初等模型之席位分配市场稳定.ppt

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1、习题选讲地图平分线问题：问题重述：问题重述：必存在一条纬线将中国地图面积平分。建立坐标系建立坐标系（假设）：（假设）：以过地图最南端点的纬线为x轴，过地图最西端点的经线为y轴。如图。y=y0=0，即x轴；y=y1，表示与地图最北端相切的纬线。记地图面积为SD考虑在y0与y1之间各个纬线与x轴所夹地图面积，此面积应与y有关，记为是S(y)S(y)，且注意到S(y0)=0，S(y1)=SD。分析分析与证与证明：明：一般地，S(y)是在区间y0,y1上的连续函数（这是需要讨论与证明的），并注意到S最大=S(y1)=SD，S最小=S(y0)=0，对于S中=1/2*S最大+S最小=1/2*SD，由介值定

2、理，存在（y0,y1）上的y*使S(y*)=S中=1/2*SD，即存在一条纬线将地图面积平分。思考一下，还有没有什么不妥的？S(y)xySD深入深入讨论：讨论：若地图如右图，不能肯定S(y)是y0,y1上的连续函数，由于地图边界一定是连续的，那就只能是如图，线。有部分地图边界平行于纬线。设平行于纬线的线为y=YY（有限个有限个），若平行部分恰好是平分线，可证。若平行部分不是平分线，不妨设S(YY)p2/n2，对对A不公平不公平p1/n1 p2/n2=5p1/n1为为每个席每个席位代表位代表人数人数用什么做分母呢？p1?p2?(p1+p2)?(p1/n1)?(p2/n2)?公平分配方案应公平分配

3、方案应使使 rA,rB 尽量小尽量小！设设A,B已分别有已分别有n1,n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对即对A不公平不公平 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方法分配方法若若 p1/n1 p2/n2，定义定义这项科学吗？1）若）若 p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1)p2/(

4、n2+1)，应计算应计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2 问：问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给 B当当 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给该席给ArA,rB的定义的定义该席给该席给A否则否则,该席给该席给B 定义定义该席给该席给Q值值较大的一方较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法计算，现场推导一下。三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕甲

5、系：甲系：p1=103,n1=10乙系：乙系：p2=63,n2=6丙系：丙系：p3=34,n3=3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席第第21席席同上同上Q3最大，最大，第第21席席给丙系给丙系甲系甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席Q值方法值方法分配结果分配结果公平吗？公平吗？Q1最大，最大，第第20席席给甲系给甲系进一步的讨论进一步的讨论Q值方法比值方法比“比例加惯例比例加惯例”方法更公平吗？方法更公平吗？席位分配的理想化准则席位分配的理想化准则已知已知:m方人数分别为方人数分别为 p1,p2,pm,记总人数为记总人数为 P=p1+p2

6、+pm,待分配的总席位为待分配的总席位为N。设理想情况下设理想情况下m方分配的席位分别为方分配的席位分别为n1,n2,nm(自然应有自然应有n1+n2+nm=N)，记记qi=Npi/P,i=1,2,m,ni 应是应是 N和和 p1,pm 的函数，即的函数，即ni=ni(N,p1,pm)若若qi 均为整数，显然应均为整数，显然应 ni=qi qi=Npi/P不全为整数时，不全为整数时，ni 应满足的准则：应满足的准则：记记 qi=floor(qi)向向 qi方向取整；方向取整；qi+=ceil(qi)向向 qi方向取整方向取整.1)qi ni qi+(i=1,2,m),2)ni(N,p1,pm)

7、ni(N+1,p1,pm)(i=1,2,m)即即ni 必取必取qi,qi+之一之一即当总席位增加时，即当总席位增加时，ni不应减少不应减少“比例加惯例比例加惯例”方法满足方法满足 1），但不满足），但不满足 2）Q值方法满足值方法满足 2）,但不满足但不满足 1）。令人遗憾！令人遗憾！在市场经济下，商品的价格经常会出现波动，当商品在市场经济下，商品的价格经常会出现波动，当商品“供不应求供不应求”时，价格逐渐升高，经营者会觉得有利可图而加大生产量。然而，一时，价格逐渐升高，经营者会觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场旦生产量达到使市场“供过于求供过于求”，价格立即会下跌，生产者会

