正弦定理和余弦定理应用举例学习教案.pptx

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1、会计学1正弦定理和余弦定理应用正弦定理和余弦定理应用(yngyng)举例举例第一页，共55页。能够运用正弦定理、余弦能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际测量和几何计算有关的实际(shj)问题问题.第1页/共55页第二页，共55页。第2页/共55页第三页，共55页。1.仰角和俯角仰角和俯角(fjio)与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线 的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线 在水平视线下方时叫俯角在水平视线下方时叫俯角(

2、fjio)(如图所示如图所示).第3页/共55页第四页，共55页。2.方位方位(fngwi)角角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位如方位(fngwi)角角45，是指北偏东，是指北偏东45，即东北方向，即东北方向.3.坡角坡角 坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角(如图所示如图所示).第4页/共55页第五页，共55页。4.坡比坡比 坡面的铅直高度坡面的铅直高度(god)与水平宽度之比，与水平宽度之比，即即i tan (i为坡比，为坡比，为坡角为坡角).第5页/共55页第六页，共55页。1.从从A处望处望B处的仰角为处的仰角为，从，从B处望

3、处望A处的俯角处的俯角(fjio)为为，则，则、的关系为的关系为 ()A.B.C.90 D.180解析：根据仰角解析：根据仰角(yngjio)和俯角的定义可知和俯角的定义可知.答案答案(d n)：B第6页/共55页第七页，共55页。2.若若P在在Q的北偏东的北偏东44，则，则Q在在P的的 ()A.东偏北东偏北46 B.东偏北东偏北44 C.南偏西南偏西(pin x)44 D.西偏南西偏南44解析：由方位角的定义可知解析：由方位角的定义可知(k zh)，Q应在应在P的南偏西的南偏西44.答案答案(d n)：C第7页/共55页第八页，共55页。3.已知两座灯塔已知两座灯塔(dngt)A和和B与海洋

4、观察站与海洋观察站C的距离相等，灯塔的距离相等，灯塔(dngt)A在观察站在观察站C的北偏东的北偏东40，灯塔，灯塔(dngt)B在观察站在观察站C的南偏东的南偏东 60，则灯塔，则灯塔(dngt)A在灯塔在灯塔(dngt)B的的 ()A.北偏东北偏东10 B.北偏西北偏西10 C.南偏东南偏东10 D.南偏西南偏西10第8页/共55页第九页，共55页。解析：如图所示，由已知解析：如图所示，由已知ACB180406080，又又ACBC，AABC50，605010.灯塔灯塔(dngt)A位于灯塔位于灯塔(dngt)B的北偏西的北偏西10.答案答案(d n)：B第9页/共55页第十页，共55页。4

5、.如图，在如图，在ABC中，若中，若A120，AB5，BC7，则，则 SABC.第10页/共55页第十一页，共55页。解析解析(ji x)：在：在ABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos120，即即4925AC25AC，解之得解之得AC3.SABC ABACsinA 53答案答案(d n)：第11页/共55页第十二页，共55页。5.在在200 m高的山顶高的山顶(shn dn)上，测得山下一塔的塔顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯与塔底的俯 角分别是角分别是30、60，则塔高为，则塔高为m.解析解析(ji x)：如图所示，设塔高为：如图所示，设塔高为h m.由题

6、意及图可知：由题意及图可知：(200h)tan60解得：解得：h m.答案答案(d n)：第12页/共55页第十三页，共55页。第13页/共55页第十四页，共55页。解决解决(jiju)该类问题的一般步骤：该类问题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量 集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得求解：利用正

7、弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得 数学模型的解；数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实 际问题的解际问题的解.第14页/共55页第十五页，共55页。特别警示特别警示(1)要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已经知道长度的那个

8、边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角已经知道长度的那个边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接形中，或是通过间接(jin ji)的途径纳入到同一个三角形中，这是我的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点们分析这类问题的一个基本出发点.第15页/共55页第十六页，共55页。(2)测量不可直接到达的两点之间的距离，只要在这两个点所在测量不可直接到达的两点之间的距离，只要在这两个点所在的平面的平面(pngmin)上选取两个可以测量距离的点，测量出这两上选取两个可以测量距离的点，测量出这两点之间的距离，及这两个点对所测量的两个点的张角，就可以点之间的距离，

9、及这两个点对所测量的两个点的张角，就可以使用正弦定理、余弦定理解决问题使用正弦定理、余弦定理解决问题.第16页/共55页第十七页，共55页。(2009辽宁高考辽宁高考)如图如图所示，所示，A、B、C、D都在同一个都在同一个与水平面垂直与水平面垂直(chuzh)的平面内，的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面测量船于水面A处测得处测得B点和点和D点的仰角分别为点的仰角分别为75,30，于水，于水面面C处测得处测得B点和点和D点的仰角均为点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求间距离与另外哪两点间距离

