[优选文档]函数极限的性质PPT.ppt

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1、函数极限的性质v定理3.2 如果当xx0时f(x)的极限存 那么这极限是唯一的 证明，x x f B A 时的极限 当 都是 设 0,)(0,0,0 1 0 1 e d d e-$A x f x x 时有 当 则,)(0,0 2 0 2 e d d-$B x f x x 时有 当 故有 同时成立 时 则当 取，x x)2(),1(0),min(0 2 1 d d d d-.2)()()()(e-+-B x f A x f B x f A x f B A.即其极限唯一 的任意性得 由 B A e(1)(2)一 函数极限的性质1.唯一性2.局部有界性若极限 存在，则函数 在的某一空心邻域上有界。证

2、明 有 使得 则 取 设);(,0,1,)(lim 0 0 d d e x U x A x f x x o$.1)(1)(+-A x f A x f.);()(0 内有界 在 即 d x U x f o 3.局部保号性定理3.4证明 设A0,对任何0,使得对一切这就证得结论.对于A 0的情形可类似地证明.推论v定理3.4(函数极限的局部保号性)如果f(x)A(xx0)而且A0(或A0)那么对任何正数rA(或 r 0(或f(x)-r 0)证明);(,0,),1,0(,0 0 d d e x U x r A r A$-使得 则 取 设.)(r A x f-e 有.0 的情形类似可证 对于 r 推论

3、 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)而且 f(x)A(xx0)那么A0(或A0)3.局部保号性v定理3.5(函数极限的保不等式性)证明).(lim)(lim),()();()(),(0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 则 内有 极限都存在且在 时 如果 d o,)(lim,)(lim 0 0 B x g A x f x x x x 设)1(),(0,0,0 1 0 1 x f A x x-$e d d e 时有 当 则)2(.)(0,0 2 0 2 e d d+-$B x g x x 时有 当 于是有 同时成立 与

4、不等式 时 则当 令，x g x f x x)2(),1()()(,0,min 0 2 1-d d d d d,)()(e e+-B x g x f A.,2 B A B A+的任意性知 由 从而 e e 4 保不等式推论v定理3.6 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A 证明),(0,0,0 1 0 1 x g A x x，-$e d d e 时有 当 按假设.)(0,0 2 0 2 e d d+-$A x h x x 时有 当 故有 同时成立 时上两不等式与

5、 则当 令,)()()(0,min 0 2 1 x h x f x g x x-d d d d,)()()(e e+-A x h x f x g A.)(lim)(0 A x f，A x f x x-即 由此得 e 5 迫敛性定理3.7设,则 1）2）3）6 四则运算法则(3)的证明 只要证，令，由，使得当 时，有，即,仍然由，.，使得当 时，有.取，则当 时，有 即 推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2定理的条件：存在商的情形还须加上分母的极限不为0定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立).(lim)(li

6、m,)(limx f c x cfc x f则 为常数 而 存在 如果.)(lim)(lim,)(limn nx f x fn x f则 是正整数 而 存在 如果二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限.已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）利用极限性质，特别是运算性质求极限的原是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,参阅 4P3738.我们将陆续证明这些公式.常数因子可以提到极限记号外面.多项式与分式函数代入法求极限;利用无穷小运算性质求极限;在计算一些简单极限时,有

7、五组基本极限作为公式用,参阅 4P3738.已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求(1)g(x)f(x)h(x)如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)而且利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。(2)lim g(x)A lim h(x)A 证明 设A 0,对任何如果当xx0时f(x)的极限

8、存,那么这极限是唯一的极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对多项式与分式函数代入法求极限;利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。例求.例求.例求.(利用极限和)例4 证明证（不妨设1）例6求例5求註:关于的有理分式当时的极限.参阅4P37 利用公式 求A 和B.补充题:已知 求极限方法举例例7解小结:例8解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例9解(消去零因子法)例10解(无穷小因子分出法)利用左右极

9、限求分段函数极限.那么lim f(x)存在 且lim f(x)A 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。我们将陆续证明这些公式.等于极限的和、差、积、商,则这些极限可作为公式用.如果f(x)A(x x0)而且A 0(或A 0)那么对任何正数rA(或 r 0(或f(x)-r 0)证明 设A 0,对任何由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与

10、无穷大的关系求极限。,则一 函数极限的性质由无穷小与无穷大的关系,得多项式与分式函数代入法求极限;小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例11解先变形再求极限.由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时，有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的关系求极限。三、复合函数极限定理（复合函数极限运算法则变量代换法则）证由极限定义得此定理表明：则可作代换极限过程的转化注1可得类似的定理注2定理中的限制条件不能少,例如,令 例12 解 6）.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法：a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.四、小结1 函数极限的性质1）.唯一性；2）.局部有界性；3.局部保号性；4）保不等式；5）迫敛性；7).复合函数的四则运算法则.感谢观看