几何向量及线性运算向量积.ppt

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1、哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王王 宝宝 玲玲1本章内容提要本章内容提要 几何向量的线性运算几何向量的线性运算 空间中的平面与直线空间中的平面与直线t数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积 几何向量的坐标，用坐标表示几何向量的坐标，用坐标表示 几何向量的运算几何向量的运算.2 向量代数历史向量代数历史数数学学历历史史l 数学萌芽数学萌芽(公元前公元前600600年以前年以前)l 初等数学初等数学(公元前公元前600600年到年到1717世纪中叶世纪中叶)l 变量数学变量数学(1717世纪中叶到世纪中叶到1919世纪世纪2020年代年代)l 数学发展的第三个时期

2、数学发展的第三个时期,是变量数学时是变量数学时 期期.它以笛卡尔解析几何的建立为起点它以笛卡尔解析几何的建立为起点.3l笛卡尔笛卡尔(Descartes,1596年年3月月31日生于法国日生于法国)l解析几何是利用代数方法来研究几何图形性解析几何是利用代数方法来研究几何图形性 质的一门学科质的一门学科.l平面解析几何平面解析几何l空间解析几何空间解析几何l主要是主要是笛卡尔笛卡尔和和费尔马费尔马(Fermat)共同创立共同创立.l通过在空间中建立坐标系通过在空间中建立坐标系,将点用坐标表出将点用坐标表出,然后图形的几何性质可以用坐标之间的关系然后图形的几何性质可以用坐标之间的关系,特别是代数关

3、系来表示特别是代数关系来表示.l解析几何为微积分的出现创造了条件解析几何为微积分的出现创造了条件.4“向量代数向量代数”的应用的应用:l 作为研究（空间）解析几何的工具作为研究（空间）解析几何的工具；l 研究数学中其它一些分支、力学及其研究数学中其它一些分支、力学及其 它学科的工具；它学科的工具；向量代数引言向量代数引言3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算3.1 3.1 向量及其线性运算向量及其线性运算5定义定义有大小又有方向的量称为有大小又有方向的量称为(几何几何)向量向量，记为记为：,.模模:(长度、大小长度、大小)AB几何表示几何表示:用有向线段用有向线段代数表示代数表示:用

4、用坐标坐标 (x,y,z)a=b 把起点平移在一起把起点平移在一起,则完全重合则完全重合.方向方向相同相同,大小相等大小相等.向量的基本概念向量的基本概念自由向量自由向量:与起点无关的向量与起点无关的向量.6几种特殊的向量几种特殊的向量单位向量单位向量:负向量负向量:a 的负向量与的负向量与a 大小相等方向相大小相等方向相 反反,记为记为-a.零向量零向量:,记为记为0.零向量的方向任意或不确定零向量的方向任意或不确定.两向量共线两向量共线:ab 同向或反向的向量同向或反向的向量.两向量共面两向量共面:平行与同一平面的向量平行与同一平面的向量.任意两向量都共面任意两向量都共面.7一一、向量的加

5、法向量的加法l 分析一下物理中的两种有方向的量分析一下物理中的两种有方向的量:力的合成力的合成,可以引入向量加法的概念可以引入向量加法的概念.l 加法加法：baa+baba+b2.2.三角形法则三角形法则1.1.平行四边形法则平行四边形法则首尾相连首尾相连,a起点起点指向指向b终点终点c=a+b 向量的线性运算向量的线性运算8a bcdee=a+b+c+d3.3.多边形法则：多边形法则：n个向量之和个向量之和,只要把它们只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量到最后一个向量的终点的向量,即为和向量即为和向量.如如94.4.向量

6、加法运算的性质向量加法运算的性质 (1)交换律交换律:a+b=b+a (2)结合律结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(3)零向量零向量:a+0=0+a=a (4)反向量反向量:a+(-a)=(-a)+a=0 5.向量的减法向量的减法:a-b=a+(-b)b两起点置一处两起点置一处,b终点指向终点指向a终点终点aa-b10(1)1a=a,(-1)a=-a(2)k(la)=(kl)a(3)(k+l)a=ka+la(4)k(a+b)=ka+kb2.2.数乘运算的性质数乘运算的性质:1.1.数乘数乘:kaa长度长度方向方向同向同向反向反向不定不定规定规定:若若a=0，k，ka=0 若若k=0，a，

7、ka=0二二.向量的数乘向量的数乘113.3.单位向量单位向量:a0,a0=a|a|,为与为与a同向同向的单位向量的单位向量.a=a a04.4.平行平行:（共线共线）与与都没有意义都没有意义.注注 （1）（2）a b无意义无意义.（3）12 如果如果k 0 a=(-l/k)b a,b共线共线;如果如果l 0 b=(-k/l)a a,b共线共线.5.5.两个向量两个向量a,b共线共线存在不全为零的数存在不全为零的数 （平行）（平行）k,l 使使ka+l b=0.证证 a,b 共线共线a=kb或或b=ka,ka+l b=0,k,l 不全为零不全为零存在存在 k 使得使得ka+l b=0.136.