10、相等，然后求B、D的距离的距离(计算结果计算结果精确到精确到0.01 km，1.414，2.449).第17页/共55页第十八页，共55页。思路思路(sl)点拨点拨第18页/共55页第十九页，共55页。课堂笔记课堂笔记在在 ACD中，中，DAC30，ADC60 DAC30，所以所以CDAC0.1.又又 BCD180606060，故故CB是是 CAD底边底边AD的中垂线，的中垂线，所以所以BDBA.在在 ABC中，中，即即AB因此因此(ync)，BD 0.33 km.故故B、D的距离约为的距离约为0.33 km.第19页/共55页第二十页，共55页。正、余弦定理在测高问题正、余弦定理在测高问题(

11、wnt)中的应用中的应用背景背景可测元可测元素素图形图形目标及解法目标及解法底部可底部可到达到达a、求求AB，ABatan底部不底部不可到达可到达a、求求AB，在在ACD中用正中用正弦定理求弦定理求AD；ABADsin第20页/共55页第二十一页，共55页。特别警示特别警示解决解决(jiju)该类问题时，一定要准确理解仰该类问题时，一定要准确理解仰角和俯角的概念角和俯角的概念.某人某人(mu rn)在塔的正东沿着南偏西在塔的正东沿着南偏西60的方向前进的方向前进40米米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30，求塔，求塔高高.第21页

12、/共55页第二十二页，共55页。思路点拨思路点拨(din bo)依题意画图，某人在依题意画图，某人在C处，处，AB为塔高，他沿为塔高，他沿CD前进，前进，CD40米，此时米，此时 DBF45，从，从C到到D沿沿途测塔的仰角，只有途测塔的仰角，只有B到测试点的距到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为离最短时，仰角才最大，这是因为tan AEB ，AB为定值，为定值，BE最小时，仰角最大最小时，仰角最大.要求出塔高要求出塔高AB，必须先求，必须先求BE，而要求，而要求BE，需先求，需先求BD(或或BC).第22页/共55页第二十三页，共55页。课堂笔记课堂笔记在在 BCD中，中，CD40，BC

13、D30，DBC135，由，由正弦定理正弦定理(dngl)得得 BD 20 .过过B作作BE CD于于E显然当人在显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有处时，测得塔的仰角最大，有 BEA30，第23页/共55页第二十四页，共55页。在在RtBED中，中，BDE1801353015.BEDBsin1520 10(1).在在RtABE中，中，AEB30，ABBEtan30 (3 )(米米).故所求的塔高为故所求的塔高为 (3 )米米.第24页/共55页第二十五页，共55页。1.测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义.2.根据题意正确画出示意图，确定所求的角在

14、哪个三角形根据题意正确画出示意图，确定所求的角在哪个三角形 中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，然后采用正中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，然后采用正 弦定理或余弦定理弦定理或余弦定理(y xin dn l)解决解决.第25页/共55页第二十六页，共55页。如图，为了解某海域海底构造，在海平面内如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的一条直线上的A，B，C三点进行三点进行(jnxng)测量，已知测量，已知AB50 m，BC120 m，于，于A处测得水深处测得水深AD80 m，于，于B处测得水深处测得水深BE200 m，于，于C处测得水深处测得水深CF110 m，求求DEF的余弦

15、值的余弦值.第26页/共55页第二十七页，共55页。思路思路(sl)点拨点拨第27页/共55页第二十八页，共55页。课堂课堂(ktng)笔记笔记作作DM AC交交BE于于N，交，交CF于于M.DFDEEF第28页/共55页第二十九页，共55页。在在DEF中，由余弦定理中，由余弦定理(y xin dn l)，cosDEF 第29页/共55页第三十页，共55页。高考对正弦定理和余弦定理在实际中的应用的高考对正弦定理和余弦定理在实际中的应用的考查，其常规考法为：依据实际问题背景，直接考查，其常规考法为：依据实际问题背景，直接(zhji)给出测量数据，通过考生作图分析，然后给出测量数据，通过考生作图分

16、析，然后选用恰当的公式直接选用恰当的公式直接(zhji)计算计算.而而09年宁夏、海年宁夏、海南高考打破常规，并没有直接南高考打破常规，并没有直接(zhji)给出测量数给出测量数据让考生直接据让考生直接(zhji)计算，而是要求计算，而是要求第30页/共55页第三十一页，共55页。考生亲临实际问题的环境里进行具体操作，找到解决考生亲临实际问题的环境里进行具体操作，找到解决问题的方案问题的方案(fng n)，并设计出计算步骤，可以说是，并设计出计算步骤，可以说是一道真正意义上的应用题，是一个新的考查方向一道真正意义上的应用题，是一个新的考查方向.第31页/共55页第三十二页，共55页。考题印证考

