理论力学10动量矩定理.ppt

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1、1 131 动量矩 132 动量矩定理 133 刚体定轴转动微分方程 134 刚体对轴的转动惯量 135 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程 习题课第十三章 动量矩定理2质点质点系动量定理：动量的改变外力（外力系主矢）若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。基本概念一质点的动量矩质点对点O 的动量矩：矢量质点对轴 z 的动量矩：代数量质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢）3质点对点O 的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关

2、系：正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负逆时针为正二质点系的动量矩质系对点O 动量矩：质系对轴z 动量矩：kg2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。410-1 质点的动量矩定理一质点的动量矩定理推导两边叉乘矢径,有左边可写成 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。故：质点动量定理5将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得 上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。称为质点的动量矩守恒。若则常矢量

3、6运动分析：。由动量矩定理即微幅摆动时，并令，则解微分方程,并代入初始条件 则运动方程，摆动周期解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。例2 单摆已知m，l，t=0时=0，从静止 开始释放。求单摆的运动规律。7注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：在质点受有心力的作用时。（面积速度定理）质点绕某心（轴）转动的问题。（单摆）8 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。1质点系的动量矩定理推导左边交换求和与导数运算的顺序，而一质点系对固定点的动量矩定理对质点系，有对质点Mi：将上式在

4、通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得10-2 质点系的动量矩定理9 上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。质点系的动量矩守恒当时，常矢量。当时，常量。定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。10解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。运动分析：v=由动量矩定理：例3 已知:11例 10.1 如图滑轮 O 上悬有一根绳子，绳子两端离过轴 O 的水平线的距离分别为l1 和 l2。两个质量分别为 m1 和m 2 的人抓着绳子的两端，同时开始向上爬并同时到

5、达过轴 O 的水平线。不计滑轮和绳子的质量，忽略所有对运动的阻力。求两人同时到达的时间。解：设 m1 和 m2的绝对速度分别为 v 1、v2，两人同时到达的时间为T。则系统对 O 轴的动量矩为12133平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。刚体动量矩计算：1平动刚体平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。2定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。1、各点的速度相同2、考虑质心公式10-3定轴转动刚体的动力学143平面运动刚体平

6、面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。将矢径表示为：各点对O矢径质心对O矢径各点对质心矢径各质点速度质心速度各点相对质心速度代入动量矩表达式15质心平动动量矩绕质心转动动量矩质心相对质心的半径为零质心相对于质心的速度为零16解：例1 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑轮B：m2，R2，I2；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。轮B滚而不滑，有瞬心17 对于一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理，有刚体定轴转动微分方程解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于

7、刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。18 特殊情况：若,则恒量，刚体作匀速转动或 保持静止。若 常量，则 常量，刚体作匀变速转动。将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。1910-3-2 刚体对轴的转动惯量定义：若刚体的质量是连续分布，则 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgm2。20积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）例1 匀质细直杆长为l,质量为m。求：对z轴的转动惯量；对z 轴的转动惯量。转动惯量的计算解：212.回转半径由所定义的长度 称为刚体对

8、z 轴的回转半径。对于均质刚体，（回转半径）仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的，以供参考。22 平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。23证明：设有平行的两轴 z 和 z C，轴zC 通过刚体的质心 C，令 J z,JC分别为同一刚体对两轴的转动惯量，mT 为刚体的质量，d 为两轴间的距离。xm,ym

9、 表示矢量r m在坐标系 Oxy中的投影，根据质心坐标的计算公式,得(相对于质心的质心坐标)刚体对z 轴的转动惯量24复杂形状刚体的转动惯量按定义，有：非均质刚体均质刚体25当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。计算转动惯量的组合法解：例2 钟摆：均质直杆m1,l；均质圆盘：m2,R。求 IO。26 例3 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1、P2,半径分别为 r1、r2,可视为均质圆盘;物体C 的重量为P3;轮A上作用常力矩M1。求 物体C上升的加速度。取轮B连同物体

10、C为研究对象补充运动学条件化简(1)得：化简(2)得：解:取轮A为研究对象2710-4 质点系的相对运动动量矩定理一质点系相对运动动量矩定理的推导设动矩心 D以速度 v D和加速度 a D在惯性系Oxyz 中运动。任取一个随 D 一起平动的坐标系 Dx D yDzD相对运动动量矩:即质点系对 D 点（动点）的动量矩任一质点 m i的瞬时绝对速度为 vi28质点系对固定点 O 的绝对运动动量矩为：相对运动动量矩 质心相对动点的速度质心相对动点的矢径29对上式求绝对时间导数：所以等号右边第二、第四项之和为零，得：30在平动动系 中适用的方程；这就是质点系的相对运动动量矩定理它比对定点的多了后面一项

11、附加项:质心的牵连惯性力对动点之矩动量矩、力矩当然最好还是没有这一项 3110.4.2 特殊动矩心方程右边的附加项最好为零我们选择动矩心 D为以下三种点：（1）质心 C；用来计算任意运动刚体对某一固定点的绝对运动动量矩相对质心的动量矩加质心平动动量矩质点系相对于质心的动量矩定理由上式取质心为动点可得质点系对任一点固定点 O 的动量矩 LO为（10.24）（10.30）（10.31）32（2）加速度为零的点A；需要注意：对质心的动量矩定理和任意运动刚体对某一固定点的绝对运动动量矩计算式恒成立（10.33）（3）加速度矢量通过质心的点P，（矢积为零）（10.32）任意运动刚体对某一固定点的绝对运动