8、立即，价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又一轮新的供不应求。在市场减产以避免损失，这样又极有可能造成又一轮新的供不应求。在市场经济环境下，商品的产量与价格总要重复上面的过程。我们关心的问经济环境下，商品的产量与价格总要重复上面的过程。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量与价格是否会趋于稳定？题是：如此循环，市场上的商品的数量与价格是否会趋于稳定？市场稳定问题市场稳定问题 所谓所谓“需求需求”，指在一定条件下，消费，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。设设p p p p表示商品价格，表示商品价格，q

9、 q q q表示商品量，假设商表示商品量，假设商品量品量q q主要取决于商品价格主要取决于商品价格p p，则称函数，则称函数 q=f(p)q=f(p)q=f(p)q=f(p)为为需求函数需求函数需求函数需求函数。一般来说，商品价格低，需求则大；商品价格高，需求则小。因一般来说，商品价格低，需求则大；商品价格高，需求则小。因此，需求函数此，需求函数q=f(p)q=f(p)一般是单调减少函数。一般是单调减少函数。因因q=f(p)q=f(p)为单调减少函数，所以存在反函数为单调减少函数，所以存在反函数p=fp=f-1-1(q)(q)，我们也称，我们也称它为它为需求函数需求函数需求函数需求函数，见图。

10、，见图。“供给供给”是指在一定条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的是指在一定条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量，我们仍然只讨论价格与供给的关系，即商品量，我们仍然只讨论价格与供给的关系，即供给函数供给函数供给函数供给函数q=q=q=q=(p)(p)(p)(p)。在上面的图中我们可以看出，需求曲线与供给曲线交于一点在上面的图中我们可以看出，需求曲线与供给曲线交于一点E(qE(qm m,p,pm m)。当。当ppppppm m时，时，(p)p)（），即（），即“供过供过于求于求”，商品滞销，这种状况必然导致价格下跌，商品滞销，这种状况必然导致价格下跌，p p p p减少。减少。一般来说

11、，商品价格低，生产者便不愿生产，供给便少；商品价格高，一般来说，商品价格低，生产者便不愿生产，供给便少；商品价格高，供给则多。因此供给函数一般也为单调增加函数。又因为供给则多。因此供给函数一般也为单调增加函数。又因为q=q=(p)(p)单调增单调增加，所以存在反函数加，所以存在反函数p=p=p=p=-1-1-1-1(q)(q)(q)(q)，往往我们也称此函数为，往往我们也称此函数为供给函数供给函数供给函数供给函数。从以上分析我们似乎可以看出：从以上分析我们似乎可以看出：市场上的商品价格将围绕价格市场上的商品价格将围绕价格p pm m（称之为（称之为均衡价格均衡价格）摆动。但实）摆动。但实际情况

12、并非如此简单。际情况并非如此简单。将时间区间用等步长来划分，第将时间区间用等步长来划分，第n n个节点处个节点处t t t tn n n n=n n n n ,为时间步长。为时间步长。设设p p p pn n n n为为t t t tn n n n时刻的价格，则由市场上供求平衡的需要，有时刻的价格，则由市场上供求平衡的需要，有 (p p p pn n n n)(p p p pn-1n-1n-1n-1)利用上面这两个式子，可得到利用上面这两个式子，可得到 b(pb(pn n-)+)+=a(p=a(pn-1n-1-)+)+将上面的式子经过递推运算，可得到将上面的式子经过递推运算，可得到 由上式很容

13、易看出，当由上式很容易看出，当由上式很容易看出，当由上式很容易看出，当abababa-，而当而当而当而当abababab时，数列时，数列时，数列时，数列ppppn n n n 发散到无穷大，根本不会有市场价格绕均衡价格摆动的现象。发散到无穷大，根本不会有市场价格绕均衡价格摆动的现象。发散到无穷大，根本不会有市场价格绕均衡价格摆动的现象。发散到无穷大，根本不会有市场价格绕均衡价格摆动的现象。请同学们推导此式！例例例例 设某产品的供给函数设某产品的供给函数(p)p)与需求函数与需求函数f(p)f(p)皆为线性函数：皆为线性函数：(p)p)a(p-a(p-)+)+,f(p)=-b(p-,f(p)=-

