北大微观经济学课件07预期效用理论.ppt

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1、Lecture 7预期效用理论预期效用理论Expected Utility1不确定性概念不确定性概念前面的讨论是在确定的环境中进行的，涉及的价格、收入等变量都不带不确定性。然而经济活动并非总是确定性的，带有不确定性的消费选择可能更为常见，有必要对其进行研究。l不确定性不确定性：不能确定某种经济行为必然会产生某种结果。经济学对不确定性从概念上作了严格区分，提出了两种含义不同但相联系的不确定性：风险与无常。风险风险(risk)：不能确定某种行为一定会产生某种结果，但能客观地确定产生某种结果的可能性大小。即存在客观概率客观概率。无常无常(uncertainty)：既不能确定一定会产生某种结果，又不能

2、客观地确定产生某种结果的可能性大小。lTopics to be discussed：本讲研究不确定环境中，经济人的行为准则与目标函数，内容包括：风险选择理论预期效用预期效用；无常选择理论主观概率主观概率。2不确定性选择的事例不确定性选择的事例我们从三个不确定性选择的经典事例，来开始我们的讨论。例例1 1 彩票彩票(lottery)发行彩票是一种常见的低成本筹资手段。购买彩票可能获得奖品，甚至可能获得大奖。彩票的品种很多，面对众多的彩票，消费者究竟依据怎样的行为准则进行选择？这是我们关心的问题。例例2 2 赌博赌博(gamble)赌博是一种典型的靠随机因素决定收入的现象，用它可区别一个人对待风险

3、的态度。我们关心的问题是，当消费者面对一种赌博的时候，他是依据什么准则来决定是参加还是拒绝赌博的？例例3 3 择业择业(job-choice)职业各种各样，有些职业收入稳定，而有些职业的收入不稳定，与绩效挂钩。因此，择业也是一种不确定选择问题。3(一一)抽彩选择抽彩选择两种彩票：福彩和足彩。奖品相同，中奖即得汽车一辆。a)福利彩票：中奖概率为p，不中奖的概率为1-p。b)足球彩票：中奖概率为q，不中奖的概率为1-q。抽彩者：中奖，获U1单位效用；不中奖，获U2单位效用。l问题问题：抽彩者会购买哪一种彩票抽彩者会购买哪一种彩票？要回答这个问题，需要计算这两种彩票的预期效用效用的数学期望。用 EU

4、、EV 分别表示福彩、足彩的预期效用：EU=pU1+(1-p)U2 EV=qU1+(1-q)U2抽彩人究竟会购买哪一种彩票，取决于 EU 与 EV 的比较：a)如果 EU EV，则因福彩的预期效用更大而选择购买福彩；b)如果 EU 1 p。乙说法国队赢，是因为乙认为巴西队赢的概率 q 小于法国队：q u(50)，即甲认为接受赌博的预期效用大于不赌的效用，那么甲会参加赌博。如果 EV v(50)，即乙认为参加赌博的预期效用大于不赌的效用，那么乙会参加赌博。n结论结论：只有当只有当 EU u(50)且且 EV v(50)时时，这场赌博才能开这场赌博才能开展起来展起来。否则，便有一方不愿意打赌。(二

5、二)赌博行为赌博行为不确定性选择的事例不确定性选择的事例92.赌博行为的一般描述赌博行为的一般描述赌博的描述赌博的描述：赌博是一种输赢不定的游戏，每个参与者都要抵押一定的赌金，输者输掉赌金，赢者赢得赌金。赌博的表示赌博的表示：G=(W1,p;W2,1 p)输者赢W1 元(W1 0)；输的概率为 p，赢的概率为1 p。假定假定：某人现有收入某人现有收入W 元元，货币收入效用函数为货币收入效用函数为U(r)。赌博赌博G=(W1,p;W2,1 p)的预期收益的预期收益 ER 与预期效用与预期效用EU：ER =ER(G,W)=p(W+W1)+(1 p)(W+W2)=W+pW1+(1 p)W2 EU=E

