第5章-线性系统的频域分析法3-自动控制理论-课件.ppt

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1、第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法Email：shi-Tel：第五章 线性系统的频域分析法5-4 奈奎斯特稳定判据频域稳定判据(有两种)奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据频域稳定判据的特点频域稳定判据的特点（本节主要学习的内容）开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性研究系统参数和结构改变对稳定性的影响第五章 线性系统的频域分析法1、奈氏判据的数学基础奈氏判据的数学基础设系统的前向通道传递函数G(s)、反馈通道的传递函数H(s)若G(s)和H(s)没有零点与极点相消，则有mn 第五章 线性系统的频域分析法 设辅助函数F(S)为 第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分

2、析法（2）映射定理映射定理 设对于s平面上除了有限奇点之外的任一点s,复变函数F(s)为解析函数,那么,对于s 平面上的每一解析点,在F(s)平面上必定有一个对应的映射点。因此,如果在s 平面画一条封闭曲线,并使其不通过F(s)的任一奇点,则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线,如图1所示。若在s平面上的封闭曲线是沿着顺时针方向运动的,则在F(s)平面上的映射曲线的运动方向可能是顺时针的,也可能是逆时针的,这取决于F(s)函数的特性。我们感兴趣的不是映射曲线的形状,而是它包围坐标原点的次数和运动方向,因为这两者与系统的稳定性密切相关。第五章 线性系统的频域分析法图1 s平面与F(s)平面的映

3、射关系第五章 线性系统的频域分析法 假定在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点z1（亦即闭环极点）,而其他零极点都位于封闭曲线之外,则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时,向量(s z1)的相角变化-2 弧度,而其他各相量的相角变化为零。这意味着在F(s)平面上的映射曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周,也就是向量F(s)的相角变化了-2弧度,如图2所示。若s平面上的封闭曲线包围着F(s)的Z个零点,则在F(s)平面上的映射曲线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转Z周。第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法 用类似分析方法可以推论,若s平面上的封闭曲线包围了F(s)

4、的P个极点,则当s沿着s平面上的封闭曲线顺时针移动一周时,在F(s)平面上的映射曲线将按逆时针方向围绕着原点旋转P周。综上所述,映射定理可以归纳如下:映映射射定定理理 设s平面上的封闭曲线包围了复变函数F(s)的P个极点和Z个零点,并且此曲线不经过F(s)的任一零点和极点,则当复变量s 沿封闭曲线顺时针方向移动时,在F(s)平面上的映射曲线按逆时针方向包围坐标原点P-Z周。第五章 线性系统的频域分析法2 2、奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据（1）s平面的奈氏曲线平面的奈氏曲线设系统的开环传递函数为 mn 此系统的特征方程为 第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法 由上式可见,

5、复变函数F(s)的零点为系统特征方程的根(闭环极点)s1、s2、sn,而F(s)的极点则为系统的开环极点p1、p2、pn。闭环系统稳定的充分和必要条件是,特征方程的根,即F(s)的零点,都位于s平面的左半部。为了判断闭环系统的稳定性,需要检验F(s)是否有位于s 平面右半部的零点。为此可以选择一条包围整个s平面右半部的按顺时针方向运动的封闭曲线,通常称为奈奎斯特曲线,简称奈氏曲线,如图3所示。奈氏曲线由两部分组成,一部分是沿着虚轴由下向上移动的直线段C1,在此线段上sj,由变到；另一部分是半径为无穷大的半圆C2。如此定义的封闭曲线肯定包围了F(s)的位于s平面右半部的所有零点和极点。第五章 线

6、性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法 （2）奈奎斯特稳定判据）奈奎斯特稳定判据 根据系统闭环特征方程有G(s)H(s)=F(s)-1 这意味着F(s)的映射曲线CF围绕原点运动的情况,相当于G(s)H(s)的封闭曲线CGH围绕着(1,j0)点的运动情况,如图4所示。第五章 线性系统的频域分析法图 4 奈氏曲线映射在F(s)平面和G(s)H(s)平面上 第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法 综上所述,可将奈氏判据表述如下:闭环控制系统稳定的充分和必要条件是,当从变化到时,系统的开环频率特性G(j)H(j)按逆时针方向包围(1,j0)点P周,P为位于s平面右半部的开环

7、极点数目。显然,若开环系统稳定,即位于s 平面右半部的开环极点数P0,则闭环系统稳定的充分和必要条件是:系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围(1,j0)点。第五章 线性系统的频域分析法例例 1 已知开环传递函数为 试绘制(1)K=5,(2)K=10时的奈氏图,并判断系统的稳定性。解解 (1)当K=5时,开环幅频特性和相频特性分别为 第五章 线性系统的频域分析法 从 而 有=0+时,A()=5,()=0;=+时,A()=0,()=-270+,故奈氏图在第象限趋向终点(0,j0)。因为相角范围为0270,所以必有与负实轴的交点。当=1.8时,()=-177,A()=0.66;当=1.9时,()

