y)，X和Y相互独立的充要条件为参数=0。定理4：若随机变量X和Y相互独立，则对于任意连续函数p(x)和q(x)，均有p(X)、q(Y)相互独立。第 3 章多维随机变量及其分布第 3 章多维随机变量及其分布特别地，当X和Y相互独立时，设(X，Y)关于X、

5、Y的边缘密度函数分别为fX(x)和 fY(y)，则这两个公式称为卷积公式，记为fX*fY，即第 3 章多维随机变量及其分布2)的分布的分布函数为密度函数为或第 3 章多维随机变量及其分布第 3 章多维随机变量及其分布 第三节第三节 典典 型型 例例 题题【例3.1】将两封信投入编号为、的三个邮筒中，设X、Y分别表示投入第号、第号邮筒中信的数目。（1）求（X，Y）的联合分布律；（2）X、Y是否相互独立？（3）求Y=0时X的条件分布律。第 3 章多维随机变量及其分布解 （1）X、Y所有可能的取值分别为0、1、2，则第 3 章多维随机变量及其分布故(X，Y)的联合分布律为第 3 章多维随机变量及其分

6、布（2）因为 所以X、Y不独立。第 3 章多维随机变量及其分布（3）Y=0时X所有可能的取值分别为0、1、2，于是其条件分布律为第 3 章多维随机变量及其分布第 3 章多维随机变量及其分布解 （1）因为矩阵为正定矩阵的充要条件为其顺序主子式都大于零,所以即所以第 3 章多维随机变量及其分布（2）所有可能的取值分别为1、0、1，即第 3 章多维随机变量及其分布由上表可得故随机变量的分布律为第 3 章多维随机变量及其分布第 3 章多维随机变量及其分布证明 令Z=min(X，Y)，FZ(z)=Pmin(X，Y)z，当X、Y相互独立，且都服从同一分布时，FZ(z)=Pmin(X，Y)z=11FX(z)

7、2所以第 3 章多维随机变量及其分布第 3 章多维随机变量及其分布第 3 章多维随机变量及其分布解 （1）当0 x1时，有当x1时，有fX(x)=0第 3 章多维随机变量及其分布所以(X，Y)关于X的边缘密度函数为同理可得(X，Y)关于Y的边缘密度函数为第 3 章多维随机变量及其分布（2）由条件概率的定义知而第 3 章多维随机变量及其分布于是第 3 章多维随机变量及其分布【例3.6】设(X，Y)服从区域D=(x，y)|0y1x2上的均匀分布。（1）写出(X，Y)的联合密度函数；（2）求X和Y的边缘密度函数；（3）求概率PYX2。第 3 章多维随机变量及其分布解 （1）由于区域D是由曲线y=1x

8、2和y=0所围成的，其面积为所以(X，Y)的联合密度函数为第 3 章多维随机变量及其分布（2）X的边缘密度函数为第 3 章多维随机变量及其分布Y的边缘密度函数为第 3 章多维随机变量及其分布（3）记G=(x，y)|yx2，则GD为图31所示阴影部分,从而有第 3 章多维随机变量及其分布图3-1第 3 章多维随机变量及其分布 第四节第四节 习习 题题 全全 解解3.1 已知随机变量X1和X2的分布律分别为且PX1X2=0=1，求(X1，X2)的联合分布律。第 3 章多维随机变量及其分布解 由已知的边缘分布律和PX1X2=0=1可得 PX10，X20=0于是PX11，X21=PX11，X21=0第

9、 3 章多维随机变量及其分布设联合与边缘概率密度表如下：第 3 章多维随机变量及其分布显然p12=0，故(X1，X2)的联合分布律为第 3 章多维随机变量及其分布3.2 设随机变量(X，Y)的密度函数为试求：（1）常数c；（2）联合分布函数F(x，y)；（3）P0X1，00，y0时，如图3-4所示，有第 3 章多维随机变量及其分布所以联合分布函数为第 3 章多维随机变量及其分布图3-3第 3 章多维随机变量及其分布图34第 3 章多维随机变量及其分布（3）令区域D=(x，y)|0 x1，0y2，如图3-5所示。图3-5第 3 章多维随机变量及其分布方法一：由分布函数的性质知 P0X1，0Y2=

10、F(0，0)F(0，2)F(1，0)+F(1，2)=000+(1e3)(1e8)=(1e3)(1e8)第 3 章多维随机变量及其分布方法二:第 3 章多维随机变量及其分布3.3 已知随机变量X和Y的联合密度函数为求(X，Y)的联合分布函数F(x，y)。第 3 章多维随机变量及其分布解 f(x，y)的区域图形如图36所示，从而有下面分块计算上式的广义二重积分。（1）当x0或y1时，如图39所示,有第 3 章多维随机变量及其分布图3-8第 3 章多维随机变量及其分布图3-9第 3 章多维随机变量及其分布（4）当x1且0y1时，如图3-10所示,有（5）当x1且y1时，如图3-11所示,有第 3 章

11、多维随机变量及其分布图3-10第 3 章多维随机变量及其分布图3-11第 3 章多维随机变量及其分布综上可得(X，Y)的联合分布函数为第 3 章多维随机变量及其分布3.4 设随机变量(X，Y)的联合密度函数为第 3 章多维随机变量及其分布解 方法一：先求关于X、Y的边缘密度函数。如图3-12所示,当0 x1时，有所以第 3 章多维随机变量及其分布当0y0时，第 3 章多维随机变量及其分布3.7 设两个相互独立的随机变量X与Y的分布律分别为求随机变量Z=X+Y的分布律。第 3 章多维随机变量及其分布解 Z=X+Y所有可能的取值为3、5、7，由于X和Y是相互独立的随机变量，故PZ=7=PX=3，Y