6、U(G,W)=pU(W+W1)+(1 p)U(W+W2)不赌的收入不赌的收入为W 元，不赌的效用不赌的效用为U(W)。l接受赌博接受赌博：EU(G,W)U(W)l拒绝赌博拒绝赌博：EU(G,W)U(ER)=U(W)不赌:EU W赌:EU U(ER)U(W)或不赌:EU U(W)赌:EU=U(ER)U(W)偏亏偏亏:ER U(ER)U(W)不赌:EU U(ER)U(W)不赌:EU=U(ER)2。那么，这个人究竟会选择哪一种工作呢？这就取决于该人对待风险的态度。(三三)职业选择职业选择不确定性选择的事例不确定性选择的事例142.风险态度决定职业选择风险态度决定职业选择在这种预期收入相同，但风险不同

7、的两种作面前，一个人究竟选择哪一种工作，取决于他对待风险的态度。风险厌恶者会选择收入稳定、风险小的第二种工作；风险爱好者喜欢冒险，不冒险就发不了财，会选择有获得高收入的机会但风险较大的第一种工作。如果两种工作的预期收入不同，比如说第一种工作在“干得好”和“干不好”情况下月收入都比前述多 100 元，第二种工作的收入依然如上，则ER1=1600(元)，ER2=1500(元)。1=0.5(2100-1600)+0.5(1100-1600)=250000 2=0.99(1510-1500)+0.01(510-1500)=9900 虽然第一种工作比第二种的预期收入更多，但担当的风险更大。富有挑战精神的

8、人(即使为风险厌恶者)可能会选择第一种工作，保守的人可能会选择第二种工作。(三三)职业选择职业选择不确定性选择的事例不确定性选择的事例15风险选择与预期效用风险选择与预期效用上面事例中，我们使用效用函数的数学期望作为风险环境中的目标函数。其实，中级微观经济学中也是这么做的：依照效用函数和随机变量的概率分布，计算预期效用，然后依据计算出的预期效用大小，来评价风险环境中的行为好坏，从而做出决策。然而，这种做法存在着以下几个问题：预期效用是平均值，并不是能够实际得到的效用，人们为什么要用这种效用值作为追求的目标？表达同一偏好的效用函数有无限多个，不同效用函数下计算出来的预期效用不同，这是否会产生评价

9、上的矛盾？是不是在计算预期效用的时候不需要分辨效用函数，而只需要一个确定性意义下的效用函数(用来计算)就足够了？这些问题可总归为对不确定性行为进行评价的背后是否有预期效用作为支持的问题。现在来研究这个问题，建立预期效用理论。16(一一)风险环境风险环境l风险环境风险环境：是指这样的选择环境，其中人们究竟会选择到哪一种结果依赖于一些自然状态，而这些自然状态的出现是随机的。不过在这种环境中，任何随机事件发生的概率都是客观确定的，不会因人而异。抽彩环境就是一种典型的风险选择环境。每种彩票在发行之时都要公布各种奖励的数量以及彩票发行的数量，因而彩票中奖的概率分布从客观上讲是确定的。l风险环境的表示风险

10、环境的表示：概率空间概率空间(,F,P)表达了风险环境表达了风险环境。：风险环境中的自然状态集合，称为状态空间状态空间。F：上的事件域事件域，其中每个事件发生的概率都客观存在。P:F 0,1：事件域 F 上这个客观存在的概率测度概率测度。风险选择与预期效用风险选择与预期效用17(二二)风险选择集合风险选择集合l确定性选择集合确定性选择集合：指消费者在确定环境中的选择集合，即消费集合 X，它是商品空间 的子集。假定假定：X 为凸闭集。消费者的最终选择结果必然在 X 中，但因身处风险环境，究竟会选择到 X 中的哪个方案却不能确定，要取决于影响选择的那些自然状态(随机因素)，因而具有随机性。l风险选

11、择行为风险选择行为：在风险环境 (,F,P)中，消费者的选择行为是 (,F,P)上的随机向量 :X。选择行为成为随机向量，就不再是消费者的行为空间。l风险选择集合风险选择集合：由一切可能风险选择行为组成的集合，它是所有随机向量:X 的全体 X：X=|:X 是(,F,P)上的随机向量nX X：每个 xX 都可看成是 X 中退化的随机向量退化的随机向量 x：()(x()=x)风险选择与预期效用风险选择与预期效用18风险行动,X 几乎处处相同几乎处处相同，是指 P()=()=1。几乎处处相同的风险行动是相同的行动几乎处处相同的风险行动是相同的行动。退化的随机向量退化的随机向量：是指几乎处处为同一值的