14、b(p-)+)+其中其中a0,b0,a0,b0,两直线相交于点两直线相交于点(,)。用taylor展开说明问什么可以这样设！现在让我们来看一下上图中的复杂情形，曲线现在让我们来看一下上图中的复杂情形，曲线表示需求函数表示需求函数表示需求函数表示需求函数，曲线曲线表示供应曲线表示供应曲线表示供应曲线表示供应曲线。在此图中，显然有。在此图中，显然有|K|KD D|K|qqm m)，则该时期的价格则该时期的价格p p1 1由曲线由曲线上的点决定。上的点决定。而在价格而在价格p p1 1下，下一时期上市的商品量下，下一时期上市的商品量q q2 2由曲线上的点决定。由曲线上的点决定。q q2 2又通过曲

15、又通过曲线决定价格线决定价格p p2 2 ，p p2 2通过曲线决定下一个时期的商品通过曲线决定下一个时期的商品量量q q3 3，如此继续下去。又从上图中可以看出，商品量，如此继续下去。又从上图中可以看出，商品量q q与价格将按照与价格将按照的方向趋向于点。而点是的方向趋向于点。而点是稳定的稳定的平衡点平衡点。从上例我们可以得到启示：从上例我们可以得到启示：市场价格的稳定似乎与供市场价格的稳定似乎与供求函数的求函数的斜率比斜率比斜率比斜率比有关系。有关系。如果如果|K|KD D|K|KS S|，我们同样进行类似的分析，不难发现，市场经济，我们同样进行类似的分析，不难发现，市场经济将按照将按照的

16、方向远离点，即商品的数量的方向远离点，即商品的数量q q与价格与价格p p的的波动越来越大，点是不稳定的平衡点。波动越来越大，点是不稳定的平衡点。回到实际的市场经济中来，我们分析一下不稳定的原因。切线斜回到实际的市场经济中来，我们分析一下不稳定的原因。切线斜率率实际上表示商品价格随商品量的变化而变化的程度实际上表示商品价格随商品量的变化而变化的程度。|K|KD D|K|KS S|表明消费者对这种商品价格的敏感度比经营者要高，商品稍少表明消费者对这种商品价格的敏感度比经营者要高，商品稍少一点，人们便蜂拥抢购，致使价格有大的变化。因此，一点，人们便蜂拥抢购，致使价格有大的变化。因此，|K|KD D

17、|较大，较大，在这种情况下，非常容易引起价格的不稳定现象。在这种情况下，非常容易引起价格的不稳定现象。当市场经济趋向于不稳定时，如何使市场经济重新趋于稳定呢当市场经济趋向于不稳定时，如何使市场经济重新趋于稳定呢？从上面的分析中，可以看出，即如何使？从上面的分析中，可以看出，即如何使|K|KD D|K|KS S|？一种办法是？一种办法是控制物价，比如让价格不改变，此时有控制物价，比如让价格不改变，此时有K KD D，这时，这时|K|KD D|K|KS S|总总成立，即市场经济总是稳定的。另一种办法是控制市场上的商品数成立，即市场经济总是稳定的。另一种办法是控制市场上的商品数量：当上市量若少于需求

18、量时，由政府出面，收购市场中商品过剩量：当上市量若少于需求量时，由政府出面，收购市场中商品过剩的部分。这样，的部分。这样，|K|KS S|，从而使得，从而使得|K|KD D|K|KS S|也总成立，市场经也总成立，市场经济便趋向于稳定。济便趋向于稳定。2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，

19、热传导系数为常数建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差,d材料厚度材料厚度,k热传导系数热传导系数2.3 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数建模建模记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之

20、比k1=4 10-3 8 10-3,k2=2.5 10-4,k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2=16建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4,则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失。的热量损失。结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数导系数 k2 2,而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天