12、=4=PX=3PY=4=0.70.4=0.28第 3 章多维随机变量及其分布所以Z=X+Y的分布律为第 3 章多维随机变量及其分布3.8 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其密度函数分别为求随机变量Z=X+Y的密度函数。第 3 章多维随机变量及其分布解 方法一：而如图3-21所示。第 3 章多维随机变量及其分布图3-21第 3 章多维随机变量及其分布方法二:因为所以fX(x)fY(zx)的区域图形如图3-22所示。第 3 章多维随机变量及其分布图3-22第 3 章多维随机变量及其分布因为X与Y相互独立,所以相当于沿一条穿越fX(x)fY(zx)区域的水平线对x进行积分，如图3-23所示。第 3

13、 章多维随机变量及其分布图3-23第 3 章多维随机变量及其分布3.9 设随机变量(X，Y)的密度函数为试求的密度函数。第 3 章多维随机变量及其分布解 方法一：采用分布函数法。f(x，y)的区域图形如图3-24所示，所以当z0时，如图325所示,有第 3 章多维随机变量及其分布图324第 3 章多维随机变量及其分布图325第 3 章多维随机变量及其分布当z0时，如图3-26所示,有第 3 章多维随机变量及其分布图326第 3 章多维随机变量及其分布3.10 设随机变量(X，Y)的密度函数为试求Z=XY的密度函数。第 3 章多维随机变量及其分布解 f(x，y)的区域图形如图3-27所示，则图3

14、-27第 3 章多维随机变量及其分布当z0时，如图3-28所示,有图3-27第 3 章多维随机变量及其分布当z=0时，如图329所示，有图3-29 第 3 章多维随机变量及其分布当0z1时，如图3-30所示,有第 3 章多维随机变量及其分布图3-30第 3 章多维随机变量及其分布当z1时，如图331所示，有即所以第 3 章多维随机变量及其分布图331第 3 章多维随机变量及其分布3.11 设随机变量X与Y相互独立，并且都服从区间0，a)上的均匀分布，求随机变量Z=XY的密度函数。解 方法一：由题意有第 3 章多维随机变量及其分布由于X与Y相互独立，故(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)的区域

15、图形如图332所示,则第 3 章多维随机变量及其分布图332第 3 章多维随机变量及其分布（1）当z0时，如图333所示,有图3-33第 3 章多维随机变量及其分布（2）当z=0时，如图334所示,有图334第 3 章多维随机变量及其分布（3）当01时，如图336所示,有第 3 章多维随机变量及其分布图335第 3 章多维随机变量及其分布综上所述,得第 3 章多维随机变量及其分布所以Z=XY的密度函数为第 3 章多维随机变量及其分布方法二：因为fX(yz)fY(y)的区域图形如图3-37所示,则第 3 章多维随机变量及其分布图337第 3 章多维随机变量及其分布相当于在一条穿越fX(yz)fY

16、(y)区域的水平线上对y进行积分，其图形如图3-38所示。当z0时，第 3 章多维随机变量及其分布当01时，第 3 章多维随机变量及其分布即的密度函数为第 3 章多维随机变量及其分布3.12 一个电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知(X，Y)的联合分布函数为（1）判断X、Y是否相互独立；（2）求两个部件的寿命均超过100小时的概率。第 3 章多维随机变量及其分布解 （1）设X、Y的分布函数分别为FX(x)和FY(y)，则可见F(x，y)=FX(x)FY(y)，所以X和Y相互独立。第 3 章多维随机变量及其分布（2）方法一：第 3 章多维随机变量及其分布方

17、法二：由（1）知X、Y相互独立，且X、Y均服从参数为=0.5的指数分布，所以由式得第 3 章多维随机变量及其分布方法三：由及式第 3 章多维随机变量及其分布得到所求概率为第 3 章多维随机变量及其分布3.13 设X1、X2相互独立，且都服从(0，1)内均匀分布，记Y1=minX1，X2，Y2=maxX1，X2，试求(Y1，Y2)的密度函数。解 方法一：因为FY1Y2(x，y)=PY1x，Y2y=PminX1，X2x，maxX1，X2y=P(X1x或X2x)且(X1y且X2y)第 3 章多维随机变量及其分布分情况讨论:（1）若x0或y0，则FY1Y2(x，y)=0（2）若0yx1，则(X1x或X

18、2x)且(X1y且X2y)的区域如图3-39所示，此时，FY1Y2(x，y)=y2（3）若0y1x，则(X1x或X2x)且(X1y且X2y)的区域如图3-40所示，此时 FY1Y2(x，y)=y2第 3 章多维随机变量及其分布图339第 3 章多维随机变量及其分布图340第 3 章多维随机变量及其分布（4）若0 xy1，则(X1x或X2x)且(X1y且X2y)的区域如图341所示,此时FY1Y2(x，y)=2xyx2（5）若0 x1y，则(X1x或X2x)且(X1y且X2y)的区域如图342所示，此时FY1Y2(x，y)=2xx2第 3 章多维随机变量及其分布图3-41第 3 章多维随机变量及其分布图342第 3 章多维随机变量及其分布综上所述，得因此第 3 章多维随机变量及其分布方法二：因此