12、随机向量。X 中退化的风险行动的全体正是确定性选择集合中退化的风险行动的全体正是确定性选择集合X。n定义(预期预期)风险行动 的预期结果预期结果或预期向量预期向量，是指 的数学期望 。l退化风险行为退化风险行为 xX 的预期结果就是的预期结果就是 x，即即 Ex=E x=x。l在在 X 为凸闭集的假定下为凸闭集的假定下，我们有(X)(EX)，即任何风险行为的预期结果都是一种确定性的选择结果。1.风险行动的预期结果风险行动的预期结果(二二)风险选择集合风险选择集合风险选择与预期效用风险选择与预期效用192.风险行为的复合风险行为的复合(二二)风险选择集合风险选择集合风险选择与预期效用风险选择与预

13、期效用象复合彩票一样，任何两种风险行为都可通过一定的概率复合成为第三种风险行为，具体办法如下。n定义 给定实数 p0,1，与 的复合行为复合行为 p (1-p)是指这样的行为：以概率 p 采取行动，以概率1-p采取行动。=p (1-p)的实际意义的实际意义：设 A为某个随机事件，其发生的概率为 p。代表这样的随机行动：若事件 A 发生，按照 进行选择；若 A未发生，按照 进行选择。即对任何，(,X)(p0,1)(p (1-p)X)。p (1-p)与与 p+(1-p)是不同的风险行为是不同的风险行为。203.复合行为的分布函数复合行为的分布函数l分布函数分布函数：叫做风险行动 X 的分布函数，是

14、指 。n定理 若 f,g 分别是风险行动,X 的分布函数，则对任何实数 p0,1，pf+(1 p)g 是 p (1 p)的分布函数。证明证明：任给实数 p0,1，并设 A是概率为 p的事件。为了计算 p (1-p)的分布函数，任意给定 。记=p (1-p)及B=()x。根据全概公式，我们有：这就证明了 p f+(1 p)g 是复合行为 p(1 p)的分布函数。(二二)风险选择集合风险选择集合风险选择与预期效用风险选择与预期效用214.风险行为的分布函数表示风险行为的分布函数表示 随机向量可以用分布函数表示，风险选择集合 X 也就可用分布函数集合D 表示，并可直接把D叫做风险选择集合风险选择集合

15、：D=f:f 是 X中的随机向量的分布函数 l对任何对任何 xX，可用退化分布函数可用退化分布函数 x 来表示来表示 x，从而从而 X D。xX 的退化分布函数退化分布函数 x：事实上，前面的定理已表明D为凸集，即对任何 f,gD D 及任何 p0,1，都有 p f+(1-p)g D。这就充分展现了经济活动的凸性表现的客观必然性。放在抽彩情形，D是彩票集合，本已为凸集。D的凸性会带来方便，因而总用D来代替 X。l用用D来表示风险选择集合来表示风险选择集合 X 的好处在于的好处在于D是凸集合是凸集合。(二二)风险选择集合风险选择集合风险选择与预期效用风险选择与预期效用22(二二)预期效用函数预期

16、效用函数 通过效用函数U:X R，可计算风险行为 f D 的预期效用 EU(f)：。这便给出了 D 上的一个实值函数 EU:D R，它就是通常意义上的预期效用函数预期效用函数。在集合 X 中，消费者用 U(x)进行评价。而前面三个事例中以及教科书中，都自然而然地认为在风险选择集合D 中，消费者用 EU(f)进行评价。那么事实果真如此吗？也就是说，函数函数 EU(f)能否作为消费者在风险选择集合能否作为消费者在风险选择集合D上的效用函数上的效用函数？要回答这个问题，必须从消费者在 D 上的偏好 出发，因为消费者的评价是依据偏好 进行的。如果 EU(f)能够成为偏好关系 的效用函数，那么问题就得到