17、题印证(2009宁夏、海南宁夏、海南(hi nn)高考高考)(12分分)为了测量两山顶为了测量两山顶M、N间的距间的距离，飞机沿水平方向在离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量两点进行测量.A、B、M、N在同一个铅垂平面内在同一个铅垂平面内(如示意图如示意图).飞机能飞机能够测量的数据有俯角和够测量的数据有俯角和A、B间的距离间的距离.第32页/共55页第三十三页，共55页。设计一个方案，包括：设计一个方案，包括：指出需要测量的数据指出需要测量的数据(用字母用字母表示表示(biosh)，并在图中标出，并在图中标出)；用文字和公式写用文字和公式写出计算出计算M、N间的距离的步骤间的距离的步骤.第

18、33页/共55页第三十四页，共55页。【解】方案一：【解】方案一：需要需要(xyo)测量的数据有：测量的数据有：A点到点到M、N点的俯角点的俯角1、1；B点到点到M、N的俯角的俯角2、2；A、B间的间的距离距离d(如图所示如图所示).(6分分)第34页/共55页第三十五页，共55页。第一步：计算第一步：计算AM.由正弦定理由正弦定理(dngl)AM(8分分)第二步：计算第二步：计算AN.由正弦定理由正弦定理(dngl)AN ；(10分分)第三步：计算第三步：计算MN.由余弦定理由余弦定理(dngl)MN (12分分)第35页/共55页第三十六页，共55页。方案二：方案二：需要测量的数据需要测量

19、的数据(shj)有：有：A点到点到M、N点的俯角点的俯角1、1；B点到点到M、N点的俯角点的俯角2、2；A、B的距离的距离d(如图所示如图所示).(6分分)第一步：计算第一步：计算BM.由正弦定理由正弦定理BM ；(8分分)第二步：计算第二步：计算BN.由正弦定理由正弦定理BN ；(10分分)第三步，计算第三步，计算MN.由余弦定理由余弦定理MN (12分分)第36页/共55页第三十七页，共55页。自主体验自主体验2009年年11月月13日，中国日，中国第四批护航编队第四批护航编队“马鞍山马鞍山”舰、舰、“温州温州”舰顺利抵达亚丁湾海域舰顺利抵达亚丁湾海域(hiy)执行护航任务，在一次护航过执

20、行护航任务，在一次护航过程位于程位于C处的处的“马鞍山马鞍山”舰接到位于其东偏南舰接到位于其东偏南15方向，相距方向，相距2海里的海里的A处某处某商船求救信号，称在其东偏北商船求救信号，称在其东偏北45方向，相距方向，相距(1)海里的海里的B处，一艘同处，一艘同行商船被海盗劫持，行商船被海盗劫持，第37页/共55页第三十八页，共55页。并向北偏东并向北偏东30方向方向(fngxing)，以，以10海里每小时速度逃窜，海里每小时速度逃窜，“马鞍山马鞍山”舰最快速度为舰最快速度为10 海里海里/小时，请你设计一套小时，请你设计一套“马鞍山马鞍山”舰追击海盗船只的方案，使舰追击海盗船只的方案，使“马

21、鞍山马鞍山”舰能最快截获海盗船，舰能最快截获海盗船，包括：包括：“马鞍山马鞍山”舰航行的速度及方向舰航行的速度及方向(fngxing)；追上追上海盗船所用时间海盗船所用时间.第38页/共55页第三十九页，共55页。解：如图，设解：如图，设“马鞍山马鞍山”舰以舰以10 海里海里/小时速度小时速度(sd)追击，追击，t小时后在小时后在D处截获海盗船处截获海盗船.则则CD10 t海里，海里，BD10 t海里，在海里，在ABC中，由余弦定理中，由余弦定理得得BC2AB2AC22ABACcosA(1)222(1)2cos1206，BC 海里海里.第39页/共55页第四十页，共55页。又又sinABCAB

22、C45，B点在点在C点的正东方向上点的正东方向上(xingshng)，CBD9030120.在在BCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得第40页/共55页第四十一页，共55页。sinBCDBCD30，“鞍山舰鞍山舰”沿北偏东沿北偏东60的方向行驶的方向行驶.又在又在BCD中，中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即，即10t .t 小时小时15分钟分钟.综上所述，综上所述，“马鞍山马鞍山”航沿北偏东航沿北偏东60方向，以方向，以10 海里海里(hil)/小时的速度航行，小时的速度航行，15分钟后能截获海盗船分钟后能截获海盗船.第41页/共55页第四十二页，共55页。第42页/共55

