第六章-多元函数微积分6.8在直角坐标系下二重积分的计算课件.ppt

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1、6.8 6.8 在在直角坐标系下二重积直角坐标系下二重积分的计算分的计算二重积分的计算二重积分的计算二次定积分的计算二次定积分的计算转化转化一、一、利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分例例6.8.2例例6.8.3例例6.6.4二、二、交换二次积分次序的步骤交换二次积分次序的步骤四、四、内容小结内容小结 作业作业 习题答案习题答案例例6.8.1例例6.6.5三、三、利用对称性和奇偶性化简二重积分利用对称性和奇偶性化简二重积分本节内容本节内容:例例6.6.6例例6.6.7例例6.6.8的计算的计算上一页上一页 下一页下一页 目目 录录1.x型区域型区域 与与 y 型区域型区域x型区域：

2、穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个.xoyDy=2(x)y=1(x)axb一、一、利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分上一页上一页 下一页下一页 目目 录录y型区域型区域xoycdDx=2(y)x=1(y)y上一页上一页 下一页下一页 目目 录录上一页上一页 下一页下一页 目目 录录同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记记作作 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录且在D上连续时,由上面推导可知,（1）若）若D为为 X-型区域型区域 则（2）若）若D为为Y-型区域型区域则结论：结论：上一页上一页 下一页下一页 目目 录录当被积函数均非负均非负在D上变号

3、变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于注注：（1）二重积分的计算公式中）二重积分的计算公式中f(x,y)为任意符为任意符号号.上一页上一页 下一页下一页 目目 录录上一页上一页 下一页下一页 目目 录录(2)(2)若积分区域既是若积分区域既是 X-X-型区域又是型区域又是Y Y -型区域型区域,为计算方便为计算方便,可选择积分序可选择积分序,必要时还可以交换积分序必要时还可以交换积分序.则有(3)若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X-型域或型域或Y-型域型域,则 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.8.1计算二重积分计算二重积分 因为因为 解解 所围成

4、的矩形所围成的矩形.是由是由 其中区域其中区域 所以所以 是矩形区域，且是矩形区域，且 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.8.3 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:方法一方法一,先对 y后对 x 积分,及直线则 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录上一页上一页 下一页下一页 目目 录录练习：练习：计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 思考：思考：求上述积分区域D的面积上一页上一页 下一页下一页 目目 录录注：练习题若选择先对y后对x的积分顺序，则必须对D进行划分.则用x=1将D分成两

5、个区域D1和D2：上一页上一页 下一页下一页 目目 录录上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.8.5 交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成:视为Y-型区域,则上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.8.6 证明证证:等式左端二次积分的积分限为 其中 均为常数,且 .所以所以上一页上一页 下一页下一页 目目 录录三、三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算1.如果积分区域如果积分区域D关于关于y轴对称，则轴对称，则(1)当当 时，有时，有 .(2)当当 时，有时，有 .2.如果积分区域如果积分区域D关于关于x轴对称，则轴对称，则(1)当当 时

6、，有时，有 .(2)当当 时，有时，有 .上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.8.7 计算解解 积分域为椭圆，D关于x轴、y轴对称，利用对称性,其中所以所以又又故故上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.8.8 计算下列二重积分上一页上一页 下一页下一页 目目 录录上一页上一页 下一页下一页 目目 录录P244 P244 1.1.（2 2）2.2.3.3.（3 3）4.4.（4 4）（）（5 5）（）（6 6）5.6.5.6.（2 2）（）（3 3）7.7.（1 1）8.8.（1 1）9.(1)9.(1)作业作业上一页上一页 下一页下一页 目目 录录（1）若）若D为为 X-型区

7、域型区域 则（2）若）若D为为Y-型区域型区域则1.二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法内容小结内容小结直角坐标系情形直角坐标系情形:上一页上一页 下一页下一页 目目 录录2.计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线先积一条线,后扫积分域后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式上一页上一页 下一页下一页 目目 录录上一页上一页 下一页下一页 目目 录录上一页上一页 下一页下一页 目目 录录2.2.上一页上一页 下一页下一页 目

8、目 录录上一页上一页 下一页下一页 目目 录录4(54(5)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录4(64(6)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解积分区域如图积分区域如图上一页上一页 下一页下一页 目目 录录6.6.(1)(1)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录6(2)6(2)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解积分区域如图积分区域如图上一页上一页 下一页下一页 目目 录录6.6.(4)(4)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解上一页上一页 下一页下一页 目目 录录解解上一页上一页 下一页下一页 目目 录录8(18(1)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录9(19(1)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录10.解解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为上一页上一页 下一页下一页 目目 录录11.11.上一页上一页 下一页下一页 目目 录录12.12.LOGO广东外语外贸大学广东外语外贸大学