17、了圆满解决。由此可见，风险选择集合 D 上的偏好关系 是否可用预期效用函数加以表示，便成为不确定性选择理论中的基本问题。风险选择与预期效用风险选择与预期效用231.风险偏好风险偏好在风险选择环境中，理性消费者的理性体现依然是对任何两种风险行为 f,g D，都能作出谁优谁差的判断或评价：要么 f g，要么 f g，要么 f g，且只能作出其中一种评价。这种评价便形成了消费者的风险偏好风险偏好(risky preference)：(f g)(f g)(f g)理性意味着风险偏好风险偏好 是自反是自反、完全完全、传递的二元关系传递的二元关系。既然 X D ，风险偏好 便决定了X 上的(确定性确定性)

18、偏好偏好：对任何 x,yX，x y 是指 x y。可用 表示由 确定的 X 上的偏好关系，并叫做风险偏好 在在 X 上的限制上的限制。n定义 函数 u:DR 叫做风险偏好 的效用函数效用函数，是指 u 满足这样的条件：(f,gD)(f g)(u(f)u(g)。问题问题：风险偏好的效用函数能否用预期效用函数给出？(二二)预期效用函数预期效用函数风险选择与预期效用风险选择与预期效用24从确定性选择集合 X 上的效用函数 U(x)出发，给出的预期效用函数EU:D D R 具有凸线性性凸线性性：(f,gD)(p0,1)(EU(pf +(1-p)g)=pEU(f)+(1-p)EU(g)据此，可把预期效用

19、函数概念加以扩大：凡是凸线性的实值函数，都可叫做预期效用函数预期效用函数。即把凸线性性看作预期效用函数的基本性质，并可称其为预期效用性质预期效用性质。这样，我们就有下述定义。n定义 凡是具有如下性质的函数u:DR都叫做预期效用函数预期效用函数：(f,gD)(p0,1)(u(pf +(1-p)g)=pu(f)+(1-p)u(g)这条性质也就叫做预期效用性质预期效用性质。2.预期效用性质预期效用性质为了能够用通常的预期效用函数来表示风险偏好，我们先来对通常的预期效用函数的性质作一些研究。(二二)预期效用函数预期效用函数风险选择与预期效用风险选择与预期效用253.预期效用公理预期效用公理：n定义 当

20、预期效用函数 u:D R 成为D 上的风险偏好 的效用函数时，即(f,gD)(f g)(u(f)u(g)，就称 u 是 的预期效用函数预期效用函数或预期效用表示预期效用表示。问题问题：风险偏好究竟能不能用预期效用函数加以表示？即风险偏好的预期效用函数是否存在？如果这个问题能够得到肯定的回答，那么就可以说，在风险选择活动中，人们是依照预期效用大小进行选择的。为了得到了肯定的答案，人们对风险偏好关系提出了一些公理，通称为预期效用公理预期效用公理，主要包括：l阿基米德公理l独立性公理l连续性公理(二二)预期效用函数预期效用函数风险选择与预期效用风险选择与预期效用26f,g,hD，如果 f h g，则

21、存在 p,q(0,1)使得(1 p)f +pg h (1 q)f +qg。(1-q)f +qg(1-p)f +pgl l阿基米德公理阿基米德公理 f hg阿基米德公理阿基米德公理3解释解释：设 f,g,hD 且 f h g。既然 f g，以概率 p(0,1)进行的复合行为(1p)f+pg 的好坏程度就应介于 f 与g 之间：f (1 p)f +pg g。p 越大，采取较差行为 f 的可能性越小，采取较好行为 g 的概率越大，从而复合行为(1p)f +pg 越好。即：对对(1p)f +pg 的评价与的评价与 p 成正比成正比。现在 f h g，那么就应该有某个较小的概率 p 和某个较大的概率 q