21、花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大2.4 汽车刹车距离汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背背景景与与问问题题 正常驾驶条件下正常驾驶条件下,车速每增车速每增10英里英里/小时，小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是实现这个规则的简便办法是“2秒准则秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断判断“

22、2秒准则秒准则”与与“车身车身”规则是否一规则是否一样；样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。问问题题分分析析常识：刹车距离与车速有关常识：刹车距离与车速有关10英里英里/小时小时(16公里公里/小时小时)车速下车速下2秒钟行驶秒钟行驶29英尺英尺(9米米)车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则规则不同不同刹刹车车距距离离反应时间反应时间司机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正

23、比，最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。车速车速常数常数反反应应距距离离制制动动距距离离常数常数假假 设设 与与 建建 模模 1.刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2.反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;F d2=m v2/2F mt1为反应时间为反应时间且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际

24、数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒

25、准则秒准则”应修正为应修正为“t 秒准秒准则则”模模 型型车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）（秒）1234问问题题甲有物品甲有物品X,乙有物品乙有物品Y,双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量。设交换前甲占的数量。设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0,乙占有乙占有Y的的数量为数量为y

26、0,作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0 xo2.6 实物交换实物交换xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即具有同样的满意程度，即p1,p2对甲是无差别的，对甲是无差别的，MN将将所有与所有与p1,p2无差别的点连接无差别的点连接起来，得到一条起来，得到一条无差别曲线无差别曲线MN,线上各点

27、的满意度相同线上各点的满意度相同,线的线的形状形状反映对反映对X,Y的的偏爱程度偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线，在另一条无差别曲线M1N1上。上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。于是形成一族无差别曲线（无数条）。p1.p2.c1 y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质：单调减单调减(x增加增加,y减小减小)下凸下凸(凸向原点凸向原点)互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以

28、较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y。甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）切线的斜率意味着等满意度情况下，允许的交换xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性质（形状可以不同）性质（形状可以不同）双方的交换路径双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2(坐标坐标系系xOy,且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上（交

29、换路径）上因为在因为在AB外的任一点外的任一点p,(双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作ABABp 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩形内任一点矩形内任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交等价交换原则换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换用货币衡量其价值，设交换前前x0,y0价值相同，则等价交换原价值相同，则等价交换原则下交换路径为则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线两点的连线CDAB与与CD的的交点交点

30、p设设X单价单价a,Y单价单价b,则等价交换下则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0 xo.x为什么呢？见下页要是交换前价值不同呢？在AB的哪一点交换呢？让谁的满意度更高些呢？最公平的无差别曲线是等价交换！设a，b为X与Y的价值（价格），则交换前等价值意味着x0*a=y0*b，即a/b=y0/x0。而交换后，甲拥有(x，y)数量的X和Y，其价值应该不变，为：(x0-x)*a+y*b=x0*a，即得，x*a=y*b，即a/b=y/x。故必在曲线CD上。若是交换前价值不同，可以只考虑价值相同部分，多余的留着！*1.以雇员工作时间t和工资X分别为横坐标及纵坐标，画出雇员无差别曲线族

31、的示意图？并解释曲线为什么是你画的那种形状？2.若雇主支付计时工资，对不同的工资率（单位时间工资）画出计时工资线族（先假定是直线族）？根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资曲线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议？*用无差别曲线，讨论雇员与雇主之间的协议关系：*家政服务中的工作时间与工资报酬无差别曲线及消费者均衡讨论3.设雇员所得工资为q1，付出的工作时间的倒数为q2=1/t，这时雇员的满意度是q1和q2的函数，记作U(q1,q2)，这时U(q1,q2)=C(常数)的图形可以理解为前述的无差别曲线族。再假设雇员为得到q1和q2是有代价的（比如，得工资需要一定的技能、工作强度；付出的工作时间