12、动量矩：相对质心的动量矩和质心平动动量矩之和3310.5 刚体平面运动动力学设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S，质心一定位于S内。取上述三动矩心之一质心为动系原点，则此平面运动可分解为 随质心C的平动(xC,yC)绕质心C的转动（）可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。34写成投影形式或上式称为平面运动微分方程。一般平面图形的运动可分解为随质心 C 的平动和绕基点 D 的转动。（此D 点若是满足附加项为零的点则方程简单）35平面运动刚体对某一固定点的动量矩计算，将下式投影于与刚体运动平面垂直的轴上，结果为（10.36）刚体

13、与质点、或几个刚体一起作平面运动的情况：将各个刚体和质点分开列写动力学方程，再补充它们之间的协调关系，最后进行综合求解。也可以只对系统整体列写动力学方程获得解答，但这时相对运动动量矩方程一般只能采取相对于整体质心的形式其中 为平面运动刚体相对其质心的动量矩，mT为刚体的质量，vC为刚体的质心速度，dC为刚体的质心速度矢量 到矩心 O 的距离；正负号根据它们的实际转向与参考正向是否相同确定。（10.31）36系统整体对其质心 C 的相对运动动量矩LCr的计算：各质点和刚体求和即可（10.36）（2）如果第 个刚体在随 C 点平动的坐标系 中作平面运动，则 在随 C 平动的坐标系中应用公式(10.

14、36)第i 个刚体对C 的相对运动动量矩计算方法：（1）第 i 个刚体在随 C 点平动的坐标系 Cx C yC中绕 C 点转动：（动系中的定点），结果为m i为第 个刚体的质量，vci为第 i 个刚体的质心相对C点速度，dci 为第 i 个刚体的质心相对C点的速度矢量到矩心 C 的距离；正负号根据它们的实际转向与参考正向是否相同确定37 例4 质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。解：取轮为研究对象。受力分析如图示。运动分析：取直角坐标系 Oxy aC y=0，aC x=aC 一般情

15、况下轮作平面运动。根据平面运动微分方程，有由式得，两式中含有三个未知数aC、F、，需补充附加条件。381设接触面绝对光滑。因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，所以可解得3设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。F=fN，可解得轮作纯滚动的条件：表明：当时，解答3适用；当时，解答2适用；f=0 时解答1适用。39一基本概念1动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。2质点的动量矩：3质点系的动量矩：4转动惯量：物体转动时惯性的度量。对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转动惯量要熟记。第十章动量矩定理习题课405刚体动量矩计算平动

16、：定轴转动：平面运动：二质点的动量矩定理及守恒1质点的动量矩定理2质点的动量矩守恒 若，则 常矢量。若，则 常量。41三质点系的动量矩定理及守恒1质点系的动量矩定理2质点系的动量矩守恒 若，则常矢量 若，则常量四质点系相对质心的动量矩定理42五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程1刚体定轴转动微分方程2刚体平面运动微分方程或满足附加项为零的动点都可以为矩心43六动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）1已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。2已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。3已知质点所受到的

17、外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。44七应用举例 例1 均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个刚体)受力分析如图示。运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。根据刚体平面运动微分方程补充方程：45将式代入、两式，有将上述结果代入式，有解得：补充方程：46 例2 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时,T 形杆具有角速度=4rad/s。求该瞬时轴承O的反力。

18、解：选T 字型杆为研究对象。受力分析如图示。由定轴转动微分方程47根据质心运动微分方程，得48 例3 均质圆柱体A和B的重量均为P，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。求：圆柱B下落时质心的加速度。若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱B的质心将上升。49选圆柱B为研究对象运动学关系：解：选圆柱A为研究对象由、式得：代入、式得：由运动学关系式微分：50由动量矩定理：补充运动学关系式：代入式，得当M 2Pr 时，圆柱B的质心将上升。求B上升条件：从新取右图状态系统为研究对象51例 10.8 如图曲柄滑块机

19、构在铅垂面内，曲柄 OA 长度为 r，以匀角速度 转动；均质连杆 AB 长度为2r，质量为 m。已知滑块的工作阻力为 F，不计滑块 B 的质量，忽略所有阻碍运动的摩擦。求图示瞬时滑道对滑块 B 的约束力。r52a（3）加d（2）加c的垂直投影方程合计6个方程（c)（d)53 对方程（d）分别向水平和垂直方向投影 得下两式：54研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。应用动量矩定理列方程时,要特别注意正负号的规定的一致性。55（在此章主要练习一个刚体动力学问题）；10.3；10.7；10.10；10.115657 习题册3-4、3-5、3-8、3-10、3-11选：3-958 定义：质点系相对于质心的动量矩二质点系相对质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系上的外力有关，而与内力无关。（由相对动点出发）由对定点O的动量矩定理出发，考虑惯性系里具有一样的形式，附加惯性力，即成为对动点的动量矩定理，先将惯性力系简化为作用于质心的合力对质心的惯性合力矩为零59