22、，使得(1 p)f +pg h (1 q)f +qg。(二二)预期效用函数预期效用函数风险选择与预期效用风险选择与预期效用3.预期效用公理预期效用公理27f,g,hD，p0,1，如果 f g，则有(1 p)f +ph (1 p)g +ph。(1-p)f+phl l独立性公理独立性公理 f hg独立性公理独立性公理(二二)预期效用函数预期效用函数风险选择与预期效用风险选择与预期效用3.预期效用公理预期效用公理3解释解释：设 f,g,hD 且 f g。在(1-p)f+ph和(1-p)g+ph中，以相同概率 p采取相同的行动h，又分别以相同概率(1p)采取不同的行动 f 和g。如此，这两种复合行为(

23、1-p)f+ph和(1-p)g+ph 究竟哪一个更优，便完全取决于 f 与 g 哪一个更优，而与第三种行为 h 的好坏无关。即：对对(1-p)f+ph 和和(1-p)g+ph 的评的评价价独立于第三种行为独立于第三种行为 h。(1-p)g+ph28f,g,hD，集合 p0,1:(1 p)f +p g h 和 p0,1:(1 p)f +p g h 都是0,1的闭子集。l l连续性公理连续性公理 f hg连续性公理连续性公理(二二)预期效用函数预期效用函数风险选择与预期效用风险选择与预期效用3.预期效用公理预期效用公理3解释解释：设 f,g,hD 且不妨设 f g。对复合行为(1 p)f+pg 的

24、评价与 p 成正比：选择好行为g 的概率越大，复合行为越好。由此可见：由不比 h 优的复合行为中的概率 p 构成的集合应该是0,1的闭子集；由不比 h 差的复合行为中的概率 p 构成的集合也应是0,1的闭子集。连续性公理比阿基米德公理的要求更连续性公理比阿基米德公理的要求更高高，它可以替代阿基米德公理它可以替代阿基米德公理。294.预期效用函数存在定理预期效用函数存在定理n定理 设 是风险选择集合 D D 上的偏好关系。可用预期效用函数来表示当且仅当当且仅当 服从阿基米德公理和独立性公理。当 具有预期效用表示时，的预期效用函数在仿射变换下是唯一的：若 u 和 v 都是 的预期效用表示，则存在实

25、数 a 和b 使得对一切 f D 都有 v(f)=a+b u(f)成立。2注释注释1 预期效用公理是关于风险选择行为理性的公理。即使 f 与g都是确定的行为，其复合(1p)f+pg 也是风险行动。2注释注释2 当风险偏好 具有预期效用表示时，D 中的无差异曲线必然是凸集，故为“直线”：对任何 f,gD，若 f g，则(p0,1)(pf+(1p)g f)。D无差异曲线无差异曲线(二二)预期效用函数预期效用函数风险选择与预期效用风险选择与预期效用30(三三)VNM效用函数效用函数预期效用函数存在定理虽然保证了风险偏好存在一般的预期效用函数，但还不能保证存在通常的预期效用函数。通常的预期效用函数是通

26、过确定性选择集合 X 上的确定性效用函数的积分来表达的，因此还需要研究积分形式的预期效用函数的存在性：如果 是D D 上的偏好关系，那么是否存在函数 U:X R 使得 EU:D D R 成为 的效用函数？最早研究这个问题的是数学家 冯冯诺伊曼诺伊曼 和 摩根斯顿摩根斯顿。后人便把能够使 EU 来表达风险偏好的这个函数U:XR 叫做 von Neumann-Morgenstern 效用函数，简称 VNM效用函数效用函数。准确地说，我们给出如下定义。n定义(VNM效用函数效用函数)U:XR 叫做风险偏好 的VNM效用函数，是指从U 定义的函数 EU:D R 是 的效用函数，其中函数EU 定义为：f

27、 D D，。风险选择与预期效用风险选择与预期效用311.可测偏好与单调性公理可测偏好与单调性公理为了 VNM 效用函数的存在，需要直接假定 =X。3消费者能够对每次风险行动中“选择到 X 的某子集 B 中的向量”的概率大小做出估计，也即可把风险环境中的随机事件直接看成是“选择结果落在X 的某个子集中”。3风险环境(,F,P)即为概率空间(X,F,P)：(,F,P)=(X,F,P)。n定义(可测偏好可测偏好)风险偏好关系 叫做是可测的，是指对任何 xX，集合yX:y x和yX:y x都是 F 的元素，即都是概率空间(X,F,P)中的可测集合。l l单调性公理单调性公理 对任何X 及任何 xX，l