32、需要本人的体力、时间安排等），分别量化为p1和p2，而雇员所具有的总代价是已知的定值S，即p1*q1+p2*q2=S，这时，雇员的满意度问题可以这样描述：在条件p1*q1+p2*q2=S之下，求比例p1*q1/p2*q2，使满意度函数U(q1,q2)达到最大。由拉格朗日乘数法可得，最优解应该满足设满意度函数为、为参数。请根据上式求最优比例p1*q1/p2*q2=？并给予解释？随着人们生活水平的提高、生活节奏的加快、工作压力的增大以及人口日趋老龄化，社会对家政服务的需求越来越大。当前人们雇请家政服务人员的渠道不一，有的通过妇联介绍、有的通过家政中介介绍、有的通过熟人介绍。与此同时，相同的服务内容

33、得到的报酬也不一样，甚至高低相差较大。因此，亟待政府规范家政服务行业，制定统一的工资标准，减少家政服务人员与雇主的矛盾，促进社会和谐。由于家政服务内容所涉及的因素多，每个家庭需要提供的服务不尽相同，因此统一制定工资标准就比较复杂。为了研究问题方便，我们假定家政服务的内容主要包括打扫卫生、做饭、洗衣服、带小孩和护理病人等。打扫卫生分为每周打扫1次7次；做饭分为每天做1餐或2餐，每周做5天7天；洗衣服分为每周洗1次7次；带小孩和护理病人每周可能服务5天7天。需要解决下列问题：1定性分析影响工资报酬的因素以及工资报酬与这些因素之间的关系；2建立数学模型，定量刻划工资报酬与这些因素之间的内在关系；3利

34、用问题2的结果，给出各种家政服务及其合理组合的工资标准；4就目前吉林省普通工人的平均工资水平，论证问题3中各种工资标准的合理性。E题：家政服家政服务务人人员员合理的工合理的工资报资报酬酬2.7 核军备竞赛核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑核威慑战略战略”，核军备竞赛不断升级。，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议。核裁军协议。在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。暂时

35、的平衡状态。当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。等措施时，平衡状态会发生什么变化。估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。量受哪些因素影响。背背景景以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小。核导弹数量描述核军备的大小。假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略：认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击乙方的核导弹基地；核导弹攻击乙方的核导

36、弹基地；乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击。给对方重要目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。攻击对方的一个核导弹基地。摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。度和另一方的防御能力决定。模模型型假假设设图图的的模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)乙方有乙方有y枚导弹，甲方所需

37、的最少导弹数枚导弹，甲方所需的最少导弹数当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑值xyy00y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线精细精细模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。基地，基地未被摧毁的概率。sx

38、个基地未摧毁，个基地未摧毁，yx个基地未攻击。个基地未攻击。xy甲方以甲方以 x攻击乙方攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个被攻击个被攻击2次，次，s2(xy)个未摧毁；个未摧毁；y(xy)=2y x个被攻击个被攻击1次，次，s(2y x)个未摧毁个未摧毁y0=s2(xy)+s(2y x)x=2yy0=s2yyx2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2相当于描绘函数图像 a交换比交换比(甲乙导弹数量比甲乙导弹数量比)x=a y,精细精细模型模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)y

39、是一条上凸的曲线是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡s变大，变大，y减小，曲线变平减小，曲线变平a变大，变大，y增加，曲线变陡增加，曲线变陡xy0y0 xy,y=y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,猜测从曲线表达式和参数的实际意义都可以分析！从另一个角度证明曲线的凸性下面我们将证明，在一次打击不能消灭对方所有核武器的情况下，两条单调的曲线x=f(y)与y=g(x)一定相交。首先，我们先说明y=f(x)从(0,y0)开始，其斜率无限减少如前，假设x=a*y，a（交换比）表示甲方核武器较乙方核武器的优势倍数。显然，乙方核武器在遭到甲方打击时所剩余的数目与a有关。假设乙

40、方核武器保留下来的百分比为s(a)，则乙方在遭受一次打击后还保存有y*s(a)枚核武器。显然，只要y*s(a)y0，乙方就可以确保自己的安全。选取使y*s(a)y0的最小值ys，则ys便成为在条件x=a*y下使乙方安全的最小值。由安全线的意义，ys便是y=f(x)与x=ay的交点。由于a的任意性且y=f(x)与x=a*y总相交（因为一次打击不能完全毁灭，总有剩余百分比，故使y*s(a)y0的最小值ys必然存在，也就是y=f(x)与x=a*y必相交），易得出y=f(x)这条曲线的斜率无限减少。当甲方与我方武器是如此(x=a*y)比例时，我还安全 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加