8、6.三个向量三个向量a1,a2,a3共面共面是存在不全为是存在不全为零零 的数的数k1,k2,k3使使证明思路证明思路必要性必要性:分两种情况分两种情况(1)其中有平行向量其中有平行向量(2)其中两两不平行其中两两不平行a2a3a1充分性充分性:不仿设不仿设k1不为零不为零,则有则有 a1=(-k2/k1)a2+(-k3/k1)a314例例1 1平行四边形平行四边形ABCD(如图如图),试用试用a、b 表示表示 .和和解解 因为平行四边形的对角线互相平因为平行四边形的对角线互相平分分所以所以 abMABCD153.2 向量的数量积向量的数量积,向量积和混合积向量积和混合积 前面讨论的向量及运算

9、只是在几何作前面讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算进行定数运算，实际上是对向量及运算进行定量的描述量的描述.向量在轴上的投影向量在轴上的投影16注：零向量与任一向量的夹角可以在注：零向量与任一向量的夹角可以在0 到到 间任意间任意 取值取值.向量与轴及轴与轴的夹角都是正向向量与轴及轴与轴的夹角都是正向 间不超过间不超过 的夹角的夹角.ab2.2.点在点在u轴上的投影轴上的

10、投影：若若A为空间中一点为空间中一点,u 为一轴，过为一轴，过 A点作垂直于点作垂直于 u 轴的平面轴的平面 ，则，则 与轴与轴 的交点的交点 为为A在在 轴轴 上的投影上的投影.1.1.向量的夹角：向量的夹角：17AB 设有向量设有向量 ,则轴则轴 上的有向线段上的有向线段 的值为的值为 （数量数量 同向为正数，同向为正数，向为负数）向为负数）,称为向量称为向量 在轴在轴 上的投影，记作上的投影，记作 与与ABuAB投影轴投影轴u1 1u2 2BA3 3.向量在向量在u轴上轴上投影投影:18uABu1 1u2 2ABCCu3 3abAB投影轴投影轴投影轴投影轴u1 1u2 2BBAu4 4.

11、公式:19l向量的向量的线性运算线性运算可以用来解决一些几可以用来解决一些几 何问题何问题.l要利用向量解决更复杂的几何问题要利用向量解决更复杂的几何问题,需要引入向量的其它运算需要引入向量的其它运算,这其中最这其中最 重要的就是重要的就是数量积数量积和和向量积向量积.l向量的加法是从物理中力的向量的加法是从物理中力的合力合力抽象抽象 出来的出来的.向量的数量积也可以从物理中向量的数量积也可以从物理中 力力作功作功的计算公式抽象出来的计算公式抽象出来.几何向量的几何向量的数量积（数）数量积（数）20 物理背景：一物体在常力物理背景：一物体在常力 的作用下，的作用下，沿直线运动产生的位移为沿直线

12、运动产生的位移为 时，则力时，则力 所所做的功是做的功是:FS 抽去物理意义，就是两个向量确定一抽去物理意义，就是两个向量确定一 个数的运算个数的运算.21一个向量的模乘以另一个向量在这个向量一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影上的投影.l 数量积数量积又称为又称为点积点积、内积内积.ab1 1.定义定义（数量积数量积):):22（1）交换律：）交换律：（2）分配律：）分配律：（3）结合律：）结合律：注注 （1）,中未必有中未必有0向量向量,也可也可.（2）无意义无意义.（3）数量积不满足消去律即）数量积不满足消去律即abc2.2.性质性质:（4）a (b-c).233.3.几何应用几

13、何应用：（1 1）求求模长模长：（2 2）求求夹角夹角：（4 4）求求投影投影：|a|=aaa b a b=024设设(a+3+3b)(7(7a-5-5b),且且(a-4-4b)(7(7a-2 2b)求求.解解由上式消去由上式消去得得由上式消去由上式消去得得例例1 125用向量证明余弦定理用向量证明余弦定理.例例2 2 证证即即中中bca26 几何向量的几何向量的向量积向量积1.1.定义定义:a,b 的的向量积向量积 a b 是一个向量是一个向量,l 向量积也称为向量积也称为 叉积叉积或或外积外积.2.2.几何意义：几何意义：都非零且不共线都非零且不共线,则则以以 为邻边的平行四边形的面积为邻

14、边的平行四边形的面积.aba b模模:且且a,b,a b成右手系成右手系,方向：方向：b a27（1）（2）（3）反交换律）反交换律：（4）结合律）结合律:（5）分配律）分配律:规定规定3.3.性质性质:28(1)(1)求平行四边形求平行四边形面积面积：(2)(2)求求夹角夹角：abhh=|b|sina，b=|ab|a|(3)(3)求平行四边形的求平行四边形的高高：(4)(4)可判断向量平行可判断向量平行:4 4.几何应用几何应用：29证明证明证证 由数量积定义由数量积定义 由向量积定义知由向量积定义知两式相加有两式相加有例例3 3试证试证例例4 4 证证30(-),Bye!预预 习习 完完 31