28、如果几乎总有()x，即P()x=1，那么 x；l如果几乎总有()x，即P()x=1，那么 x。(三三)VNM效用函数效用函数风险选择与预期效用风险选择与预期效用322.VNM效用函数存在定理效用函数存在定理n定理(积分形式积分形式)设(,F,P)=(X,F,P)且(xX)(xF)。如果 是D上的可测偏好且服从阿基米德公理、独立性公理和单调性公理，则存在有界可测函数U:X R 满足如下条件：(f,gD )(f g)(X U(x)df(x)X U(x)dg(x)即存在 的VNM效用函数。l风险行为准则风险行为准则：预期效用函数和VNM效用函数的存在定理表明，人们在风险环境中的确是根据预期效用进行评

29、价和选择的。这样，人们的风险行为准则风险行为准则必然是预期效用最大化预期效用最大化。i注意注意：VNM效用函数存在定理并没有说并没有说“只要U(x)是消费者的确定性效用函数，那么从 U(x)得出的预期效用函数 EU(f)=X U(x)d f(x)就是 的效用函数。”这一点值得注意！(三三)VNM效用函数效用函数风险选择与预期效用风险选择与预期效用333.不能随便计算预期效用不能随便计算预期效用事例事例：某消费者在商品 X 和 Y 中进行选择，其选择方案可用向量(x,y)表示。已知该消费者的(确定性)偏好关系 如下：(三三)VNM效用函数效用函数风险选择与预期效用风险选择与预期效用事实事实：和

30、都是该消费者的效用函数。面临的抉择面临的抉择：消费者处于风险消费环境之中，以掷硬币来决定他的消费选择。掷出硬币正面和反面的概率各为0.5。A.掷出正面，则选择方案(1,1)；掷出反面，则选择方案(3,3)。B.不论掷出正面还是反面，总选择(2,2)，即2单位X和2单位Y。问题问题：能否看出该消费者更倾向于选择方案能否看出该消费者更倾向于选择方案 A 还是方案还是方案 B？答案答案：看不出来，原因如下：34无常选择与主观概率无常选择与主观概率现在讨论第二种不确定性无常性无常性(uncertainty)：不但不能确定经济人会具体选择到哪一种结果，而且不能客观地确定选择到某种结果的可能性大小，因而是

31、完全地不确定。主观概率主观概率：在无常环境中，由于客观上不存在事件发生的概率，经济人在决策时就要靠经验、靠感觉、靠信息来对事件发生的可能性大小作出主观判断，这就形成了所谓的主观概主观概率率，它因人而异。主观与客观的混合主观与客观的混合：实际经济活动中，决策者涉及的概率一般都是主观概率与客观概率的混合体。决策者对事物的判断既有主观的成分，也有客观的因素。问题问题：无常环境中，人们的行为准则是什么？是否依然是预期效用最大化？关于选择行为的何种公理体系，能够用于推断主观概率的存在？解答解答：1954年，萨维奇研究了这些问题，构建出了无常环境中的偏好公理体系，并在1972年又进行了修正和完善。35(一

32、一)无常环境无常环境l无常环境无常环境：是指完全不确定的选择环境，其中既不能确定究竟会发生哪种事件，又不能客观地确定事件发生的概率。状态空间状态空间：无常环境中，经济人的选择结果依赖于一些不确定的自然因素，叫做自然状态。仍用 表示这些自然状态的全体，称为状态空间状态空间。事件事件：由于无常环境中没有客观存在的事件概率，因此状态空间 的任何子集都可以叫做事件事件。这样，事件域事件域 F 便是 的幂集幂集：F=P =P()，即的子集的全体。l无常环境的表示无常环境的表示：既然在无常环境中，经济行为受制于状态空间，特别是受制于不确定事件，因此空间(,P)便代表着经济人所处的无常环境。无常环境无常环境