41、经费保护及疏散工业、交通中心等目标乙方威慑值乙方威慑值 y0变大变大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。（其它因素不变）（其它因素不变）乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移模型解释模型解释 平衡点平衡点PP 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变甲方残存率变大甲方残存率变大威慑值威慑值x 0和交换比不变和交换比不变x减小，甲安全线减小，甲安全线x=g(y)向向y轴靠近轴靠近xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(

42、x)模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少PP 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标(x,y仍为双方核导弹的数量仍为双方核导弹的数量)双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加y0减小减小 y下移且变平下移且变平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)a 变大变大 y增加且变陡增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析模型解释模型解释 乙安全线乙安全线 y=f(x)相当于

43、导弹威力增强，故地方对于我方的导弹强度对比增加！习题讨论以下因素引起的平衡点的变化：1.甲方提高导弹导航系统的性能。2.甲方增加导弹爆破的威力。3.双方发展电子干扰系统。4.双方建立反导弹系统。2.9 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L,M,T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量

44、纲量对无量纲量，=1(=L0M0T0)2.9.1 量纲齐次原则量纲齐次原则=fl2m-2=L3M-1T-2量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动例：单摆运动lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t,m,l,g 之间有关系式之间有关系式 1,2,3 为待定系数，为待定系数，为无量纲量为无量纲量(1)的量纲表达式的量纲表达式对比对比对对 x,y,z的两组测量值的两组测量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f

45、(x2,y2,z2)为什么假设这种形式为什么假设这种形式设设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍p=f(x,y,z)的形式为的形式为单摆运动中单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式的一般表达式y1y4 为待定常数为待定常数,为无量纲量为无量纲量设设 f(q1,q2,qm)=0 ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-rF(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价,F未定未定Pi定理定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是基本量是基本量纲纲,n m,q1,q2

46、,qm 的量纲可表为的量纲可表为量纲矩阵记作量纲矩阵记作线性齐次方程组线性齐次方程组有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量,且且则则g=LT-2,l=L,=L-3M,v=LT-1,s=L2,f=LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v,船体尺寸船体尺寸l,浸没面积浸没面积 s,海水密度海水密度,重力加速度重力加速度g。m=6,n=3Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A=3rank A=rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys=(ys1,ys2,ysm)T

47、 s=1,2,m-rm-r 个无量纲量个无量纲量 F(1,2,3)=0与与(g,l,v,s,f)=0 等价等价为得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0 未定未定F(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 ()=0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数基本量纲个数n;选哪些基本量纲选哪些基本量纲有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量

48、纲量未定和无量纲量未定不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例:航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量测量测 f，可算出，可算出 f1 物理模拟物理模拟2.9.3 无量纲化无量纲化例：火箭发射例：火箭发射m1m

49、2xrv0g星球表面竖直发射。初速星球表面竖直发射。初速v,星球半星球半径径r,表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律t=0 时时 x=0,火箭质量火箭质量m1,星球质量星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律3个独立参数个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x=L,t=T,r=L,v=LT-1,g=LT-2变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的的量纲量纲用用参数参数r,v,g的组合的组合,分别分别构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲量纲的的xc,tc（特征尺度

50、）（特征尺度）无量纲变量无量纲变量如利用新变量利用新变量将被简化将被简化令令 xc,tc的不同构造的不同构造1）令的不同简化结果的不同简化结果 为无量纲量为无量纲量3）令 为无量纲量为无量纲量2）令 为无量纲量为无量纲量1）2）3）的共同点的共同点只含只含1个参数个参数无量纲量无量纲量 解解重要差别重要差别考察无量纲量考察无量纲量在在1）2）3）中能否忽略以）中能否忽略以 为因子的项？为因子的项？1)忽略忽略 项项无解无解不能忽略不能忽略 项项2)3)忽略忽略 项项不能忽略不能忽略 项项忽略忽略 项项火箭发射过程火箭发射过程中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r r原原问问题题可以忽略可以忽