线性代数n维向量.ppt

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1、第二节1一、向量的概念定义行向量列向量 或2 向量可视为特殊的矩阵,因此,向量的相等、加减法、分量全部为零的向量称为零向量，记为。数乘等概念完全与矩阵相同.则3向量的线性运算满足以下八条运算律：(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+=a(4)a+(-a)=(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=k(la)(8)1a=a其中a,b,g 都是n维向量,k,l 为实数.4除 了 上 述 八 条 运 算 规 则，显 然 还 有 以 下 性 质：例1解其中移项规则5练习：P141 习题三6第三节7一、向量组的线性组合定义如果两个向量组可以

2、互相表出,则称等价。8例如,b=(2,-1,1),a1=(1,0,0),a2=(0,1,0),a3=(0,0,1),因为 b=2a1-a2+a3,或者说 b 可由a1,a2,a3 线性表示.即b 是 a1,a2,a3 的线性组合,9称为n维基本单位向量组。10对线性方程组将系数矩阵A分裂成列向量则方程组改写为1 1例1解12例2解13但表示法不唯一。14二、向量组的线性相关性定义15包含零向量的向量组一定线性相关:单个向量线性相关当且仅当它为零向量:例3 设有16定理证使则17定理(线性无关)的充分必要条件是齐次线性方程组有(无)非零解,18例4解判断下列向量组的线性相关性:线性相关.19解线

3、性无关.注意(1)写为列向量,拼成矩阵；(2)只作行变换。20推论线性相关(线性无关)的充分必要条件是行列式n维基本单位向量组线性无关,21例5证22例6证必线性相关。用矩阵形式，23有非零解，比如24定理证25定理证 再证表法唯一。设有两种表示法，即表法唯一。26线性相关性的性质(1)如果向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关。等价命题:如果一个向量组线性无关,则其任一部分组线性无关.部分相关整体相关整体无关 部分无关线性相关的向量组添加若干向量仍线性相关;线性无关的向量组去掉若干向量仍线性无关.27可以推广到添多个分量的情形.等价命题:线性相关的向量组各去掉一个(或几个)分量所得向量组仍线性相关。证28(3)向量组的个数如果多于维数,则必线性相关。齐次线性方程组未知量个数多于方程个数，必有非零解，线性相关(线性无关)的充分必要条件是行列式29由上述推论知，证略.推论(6)两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同个数的向量.证且彼此等价，30练习：P141 习题三31