33、(,P)：P =P()=A:A 。无常选择与主观概率无常选择与主观概率36l确定性选择集合确定性选择集合X：一切可能的选择结果的全体。n假定假定1：=X。由于不存在客观概率，因此可直接把各种可能的选择结果视为各种可能的不确定因素。n假定假定2：X R，即 X 是实数集合 R 的子集(萨维奇假定)。l无常行为无常行为：经济人在无常环境(,P)中的选择行为。可用映射:X 来表示：当状态出现时，选择()X。l无常无常选择集合选择集合X：一切可能的无常行为的全体，即X=:是从 到 X 的映射l无常行为无常行为 的的结果集合结果集合：是指集合=():。nX X：X 中的每种结果 x 都可看成是退化的无常

34、行为退化的无常行为 x。这里，x的定义为()(x()=x)。(二二)无常选择集合无常选择集合无常选择与主观概率无常选择与主观概率37l两种行为的复合两种行为的复合：设,X 且 AP。行为 与 通过事件 A 的复合复合是指这样的行为X：若 A 发生，则采取行动 ；若 A 未发生，则采取行动。这个行为 通常记作 。即l的分划分划：是指P中的一组互不相交的事件A1,A2,An使得 。即总有且只有A1,A2,An中一个事件发生。l多种行为的复合多种行为的复合：行为 1,2,nX 通过分划A1,A2,An 的复合复合是指这样的行为=(1|A1,2|A2,n|An)：当事件Ai 发生时，采取行动i(i=1

35、,2,n)。即对任何，如果Ai，那么()=i()(i=1,2,n)。像风险行为的复合一样，也可以把两种或多种无常行为通过一个或多个事件复合起来，形成另一种无常行为。(三三)无常行为的复合无常行为的复合无常选择与主观概率无常选择与主观概率38(四四)无常偏好无常偏好在无常环境中，消费者照样依据个人偏好进行选择。这意味着消费者在无常选择集合X上有一个偏好关系 ，叫做无常无常偏好偏好。既然 X X，也决定了消费者在 X 上的偏好关系。i注意注意：对于X 和 xX，x 与()x 的含义不同。l条件偏好条件偏好|A：是指在事件 AP 发生的条件下，消费者对各种无常行为的偏好情况。具体定义如下：对任何,X

36、，n事实：当A=时，(,X)(|A)；当A=时，|A=。l零事件零事件：AP P叫做零事件，是指(,X)(|A)。即在事件 A 发生的情况下，任何两种无常行为都无差异。n事实：空集 是零事件。无常选择与主观概率无常选择与主观概率39(五五)主观概率公理主观概率公理问题问题：在什么条件下，无常偏好 能够揭示主观概率存在？萨维奇深入研究了这个问题，提出了无常偏好应服从的六条公理：条件独立公理、状态独立公理、定性概率公理、非退化公理、无原子公理、条件单调公理。不过，萨维奇得到的概率只具有有限可加性，不具有可数可加性，这与通常的概率稍有不同。其原因在于事件域 F 是状态空间 的幂集。根据概率论知识，当

37、 为无限集合时，在其幂集上根本不存在可数可加性的概率测度。l为了更好地理解萨维奇公理，需要知道下面两个概念。u有限可加概率测度有限可加概率测度P:P 0,1：P()=1且对任何 A,BP，若 AB=，则 P(AB)=P(A)+P(B)。v无原子测度无原子测度P:P0,1：p0,1，A,BP，若 AB，则存在CP 使得 A C B 且 P(C)=pP(A)+(1 p)P(B)。无常选择与主观概率无常选择与主观概率40对任何,X 及 AP，条件独立公理条件独立公理条件独立公理条件独立公理3意义意义：在事件 A 发生的条件下对 与 的评价，仅仅取决于A发生时的行动，而与 A 没有发生时的行动无关。X

38、(五五)主观概率公理主观概率公理无常选择与主观概率无常选择与主观概率41对任何 x,yX，X 及任何非零事件 AP，状态独立公理状态独立公理状态独立公理状态独立公理3意义意义：既然=X，“状态”便指 X 中的行为，即确定性的结果。这条公理是说，对非零事件下采取的任何两种确定性行动(状态)的优劣评价，仅仅取决于消费者对这两种确定性行动的本来评价本来评价（即偏好关系 下的评价）。它既与非零事件未发生时的行动无关，又与非零事件无关（即不论在哪个非零事件下，其评价结论都是如此）。这就是无常偏好关系下对“状态”的评价的独立性。xy(五五)主观概率公理主观概率公理无常选择与主观概率无常选择与主观概率X42