23、页第四十三页，共55页。1.一船向正北航行，看见正西方向有相距一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯海里的两个灯 塔恰好与它在一条直线上，继续塔恰好与它在一条直线上，继续(jx)航行半小时后，看见航行半小时后，看见一一 灯塔在船的南偏西灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西75，则这，则这 只船的速度是每小时只船的速度是每小时 ()A.5海里海里B.5 海里海里 C.10海里海里 D.10 海里海里第43页/共55页第四十四页，共55页。解析：如图，依题意有解析：如图，依题意有BAC60，BAD75，所以所以CADCDA15，从而从而(cng r)CDCA

24、10，在直角三角形，在直角三角形ABC中，可得中，可得AB5，于是这只船的速度是，于是这只船的速度是 10(海里海里/小时小时).答案答案(d n)：C第44页/共55页第四十五页，共55页。2.某人某人(mu rn)向正东方向走向正东方向走x km后，向右转后，向右转150，然后，然后朝新方向朝新方向 走走3 km，结果他离出发点恰好是，结果他离出发点恰好是 km，那么，那么x的值为的值为()A.B.2 C.或或2 D.第45页/共55页第四十六页，共55页。解析：如图所示，设此人从解析：如图所示，设此人从A出发，则出发，则ABx，BC3，AC ，ABC30，由正弦由正弦(zhngxin)定

25、理定理 ，得得CAB60或或120，当当CAB60时，时，ACB90，AB2 ；当当CAB120时，时，ACB30，AB .答案答案(d n)：C第46页/共55页第四十七页，共55页。3.如图所示，为了测量某障碍物两侧如图所示，为了测量某障碍物两侧(lin c)A、B间的距离，给定间的距离，给定 下列四组数据，不能确定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是间距离的是 ()A.，a，bB.，a C.a，b，D.，b.第47页/共55页第四十八页，共55页。解析：选项解析：选项B中由正弦定理中由正弦定理(dngl)可求可求b，再由余弦定理，再由余弦定理(dngl)可确定可确定AB.选项选项C中可

26、由余弦定理中可由余弦定理(dngl)确定确定AB.选项选项D同同B类似类似.答案答案(d n)：A第48页/共55页第四十九页，共55页。4.甲、乙两楼相距甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角米，从乙楼底望甲楼顶的仰角 为为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角，从甲楼顶望乙楼顶的俯角(fjio)为为30，则甲、，则甲、乙两楼的高分别是乙两楼的高分别是 .第49页/共55页第五十页，共55页。解析：如图，依题意解析：如图，依题意(t y)有有甲楼的高度甲楼的高度AB20tan6020 米，又米，又CMDB20米，米，CAM60，所以，所以AMCM 米，故乙楼的高米，故乙楼的高度为度为CD20 米

27、米.答案答案(d n)：20 米，米，米米第50页/共55页第五十一页，共55页。5.(2010保定保定(bo dn)模拟模拟)在在 ABC中，若中，若a3 ，cosC ，S ABC4 ，则，则b.解析解析(ji x)：cosC ，sinC ，又又SABC4 ，即，即 absinC4 ，b2 .答案答案(d n)：2第51页/共55页第五十二页，共55页。6.如图，港口如图，港口B在港口在港口O正东正东120海海 里处，小岛里处，小岛C在港口在港口O北偏东北偏东60 方向，港口方向，港口B北偏西北偏西30方向上方向上.一艘科学考察船从港口一艘科学考察船从港口O出发，出发，沿北偏东沿北偏东30的

28、的OA方向以方向以20海里海里/小小 时的速度驶离港口时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口，一艘快艇从港口B出发，以出发，以60海里海里/小时的速度驶向小岛小时的速度驶向小岛C，在，在C岛装运补给物资后给考察船岛装运补给物资后给考察船 送去送去.现两船同时现两船同时(tngsh)出发，补给物资的装船时间为出发，补给物资的装船时间为1小时，问小时，问 快艇驶离港口快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？第52页/共55页第五十三页，共55页。解：设快艇驶离港口解：设快艇驶离港口B后，最后，最少要经过少要经过x小时，在小时，在OA上的点上的点D处

29、与考察船相遇处与考察船相遇.如图，连结如图，连结CD.则快艇沿线段则快艇沿线段BC，CD航行航行(hngxng).在在OBC中，中，BOC30，CBO60，BCO90.又又BO120，BC60，OC60 .故快艇从港口故快艇从港口B到小岛到小岛C需要需要1小时小时.第53页/共55页第五十四页，共55页。在在OCD中，中，COD30，OD20 x，CD60(x2).由余弦定理由余弦定理(y xin dn l)知，知，CD2OD2OC22ODOCcosCOD，602(x2)2(20 x)2(60 )2220 x60 cos30，解得，解得x3或或x .x1，x3.答：快艇驶离港口答：快艇驶离港口B后，最少要经过后，最少要经过(jnggu)3小时才能和考察船小时才能和考察船相遇相遇.第54页/共55页第五十五页，共55页。