8、=181,A()=0.59。所以,当=1,1.811.9时,()=180,A()=A1,0.59 A1 0.66,因此与实轴的交点在(1,j0)点的右侧。奈氏图如图5所示。因为s平面右半部的开环极点数P0,且奈氏曲线不包围(1,j0)点,即R=0,则ZPR=0,所以系统稳定。第五章 线性系统的频域分析法 (2)当K=10时,奈氏图形状与(1)相同,只是以坐标原点为中心,向外“膨胀”而已。“膨胀”的倍数为10/5=2,故与实轴的交点的横坐标在(0.592,0.662)之间,即交点在(1,j0)点的左侧。因为s 平面右半部的开环极点数P0,且奈氏曲线顺时针包围(1,j0)点2次,即N=2,则ZPR

9、=2,所以系统不稳定,有两个闭环极点在s 平面右半部。用MATLAB绘制的奈氏图如图 6 所示，其程序如下：nyquist(5,conv(conv(1 0.5,1 1),1 2)第五章 线性系统的频域分析法图5 例 1 的奈氏图 第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法有关判据应用的两点说明：有关判据应用的两点说明：由于反馈控制系统稳定的充分必要条件是：奈奎斯特曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数R等于开环传递函数在右半s平面的极点数P，即R=P。a)若P=0，系统开环稳定，闭环系统稳定的充要条件：奈氏曲线不包围（-1，j0)点。b）若 ，则系统闭环不稳定，在右半s平面上闭环特

10、征根的个数 Z=P-R。第五章 线性系统的频域分析法奈奎斯特曲线包围（-1，j0）点圈数的计算：半闭合开环奈氏曲线包围（-1，j0）点的圈数R可由曲线穿越（-1，j0）点左侧负实轴的次数N确定；N=(N+-N-)。a)N+表示正穿越的次数和（从上向下穿越）；b)N-表示负穿越的次数和（从下向上穿越）；则 R=2N=2（N+-N-）第五章 线性系统的频域分析法（3 3）虚轴上有开环极点时的奈氏判据虚轴上有开环极点时的奈氏判据 虚轴上有开环极点的情况通常出现在系统中有串联积分环节的时候,即在s平面的坐标原点有开环极点。这时不能直接应用图3所示的奈氏曲线,因为映射定理要求此曲线不经过F(s)的奇点。

11、为了在这种情况下应用奈氏判据,可以选择图7所示的奈氏曲线,它与图3中奈氏曲线的区别仅在于:此曲线经过以坐标原点为圆心,以无穷小量为半径,在s平面右半部的小半圆,绕过了开环极点所在的原点。当0时,此小半圆的面积也趋近于零。因此,F(s)位于s平面右半部的零点和极点均被此奈氏曲线包围在内，而将位于坐标原点处的开环极点划到了左半部。这样处理是为了适应奈氏判据的要求,因为应用奈氏判据时必须首先明确位于s平面右半部和左半部的开环极点的数目。第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法当s沿着上述小半圆移动时,有 当从0-沿小半圆变到0+时,s按逆时针方向旋转了180,G(s)H(s)在其平面

12、上的映射为 为系统中串联的积分环节数目。第五章 线性系统的频域分析法 由以上分析可见,当s沿着小半圆从=0-变化到=0+时,角从90经0变化到90,这时在G(s)H(s)平面上的映射曲线将沿着半径为无穷大的圆弧按顺时针方向从90经过 0 转到90。第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法 从而有=0+时,A()=,()=-90-,为正的很小量,故起点在第象限;=+时,A()=0,()=-270+,故在第象限趋向终点(0,j0)。因为相角范围从90到270,所以必有与负实轴的交点。由()=180得 即 上式两边取正切,得0.5=1/,即=1.414,此时A()=1.67。因此奈氏

13、图与实轴的交点为(1.67,j0)。系统开环传递函数有一极点在s平面的原点处,因此奈氏曲线中半径为无穷小量的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧:图 8 例 2 的奈氏图 第五章 线性系统的频域分析法图 9 MATLAB绘制例 2 的奈氏图 第五章 线性系统的频域分析法例例 3 绘制开环传递函数为 的奈氏图,并判断系统的稳定性。解解 开环幅频特性和相频特性分别为 从而有=0+时,A()=,()=-180-,为正的很小量,故奈氏图起点在第象限;=+时,A()=0,()=-360+,故在第象限趋向终点(0,j0)。第五章 线性系统的频域分析法 系统开环传递函数有2个极点在s 平面的原点处,