39、对任何 A,BP 及 x,y,a,bX，如果 x y 且 a b，则 。定性概率公理定性概率公理定性概率公理定性概率公理3意义意义：记 ，。该公理是说，对于复合行为(x,y)与(x,y)的评价在所有这样的确定性结果对子(x,y)之间一致：x,yX 且 x y。这种一致性蕴含着一层重要含义：事件事件 A 发生的概率不低于事件发生的概率不低于事件 B。要看出这一点，只须注意这样一个事实：在事件发生的概率存在的情况下，以较大概率选择较差结果之行为，当然要比以较小概率选择较差结果之行为要差。已知结果x比结果 y差，且(x,y)不比(x,y)优。这说明，行为(x,y)选择到较差结果 x 的概率不低于行为

40、(x,y)选择到较差结果 x 的概率，即 A 发生的概率不低于 B 发生的概率。(五五)主观概率公理主观概率公理无常选择与主观概率无常选择与主观概率43,X，若 ，则存在分划A1,A2,An使得非退化公理非退化公理非退化公理非退化公理无原子公理无原子公理无原子公理无原子公理无常选择与主观概率无常选择与主观概率(五五)主观概率公理主观概率公理存在 x,yX 满足 x y。3意义意义：消费者不能“好坏不分”。3意义意义：只要行为 比行为 好，那么不论行为 有多好，都能通过把状态空间 进行更加细致的分划，来找出“很小”的事件 Ai，使得行为 影响不了对 与 的评价：只要仅在事件Ai 发生时才采取行为

41、，Ai不发生时采取比 差的行为，那么其结果依然比 差；只要仅在事件Ai 发生时才采取行为，Ai不发生时采取比 优的行为，那么其结果依然比 优。越好，找到的事件 Ai越小，从而体现了无原子性：可根据偏好来对进行无限细致的分划，只有更细只有更细，没有最细没有最细。44对任何,X及 AP，如果(A)()或者(A)()，则|A。条件单调公理条件单调公理条件单调公理条件单调公理3意义意义：这条公理的提出是自然的。对此，可进行如下两个方面的解释。既然在事件 A 中的任何一种状态 出现的情况下，行为 都比行为 的相应结果()差，那么在事件A发生的条件下，采取行为 理应不会比采取行为 更好，即自然应有|A；既

42、然在事件 A 中的任何一种状态 出现的情况下，行为 的相应结果()都比行为 差，那么在事件A 发生的条件下，采取行为 理应不会比采取行为 更好，即自然应有|A 。(五五)主观概率公理主观概率公理无常选择与主观概率无常选择与主观概率45(六六)萨维奇定理萨维奇定理n定理 设 X 是消费者的确定性选择集合，是消费者在无常环境(,P)中的偏好，其中=X R。则下面两种表述等价：服从条件独立公理、状态独立公理、定性概率公理、非退化公理、无原子公理和条件单调公理；存在唯一的有限可加无原子概率测度P:P0,1 和仿射变换下唯一的有界函数 u:XR，使得对任何,X，都有 3意义意义：该定理基本上阐明了主观概

43、率的存在性及其条件。如果仿效经典概率论的做法进一步研究，就可得到通常意义的概率真正的主观概率，从而在无常环境中，消费者的决策好像是根据这个主观概率下的预期效用进行的。这样，对于无常选择行为，就可使用预期效用理论进行研究，即可把无常性纳入到了预期效用理论的应用范围之内。无常选择与主观概率无常选择与主观概率46第第7 7次作业次作业设风险偏好 满足独立性公理。证明：对任何 f,gD，f g，都有下述事实成立：(1)对任何 p0,1，都有 f (1p)f+p g g；(2)对任何 p,q0,1，若 p q，则(1p)f+pg (1q)f+q g。提示：可应用(1)的结论来证明(2)。(11月月16日前，通过日前，通过e-mail交给助教交给助教胡谍胡谍)47