14、因此奈氏曲线中半径为无穷小量的半圆弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧:0-0+;:90090;():180 0180奈氏图如图10所示。因为s平面右半部的开环极点数P0,且奈氏曲线顺时针包围(1,j0)点2次,即N=2,则ZPN=2,所以系统不稳定,有两个闭环极点在s平面右半部。用MATLAB绘制(1,j0)点附近的奈氏图如图11所示，其程序如下：nyquist(10,conv(conv(1 0 0,1 1),1 2)第五章 线性系统的频域分析法图 10 例 3 的奈氏图 第五章 线性系统的频域分析法图 11 MATLAB绘制例 3 的奈氏图 第五章 线性系统的频域分析法3 3、对数频率

15、稳定判据对数频率稳定判据 对数频率稳定判据实际上是奈氏判据的另一种形式,即利用开环系统的伯德图来判别系统的稳定性。系统开环频率特性的奈氏图(极坐标图)和伯德图之间有如下对应关系:奈氏图上以原点为圆心的单位圆对应于伯德图对数幅频特性的0分贝线;奈氏图上的负实轴对应于伯德图上相频特性的180线。伯德图上,()从180线以下增加到180线以上,称为()对180线的正穿越;反之,称为负穿越。第五章 线性系统的频域分析法开环幅相曲线与Bode图的对应情况：第五章 线性系统的频域分析法 对数频率稳定判据可表述如下:闭环系统稳定的充分必要条件是,当由0变到时,在开环对数幅频特性L()0的频段内,相频特性()

16、穿越180线的次数(正穿越与负穿越次数之差)为P/2。P为s平面右半部开环极点数目。注意,奈氏判据中,s沿着奈氏回线顺时针方向移动一周,故由变到,所以伯德图中由0变到时,穿越次数为P/2,而不是P。对于开环稳定的系统,此时，P=0，若在L()0的频段内，相频特性()穿越-180线的次数(正穿越与负穿越之差)为0则闭环系统稳定;否则闭环系统不稳定。第五章 线性系统的频域分析法例例 4 系统开环传递函数为 试用对数稳定判据判断其稳定性。解解 伯德图如图所示。此系统的开环传递函数在s平面右半部没有极点,即P=0,而在L()0的频段内,相频特性()不穿越180线,故闭环系统必然稳定。第五章 线性系统的

17、频域分析法例 4 的伯德图 第五章 线性系统的频域分析法5-5 稳定裕度稳定裕度 前面，根据奈氏判据可知系统的稳定性，但不知系统的稳定程度如何？因此，应有一量的衡量。即相对稳定程度（相对稳定性）。从奈氏判据可知,若系统的闭环传递函数没有右半平面的极点,且闭环系统是稳定的,那么奈氏曲线G(j)H(j)离(1,j0)点越远,则闭环系统的稳定程度越高;反之,G(j)H(j)离(1,j0)点越近,则闭环系统的稳定程度越低;如果G(j)H(j)穿过(1,j0)点,则意味着闭环系统处于临界稳定状态。这便是通常所说的相对稳定性,它通过G(j)H(j)对(1,j0)点的靠近程度来度量。表征系统稳定程度的两个指

18、标：相角裕度 ，幅值裕度 h第五章 线性系统的频域分析法 在介绍这两个概念之前，先看一下奈氏曲线与Bode曲线的关系：奈氏坐标的单位圆即Bode幅频曲线的0db线；奈氏坐标的-180o轴为Bode相频曲线的-180o线；第五章 线性系统的频域分析法1、相角裕度、相角裕度使系统开环相频特性滞后或超前度，则系统处于临界稳定状态。c截止频率 x穿越频率2、幅值裕度、幅值裕度)()(log20)()(1log20log20 xxxxjHjGjHjGhwwww-=xG(jx)H(j x)第五章 线性系统的频域分析法最小相位系统相角裕度和增益裕度 第五章 线性系统的频域分析法最小相位系统 相角裕度和增益裕

19、度 结论：结论：对于最小相位系统，若相角裕度大于零，幅值裕度大于对于最小相位系统，若相角裕度大于零，幅值裕度大于1，则系统闭环稳定；这些值越大稳定程度越好。则系统闭环稳定；这些值越大稳定程度越好。否则系统闭环不稳定。否则系统闭环不稳定。第五章 线性系统的频域分析法例 设单位反馈系统的开环传递函数为试分别计算K=2,K=20时，系统的相角裕度和幅值裕度。解：第五章 线性系统的频域分析法第五章 线性系统的频域分析法一般要求系统具有4570的相角裕度。对于最小相位系统，当相角裕度在3070之间时，则要求幅频曲线在截止频率处的斜率大于-40dB/dec,通常采用-20 dB/dec。)(5.101)52.0(155/20log20)(log20log202dBjGhx-=+-=-=w